实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性

正因为实数集具有连续性，所

以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。

单调增加且有上界，则数列

，否则，存在某个有理数

第七章实数的完备性习题解答

第7章 实数的完备性 §7.1 实数完备性的基本定理 一　基本内容 实数连续性的基本定理有7个． 1 戴德金分划　任一有理分划必确定一个实数． 2 确界原理　有界数集必有确界． 3 单调有界定理　有界的单调数列必有极限． 此定理可分为两个部分，即 (1) 数列单调上升且有上界，则必有极限； (2) 数列单调下降且有下界，则必有极限． 4 区间套定理 若闭区间列满足 (1) ； (2) ， 则称这列闭区间列为闭区间套，简称区间套． 在区间套中，端点满足 ． 即由左端点构成的数列单调上升有上界；由右端点构成的数列单调下降有下界． 定理1 (区间套定理) 若闭区间列为区间套，则 ． 5 柯西收敛准则 数列收敛 ． 6 聚点原理 定义2 设S是直线上的点集，是一定点．如果， 有无穷多个点，则称为点集S的聚点． 等价定义：为点集S的聚点． 定理3(维尔斯特拉斯聚点原理) 有界无限点集必有聚点． 推论(致密性定理) 有界数列必有收敛的子列． 7 有限覆盖定理 设S是直线上的点集，H为一开区间集，如果 ， 则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S． 若H中的开区间是无限个，则称H为S的一个无限开覆盖； 若H中的开区间是有限个，则称H为S的一个有限开覆盖． 定理4 (波雷尔有限覆盖定理) H为闭区间[a, b]的一个开覆盖，则在H中存在有限开覆盖覆盖[a, b] ． 以上介绍的7个定理是等价的，即从其中任一个定理出发，都可以推出其余的6个定理． 二　习题解答 1 验证数集有且只有两个聚点和． 解：设，则， ，， 所以和是的聚点．又，取 ， 则，，所以非的聚点，故有且只有两个聚点和． 2 证明：任何有限数集都没有聚点． 证：设为有限点集，则，， ， 故结论成立． 3 设是一个严格开区间套，即满足 ， 且．证明：，． 证：作闭区间，则由闭区间套定理知，， ． 今只须证明或，即可． 如果，则时， ， 此与矛盾，所以，同理，故　 ． 4 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定里、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立． 解：取，则在上有界，但无上、下确界；取，则，且单调上升有上界，但在内极限不存在．取，则为无穷点集，但在内无聚点．取，则满足柯西收敛的条件，但在上发散． 5 设． (1) 能否覆盖？ (2) 能否从中选出有限个开区间覆盖 ． 解：(1) 能覆盖．实因：，则，于是 ， 即，故． (2) 不能从中选出有限个开区间覆盖． 假设在中能选出有限个开区间覆盖，则这有限个开区间左端点必存在最小者．设左端点的最小者为，取，则不被选出的有限个开区间覆盖，此与假设矛盾，故不能从中选出有限个开区间覆盖． 能从中选出有限个开区间覆盖．取，则 ． 6 证明：闭区间的全体聚点的集合是本身． 证：，则，，即为的聚点，由的任取性知中的所有点都的聚点．又设为的聚点，假设，取 ， 则，此与为的聚点矛盾，故，由的任意性知的所有聚点都在中． 综上，的聚点集就是本身． 7 设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界． 证：不妨设单调上升，因存在聚点，则必有上界．否则，于是，中小于的项至多只有有限项，此与存在聚点矛盾． 由确界定理知，必有上确界，设的上确界为，则 ， 而时，，即，故．由极限的唯一性知结论成立． 8 试用有限覆盖定理证明聚点定理． 证：设为有界无穷点集，则 ． 假设中的点都不是的聚点，则 ，为有限点集”． 而，所以由有限覆盖定理知 ，， 又 只有有限个点，而有无穷个点，矛盾．所以必有聚点． 9 试用聚点定理证明柯西收敛准则． 柯西收敛准则： 收敛． 证：设收敛于，则 ， 于是时，，故必要性得证． 设满足 ， 于是取，因定，则时，，即 ， 取，则，即有界．由致密性定理(聚点原理的推论)知， 必有收敛的子列，令，则就柯西条件中的， 于是时，，故收敛． §7. 2 闭区间上连续函数性质的证明 一　基本内容 性质1 (有界性) 如果在上连续，则在上有界． 即在上连续， ． 性质2(最值性) 如果在上连续，则在上有最大值、最小值．即 ． 性质3(零点存在性) 如果在上连续，且 ， 则 ． 注意：此性质只给出存在性，没有唯一性．