列写微分方程?

线性代数的核心问题是解方程。高斯消去法启示的初等变换,至今仍是解线性方程组和矩阵计算的基础。行列式因研究线性方程组解而被引入,带来矩阵的表示,进而联系起抽象的代数。代数能应用于现实中,在于它具备解方程的有效手段。解方程的算法从空间的角度来看是坐标变换,不仅由此易于得出解的表示,也因此能够看到定性的结果。线性方程的解从理论到算法都有着清晰明确的结果。这导致成功的科学理论系统基本都是线性的。

9.1 线性方程的定性理论

XY线性空间抽象的线性算子A,作用在向量x映射得到x的像b,于是有等式Ax=b。这便是线性方程。这式子可以表示任何线性空间中线性算子的作用,一切线性方程都可以表示成这个等式。从已知的Ab,求x,是解方程。如果这是微分算子的线性组合在函数空间中的作用,则是线性微分方程;对积分算子则是积分方程;在有限维空间则是代数线性方程组。它们有着共同的性质。

Ax=0,叫做齐次方程,它的解构成Y的一个子空间Ker(A),即零空间。满足Ax=b的等式任何一个向量x0叫做特解,通解则是特解与零空间中任何一个向量之和。只有b在算子的像空间Im(A)中,解才存在。如果像空间就是Y的全空间,即映射是满的,解总是存在的。当零空间只有一个0向量时,线性方程若有解,则是唯一的。线性空间是无穷维时,上述的结论还涉及到收敛的问题,这要求算子是闭的。巴拿赫空间(定义了距离且柯西列都收敛的向量空间)中,线性算子定义域D(A)中的序列(xn),当xnxAxnb,有x也在D(A)中,且Ax=b,则称A闭的

从代数的角度来看,从Y映射到X的线性算子ARAL,若AAR= I,称ARA右逆;若ALA=I,称ALA左逆如果算子有右逆,从A(AR b得知,至少存在着一个解x0=ARb。如果有左逆,若x是方程的解,因为x=AL(Ax)=ALb,它则是唯一的解。当AL=AR时,依定义是A的逆A-1,这时方程的解存在且是唯一的,反之亦然。对此不难有,无穷维的巴拿赫空间(包括了希尔伯特空间)的逆算子定理:一一满映射闭算子的逆存在,而且是有界的。

9.2有限维线性方程组

在有限维线性空间,线性算子表达为矩阵A,可以从空间看到更清晰的图像。

表示成m*n矩阵形式,用算子和向量的符号把方程简记如下:

从线性算子角度来看,它自然拥有上面抽象线性方程的全部结论。

这意味着解是将方程组右边的向量b,表示为矩阵中列向量线性组合的系数。算子A的像空间,即是矩阵A的列空间。线性方程组有解的充要条件是:方程组右边的向量是矩阵列向量的线性组合,或说它与它们是线性相关的。齐次方程Ax=0没有非零解,意味着A的列向量是线性无关的。显然,如果非齐次方程有解,方程组右边的向量,是这些线性无关的列向量的线性组合,这个组合的表示是唯一的。如果齐次方程有非零解,线性相关的列向量则有多种的线性组合,表示同一个向量。这对应着这方程组有唯一解或无数的解。

,这表明满足这第i个方程解x,是空间中一个变动的向量,它与向量ai的内积是bi,所以满足这第i个方程所有的向量x的所指的点,在n=3时是3维空间中的一个平面,对于一般的n,是n维空间的一个超平面(注:这里的超平面,指n维几何空间中的n-1维平面,它不是指那种过原点作为线性n-1维子空间的超平面),它与向量ai的方向垂直,与原点的距离是

m个线性方程组的解,是这m个超平面的交集,它是n维空间里的一个子集,在极端情况可以是一个点或空集。也就是说线性方程组可以有无数个解,有唯一的解或无解。

线性方程具有非常确定的解法和清晰理论结果。这是它能被广泛应用的原因。我们必须充分地了解这些结果,才有把握应用好计算机求解的软件。

中学代数让我们习惯于方程的个数等于未知数的个数,其他情况没有答案。在应用中,我们可能有多于或少于未知数的方程,实际上即使等量的方程数,由于在数学模型中抽象为属性的未知数相关或相近,方程作为实验的样本也可能是线性相关的相近的,这样解方程也可能陷入无解、多解或不确定解的情况。我们需要了解从实用角度怎么处理这些问题,并理解计算软件解方程的函数。下面我们分析n个未知数m个线性方程组Ax=b中,矩阵A的不同情况,然后汇总答案。

A是满秩方阵。这时A的逆A-1存在,方程个数m与未知个数n相等,且列向量线性无关,方程的解可以表示为x

A是列满秩的长方阵。这是列向量线性无关,方程个数多于未知个数的情况,矩阵A的秩r = n < m,这时方程可能有解也可能无解。我们不能扔掉几个方程来求解,那犯了丢弃实验数据去修改计算的错误,正确的做法是求误差最小的解y

用最小二乘法可以推出正规方程(normal equationATAy=ATb,它的解y是满足方程式约束的最小误差向量。在几何直观上,这最小误差解y对应着向量bA列空间投影Pb的解,即Ay

对于列满秩的A,方阵ATA是满秩的,ATA的逆存在。显然AL=(ATA)-1ATA的左逆。若方程右边向量b就在A的列空间中,方程有解,这时Pb=b,正规方程的解y也就是原方程的解x。从左逆的存在,知道x=(ATA)-1ATb是唯一的解。

A是行满秩的扁方阵。这是矩阵列向量线性相关,方程个数少于未知个数的情况,矩阵A的秩r =m < n,这时方程有多个解,解点构成n维空间中一个n-m维的超平面。只要求出一个特解x0,通解便是x0加上A零空间的向量。对于这个行满秩的A,方阵AAT的逆存在,显然AR=AT(AAT)-1A的右逆,x0= AT(AAT)-1b是方程的一个特解,若zA的零空间中的一个向量,它们的内积〈x0, 0,这说明x0与零空间正交。而方程的通解是由x0与零空间中向量之和,这些端点构成了解平面。x0与这解平面垂直,x0的长度是从原点到这解平面的距离,是这方程中长度最短的解。

A是秩亏缺的。这是矩阵列向量线性相关,方程个数多于线性无关的未知个数情况,矩阵A的秩r小于mn,这方程可能是无解但一旦有解则有多解。这时矩阵A没有左逆或右逆,更不可能有逆。但有一种伪逆Moore–Penrosepseudoinverse)可以用来给出它的广义解。让我们看看这是什么?

秩数为rm*n矩阵A,都可以做奇异值分解 A= UΣVT,这里Um阶正交阵,Vn阶正交阵,Σ是主对角线上有从大到小的r个正数,其余都是0m*n矩阵。将Σ主对角线上非零元素取倒数,构造n*m矩阵Σ+如下:

A+=VΣ+UTA+称为A的伪逆。从这伪逆的构造中很容易看出它的几何意义:AA+是对A的像空间Im(A)投影算子,

这个伪逆A+,当A是满秩方阵时等于它的逆A+=A-1A是列满秩时等于左逆A+=ALA是行满秩时等于右逆A+=AR,所以它是包含了这三种情况广义的逆。

y0=A+b,它是方程Ay=AA+b的解。因为AA+A的像空间投影算子,如果bA的像空间中,y0就是Ax=b方程的一个解,否则它是与之最小误差的解。如果矩阵A的秩小于它的列数,方程的解或最小误差解是多个的。这个y0是从原点到解平面的垂线。总之y0=A+b,可以作为各种情况下,满足线性方程组约束的最好结果。

上述都是解线性方程组最基本的内容。下面的练习是熟悉、记忆、应用这些知识的最好手段。

在MATLAB或Octave中,通过验证下面的例子来熟悉用计算机的矩阵计算。赋值2x4矩阵 A=[1 2 3 4;2 3 4 5],函数N=null(A)给出A的零空间的一个标准正交基(线性无关向量组),rank(A)给出矩阵A的秩,size(A)给出A的行数和列数。用矩阵乘法A*N,验证N是A的零空间,随机给几个矩阵通过以上指令,来验证秩-零度定理。

在数值计算中的定性结果与允许的误差有关,在一些函数变量中都有允许误差的参数tol,如null(A,tol)和rank(A,tol),不同的误差允许值可能得出不同的结果。设A2=[1 2 3 4;2 3 4 5;2 4 6 8.01]计算tol=0.01和 0.001时,B的秩,零空间。为什么B*N也近似为0矩阵?

在MATLAB和Octave中用于计算矩阵A的逆的指令函数是:inv(A),计算伪逆是:pinv(A).建议读者在计算软件中,用几种2x3和3x2行满秩、列满秩,秩亏缺的矩阵A及相应的b向量,运用矩阵的乘法和这些函数,计算左逆,右逆,伪逆,投影算子,方程解并验证它们间的关系。

可以用x=Ab来得到线性方程组A*x=b的一个解,它等于pinv(A)*b. 验证x与Null(A)中任何向量的和,都是这线性方程组的解。

微分方程与代数方程的区别,在于前者算子作用的线性空间是无穷维,后者则是有限维的。微分和积分都是线性算子,微积分的计算基本都是映射和线性代数运算,只因涉及有无穷个线性无关的向量,则要考虑无穷个线性组合的收敛问题。有这个理解在心,就不至迷惑于在线性代数中未见的许多条件,放心从抽象的高度,透视许多繁杂的定理和计算方法。

在计算机时代之前,人们用函数族作为无穷维线性空间的基,用级数或积分来表示解与系数中的函数,在算子作用下将微分方程变成代数方程来求解。这在物理研究中被广泛地采用。

另一种解法是对无穷维线性空间进行线性变换,如拉普拉斯变换,将解微分方程变成在另一个线性空间中的代数运算。在现代控制理论中,对线性动态系统的微分方程,应用这种解法,已成为分析和计算的必备的数学工具。

在计算机时代,机器可以直接给出数值解。应用者不必像旧时代那样,花费大量时间学习各种计算方法和技巧了。只需要有一些基本的概念。

高阶常微分方程,通过定义导数变量xk+1(t)=x’k(t)的方式,把它写成一阶微分方程的向量形式x(t) 将方程两边积分后,有定理证明只要这个f“足够光滑”(满足Lipschitz条件),微分方程存在着唯一的解,整理成线性算子作用的形式是:x(t) =Φ(x,t)x(0). 对于一个离散的时间序列,可以写成递推的式子,如龙格-库塔法,来计算这些向量值。

离散的数值计算作为精确解的近似是否有意义,取决于它对初值和参数变化的稳定性。对于线性常微分方程,这个稳定性可以通过对微分方程矩阵的特征值分析容易得知。这在现代控制理论中的课程中有详细介绍。

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由理想运放组成的电路如下图所示,试求输出电压uo与输入电压ui的关系。

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数学模型是描述系统输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式,揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

静态数学模型:静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时,系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分方程,描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。

对于给定动态系统,数学模型表达不唯一。工程上常用的有:微分方程传递函数状态方程。不过对于线性系统,它们之间是等价的。

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式,建立模型。

人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型进行逼近,这种方法也称为系统辨识

  • 状态方程(一阶微分方程组)

用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是:

  1. 分析系统工作原理和信号传递变换过程,确定系统和各元件的输入输出量
  2. 从系统输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量所遵循的物理学定律,依次列写各元件、部件的动态微分方程
  3. 消去中间变量,得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。
  4. 写成标准化形式。与输入有关项放在等式右侧,与输出有关项放在等式左侧,且各阶导数项按降幂排列。

在机械系统中,有些构件惯性和刚度较大,有些构件惯性较小、柔度较大。

我们将前者的弹性忽略视其为质量块,将后者的惯性忽略视其为无质量弹簧

这样,机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统

列出各元件的动态微分方程:

消去中间变量并写成标准形式:

式中,mDk通常均为常数,故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述

微分方程的系数取决于系统的结构参数,而阶次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量

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电路系统包含三个基本元件:电阻电容电感

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一般RLC均为常数,上式为二阶常系数微分方程。

L=0,则系统可简化为:

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磁场对载流线圈作用的定律

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上式为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。

当电枢电感较小时,通常可忽略不计,系统微分方程可简化为:

1. 物理本质不同的系统,可以有相同的数学模型,从而抛开系统的物理属性,用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。

2. 从动态性能看,在相同形式的输入作用下,数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似(相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础)。

3. 通常情况下,元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件的个数。

4. 系统的动态特性是系统的固有特性,仅取决于系统的结构及其参数,与系统的输入无关。

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