傅里叶变换的原理及matlab实现

傅里叶变换的原理及matlab实现 课程名称： 数字图像处理 学 院： 信息工程与自动化学院 专 业： 计算机科学与技术 年 级： 09级 学生姓名： 111 指导教师： 1111 日 期： 教 务 处 制 一、傅立叶变化的原理； 2 （1）原理 2 （2）计算方法 2 二、傅立叶变换的应用； 3 （1）、频谱分析 3 （2）、数据压缩 3 （3）、OFDM 3 三、傅里叶变换的本质； 3 四、实验内容； 7 五、傅立叶变换方法； 7 六、 实验结果及分析； 7 七、傅立叶变换的意义； 8 （1）、傅立叶变换的物理意义 8 （2）、图像傅立叶变换的物理意义 9 八、总结； 10 九．附录； 10 一、傅立叶变化的原理； （1）原理 正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。 从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。 当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子e^(-st)，从而有了Laplace变换。（好像走远了）。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为 即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。 二、傅立叶变换的应用； DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 （1）、频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 （2）、数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。 （3）、OFDM OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。 三、傅里叶变换的本质； 傅里叶变换的公式为 可以把傅里叶变换也成另外一种形式： 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。 下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和求内积的时候，只有f(t)中频率为的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在的分量叠加起来，可以理解为f(t)在上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为的分量，也就形成了频谱。 傅里