1．老舍在《草原》一文中，按事情发展的顺序，描绘了三幅动人的画面：草原风光图.喜迎远客图.主客联欢图。读了让人深切地感受到内蒙古草原不但风光美，而且人情更美。

2．说说对“蒙汉情深何任别,天涯碧草话斜阳”这句话的理解和体会

答：蒙汉人民之间的情谊深厚，怎么忍心马上分别呢，直到夕阳西下，人们还在这遥远的一望无际的草原上互相倾诉着惜别之情。这句话作为全篇的结尾，点明了蒙汉两族团结情深的中心。

3．《白杨》按事情发展顺序，围绕白杨，先从列车窗外的白杨引出两个孩子的争论，然后写爸爸介绍白杨，同时也借白杨表露自己扎根边疆，建设边疆的决心，最后写爸爸看到几棵小树迎着风沙成长起来。爸爸的神情也随之发生着变化：出神——微笑——严肃——沉思——微笑。

4．“在一棵高大的白杨树身边，几棵小树正迎着风沙成长起来。”有什么理解或体会？

答：爸爸自己已经扎根边疆献身边疆，他希望自己的子女如同小树一样经受锻炼成为建设边疆的栋梁之材。

一棵高大的白杨树指老一代的边疆建设者

几棵小树指边疆建设者的孩子们。

5．读了这三首古诗词，我发现他们在内容上有一个最大的共同点，都是写古代儿童无忧无虑的生活。不同的是《牧童》描绘了牧童晚归休息图，《舟过安仁》描绘的两小儿船头以伞使风的场景，而《清平乐·村居》则营造了一个五口之家的温馨幸福的农家生活画面。

6．《冬阳·童年·骆驼队》一文是中国著名女作家林海音写的，文中提到《城南旧事》是她写的一部自传体小说，本文是这部小说的序言。

7．作者在文中“默默地想，慢慢地写”了童年这样几个画面：看骆驼咀嚼、想象骆驼系铃铛、想为骆驼剪垂在肚子底下的毛、好奇地问妈妈夏天骆驼的去向，这些场景是按季节推移顺序写的。

8．请你说说“我明白了——世界上重大的发明与发现,有时还面临着受到驱逐和迫害的风险”这句话的意思，并举例说说你对这句话的理解。

答：世界上的重大发现,有时由于人们不了解,不习惯,被认为荒谬或违前人的结论等,而被鄙视甚至迫害,这是存在的现象。

哥白尼发现了日心说，结果怕遭到教会的处罚而不公布真相，布鲁诺坚持了日心说，结果被教会处死；哈唯发现血液循环，结果被烧死。

9．你认为杨氏之子的回答妙在哪里？

答：我认为杨氏之子的回答妙在两点：一是孔君平在姓上做文章，杨氏之子也在姓上做文章。二是杨氏之子并没有直接反驳孔君平，而是以否定的形式婉转的回答，显得幽默有礼貌。

10．《晏子使楚》这篇课文是按事情的发展顺序写的。先写事情的起因：晏子出世出国，楚王想乘机侮辱晏子；接着写事情的经过：楚王三次侮辱晏子，晏子机智对答，可以用小标题概括为进城门.见楚王.赴宴席；最后写事情的结果：楚王不敢不尊重晏子了。

11．《晏子使楚》这篇文章的开头、中间、结尾有什么联系

答：开头写了事情的起因,中间写了事情的过程,结尾写了事情的结果。

12．《再见了，亲人》这篇课文的前三个自然段在表达上有什么共同点？

答：首先都是用满含恳求意愿的祈使句开头，然后把现实的情景和往事结合起来，写得情真意切，最后从具有充分肯定语意的反问句结尾。

13．《桥》这篇课文的句子和段落与我们平常读的文章有什么不同？这样写有什么好处？

答：这篇课文的句子和段落都比较简短，这样写的好处是渲染紧张气氛。

14．《将相和》中“将”是指廉颇，“相”是指蔺相如，“和”是和好的意思。全文讲了三个小故事，可用小标题完璧归赵、渑池之会、负荆请罪来概括。

15．读了《关于李姓的历史和现状的研究报告》，我明白了可以从问题的提出.调查方法.调查情况和资料整理.结论四方面来写研究报告，还知道了可以从书籍.报刊.教科书等渠道搜集信息。

16．“人人为我,我为人人。我觉得这一种境界是颇耐人寻味的。”为什么说这种境界“耐人寻味的？

答：因为德国人爱花，他们将花栽种在临街窗户外面，将最美的花给别人看，而自己走到街上有享受别人为自己创造的美，这种民族风情的境界是高尚的、无私的、实实在在的，人人都能享受到的，因此，耐人寻味。

人教版数学复习资料五年级下册

　　每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

　　例如把28分解质因数

　　几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。

　　公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

　　1和任何自然数互质。

　　相邻的两个自然数互质。

　　两个不同的质数互质。

　　当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

　　两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

　　如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

　　如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

　　几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……

　　3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。

　　如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

　　如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

　　几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

　　把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

　　一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

　　一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

　　在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

小学语文五年级下册期末综合复习卷(答案)

瑞安市年度第二学期小学语文五年级下册
第一部分积累空间（40分）
1、读拼音，我能规范、美观地写出相应的汉字。(8分)
2、火眼金睛找错别字，在错字下划线，把正确的字写在括号里。（4分）
应接不瑕（）完尔一笑（）禁飘带舞（）花团紧簇（）
3、根据句子中划线部分的提示，写出相应的成语。（6分）
(1)和氏璧是极其珍贵的东西，价值不可估量。（）
(2)我国首都北京住满了人，大伙儿甩一把汗，就像下一阵雨。（）
( 3)在园子里，我可以随自己的心意，想做什么就做什么。（）
4、请把句子补充完整。（6分）
（1）地满红花红满地，（2）让预言的号角奏鸣！哦，西风啊，（3），吾将上下而求索。
（4）有志不在年高，（5），浪淘风簸自天涯。
（6）果实的事业是尊贵的，花的事业是甜美的，但是让我在。
5、课文精彩片段回放。（16分）
1、本学期，我们认识了许多大作家笔下的人物，有的武松，
的杨氏之子，的严监生，的诸葛亮。
2、《再见了，亲人》这篇课文描写了志愿军战士在回国时和、
、等朝鲜人民依依惜别的动人情景，充分表达了志愿军战士和朝鲜人民的感情。3、《草原》让人深切地感受到内蒙古草原不但从这以后，楚王不敢不尊重晏子了。1没有雕饰，没有渲染，甚至没有必要的描摹，但（

人教版五年级下册语文复习资料

2019人教版五年级数学下册全册知识点总结

人教版五年级数学下册全册知识点总结
1、长方体（或正方体）放在桌子上，从不同角度观察，一次最多能看到3个面（或说成：最多同时能看到3个面）。
2、给出一个（或两个）方向观察的图形无法确定立体图形的形状。由三个方向观察到的图形就可以确定立体图形的形状并还原立体图形。
3、从一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。
4、从多个角度观察立体图形
先根据平面图分析出要拼搭的立体图形有几层；
然后确定要拼搭的立体图形有几排；
最后根据平面图形确定每层和每排的小正方体的个数。
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
2、自然数按能不能被2整除来分：奇数偶数
奇数：不能被2整除的数
偶数：能被2整除的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
能同时被5长计算不规则物体的体积：第六单元

小学生五年级下册人教版数学总复习

数学五年级下册所有知识大全

小学五年级数学下册复习教学知识点归纳总结,期末测试试题习题大全
人教版五年级（下册）数学知识点
1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小形状完全相同。
3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。
1、因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法时依次乘以自然数。
4、2、5、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
6、质数和和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数（或素数），最小的质数是2。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数，最小的合数是4。
1、长方体和正方体的特征：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊的有一组对面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱平行且相等；有8个顶点。正方形有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同；有12条棱，所有的棱都相等；有8个顶点。
2、长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
3、长方体的棱长总和=（长＋宽＋高）×4 正方体的棱长总和=棱长×12
4、表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
5、长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=（ab＋ah＋bh）×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示：S=
6、表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米 相邻单位的进率为100
7、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
8、长方体的体积=长×宽×高 用字母表示：V=abh 长=体积÷（宽×高） 宽=体积÷（长×高）
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V= a×a×a
9、体积单位：立方厘米、立方分米和立方米 相邻单位的进率为1000
10、长方体和正方体的体积统一公式：长方体或正方体的体积=底面积×高 V=Sh
11、体积单位的互化：把高级单位化成低级单位，用高级单位数乘以进率；
把低级单位聚成高级单位，用低级单位数除以进率。
12、容积：容器所能容纳物体的体积。
14、容积的计算：长方体和正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母，用字母表示：a÷b= （b≠0）。
4、真分数和假分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
5、假分数与带分数的互化：把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。
6、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
7、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。两个数互质的特殊判断方法：①1和任何大于1的自然数互质。②2和任何奇数都是互质数。③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
9、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
10、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
11、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。
12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
13、特殊情况下的最大公因数和最小公倍数：
①成倍数关系的两个数，最大公因数就是较小的数，最小公倍数就是较大的数。②互质的两个数，最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。
14、分数的大小比较：同分母的分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；同分子的分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
15、分数和小数的互化：小数化分数，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；分数化小数，用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
1、同分母分数的加减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
3、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。在一个算式中，如果含有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
1、逐个法：所需时间最多；
2、分组法：相对节约时间；
3、同时进行法：最节约时间。
1. 因为2×6=12，我们就说2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。不能单独说谁是倍数或因数
2. 求一个数的因数，用乘法一对一对找，写的时候一般都是从小到大排列的
3. 求一个数的倍数，用一个数去乘1、乘2、乘3、乘4……
4. 一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身，一个数的因数的个数是有限的。
5. 一个数的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。
6. 个位上是 0，2，4，6，8的数，都是2的倍数，也是偶数。
7. 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。不是2的倍数的数叫奇数。
8. 个位上是0或者5的数，都是5的倍数。
9. 个位是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
10. 一个数各位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
11. 只有1和它本身两个因数的数叫做质数（或素数），除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。
12. 整数按因数的个数来分类：1，质数，合数。整数按是否是2的倍数来分类：奇数，偶数
13. 将合数分解成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数。分解质因数用短除法，把36分解质因数是？
14. 最小的质数是2，最小合数是4，最小奇数是1，最小偶数是0，同时是2，5，3倍数的最小数是30，最小三位数是120
15. 奇数加奇数等于偶数。奇数加偶数等于奇数。偶数加偶数等于偶数。
16. a是c的倍数，b是c的倍数，那么a+b的和是c的倍数，c是a+b和的因数，a－b的差是c的倍数，c是a－b差的因数。
17. 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
18. 轴对称图形特征：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴
19. 长方体有6个面。每个面都是长方形（可能有两个相对的面是正方形），相对的面大小相等（完全相同）。
20. 长方体有12条棱，分为三组，相对的4条棱长度相等。
21. 长方体有8个顶点。
22. 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高
23. 正方体有6个面， 6个面都是正方形 ，6个面完全相等，正方体有12条棱， 12条棱长度都相等，正方体有8个顶点
24. 长方体棱长之和：（长+宽+高）×4 长×4+宽×4+高×4
25. 正方体棱长之和：棱长×12
26. 长方体(正方体)6个面的总面积，叫做它的表面积。
27. 长方体表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2 或长方体表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2
28. 正方体表面积=棱长×棱长×6
29. 计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米，立方米，可以分别写成cm3 dm3 m3
30. 棱长是1cm的正方体，体积是1 cm3，棱长是1cm的正方体，体积是1 dm3，棱长是1cm的正方体，体积是1 m3
31. 长方体所含体积单位的数量就是长方体的体积。长方体的体积=长×宽×高，v=abh;正方体体积=棱长×棱长×棱长，v=a3 =a×a×a a3表示3个a相乘
32. 相邻两个体积单位间的进率是1000，相邻两个面积单位间的进率是1000，相邻两个长度单位间的进率是10，1立方米=1000立方分米，1立方分米=1立方厘米，1升=1000毫升，1立方米=1000000立方厘米，计量容积一般用体积单位，计量液体的体积，用升和毫升
33. 一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。
34. 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。例如：表示把单位“1”平均分成7份，表示这样的3份。其中表示一份的数叫做分数单位。
（1） 把5米看作单位“1”，把单位“1”平均分成8份，表示这样的1份，就是米，算式：5÷8=（米）
（2） 把1米看作单位“1”，把单位“1”平均分成8份，表示这样的5份，就是米，算式：1÷8=（米），5个米就是米
36. 当整数除法得不到整数的商时，可以用分数表示除法的商。在用分数表示整数除法的商时，分数的分子相当于除法的被除数，分数的分母相当于除法的除数，除号相当于分数中的分数线。（除数不能为0）区别：分数是一种数，除法是一种运算
37. 分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。
38. 带分数包括整数部分和分数部分。假分数化成带分数，用分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分，余数作为分子，分母不变。带分数化成假分数时，用整数部分和分母相乘再加分子所得结果作分子，分母不变。
40. 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
41. 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。通常把每个数分解质因数，把它们所有的公有质因数相乘，来求最大公因数。
42. 如果两个数的公因数只有1，这两个数是互质数。两个连续自然数；两个质数；1和其他自然数一定是互质数。
43. 分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。把一个分数化成和它相等，但分子分母比较小的分数，叫做约分。
44. 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。通常把每个数分解质因数，把它们所有的公有质因数和独有质因数相乘，来求最小公倍数。
45. 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数（公分母），叫做通分。
46. 求三个数的最大公因数和最小公倍数时，可以先求其中两个数的最大公因数和最小公倍数，用求出的最大公因数和最小公倍数再与第三个数求最大公因数和最小公倍数。
47. 如果两个数是倍数关系，那么两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
48. 如果两个数公因数只有1，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
49. 两个数公因数只有1的几种特殊情况：1和其他自然数，相邻两个自然数，两个质数。
50. 分数化成小数：用分子除以分母化成小数。小数化成分数：把小数写成分母是10，100，1000……的分数，然后再化成最简分数。

苏教版五年级下册数学复习资料

苏教版五年级数学下册知识要点
1.等式：表示相等关系的式子叫做等式。
2.方程：含有未知数的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可）
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。
3．方程一定是等式；等式不一定是方程。等式>方程
4、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。
等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。
5、解方程：求方程中未知数的过程，叫做解方程。
解方程时常用的关系式：
一个加数=和-另一个加数减数=被减数-差被减数=减数+差
一个因数=积÷另一个因数除数=被除数÷商被除数=商×除数
注意：解完方程，要养成检验的好习惯。
6.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（1）弄清题意，确定未知数并用x表示；
（2）根据数量关系列方程；
（3）解方程并检验。先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种（7.1举例： 每分前进米数

五年级数学下册复习教案

课题：复习因数和倍数｜总课时：｜
复习内容：教材第138页1、2题，第141页1、2题｜
复习｜目标｜1、使学生牢固地掌握因数和倍数的有关概念，明确概念之间的区别与联系。 ｜2、使学生初步学会分类整理的方法，感受事物是相互联系的，掌握一定的学习方法。 ｜3、培养学生分析、判断、推理、概括的能力，使学生养成合作学习和勇于探索的良好品质。 ｜
复习重点｜明确概念之间的区别和联系。｜
复习难点｜在整理中构建“因数和倍数”的知识网络。｜
教学板块｜（注明各板块解决目标序号及所用时间）｜个体学习清单｜
第一板块——｜创设情境，重现概念。 ｜ 1、教师：同学们好，讲课之前，我想送大家一句话，师手指大屏幕，请齐读：温故而知新。谁知道这句话是什么意思？ （对学过的知识要抓紧时间复习，才能有利于后面的学习。）（教我们学习的方法） ｜ 是的，对所学的知识进行及时的复习、掌握一定的学习方法是非常重要的，能够提高学习效率，做到事半功倍。今天我们一起来进行《总复习》单元的《因数和倍数》的整理与复习。 （板书课题）——总复习《因数和倍数》 ｜2、教师在黑板上板书：2 5 8 提问：看到这几个数，你能想到因数和倍数这一单元的哪些数学知识？用上这里面的数字说一句话。可以吗？ ｜生1：2是偶数。什么是偶数？ ｜生2：5是奇数。什么是奇数？ ｜生3：2和5都是质数。 ｜生4：8是2的倍数，2是8的因数。…… 刚才几位同学关注的都是一个数字，而

要：2019年浙江省高考数学卷圆锥曲线题的处理过程中，出现不能直接用韦达定理处理的非对称代数式.对于该问题，教师可借助对称式[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1]，化非对称代数式为对称式[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]].从而将任意的非对称代数式[my1+ny2]化为对称式[my1+ny2=λ（y1+y2）+μy1-y2）]，最终可以用韦达定理解决.

关键词：高考;圆锥曲线;非对称代数式

2019年浙江省高考数学卷圆锥曲线题的处理过程中，出现不能直接用韦达定理处理的非对称代数式.笔者开设了一堂关于圆锥曲线中非对称代数式处理的公开课，对该问题进行了探讨.笔者考虑到圆锥曲线题型的代数运算量和课堂的可操作性，本堂课围绕一个椭圆模型展开.

（一）课堂引入，模型建立

在课堂的引入部分，针对2019年高考的圆锥曲线题，笔者给出两个探究问题，让学生一起探究.

探究一：如图1，已知点[P]为椭圆[x24+y23=1]上一个动点，问：[kPA1kPA2]是否为定值？

【评注】学生的证明过程用到点在曲线上这个条件，这也是我们处理圆锥曲线参数问题的常用消元方法.

探究二：如图2，过点[P]与左焦点[F1]作焦点弦[PG]，并连接[A1G]，问：[kPA1kGA1]是否为定值？

其中，代入直线消元也是我们处理圆锥曲线参数问题的常用方法.

问题：结合刚才探究一的结论：[kPA1kPA2=-34]，是否可以得到[kPA2，kGA1]之间的关系？

解答：两个式子作除法，可以得到：[kPA2kGA1=13]，即斜率的比值是一个定值.

【评注】通过这两个探究，让学生回顾在解决圆锥曲线问题时常用的两种处理方法：点代入曲线消元和代入直线消元.另一方面，在回顾旧知识的同时，引出本节课主要的椭圆模型，并得到模型中斜率的比值的定值关系，为下文引出本节课的主题做好铺垫.

（二）深入探究，引发冲突

引入部分借助于已知的常用结论，得到[kPA2，kGA1]之间满足的关系式[kPA2kGA1=13]，如果直接探究，是否也可以顺利得到该关系式？

一般能用韦达定理解决的代数结构式是对称式：[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1].此时我们发现，这里的目标式是非对称代数式，不能很顺利地由韦达定理解决.但是由前两个探究我们可以知道，代数式的结果是一个定值[13].具体如何求？

【评注】深入探究，通过点代入直线消元化简代数式，发现目标式不能用韦达定理直接解决，从而引发冲突.同时，由于代数结构的非对称，提出非對称代数式，并强调能用韦达定理解决的对称式：[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1].

二、非对称问题解决方法探究

方法1：化非对称式为对称式

我们知道常用对称式有：[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1]，如果还是想要化非对称代数式为对称式，是否可以将目标式转化为这些对称式，从而利用韦达定理解决.比如最简单的非对称式[y1]，是否可行？

由本题图形的对称性，以下我们都假设[y1>y2].此时，对于任意关于[y1，y2]的线性结构：[my1+ny2]，代入[y1，y2]的对称式或者利用待定系数法，都可以得到对称式：[my1+ny2=λ（y1+y2）+μy1-y2）].这样任意的非对称代数式都可以化成对称式，最终利用韦达定理化简求解.

[y1y2+y2y1]，化非对称代数式为对称式：[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]].从而可以将任意的非对称代数式[my1+ny2]化为对称式[my1+ny2=λ（y1+y2）+μy1-y2）]，最终可以用韦达定理解决.另一方面，这里化非对称代数式为对称代数式，将分子、分母都化成以[m]為主元的代数式，所以选定主变元也很重要.

方法2：利用点在曲线上化对称

方法1消元的时候利用的是点在直线上消元，是较常用的消元方法.本题由于代数式结构的特殊性，还可以利用点在曲线上消元，从而达到化对称的目的.由于该方法的特殊性，直接给学生作演示.

【评注】利用点在曲线上消元，一方面与课前的复习内容相呼应.另一方面，将非对称代数结构化为对称式，从而可以用韦达定理解决.进而说明化非对称式为对称式方法的多样性，也为突出方法1的优势做铺垫.

通过刚才的探究，学生已经学到几种处理非对称问题的方法，相对来说，学生觉得方法1利用[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]]化非对称式为对称式实用一点.作为该方法的巩固，接下来在原来椭圆模型的基础上提出以下变式训练，并选取部分学生的结果进行投屏探讨.

【评注】在前面模型的基础上做变式训练，让学生进一步了解用该方法在解决非对称问题时要注意的地方.并在训练中让学生慢慢掌握这种处理非对称问题的方法，体会该方法在处理非对称问题时的优势.

【评注】从变式2也可以看到，本题目标式也是非对称式，但今天的方法也不一定是万能的，解析1虽然能将目标式用主变量[m]表示，但是结果也不一定容易计算，这时候需要选取合适的方法来解决，解析2利用极坐标公式顺利地解决了该问题.当然该类化非对称式为对称式题型的核心还是统一变量，不同的题化对称式选取的主变量可能也会不同.

最后给出基于本节课模型的几个思考题，希望学生能对该类非对称式题型的处理方法有更进一步的感悟.

例题：已知椭圆[x24+y23=1]，点[P]为椭圆上的一个动点，[A1，A2]分别为左右顶点.

思考题1：如图6，[PG]为过左焦点[F1]的焦点弦，分别过P，[A2]与G，[A1] 作直线[PA2]，[GA1]交于点[T]，证明：点[T]落在定直线上.

思考题2：如图7，点[Q（m，0）]是椭圆长轴上异于左右焦点的定点，连接[PQ]并延长交椭圆于点[G]，分别过P，[A2]与G，[A1] 作直线[PA2]，[GA1]交于点[T]，证明点[T]的横坐标为定值.

思考题3：如图8，点[Q（m，0）]是椭圆长轴外的定点，连接[PQ]交椭圆于点[G]，分别过P，[A1]与G，[A2] 作直线[PA1]，[GA2]交于点[T]，证明点[T]的横坐标为定值.

【评注】本节课的最后，为了让学生能进一步体会并掌握该处理方法，提出本课模型下的三个思考题，从而达到拓展学生的思维、巩固旧知识、提高学生能力的作用.

本堂课笔者以一个椭圆模型贯穿始末，由我们的常见结论引出椭圆中的非对称式的问题，在复习旧知的同时引出非对称式的问题.通过层层引导，得出解决该类问题的主要方法是化非对称式为对称式，并强调转化过程中得注意主变量的选取，最终利用韦达定理得以解决.当然解决该类问题的方法很多，通过练习也发现该方法并不是万能的，得看具体情况选取解决方法.最后提出的三个思考题也是非对称式问题，其背景是极点极线理论，是否以该理论为背景的题较多会出现非对称目标式有待我们进一步挖掘.另外，双曲线和抛物线中也有类似的非对称式问题，针对不同圆锥曲线类型，是否还有其他处理方法，有待我们进一步探究.

2.2乘法公式培优训练
1．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　）
2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　）
3．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x＞y），则下列关系式中错误的是（　　）
4．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）
5．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）
6．计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（　　）
7．已知a﹣b＝1，ab＝12，则a+b等于（　　）
8．已知x+y＝3，xy＝2，则|x﹣y|的值为（　　）
9．若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（　　）
11．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为　 　．
12．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　 　．
13．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式　 　．
14．已知（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，则ab＝　 　．
15．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是　 　，宽是　 　．
16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为　 　．
17．若4y2﹣my+25是一个完全平方式，则m＝　 　．
18．计算：（a+b﹣c）2＝　 　．
19．若n是正整数，且x2n＝5，则（2x3n）2÷（4x2n）＝　 　．
20．已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣3）的值为　 　．
21．利用乘法公式计算：
（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．
22．计算：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）．
24．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
请仿照上面的方法求解下面问题：
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
25．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积　 　
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题
【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为　 　
26．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为　 　；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE，EG，若两正方形的边长满足a+b＝15，ab＝35，求阴影部分面积．
27．乘法公式的探究及应用：
（1）如图，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
1．解：把a+b＝10两边平方得：
∴原式＝78﹣11＝67，
2．解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；
B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；
C、原式＝q2﹣p2，本选项不合题意；
D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，
3．解：A、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；
B、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；
C、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；
D、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；
4．解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
5．解：根据平方差公式得：
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
7．解：∵a﹣b＝1，ab＝12，
设正方形A、B的边长分别为x，y，依题意得：
12．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积
13．解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
14．解：∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，
两式相减，可得4ab＝﹣48，
15．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，
故答案为：9cm，4cm．
16．解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
17．解：∵4y2﹣my+25是一个完全平方式，
19．解：∵n是正整数，且x2n＝5，
∴由①得4xy＝10y，③
23．解：∵（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，
两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝﹣16，
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴（x﹣1）?（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
即阴影部分的面积是28．
25．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16
（2）由（1）可得：＝＝42；
27．解：（1）由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；