在同学平时做题中偶尔会出现一些特殊积分，尤其是在我之前写的推文 ，这个是我们平时用到最多的，也算是基本功了，今天我把自己整理的特殊函数笔记中精选了一部分，就十一种有关特殊函数与积分的送给大家，可以做好笔记，其中包括两类Euler积分、黎曼函数、椭圆积分、贝塞尔函数、高斯超几何函数，多重对数函数、对数积分、指数积分、三角积分以及球谐函数，也算是送给同学们新年的一份礼物！

的一个函数方程：对于所有

并通过此方程可求出其特殊值

是一般的四次多项式，能化成以下三种类型:

,上述三种形式叫Legendre形椭圆积分，分别叫做第一，第二，第三类Legendre形椭圆积分。

除了Legendre形式的外，还有Jacobi型的椭圆积分，如下：

上述三种形式叫做第一，第二，第三类Jacobi型的椭圆积分，其中叫做上面各个椭圆积分的模。

时，则称该积分为完全椭圆积分，否则称为不完全椭圆积分，完全椭圆积分的符号 如下：

• 第一类贝塞尔函数 已知：

  上面的方程叫贝塞尔方程，方程的解为 为整数 或者非负的解，而且需满足在

• 第二类贝塞尔函数 又称诺伊曼函数（Neumann fun),记作

  必须为整数,第二类贝塞尔函数的应用比第一类贝塞尔函数更广

• 第三类贝塞尔函数 又称汉克尔函数,

。以上的线形组合也称为第三类贝塞尔函数。

贝塞尔函数的递推关系式

是由下式定义的函数 在裂纹复平面

Gauss 超几何函数的两个重要的特例就是第一类完全椭圆积分和和第二类完全椭圆积分

取某些特定值时，超几何函数可表示一些初等函数和特殊函数。例如，

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示：

超几何函数的积分表达式有两种：一种是从超几何方程的积分解得到的，另一种称为巴恩斯（Barnes）积分表示则是从级数表示导出的。

第1种：由超几何方程的积分分解

第2种：巴恩斯（Barnes）积分表示

)，有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“Gauss超几何函数”是指

一般用下列表达式来记广义超几何函数：

多重对数函数（polylogarithm）也称数学中一种特殊的幂级数，定义为：.一般来说，多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数.上述定义中，自变量，s对所有复数值有效.通过解析延拓，可以将z的定义域扩展到更大的范围.时的多重对数函数可以用自然对数表示和3的多重对数函数分别称为 Dilogarithm 及 Trilogarithm，其名称的由来是多重对数函数表示为以下的递推积分式：

是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出现在与素数定理与黎曼猜想的相关理论之中。

• 积分表示法：对所有的正实数

• 作为渐近展开式，这个级数是发散的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数，是一类特殊的不完全伽马函数之一。对于实数

为指数函数。以上的定义可以用于正数，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，给出以下记法：

当自变量的实数部分为正时，可化为：

Ei与E1有以下关系：

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

的平面内单值解析，式中

当自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

它是不完全伽玛函数的一个特例：

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分，可在三角函数积分表中找到。

• 正弦积分：有两种不同形式
• 余弦积分：有三种不同形式

由球函数方程及其自然边界条件

则有，所以复数形式的球谐函数可写为：

即归一化的球谐函数写为：