注：本文仅讨论未解析延拓（即仅为级数定义）的、实数范围内的黎曼Zeta函数。

• 第二部分：逐一攻克17个级数，绝对刺激，注意总结技巧哦

\color{red}{警告：一大波级数即将到达战场！！！}

眼熟吧。相信很多人都能用这个法子求出 \zeta(2) 来，但其实这个方法可以求出 \zeta(s) 在任意正偶数处的函数值！

这正是著名的巴塞尔问题。

这个方法正是欧拉最初使用的。巴塞尔问题的解法很多，比如使用傅里叶级数。

我有篇文章写了用留数定理的方法，供参考：

比较(1) 、 (2) 式中四次项系数可得：

比较(1) 、 (2) 式中六次项系数可得：

仔细观察我们刚刚得出的这三个式子：

是不是挺有规律的？顺着规律写下去：

经验证，以上结果完全正确（好兴奋有木有）！

将此规律记为级数形式：

，其中 n 为正整数。

\color{red}{警告：更大一波级数即将到达战场！！！！！}

二、一堆和蔼可亲的级数（bushi）

到现在，我们可以计算封面中的这坨看着很恐怖的级数了。

然后两端减去 (3) 式：

（计算过程太复杂，就直接放结果了 /捂脸）

注意到左端级数仅在 k=3,6,9... 时不为零，所以：

为了方便计算，我们还需要知道：

在 (5) 式两侧同除 x 并积分：

此时 n=6 ，代入公式得：

将 (8) 式稍微改写一下：

非常神奇是不是？/手动滑稽

★三、从复变角度求 \zeta(2n) ，其中 n 为正整数

高考完之后终于有时间继续学数学了。

在本系列的2-9篇中，我们都在用筛法来研究哥德巴赫猜想。在本文中，我们将引入解析数论的圆法（circle method）来继续研究这个问题。当然，其实去年初期 就已经在知乎上写了用圆法研究奇数哥猜的文章。为了避免重复，本文将用圆法来研究偶数哥德巴赫猜想，并证明Estermann中，我们证明了 v(n)\sim r(n)\log^2n ，所以只要估计出v(n)就可以估计出r(n)。根据(5)，我们接下来的任务也变得非常明确了：估计素变和 S(\alpha,N) 的大小。

结合Chebyshev函数的定义，可根据分部求和法得知：

最后再结合Ramanujan和，就有：

另一方面利用Euler乘积公式可知：

。尽管如此，我们刚才做的一系列计算仍是有价值的。利用笔者上一篇文章中引入的方差思想，我们就可以证明 v(n)\sim2n\mathfrak S(n) 是对几乎所有偶数n成立的。

对于第一个和式，利用Mertens第二定理可知：

利用三角不等式，我们知道：

为了估计红色部分，我们引用以下结论：

哥德巴赫猜想的例外集合与结论的证明

在本篇文章中，我们以幂级数系数的Cauchy积分公式(1)为起点，得到了Hardy和Littlewood所构造的哥德巴赫猜想的圆法公式(2)。通过引入Vinogradov的方法并结合之前研究素数分布时的经验，将(2)转变成成了更好研究的(5)。以有理数为切入点，得到了 S(\alpha,N) 在 \alpha 极其接近某个有理数时的渐近公式。并以此为依据将(5)的积分区间分割成了优弧和劣弧。通过对优弧上的积分做精密处理，我们就得到了v(n)理论上的主项。最终通过估计v(n)与理论主项之间的方差，我们就得到了哥德巴赫猜想例外集合的大小估计，从而重现Estermann的结果。

。目前为止笔者能检索到的最新结论是Wenchao Lu于2007年证明的 E(N)\ll N^{0.879} 。不过笔者目前并不计划在本专栏中讲解他们的结果。

1. 当数论遇上分析（15）——强形式的偶数哥德巴赫猜想 - 知乎 
2. 读懂黎曼猜想（11【完结篇】）——等差数列素数定理的余项（Siegel-Walfisz定理） - 知乎 
3. 当数论遇上分析（10）——欧拉函数的增长问题 - 知乎 
4. 当数论遇上分析（6）——Mertens定理与素数定理 - 知乎 
5. 抽屉原理的妙用——Dirichlet逼近定理和Zeta函数的零点间距 - 知乎