恩，今天又要看积分变换了。只怪当初、没学好。

张建国 等·机械工业·2010·1版

第一章：复数与复变函数

• 所谓复变函数，就是自变量为复数的函数。
• 研究主要对象是某种意义下可导的复变函数，称为解析函数。
• 知识点层次为：复数->复变函数->复变函数性质->初等解析函数及性质

复变函数可导的条件：实部虚部两个二元函数可微，实部与虚部通过C-R条件联系起来。

若函数f(z)在z₀某一领域处处可导，称f(z)在z₀处解析。

若f(z)在区域E内每一点解析，称f(z)是E内的一个解析函数。

f在E内解析的充要条件是，u、v 在E内任一点可微，且满足C-R条件。

　第二章　复变函数和积分

• 解析函数与调和函数的关系

线积分与路径无关等价于该函数沿单连域中任何闭曲线的积分为零。

柯西积分定理：单连域内解析积分为零。

如果函数f(z)在单连域E内解析，那么积分　只与起点与终点有关，与连接点和终点的路径无关。

由于复变函数的积分为沿着有向曲线的积分，可以通过二元函数关于坐标的曲线积分式来获得。

若已知曲线的参数方程，则复变函数可以化为定积分计算，这时只要将被积函数f(z)的变量z换为z(t) = x(t) + iy(t) ,将dz 换为　z'(t)dt 即可。

对于解析函数的积分，由于积分与路径无关，可以通过与牛顿莱布尼兹公式相同来计算。

至于计算沿封闭路线的积分，往往以柯西积分定理、复合闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式为工具。

满足拉普拉斯方程，且具有二阶连续偏导的函数称为调和函数。

1. 　如果u(x,y) 是区域E内的调和函数，则存在一个v(x,y) 使 u+iv 在E内解析。

• 一个函数的解析性与该函数能否级数展开是等价的。

• 对于一般复数列的讨论可以归结为对两个实数列的讨论。
• 对于一般复数项级数的讨论可以归结为对实数项级数的讨论。

幂级数是一种特殊复变函数项级数。以c_n(z-z₀)ⁿ为一般项。

幂级数与解析函数有密切关系：

1. 幂级数在一定区域内收敛于一个解析函数
2. 一个解析函数在其解析点的领域内能展开成幂级数。

阿贝尔定理　　收敛圆和收敛半径

在收敛圆内，幂级数和和函数是解析函数。即，任何一个收敛半径大于零的幂级数在其收敛圆内代表一个解析函数。

泰勒定理　　能展成幂级数

f(z)在区域E内解析的充要条件是　f(z)　在E内任一点z₀的领域内可以马尔代展成(z - z₀)的幂级数，即泰勒级数。

如果z = z₀是f(z) 的奇点，那么在奇点的领域内就不能展开成泰勒级数。

• 用留数定理计算实函数积分和无穷限广义积分

如果f(z) 在　z₀点去心领域内解析，而z₀点不解析，称z₀为f(z)的孤立奇点。

1. 如果f(z) 在z₀点的主要部分全部等于零，称z₀为f(z)的可去奇点
2. 如果f(z) 在z₀点的主要部分只有有限项m , 　称z₀为f(z)的m级极点。
3. 如果f(z) 在z₀点的主要部分有无穷多项，称z₀为f(z) 的本性奇点。

可去奇点判定　如果z₀为f(z) 的孤立奇点，下列三个条件是等价的：

1. f(z)在z₀点的主要部分为零。
2. f(z)　在点z₀的某去心领域有界

m级极点的判定　如果z₀为f(z)的孤立奇点，下列三个条件等价：

1. f(z)在z₀点的主要部分为
2. f(z)在点z₀的某去心领域内能表示成

留数定理　把沿封闭曲线积分的整体问题，化为计算其各孤立奇点处留数的局部问题。

1. 本性奇点：通过罗朗展开式来求留数。

• 映射的旋转角不变性　解析函数的导数幅角的几何意义。
• 映射的保角性　映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的特性。　
• 伸缩率的不变性　当z₀取定后，伸缩率|f'(z₀)|是确定的，从而与过点z₀的曲线C的选择无关。　
• 保角映射　设w = f(z) 在z₀的领域内有定义，若映射　w = f(z) 在点z₀　有保角性（大小、方向不变）和伸缩率不变性，称映射w 在点z₀是保角的，或w = f(z) 在z₀处是保角映射。

若　w= f(z) 在区域E内解析，则它在E内导数不为零的点处是保角的。

上述保角映射不仅保持曲线夹角的大小不变而且夹角的方向不变。仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射称为第二类保角映射。

任何一个分式线性映射可由两种典型的映射复合而成。

•  分式线性映射在扩充的复平面上是一一对应的，具有保圆性的保角映射。

这里的保圆性是指：在分式线性映射下，将圆周（直线）映射成圆周（直线）。

也就是说，如果给定的圆周或直线上没有点映射或者无穷远点，那么它就映射成半径为有限的圆周，如果有一点映射成无穷远点，那么它就映射成直线。

•  分式线性映射除了保圆性之外，还有保对称性。
• 三种重要的分式线性映射：上半平面映射上半平面，上半平面映射单位圆域，单位圆域映射成单位圆域。

现在，终于切入正题了。。。

后面本来做了一大堆的笔记，吃完饭回来IE死在那了。。。

　　如果你比较喜欢这类思考，建议将文章增加些解释性的东西，最好搞成数学哲学的样子，以适应读者群的风格

　　我花了两夜，刚刚写完一篇关于斐波那契数列的论文，刚才已经投稿给某核心期刊了，希望录用。

　　　　　　我花了两夜，刚刚写完一篇关于斐波那契数列的论文，刚才已经投稿给某核心期刊了，希望录用。
　　　　哥有膜拜数学妖人的习惯。
　　为什么是妖人，很讨厌这个称呼，因为很讨厌妖女！

　　我已经在论文中证明了:
　　并提出了如下猜想:

　　当然,如果证明了猜想(2),也就证明了猜想(1),也就是说，猜想(2)是比猜想(1)更强的一个结论。但我感觉就连猜想(1)也是不容易证明的。
　　 如果你有一台功能很强大的计算机和一款很强大的计算斐波那契数数值的软件，你可以列出F5^n型斐波那契数前面几十项的数值，如果能找出一个不符合我猜想结论的反例，我的猜想也就不攻自破了。

　　上面F25/25、F625/625、F的数值的最后三位都是001，你可以很容易地得出以下结论：
　　 当n>2时，如果F5^n/5^n的数值的最后三位都是001，则猜想（1）即“当n>2时，5^n与F5^n的数值的最后三位是相同的”是成立的！
　　 哪位数学大牛如果感兴趣，可以试着证明一下F5^n/5^n的数值的最后三位是否都是001。

　　事实上，我已经完稿的关于斐波那契数列的论文包括两部分:第一部分是完全证明的,不含猜想; 第二部分就是关于这种F5^n型斐波那契数的奇特性质的。
　　 由于第二部分只是包括F5^n型斐波那契数的两个小猜想，因此我提前把这两个猜想贴在天涯社区学术中国版块中，也不算违背学术界的通行做法吧，因为这毕竟只是两个有趣的猜想，也许很容易就能解决，感兴趣的读者可以试着证明或证伪一下。
　　 附上关于斐波那契数列的最权威最全面的资料：
　　 吴振奎.世界数学名题欣赏丛书－斐波那契数列
　　摘要中第一个恒等式:三倍数项和.
　　第91页可以找到这篇论文
　　摘要中第二个恒等式:立方和.

　　第一幅图片摘要中前两个恒等式出现在下面两幅图片中了吧！某大学学报的编辑是怎么审稿的呀？

　　如果有人敢像这样堂而皇之地剽窃哥在这篇帖子中陈述的发现和结论，哥绝不放过他！哥可不是好惹的！

　　为了感谢大家对哥的关注，哥找到了
　　美国数学会从1963年起出版的《斐波纳契数列》季刊——“Fibonacci Quarterly”的网址：
　　里面有“Fibonacci Quarterly”从1963年到2011年发表的关于斐波纳契数列的所有论文，当然都是用英文写的，其中大部分是可以免费直接阅读的.

　　哥从小就卓尔不群、才华出众，可惜哥生在了中国！

读读Euler，读读Euler，他是我们大家的老师。

无穷级数【我最喜欢的一章】

【Bernoulli家族的人真是无穷级数的死忠粉啊！】

无穷级数的角色比较悠久，从18世纪甚至到今天，一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。微积分开始计算的时候是穷尽法相加，后来又有各种幂级数和Taylor级数的近似技巧等，然后由级数引发数学里面到今天来讲也是非常重要的一点，就是可积不可积，发散不发散。【未来会重点讨论】

最开始，Newton研究他的流数法（也就是微积分）用的就是级数，因为对于稍微复杂一些的代数函数和超越函数，只有把它们展成无穷级数并进行逐项微分或积分，他才能处理它们。

Euler和Lagrange相信，每个函数都能表为级数，而且这似乎是显然的事。

其实我们自己想想，如果比如计算微分和积分的时候，不采用无穷级数的表达式的话，那具体怎么计算呢？【感觉只有表示成无穷级数，然后利用已经知道的简单的初等多项式的微积分才能继续计算哪？】

级数只是无穷多项式，而且也就当作多项式来处理。具体处理的时候，实际上是这样的，：

• 计算微分时，无穷的后半段在相对来说影响不大时，可以舍去；
• 计算积分的时候，通过对于简单初等多项式积分的经验，得到无穷级数形式的积分结果，然后想办法计算这个无穷级数的和。

数学家们只是逐渐地，学会用有尽的形式（也就是简单的分析表达式）来研究初等函数。虽然如此，级数仍然是某些函数的唯一表达式，而且是计算初等超越函数的最有效的工具。

Bernoulli家族、Euler以及他们同时代的人，都大量依靠级数的使用。

无穷级数在数学中出现的是很早的，出现的形式通常是公比小于1的无穷几何级数。

（1）计算复杂（但多样必须的）函数的微积分

在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级数来处理是所用方法中最富有成效的，也是Newton和Leibniz微积分工作的一个重要部分。

• Newton展开的级数——Newton得到了许多其他表示代数函数和超越函数的级数。

例如，在1666年，为了得到 arcsinx 的级数，他用了这样的事实，面积

。他把右边展开为级数，逐项积分，并项，得到了结果。在1669年的《分析学》中，他用同样的方法，还得到了 arctanx 、 sinx 、 cosx 、 arcsinx 和 e^x 的级数。某些是用从其他级数求逆的办法得到的，即把自变量作为应变量解出来。他用的方法比较粗糙，用归纳的方法多。

（2）计算特殊的数值或量——如 \pi 和e，对数函数、三角函数……

必须取很多项才能达到小数点后几位的精确度。

并证明了它在计算对数时更有用。这样的一些把一个级数变成另一个收敛比较快的级数的问题，在整个18世纪有许多人继续研究过。

Euler的加快收敛变换法：

Euler引进了一个至今还为人们所习知和使用的级数变换。给定一个级数 \sum ^\infty_{n=0}b_n ，他把它写成 \sum

表示n阶有限差分。这个变换的好处，用现代的说法，就是把一个收敛级数转换成一个收敛比较快的级数。然而，对于惯常并不区别级数的收敛与发散的Euler来说，这个变换还可以把发散级数变成收敛级数。如果我们把（40）用到（41）1-1+1-1+…，（40）式的右边便得到1/2.同样，对于级数（42） 1-2+2^2-2^3+2^4-... （40）给出

(3)隐函数——>显函数

从Newton开始的一个应用是给定一个隐函数 f(x,y)=0 ，人们希望把y表示为x的显函数。一般来说，y的每一个表达式都必须表为x的无穷级数。当然，这些级数并不一定是幂级数，特别是，在奇点 (f_x=f_y=0) 处的展开式更是这样。Newton在他的《流数法》中发表了决定这几个级数的形式的一个方法，每一个显函数解就是这些级数之一。他的方法（其中用到了有名的所谓Newton平行四边形）指出，在形如

的级数中，如何决定前头几个指数。然后，这些级数的系数可以用待定系数法定出来。

对每一个级数来说，决定指数的方法是很麻烦的，Taylor，James Stirling和Maclaurin给出了一些法则。【Newton的方法是：显函数解连加+待定系数法】

插值和拟合的差别：插值有点像拟合，通过拟合后的公式来计算缺失的点，但是拟合可能不会要求拟合的曲线一定要通过样本点，满足本身的指定的条件即可。

为了适应航海、天文学和地理学的进展，要求三角函数、对数函数和航海表的插值有较大的精确度。所以，17世纪后期和18世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。插值就是数学领域数值分析中的通过已知的离散数据求未知数据的过程或方法。【插值的原因：真正计算比如log函数这样的数值的时候，不能够每次都用已知的指数函数的数值去夹紧尝试吧？用插值的方法会更简单些。现在的插值算法有线性插值、双线性插值、最邻近插值、Lanczos插值、Lagrange插值、Newton插值（有限差方法）等】插值的常用方法叫线性插值法，因为它假设了在两个已知值之间的区间中，函数是自变量的线性函数。然而，问题中的函数往往是非线性的，因而数学家感到需要有一种较好的插值方法。

（1）插值计算函数的值

为了计算f(x)在已知值之间的任一x处的值，只需让h等于x-a.这样计算出来的值并不一定是函数的真值；公式计算出来的是h的一个多项式的值，这个多项式在特殊点 a, a+c , a+2c , a+3c ,..., a+nc 的值和函数的真值相同。

Gregory-Newton公式还可用来逼近积分。给定一个函数，譬如说 g(x) ，要求积分，或者说，要找相应曲线下的面积。我们可用 g(x) 的值得到 g(a),g(a+c),g(a+2c),... 以及它们的差分和高阶差分；把这些值代入到（1）中，那么（1）就给出了一个逼近 g(x) 的多项式。于是，正如Newton所指出的，由于多项式是很容易积分的，就得到了 g(x) 的所求积分的一个逼近。

这样，对于一般的x，Gregory得到了二项式的展开。

Gregory-Newton内插公式由Brook Taylor发展成一个把函数展成无穷级数的最有力的方法。二项式定理，有理函数的长除法和待定系数法，都是有局限性的方法。Taylor所做的相当于在Gregory-Newton公式中让c变成 \triangle x ，这样一来，例如（1）的右边第三项就变成

当然，Taylor的方法是不严密的，他也没有考虑收敛问题。

Maclaurin是用待定系数法证明他的结果的，他进行如下：

【所以说，把函数展开成为一个多项式的无穷级数的发展历程是这样子的：首先，之前基于线性插值的思路，由Newton把那个差方的无穷级数表达式写出来；然后，Taylor对公式进行了从c到 \Delta x 的变换。然后，Maclaurin把公式在 x=0 这个点表达式写出来了。Maclaurin直接把公式表达式写成多项式形式的无穷级数是什么鬼？】

Lagrange也多少意识到收敛与发散的区别。在他早期的著作中，对这方面的确是不清楚的。他在一篇文章中说，一个级数将表示一个数，如果它收敛到它的尽头，即如果它的第n项趋向于0的话。后来，将近18世纪末，当他研究Taylor级数时，他给出了我们今天所谓的Taylor定理，这就是

这个的表达式就是有名的余项的Lagrange形式。Lagrange说，Taylor的（无穷的）级数，不考虑余项是一定不能用的。然而，他并没有研究收敛性的概念，或者余项的值与无穷级数收敛性的关系。他想，我们只需考虑级数的有限多项，使得所剩的余项很小就够了。收敛性后来由Cauchy加以研究。他强调Taylor定理是首要的，并且强调这样的事实：为了得到收敛的级数展开，余项必须趋向于0.

3.重要级数——>Fourier级数（三角级数）

b_n 的值，要在什么条件下才确实由上式给出，现在且一概从略。

18世纪的数学家还广泛研究了三角级数，特别是在他们的天文学理论中。这种级数在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的。这种研究是一个广泛课题的开始，而这课题的全部深刻意义在18世纪还没有被意识到。

1729年，Euler开始研究插值问题。1747年，他把他已经得到的方法用到行星扰动理论中出现的一个函数上，得到了函数的三角级数表示。具体地，首先，他处理这样的问题：

已知条件是 对每一n， f(n)=1 ，求一个周期解，对于整数x，它的值为1。

【他的推理很有趣，因为它反映出那个时期的分析学。】

这时，他运用他在1743年（第21章）发表的解有限阶线性常微分方程的方法。这就是，他建立辅助方程

出发，这是一个n次多项式。根据Cotes的一个定理（这里定理Euler在他的《引论》中也独立地证明过），这个多项式有一次因子z和平方因子

上面提到的一次因子z导致一个积分常数。由于 f(0)=1 是一个初始条件，Euler最后得到

这篇文章还包含一个结果，其形式和现在所谓的任意函数的Fourier展开是一样的，即用积分来决定系数。Euler特别地证明了函数方程 f(x)=f(x-1)+X(x) 的通解是

1754年，d’Alembert研究了这样的问题，就是把两个行星间距离的倒数，展开为原点到行星的两条射线间的夹角的余弦级数，这里也能够找到Fourier级数的系数的定积分表示。

1777年，Euler研究天文问题的时候，实际上用三角函数的正交性得到了三角级数的系数，即今天我们所用的方法。具体地，要从

他先用稍微复杂的方式得到这个结果，后来他发现他可以直接得到它，就是把（57）式的两边乘以 cos\frac{\upsilon \pi x}{l} ，逐项积分，并应用关系式

上面关于三角级数的全部工作，处处都渗透了这样一个矛盾现象：虽然当时正在进行着把所有类型的函数都表示成三角级数，而Euler，d’Alembert，Lagrange却始终没有放弃过这样的立场，即认为并非任意的函数都可以用三角级数表示。这个矛盾的部分解释是：在三角级数被认为是成立的地方，总有其他的论据，在某些情况下是物理的论据，似乎能够保证它们的成立【并非任意的函数都可以用三角级数表示？】。因此，人们就可以随意假设级数，并推导出系数公式。是否任意函数都能用三角级数表示的争论，就成了人们注意的中心了。

连分式（复分式，即几又几分之几）

用连分式可以看得到无理数的逼近。

Euler研究过这个课题，他得到一组有趣的结果，例如，每一个有理数都能表示为一个有限的连分式。

他给出了有关e的一个表达式：

Lagrange用连分式找到了求方程无理根的近似方法。另一篇文章里，他用连分式的形式给出了微分方程的近似解。在1768年的文章中，Lagrange证明了Euler在1744年文章中证明的一个定理的反定理，这个反定理说：二次方程的实根是周期连分式。

这个级数的计算引起了极大的讨论与争议。如果把级数写成

它的和也好像很明显应该是1。

然而，如果我们把级数（12）的和表示为S，则S=1-S，从而S=1/2。

Wolf的发表在《学报》上的一封信中，Leibniz也研究过级数（12）.他同意Grandi的结果，但认为不用他的论证也能得到这个结果。事实上，Leibniz认为，如果取级数的第一项，前两项的和，前三项的和，前四项的和等等，就得到1,0,1,0，…。在这里，取1和0的可能率是相等的；因此必须取算术平均作为和，因为这个算术平均是最有可能取到的值。

级数方面的真正广阔的工作是1730年左右从Euler开始的，他对这个课题感到莫大的兴趣。

在以后的一篇文章中，Euler得到了它的最优美的成果之一

【为啥说这个公式很优美？】

James Bernoullli在《推想的艺术》中，在研究概率的课题时，引入了现在已用得很广的Bernoulli数。他找出了一个求整数的正整数次幂之和的公式，并且不加证明地给出了下面的公式：（33）

是Bernoulli数【Bernoulli数在数论中很有用，Bernoulli数还可用于费马大定理的论证中】：

Bernoulli还给出了可以计算这些系数的递推公式。

Euler常数\gamma是Euler在研究调和级数，即这样的级数，它的项的倒数构成算术级数，的过程中发现的。特别地，他表明，如何能用对数函数来求原来调和级数的有限多个项的和。

【调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列。调和数列历来很受建筑师重视：这一点在巴洛克时期尤其明显。当建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和数列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的，但是调和级数的拉马努金和存在，且为欧拉常数\gamma】

相加，并注意到每一个对数项都是两个对数之差，就得到

其中C表示无穷多个有限算术和的和。Euler近似地计算过C的值（它依赖于n，但当n很大时，n的值并不怎么影响计算的结果），并得到0.577218.这个C就是现在通称的Euler常数，用

表示，即 \gamma \approx0.577218 。现在对于Euler常数的计算有个更精确的方法，就是上式（28）的两端都减去 logn ，得到

对于Euler常数，没有发现比上式更简单的形式了，而对于π和e我们却有许多不同的表达式。不仅如此，直到今天，我们还不知道 \gamma 是有理数还是无理数。

【附录】关于π和e的表达式：【哪里看到的，忘了。。。】

1、这是Francois Viete给出的史上第一个关于π的公式

注意到它的无穷的根式结构以及整个公式只用到了数字2！！！

毫无疑问，这个公式非常漂亮，因为这是一个无穷乘积，形式上很简洁。Wallis通过计算两个积分（这两个积分是正弦函数的2n+1次幂与2n-1次幂，从0积到π/2）得到两个关于n的分式，再用两边夹方法得到了这个公式。

整个公式充满了拉马努金的风格，他发挥自己在无穷级数与无穷连分式方面深刻的洞察力将两大数学常数π和e完美地融合在了一起。

其实这个公式是String公式的变形，但好处在于，有极限，有指数，有阶乘，有e，有π，信息量相当大。这个公式在一些逼近计算当中非常有用。

5、貌似是一个当官的导出来的

貌似是外国一个伯爵看到了Wallis公式，就将其化成了无穷连分式。虽是变形，可美感更深一层了。可以清晰地看到圆周率π和奇数，平方数之间神秘的关系。

欧拉是个巧匠，他运用各种巧妙而又简单的方法发现了大量美丽的公式和定理，以上便是一例。在这里，圆周率π跟质数（素数）联系到了一起。

7、高精度计算π的公式

高精度不是吹的，这个简单而又优美的公式虽然不是π的精确公式，却可以将π精确到小数点后420亿位！！！造化~~~【是因为e指数的精度很高么？】

对级数的收敛和发散的判定

今天，我们知道，18世纪在级数方面的工作大都是形式的，收敛与发散的问题无疑是不太认真对待的。然而，也不能说它完全被忽视了。

Newton，Leibniz，Euler甚至Lagrange，都把级数看作多项式的代数的推广。他们大概没有认识到，由于把求和推广到无穷多项，他们已经引进了新的问题。因此，他们完全不准备正视无穷级数强加给他们的问题；可是，工作中产生的明显困难使他们至少偶然地又提出这些问题。最有兴趣的问题是，如何正确地解决悖论，以及那些经常被提到而又经常被忽视的其他困难。

Newton的认识是：必须考虑收敛性，但他仅仅断言幂级数至少同几何级数一样，对变量的一些小的值是收敛的。

Euler的认识：半收敛级数就是像1-1+1-1+1-1+1-1+…这样的级数，把它加起来，当项数越来越多但又没有变成无穷时，它的值是摆动的。毫无疑问，他认识到了收敛级数和发散级数的区别。演算这类级数的时候，必须十分小心。

d’Alembert也区别过收敛与发散的级数。在《百科全书》“级数”那一条中，他说：“当级数越来越趋向某有限量，从而级数的项（即组成级数的量）继续减小，就称它为收敛级数，而如果继续到无穷，它最后就变成等于这有限量。例如 \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+... 组成一个级数，它一直趋向于1，而当级数继续到无穷时，它最后变成等于1。”1768年，d’Alembert对使用不收敛的级数表示了怀疑，他说：“至于说到我，我承认，所有基于不收敛级数的推理，在我看来，都是十分可疑的，即使它的结果能用其他方法表明是真的，也是这样。”

平心而论，18世纪无穷级数方面的工作中，形式的观点是占统治地位的。总的说来，数学家甚至憎恨任何限制，例如憎恨有必要去考虑一下收敛性的问题。他们的工作产生了很有用的结果，而他们也就满足于得到实用上的支持。他们确已超越了他们所能给出正确理由的界限，但他们在运用发散级数时至少还是小心的。我们将要看到，坚持只能使用收敛级数的主张，是经历大半个19世纪才取得成功的。但是，18世纪的人们最后还是得到了谅解；他们预见到的关于无穷级数的两个很有生命力的思想，后来得到了承认。第一个是发散级数可以用来给函数作数值逼近；第二个是级数可以在解析运算中代表函数，即使这个级数是发散的也行。