1．在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在轴和轴上，直线分别交轴正半轴、轴负半轴于点、，且． (1)如图1，若是线段延长线上一点，分别作的角平分线与邻补角的角平分线，两线所在直线交于点． ①若，则的度数为 _______ ； ②求的度数； (2)如图2，点、、的坐标分别为、、，是第三象限内一动点，试探究、与之间的数量关系，并求出相应的的取值范围． 2．如果一个正整数满足各数位上的数字都相同，我们称这样的正整数为“稳定数”，比如：2，55，888，1111．对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“变动数”．将一个“变动数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，是一个“稳定数”． (1)计算：，，并判断它们是否为“稳定数”； (2)若是“变动数”，试说明等于的各数位上的数字之和的111倍； (3)若“变动数”（其中、都是正整数，，），且为最大的三位“稳定数”，求的值． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点向左平移两个单位，再向下平移2个单位得到点． (1)画出，写出点的坐标； (2)求的面积． 4．已知正方形，，为平面内两点． (1)【探究建模】如图1，当点在边上时，，且，， 三点共线．求证：； (2)【类比应用】如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； (3)【拓展迁移】如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 5．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； 原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0 (3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值． 6．数学中，常常利用图形的面积（相等）来解决问题： (1)如图，在中，，．若，，，求的长； (2)如图，在中，已知点，点，点，且经过坐标原点．若，则边上的高的长度为_______； (3)在中，，是的高．是直线上一点，，分别与直线，垂直，垂足分别为点，．试补充图形后探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 7．如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数” (1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由； (2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M． 8．如图1，在矩形ABCD中，连接BD，点F是线段BD上一点，过点F作，过点D作DE⊥BD交EF于点E． (1)求证：； (2)如图2，分别连接AF，EC，并延长交于点G，FG与BC交于点I，连接BG，当DE＝DC时， ①求证：BG＝FG； ②连接DG，交EF于点P，若AB＝8，AD＝6，求FP的长． 9．如图： (1)问题发现： 如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 　 　，AC的最大值为 　 　； (2)轻松尝试： 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　． (3)方法运用： 在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m． ①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值． ②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值

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1、四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1） 共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； （2）圆内接四边形的对角互补；（3） 圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。定理判定定理方法1： 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内

2、对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么ABDC+BCAD=ACBD。例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证明n

3、+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长abc）。把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为rarbrc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。）引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。反证法证明现

4、就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，A+C=180求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的性质得A+DCB=180 ，A+C=180 DCB=C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。证明方法方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆方法2把被证共