李苑青　蒋宇飞　肖涵　杨轶

摘要：信号与系统中傅里叶变换为关键内容，但由于其抽象性，该部分的课程实验往往利用仿真来进行。本文研究并实践了一种利用硬件搭建实测信号的方式，测量验证傅里叶级数开展式中的各谐波系数，同时结合Matlab仿真求解，虚实结合对傅里叶变换进行研究和分析。旨在强化学生对于傅里叶级数的理解，通过实践多角度理解信号计算和信号分析的概念及计算方式，从浅至深梳理了傅里叶级数中各项抽象概念的测量和计算。从概括到具体，从模拟到实践，从系统设计到应用，充分发挥了学生的自主性和创造性，实践中取得了非常好的效果。

关键词：信号与系统实验;傅里叶变换;傅里叶级数;信号类实验课程研究

中图分类号：TN911.6 文献标识码：A

信号与系统课程中的重点阐述了信号的三大经典变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，其中傅里叶变换的应用最为广泛，其揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系。在课程实践时，很多高校教师将实际案例分析和Matlab仿真引入课堂教学，对激发学生学习兴趣、提高教学质量都取得了一定的效果。软件仿真常以周期信号分解和合成的角度，使学生建立起信号频譜的概念，同时为进一步学习傅里叶变换和线性时不变系统的频域分析等内容打下基础。本文介绍一种硬软件相结合的方式，既基于硬件和实测信号的测量周期信号的傅里叶级数系数，又通过Matlab求解信号傅里叶变换，以此综合探索和验证周期信号的傅里叶变换。

一、周期信号的傅里叶级数

本文的硬件实现部分将通过一个非常古老的方法探索傅里叶级数的思想，即生成拍频。这有点像音乐家使用的音叉，通过将许许多多的拍频加到一起，就能观察到总的波形。用这种思想，本文观察各次谐波的幅值，并利用所熟知的三角公式来分解波形，就能观察不同谐波次数下周期信号分解、合成过程。

（二）三角形式的傅里叶级数

二、基础硬件模块功能设计

实验需通过简易电路构造基础的硬件功能模块，再通过这些模块的搭配测试对应参数。

傅里叶级数展开式中包含余弦分量和正弦分量，因此，需要一个相位可调信号源发生装置，可满足能同时生成两个信号，这两个信号满足频率和幅值相等且可调，频率f、幅值A可以调整，相位差可在0或90度两档切换。

利用多个加法器电路，结合信号源，可以构建一个建议的任意波形发生器，任意波形满足式（7）。

构造一个简易乘法器系统，系统输入是X、Y两路信号，输出为X·Y，系统由乘法器模块和可调谐滤波器模块两部分组成，如图1。

在实验时，须保证系统增益为1，即信号经过乘法器系统后幅值不发生变化，使系统输出幅值等于系统输入幅值。利用这个乘法器系统，在实验时既可以保证数学上可以验证信号相乘，又可以利用可调谐低通滤波器滤除高频分量，保证测试数据的准确性。

（一）用正弦波和余弦波构造波形

一个简单的相位为零的余弦波形可以表示为f（t）=OOS（nωt），频率为n倍的余弦波形可以简单地表示为f（t）=COS（nωt），周期信号可以进行傅里叶级数展开，具有谐波性。假设公式7中A₀=0.5V，A_n=（1，0，0.5，0，0，1，0，0，0，0）单位V，B_n=（0，0.3，1，0，0，0，2，0，0，0）单位V，即利用任意波形发生器构造了一个基波加5次谐波的合成波形，该波形的直流偏置、余弦分量和正弦分量是已知的。

（二）验证傅里叶级数展开式

首先，利用同步模拟信号测试并验证合成波形的傅里叶级数展开，系统连线如图2，实验过程中可根据需要切换调整双路输出信号源的输出，即更换乘法器系统Y的输入信号。

具体测量方式是，将可调谐低通滤波器的截止频率f_c调整至最大，即尽可能保留完整的高频分量。首先，设置双路输出信号源的参数使DAC-0与DAC-1同为余弦信号，逐步改变双路输出信号源的频率，从1～7kHz，步进为1kHz，用示波器测量乘法器系统的输出端，可得到直流幅值。然后，调整双路输出信号源的参数使DAC-0与DAC-1一路为正弦信号另一路为余弦信号，用同样的方法测试乘法器系统的输出端。测量结果见表1。

（三）构建手动扫频信号分析仪

在保证乘法器系统和任意波形发生器可靠的前提下，可增加一台通用函数发生器，来构建一个手动扫频信号分析仪，手动调节函数发生器的频率，以此来测试任意波形的傅里叶级数展开式对应频率的系数，如图3。

由于乘法器系统两个输入信号本身就是相对漂移的，那么其乘积也会缓慢地变化。由于乘积曲线在不断变化，那么它总会穿过我们感兴趣的测量点。这些点是乘积曲线上持续出现的极大值点和极小值点，每个周期出现两次。将这些极值取平均，就能得到输出信号的直流分量。测量结果见表2。

根据系统构成，可推导出表2中最后一列的计算公式为：其中，a、b分别为任意波形发生器中合成波形的余弦分量和正弦分量的幅值，n为频率系数，φ=arctan a/b

上述实践中构建了一个手动扫频分析仪，通过实验证明能用其分析合成波形的各个谐波的大小，在此基础上扩展其利用，可研究一个方波的傅里叶级数展开。

具体测量方式与本文3.3节类似，可以选择一个频率为1kHz，幅值为V_pp=5V，直流偏置为2.5V的方波进行测试，测量结果见表3。

其中，归一化值的计算方法是v/V_max。根据实测数据可知，V_max=1.56V，由此可计算得到表3中的归一化值。结合傅里叶级数的展开公式，理论计算时偶数次谐波的分量为0，奇数次谐波的分量为2E/nπ，利用归一化的方法，将式中E、π约去，此时奇数次谐波的分量则为1，1/3，1/5，1/7。

四、傅里叶变换的MATLAB求解

连续时间信号经过抽样作用后变成抽样信号，即令连续信号f（t）、抽样脉冲p（t）、抽样信号f_s（t）的傅里叶变换分别为F（jω）、P（jω）、F_s（jω），则它们之间有如下关系：

利用Matlab仿真软件，对时间范围0≤t≤40内的正弦信号f₃（t）=sin（0.8πt）进行抽样得到抽样信号，抽样频率分别取为2Hz、0.8Hz、0.4Hz，画出信号f₃（t）及不同抽样频率下的时域波形，并对信号f₃（t）及抽样信号进行傅里叶变换，绘制幅度—频率特性曲线，结果如图4。

根据硬件电路实测数据和MATLAB求解的结果，可以看出，硬件测试系统能很好满足设计需要，实测数据、理论数据以及仿真数据，基本一致。本文设计一种通过构造基本测试模块，逐步搭建测试系统，利用同步信号、异步信号测试验证合成正弦波和方波的傅里叶级数的硬件测试方法，并通过理论计算和软件仿真进一步验证分析了数据。实验证明，硬件设计是简易有效的，仿真设计合理，实测数据及仿真方法满足理论计算值。实际教学中，硬件电路测试和仿真求解一共8学时实验，实验内容充实，课后学生讨论积极、活跃，这一教学设计得到了学生非常好的评价，实践取得很好的效果。通过不断的教学研究与探索，结合教学实践中遇到的问题，构建符合学生认识能力的培养、强化学生工程实践能力的教学模式，为培养新型通信人才起到了积极的作用。

作者简介：李苑青（1989— ），女，汉族，湖南长沙人，硕士，实验师，研究方向：电信类实验教学。

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1、现代测试技术习题解答第二章 信号的描述与分析补充题2-1-1 求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数p(x)。解答：(1)，式中正弦信号周期(2)(3)在一个周期内x(t)正弦信号xx+xttt2-8 求余弦信号的绝对均值和均方根值。2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|和n图，并与表1-1对比。图1-4 周期方波信号波形图0tx(t)A-A解

2、答：在一个周期的表达式为积分区间取（-T/2，T/2）所以复指数函数形式的傅里叶级数为，。没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。|cn|n/2-/A/2A/32A/5幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/52A/32A/-0-30-50-0-30-502-5 求指数函数的频谱。解：单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0(f)f0/2-/22-6 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。图1-26 被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1解：w(t)为矩形脉冲信号所以根据频移特性和叠加性得：可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱

3、一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱2-6求被截断的余弦函数cos0t（题图1-2）的傅立叶变换。解2-7 求指数衰减信号的频谱指数衰减信号x(t)解： 所以单边指数衰减信号的频谱密度函数为根据频移特性和叠加性得：00X()-()指数衰减信号的频谱图2-9 求h(t)的自相关函数。解：这是一种能量有限的确定性信号，所以2-10 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。ty(t)tx(t)1-11T-1图5-24 题5-3图sin(wt)00解法1：按方波分段积分直接计算。解法2：将

4、方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。所以解法3：直接按Rxy(t)定义式计算(参看下图)。ty(t)tx(t)1-11T-1sin(wt)00ty(t+t)1-10tTT参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数tRy(t)0方波的自相关函数图TT/22-11 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(t)和输入输出的互相关函数Rx(t)之间的关系为Rx(t)=Rxy(t+T)，试说明该系统起什么作用？tRx(t)

已知信号的自相关函数为Acoswt，请确定该信号的均方值yx2和均方根值xrms。解：Rx(t)=Acoswtyx2= Rx(0)=A2-13已知某信号的自相关函数，求均方值 、和均方根值。2-14已知某信号的自相关函数，求信号的均值、均方根值 、功率谱。2-15已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。

对三个正弦信号x1(t)=cos2pt、x2(t)=cos6pt、x3(t)=cos10pt进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，x1(t)x2(t)x3(t)ttt从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，

7、造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。2- 19假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)=A1cos(w1t+j1)+ A2cos(w2t+j2) 求该信号的自相关函数。解：设x1(t)=A1cos(w1t+j1)；x2(t)= A2cos(w2t+j2)，则因为w1w2，所以，。又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以同理可求得所以2-20 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。解：设信号x(t)的均值为mx，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则x(t) = mx + x1(t)如果x1(t)不含周期分量，则，所以此时；如果x(t)含周期分量，则Rx(t)中必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(t)中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x02/2；根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果，则。自相关函数的性质图示tRx(t)0mx2mx2+