这对于自己来说也是一个老大难的问题，所以要着手写这样一篇文章实属不易，走一步算一步，想哪写哪吧。

这倒并不是说大题的计算是障碍，相反，个人觉得，大题都有固定的套路，反而容易。小题考理论的话，就比较抽象了，最怕的就是这个。就像先前写的隐函数存在定理那篇文章，我试图深究，却发现不知不觉，我进入了《数学分析》的领域，已超出考研的范围。

（1）首先是连通域的问题，需要区别单连通与复连通域，所谓的单连通域，就是在平面内有一个区域D，在该区域内做任一条简单闭曲线总是属于区域D.

这里有几个概念需要理解，直接上图。

实际上可以简单的把单连通区域理解为没有洞的区域，那么这个时候问题又来了，若不是闭区域怎么办？

如果说是坐标系的无穷区间呢？

分析：对于第一个区间显然只刨除了原点，这就相当于一个洞，所以属于复连通区域

这是第一个概念，继续！

（2）先从计算题考虑。对于下面的这个第二型曲线积分我要怎么做呢？

解题的第一步是观察L是否封闭，也就是刚刚（1）所讨论的内容。

假设封闭：观察曲线方向，是否是正向。

则对D内任意两条同向绕点（x0，y0）的闭曲线L1和L2，两者的积分值是一样的。

这个定理就解释了之前自己在做一类题时，发现大区域内有一个无定义的点，然后在里面做小区域，外逆内顺为正边界，实际上最后也就是这个小区间的积分。

好吧，这样说有点抽象，下面需要用题目来解释。

至此刚说完封闭怎么办。

不封闭：就要考虑是否和路径无关。

              对于复连通区域，两个偏导数的值相等并不能说明积分与路径无关，还需要找一条绕这个洞的闭曲线，若积分值为0，则说明是无关的；如果积分值不为0，则说明是有关的。

计算的问题大概就说这么多。

（3）接下来谈抽象的等价问题。

  设D是平面单连通区域，若P(x,y),Q(x,y)在D上连续且具有一阶连续偏导数，则以下6个命题等价。

2.沿D内任意分段光滑闭曲线L，有

3.在D内与路径无关，只与L的起点A和终点B有关。

（4）还想说的一点就是积分与路径无关与存在原函数是等价命题

好了，理论就讨论到这儿，接下来分析几道题目。

第一问明显不是单连通区域，由由于积分值不是0，所以不存在原函数。第二问可以求出原函数。

分析：计算可知两个偏导数是相等的，对于单连通区域，也就是不绕原点的话，积分值是为0的。故排除BD选项。

再令x=cost,y=sint  t在-到之间，计算AC的积分。发现C的结果为0，说明C是积分与路径无关的。

总结：这类的题目大都遵循这个思路！

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y）处它的线密度为（x, y）,用对弧长的曲线积分分别表达：1）该曲线弧对x轴、y轴的转动惯量I x和I y ;2）该曲线弧的质心坐标x和y.知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.思路：xOy面内的一段曲线L,其线密度为(x, y

n030注：此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁§10.3格林公式及其应用内容概要名称主要内容格林公式设P(x, y), Q(x, y)及它们的一阶偏导数在闭域 D上连续，则QP .dxdy P Pdx Qdydxyl其中L是闭域D的边界曲线，且取正向.面积A1.1,A y

33、中 A(0,a), B(a,0),O(0,0), ABOA是折线,AB是由A到B的直线段，如图.知识点：格林公式.思路：1) Pexsiny - y Q ex cosy 1QP1 ,应用格林公式方便.xy2）这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分 图）.补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上boa

)知识点：格林公式. Q思路： xP0,应用格林公式方便,.但因L围的区域内含被积函数不连续的点y(0,0),故要把不连续的点(0,0)挖掉.解：在L包围的区域内作顺时针方向的小圆周L1 : x co

(一) 泰勒级数的物理意义

高等数学干吗要研究级数问题?

        是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No，是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。

问题更复杂了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。但是因式分解仍然不够通用，因为我们总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学方法的全部: 特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办? 研究一种方之四海皆准的，通用的方法。

        泰勒级数的物理意义是什么? 就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和x轴有什么交点。例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义: 点+一次切线+2次切线+...+N次切线。每次切线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK，从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。泰勒级数，就是切线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶。假设f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)^2

...就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。

泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=x^100展开以后可以求x=1附近的/group/topic/5308346)，在这个概念的基础上加条件，做演绎，就得到了N多的引申概念和知识。公理体系的建立总是在一些非常基本的概念的属性的基础上得来的，这个从欧式几何就开始了。虽然东方的数学很多具体的知识和结论的获得，都早于西欧，但是公理化体系的形成，形式化的描述，定理的推理和演绎，从来都没有真正的形成过，直到明代的李光启翻译几何原本的时候才感叹西人的高明不在于结论和知识的高超，而是思维和逻辑体系的缜密，问题边界的划分，公论的提出，演绎的严格。

眼光放的尺度大一点，欧式的神学，哲学，数学，其他的科学和学问，无不是建立在公理系统和演绎之上的。一切的法律须从宪法，所有的定理须从公理，必须从一个树根去分型得到整个大树----这样整体和部分才能和谐和没有矛盾；x86的架构的学习不是学Pentium，酷锐，而是从树根8086学起；新的功能的添加保持后向兼容，也就是保持树根不变的情况下继续分型，而不是推倒了重新种一棵大树。公理系统的稳定性，在于公设的强壮性。如果公设可能被轻易推倒，那么整个大厦将倾。儒学如果也是一个公理系统的话，那么它的公设基本就是三字经的第一句话"人之初，性本善"。很可惜，到底什么是"人"都没有定义清楚 (柏拉图认识到了这是社会学研究的根本问题和出发点)，什么是"善恶"都没有定义清楚(到底是一种客观标准还是主观标准)，便开始了四书五经洋洋洒洒的演绎和推论，这套理论是不是像在沙滩上面建房子。房子很漂亮，但是风一吹就倒，于是每隔若干年就不得出重建----而且只是责怪建筑材料自己的质量不好而毫不考虑这房子原来是没有任何坚实的基础的。