是一类广为研究的函数。 n与 取不同的值或取极限时的形式，出现在多种多样的问题中，这些问题诸如特殊积分、伯努利数、p级数、哈代-利特伍德猜想、调和级数（或关于欧拉常数）、欧拉无穷乘积和积分，以及大名鼎鼎的黎曼猜想和黎曼ζ函数（关于素数），等等。 可以取正值也可以取非正值，亦能够取复数。例如当 取非负整数值时，可以求出数列前 项和的公式。我们有

可以看到，用这个方法算显然太麻烦了。一个更简单的办法，首先我们有：

还可以列出更多的公式：

是一个关于n的高一次（即(ξ+1)次）多项式，我们最终能将其化简到只与n有关。那么我们能不能求出这个只与n有关的多项式？让我们来研究n各次方项的系数。姑且设之为pi(ξ)，即f(n,ξ)这个关于的(ξ+1)次多项式中，对于n的i次方项的系数，根据我们之前推导的公式，有

然而，如果我们根据上面说到的这个一般公式直接展开，将会极其复杂。因此我们必须做一些简化工作。可以发现

可以发现虽然根据公式代入后，它后缀的和式列出了ξ项，但其中有(ξ-1-l)项为0。例如，对于

对于 ，似乎找到了一个一般公式：

这样一来，我们或许可以将f(n,ξ)的一般情况写成

通过对 不断地进行分解，最后得到一个有规律的数和N(i)。N(i)的变化似乎找不到任何规律，这是非常让人苦恼的。雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli,)在1713年他的概率论巨著《猜度术》(Ars conjectandi)中以Summae Potestatum的标题将这一结果发表，尽管他没有写成上文给出的这个和式的形式而是一项一项列出来的。

后来，N(i)便被称为伯努利数，即Bi。上面的公式就可以写成

德国数学家约翰·冯哈伯(Johann Faulhaber,)曾经注意到，若令 ，则有 ，这个结论前面已经介绍过。事实上，这就是尼科马库斯定理(Nicomachus’s theorem)，或又叫平方三角数。从几何的角度看就是这样：

这个定理是由古希腊数学家杰拉萨的尼科马库斯(Nicomachus of Gerasa,60-120)（杰拉萨是罗马叙利亚省（今约旦哈桑王国的杰拉什(Jerash)）的一个城市，尼科马库斯出生于此）发现的。他在他的著作《算术概论》(introduction to Arithmetic)的第20章中提出了这个定理，因此这个定理以他的名字命名。而冯哈伯走得更远一些，（也许正是受了尼科马库斯的启发，）他发现

这就是所谓的冯哈伯多项式(Faulhaber’s polynomials)，冯哈伯猜测偶数情况下的冯哈伯多项式亦存在。1834年，德国数学家卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅克比(Carl Gustav Jacob Jacobi,)（——大名鼎鼎的雅可比矩阵的发现者）给出了偶数情况下的冯哈伯多项式，并给出了一般情况（一切正整数）的严格证明。上面 的普遍情况的公式又叫冯哈伯公式，也叫伯努利公式。至于伯努利数，它到底符合一个什么规律？还是说 的公式本身就是它的规律？

在0处的φ阶导数就是f(n,ξ)，这是一个很重要的性质。这样，它的麦克劳林级数就可以写成如下形式：

这是伯努利数满足的另外一个关系，此外，还有

这个关系是通过下文提及的一个公式推出来的，读者不妨猜测是哪一个。

只要我们规定 ，就能由此简便地导出所有的伯努利数。——然而，仍还是要规定。此外，因为 同时还是一个等比数列，所以它又能写成

这个函数，我们姑且称之为 的缩略形式。通过研究这个函数，人们找到了不用规定任何项的值便能生成伯努利数的结构：

实际上，由于 的麦克劳林级数就可以写成

如果能求出另外一个与f(n,p)不同的式子L(n,p)，使得

那么显然我们也能得到我们所求的表达式。让我们将缩略形式的分子和分母全都用麦克劳林展开：

两个式子相乘，可以得到的是

随着往 的更高次项合并，也能够得到f(n,p)的表达式。可以看到

然后将 和 用麦克劳林展开的结果。为什么不能将 函数展开，再把 直接也展开呢？这是因为 在x=0处根本没有定义，它各阶导数的极限在此处也不存在。

雅各布求出上述公式之后，曾经仅用七八分钟就计算出了1的10次方一直加到1000的10次方的和(91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500)，而为了验证这个和，他从1的10次方开始加起一直加到1000的10次方，花了三天三夜的时间。

即伯努利多项式，它有着十分广泛的引用。在《猜度术》整本书中，伯努利推广了帕斯卡问题，提出了伯努利分布、大数定律等等，可以说这本书对概率论的发展产生了非常深远的影响。

上面讨论了ξ为非负（整）数，n的取值有限的情况，但恐怕也只有非负数ξ取整的时候，才有可以提供的公式求这个级数的部分和，原因在于只有当ξ取整的时候，利用二项式定理才能将次数消尽，从而得出一个生成函数，否则将得到一个级数。

当为负数时便找不出什么公式了。但是有另外一个问题很有意思，即使n趋于无穷大，就是黎曼ζ函数：

其中p(i)是素数函数，p(i)就是第i个素数，这个乘积叫做欧拉无穷乘积，实际上它正是欧拉发现的。当s=1时，这个函数就是调和级数

但这个极限因为是无穷大，所以不存在。据说有很多中学数学老师都会误解地以为它是收敛的。事实上，

这也是欧拉的证明方法。因故

根据比较审敛法，知道调和级数以及 都发散。只是当s是非正整数，也就是ξ是非负整数时这个结论比较直观而已。但是

欧拉本人还算出了它小数点后的十几位。

这个关系留给读者自行证明。

同时又能证明 是收敛的，因为对于 ，

是有界的，所以 是收敛的，这也是ξ为负数的时候的情况的特殊之处之一。x=2是使收敛的第一个整数，

这就是贝塞尔问题(Basel problem)。1650年，意大利数学家彼得罗·门古力(Pietro Mengoli,)首先提出这个问题，1734年被时年28岁的欧拉解决，并于1735年12月5日在圣彼得堡科学院宣讲——可见几乎困扰了数学界近百年，以至于当欧拉解决了这个问题之后，便立刻在数学界声名大噪。今天我们当然可以用傅里叶级数解决，将 用傅里叶级数展开，

令x=π，就得到了答案。

但欧拉解决问题的办法跟这里写到的并不一样，思路完全不同。

首先有正弦函数的麦克劳林级数

另一方面，将以德国数学家——卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,)（他以他的另一项工作——处处连续、处处不可导、不可积分的魏尔斯特拉斯病态函数而著名）命名的魏尔斯特拉斯分解(factorization)定理将 拆成无穷乘积，（但当时欧拉不知道这个定理，他根据 的诸零点，猜测 可以被拆成下面这个形式。但后来魏尔斯特拉斯发展出了这个定理，经过严格证明后认为欧拉是对的。）于是

这个无穷乘积仍然可以被展开成关于 的多项式无穷级数。但为了直观方便，我们从它的部分乘积开始探索。

如果我们继续将这个过程进行下去，就会出现这个多项式的第二项刚好是我们要求的级数。另一方面，如果我们比对上面的麦克劳林级数和下面这个无穷乘积数的展开式的系数，由于它们是相等的，故系数也应当具有一一对应的关系：

欧拉解出了这个问题之后立即出名，这个解法的严格证明后来于1741年给出（可是这个证法实在是太神奇了，1741年的严格证明好多人并不知道），严格的证明要晦涩得多：

这也是一个关于 的多项式。在等号左边，一次项是 ，在等号右边，一次项是

欧拉倒还顺便证明了一个并不明显的关系

然后令x=it，再结合欧拉公式，就还原到了 。至于魏尔斯特拉斯分解定理的提出——要到上百年以后了。当然，还有雅尼斯·帕帕迪米特里欧(Ioannis Papadimitriou)、阿波斯托尔(Apostol)、丹尼斯·罗素(Dennis C. Russell)、布·里姆·乔伊(Boo Rim Choe)、约瑟夫·霍夫波尔(Josef Hofbauer)等等给出过很多证法。欧拉将贝塞尔问题做了一些推广，因为他还注意到了 的无穷乘积的展开式中 的4、6和更高次方项的系数，例如 项的系数的递变：

对比在麦克劳林级数展开式中的系数，可以知道

对比x^6的系数，欧拉发现

随着次数变高，它们服从的规律其实非常明确，读者或许也隐约可以猜到这种“握手问题”不但可以用另外一个方式来表达，甚至还可以推广。这个规律是牛顿恒等式(Newton’s identities)在初等对称(symmetric)多项式中的一个变形：（牛顿恒等式在此并不介绍，请读者从网络了解。）

欧拉是处理特殊级数和特殊积分问题的大师，从这里可见他真是当之无愧。

如果用傅里叶级数对x^4、x^6进行暴力展开，倒也能求解，解出一个生成函数：

至于一切偶数的通项，这里就不再推导了：

虽然通项中 全都以整体的方式出现，可是

完全是一个错误的公式。因为这样求出来的大于1的奇数ζ(s)是0，而求出来调和级数是个有限的值，这显然不符合事实。此外，用傅里叶级数也求不出来，所得的各项最终会把奇数项消掉。欧拉本人也没弄明白。如今，这个问题一直是个谜，数学家已经倾向于几乎认为不存在那样的公式，或者至少当前的语言没法表达。除此之外，在后来还曾经有一些人求出了s为负整数的时候的ζ(s)值（他们使用的伯努利数与我们有些不同，因为他们使用的伯努利数的生成函数 ，这导致在他们的体系下B1=-1/2）：

结果他们竟然求出所有自然数之和为 、无穷多个1相加是 等等在我们看来似乎是完全不可接受的结论，解释起来也非常复杂。限于篇幅就不再赘述，请读者自行了解。

当ξ为整数时的主要问题，当我们的研究领域拓展到 属于复数域的时候，我们将要面临的问题将要更加复杂，更加怪异，甚至还会跟一些当今流行的物理理论比如弦论、M理论挂钩。黎曼猜想被克雷数学研究所列为七大数学难题之一，仅关于它的研究就能作书成卷。今年是德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,)提出黎曼猜想的160周年，黎曼猜想的数学表述，没有复变函数基础的读者都是难以理解的。去年9月，迈克尔·弗朗西斯·阿蒂亚爵士(Sir Michael Francis Atiyah,)宣布证明了黎曼猜想，然而在不久后他发布的证明在不久之后就被否定了。他本人也与今年1月去世。黎曼猜想依然难解。除此之外，据说一旦黎曼猜想被证明，将会导致一些“灾难性的后果”——而我们竟然未必不会不得而知。