离散随便变量 里的数学期望 高中几何分布
投硬币 正面朝上的概率为p
随机变量X表示第一次朝上时 投了多少次
这个方程究竟是怎么得到的呢?
为了算方差,E(X^2)又该怎么算呢

如果有小瑕疵可以在评论区提出

内容可能有点多~~但很简单~~ ，望大家耐心食用

数学期望当前在OI中是一个类似于数论方面门槛的知识，在竞赛中有考察。本文将详细的讲解此内容，但也不是只纠缠于简单的概念，而会解决一些题目.可能这样介绍的知识对于大佬来说还是比较基础，但对像我这样的萌新来说通俗易懂，所以请各位口下留情。

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日常生活中，我们每做一件事，都有对它的期望，这里的期望不仅仅只结果的胜负之类，也可以与状态有关。但在OI中，一般指的就是达到结果的期望，最朴素的计算是每次可能结果的概率乘以其结果的总和

这是最基本的数学特征。

广义下的定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值。

• 设X是随机变量，C是常数，则

设x 的多个随机变量为

那么对应的求期望的式子

期望与均值是两个十分相近的概念，但又可以说是截然不同。

• 均值往往是在实验中简单的对数据进行平均。
  
• 而期望就好像在上帝视角的人。
  

显然要掷上一定多的次数来求平均数。

比如，掷了6次，分别为 ，那么均值为

我们不用掷骰子就能计算出来：

可以看出，两个值是有明显差别的，而且还时刻不同。

但是为什么容易弄混呢？

因为在将多个均值求均值后，两者就无限接近了。

甲乙两个正常人赌博，丙作为裁判监督，五局三胜，赢家可以获得100元的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，但这时赌场遇到了警察的查封，丙见势不妙，立马逃走了，甲乙两人被迫中止了比赛，那么，如何分配这100元？（每局都能分出胜负）

这显然是和平解决问题的方式，此时乙会赞成，但是甲一定有意见，显然，自己已经拿下赛点，不可能心甘情愿的平均分钱。

假设比赛继续进行，那么下一轮：

50%：乙赢，继续比赛。

但是，如果问题就进行到这里，也就没有接下来的期望了。

当然，如果乙~~在暗中操纵下~~赢了，那么再下一轮中，

甲乙两人都有50%的概率获胜，拿下100元。

~~甲乙：？？这怎么算？~~

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假设甲最终输了，那么他是在什么概率下输的呢？

他实际上只有四分之一的概率输。

显而易见，因为每局都能分出胜负，所以他有$\frac{3}{4}$的概率赢掉。

那么情况就简单了，我们根据他们的胜率来分钱。

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一位公司招募员工，几乎没有什么面试，甲乙两个年轻人就意外的获得了一份工作，这时，面试官却说要给他们发入司奖金，每人需要从各自的三个红包中选择一个。

此时，他们已知红包中有一个1000元的，两个500元的。

两位年轻人各自抽取了一个。

他们刚要打开红包，面试官却制止了他们，随机打开每人剩下红包中的一个，相同的，里面都装着500元钱。

于是面试官向他们询问：如果同意你们用手上的红包换取未打开的红包，你会换吗？

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乍一看，这是一个无厘头的问题，可能有些意气风发的人便想到坚持自我等诸多大道理，或者暗自猜测面试官在红包上做了什么标记。

但也有些人想把握机会。

凑巧，甲坚持了原来的选择，乙却尝试了机会。

表面上看，这是一个完全机会均等，拼手气的选择。

稍加理性分析，我们可以得到一个初步的结论，帮助我们做出选择：

如果员工刚开始恰巧选择了1000元，他不交换会得到1000元，而显然有更大概率他刚开始选到了500元，那么他相应的就只能得到500元了。

由此，选择交换会获得更大的收益。

当然，我们可以不仅仅停留在定向判断。

设为A，B，C三个红包

当员工选择了A红包后，就将三个红包分为两组，第一组为A红包，第二组为B、C红包。很明显1000元在第一组的概率为 ，在第二组的概率为 ，而面试官打开了B红包，发现B为500元红包，这里其实是帮助员工在第二组里筛选掉了一个错误答案，所以1000元在C红包的概率其实为 。

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但是，当甲走到门口时，面试官灵机一动，告诉他可以再回答一个问题。

于是甲满怀激动地走了过来。

面试官~~把~~向两人~~踢出~~提出了下一个问题：

如果给你手上的红包，让你换已经打开的呢？（打开的那个是500元）

~~显然无论如何都是不换的于是两人完美的成为了同事~~

~~面试官因招到了人完美的收到了4000元~~

这其实是一个著名的三门问题，也称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，这个问题因在数学逻辑推理上合理，但违背直觉而闻名于世

在买彩票中，大多数人相信基本上是没法中奖的，但还是有少数人幻想，于是就再这里简要分析一个彩票问题的期望.

设一张彩票为 元，每售 张开奖，假设中奖号码为 ，则每张彩票有一个对应的六位数号码，奖次如下：（中奖不叠加）

• 末位相等,安慰奖：奖励4元，中奖概率0.1
  
• 后两位相等,幸运奖：奖励20元，中奖概率0.01
  
• 后三位相等,手气奖：奖励200元，中奖概率0.001
  
• 后四位相等,一等奖：奖励2000元，中奖概率0.0001
  
• 后五位相等,特等奖：奖励20000元，中奖概率0.00001
  

我们来用简单的概率知识来计算一下，对于每一位购买彩票的用户，公司可能支出为：

也就是说，公司期望对每个人赚0.8元。

由此可见，彩票公司售卖彩票会让买家有~~惊现~~不同的体验（奖次不同），但即使是随机生成彩票号码，卖得多了所支出的钱一定在期望值附近，而能保证稳定的收入，而且彩票单价低，还有可能中那么多奖，买的人多，这样彩票市场才得以持续下去。

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提示区：下面两道题目为初级期望，大佬可跳过食用，直接到高次期望

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三个骰子，每个面的概率均等，显然，三个面相加能得到一个唯一的数，而得到这个唯一的数却有多种不同的组合方法。

现在你需要求出哪个和出现的概率最大。

这题的数据范围很小，直接暴力跑三重循环就行了。

这里我~~闲的没事~~用了与期望相关的知识来简化了一下。但是这里只是定向的判断一下。

直接计算骰子的期望，得：

但是这个想法却有考虑不周的情况，这里留给读者思考。

tag：这道题笔者并没有找到题目出处，如有发现者，欢迎在评论区留言！

• 给定一个无向图，每个点可以等概率地走到与它有边的点
  
• 求从1走到n所需要的期望步数
  

每张彩票上有一个漂亮图案，图案一共n种，如果你集齐了这n种图案就可以~~召唤神龙~~兑换大奖。

现在请问，在理想（平均）情况下，你买多少张彩票才能获得大奖的？

本题我们设已经有了k个图案

设拿到一种新的图案需要t次。

则平均需要（已提出了（1-a））:

而此时我们需要观察其和$E(a)$的关系：

这样结论就显而易见了：

假设有k个图案在手，那么平均再买 次就可以再得到一种新的图案，故可得总次数为：

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从下面开始是高次期望。

下面给出一道入门题目，可用以上知识解决：（真的，不要看它是紫题，其实不难）

一个01串中每个长度为$X$的全1子串可贡献 的分数。

给出n次操作的成功率 ，求期望分数。

我们可以观察到每次对答案的贡献是三次方级别的。

吼啊，我不会三次方期望啊。

仔细观察，首先发现一次方的期望是很好弄的。

于是设$a[i]$表示前i位中第i位为1的长度的期望：

$tag$：即为在i-1的末尾加一个概率为$p[i]$出现的1

设$b[i]$表示前i位中第i位为1的长度的平方的期望：

$tag$:期望的线性延伸：

运用这种方法，我们可以在求出$a[i]$的基础上推出$b[i]$

同理，设$f[i]$表示前i位中第i位为1的长度的立方的期望：

• 哇塞我要A紫题了！！！

然后在满心欢喜的提交上去后发现 了。

显然，我们还有没考虑到的地方？

是最后求得的答案与中间过渡式子的不同性。

其实，前三个式子我们都只考虑第i位，这样做是为了递推下面的式子，但是答案让我们求出最终的期望分数，也就是前n位，这时输出f[n]自然就炸了。

所以，只需把三次方递推式稍微变形一下即可；

这样最终的 就是答案喽！

这题还可以扩展到k次，也就是 ，用二项式定理$ $解决。

觉得不够快？食用 对其加速可以达到

但这应该是个经典问题吧

和上面一道UVA题目有一点点像

n个数1~n，第k次取数需要k元，每次取数对于所有数概率均等（ ）,问取完n个数的期望花费

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这个题意千万别理解错了，不是买到k需要k元，而是第k次买需要k元。可能是题面就模糊，但是结合一下样例和难度颜色应该也能看出来

这道题是那题的升级版，要用到高次的期望，但输出不用那么麻烦了。

首先第一步很好转化吧，设用了x步，则花费为

现在就转换成要求上式的期望。

有了前面那题的基础现在考虑起来就简单了

维护一个线性期望$a$，平方期望$f$（都是数组）

好吧再清楚地表达一下：

$a[i]$表示找完i个数之后还需要的次数的期望

$f[i]$表示找完i个数之后还需要的次数平方的期望

下面就开始考虑状态转移（dp？）

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买过的是i个，概率为$\frac{i}{n}$,花费就相当于记在买到i时候的账上了（从i账上查），得到花费为$a[i]+1$

没买过的是$n-i$个，概率为 ,花费就相当于记在买到i+1时候的

账上了（从i+1账上查），因为当前多买了一个，得到花费为

这时就发现了，推着推着出现了i+1，自然而然的想到了倒推

但是这个式子固然能做，是不是麻烦了点？

那么把它化简看看能出来什么...

当然如果熟练了，直接心算都没毛病啦~~

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唉有了前面osu的铺垫这还不是轻而易举？

跟推a的时候一个思路，新的或旧的，唯一就把平方拆开就行喽

OK既然上面讲了写式子下面就说说化简的事吧~

把第一个括号拆成 和 两部分

然后把 给移到左边，合并得：

代码中精度转换注意一下，不要丢失

P1850 换教室 ————2016NOIPTG题目，dp+期望，值得一做 P3802 小魔女帕琪————也挺好，入门的分析

12、条件期望(略微进阶)

这种期望的求解一般是在有一定条件下的。~~废话~~

假设你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出6停止。求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。

至于如何得出的，在这里就不卖关子了，因为上面的答案是错的！

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假设你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出6停止。求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。

求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。

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细细的考虑一下，题目所说的并不是指出现奇数就pass再扔，而是出现奇数就终止了操作！！！

所以把条件这样转换后，就可以得到正确答案：$\frac{3}{2}$ 了

什么？你问怎么得到的？

假设你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出1,3,5，6停止。求骰子最后一次是6次数的期望。

这样再结合前面的知识，大家应该都明白了吧。

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这类问题属于数学期望中较有拓展的知识，考察的概率较低，感兴趣者可作为兴趣钻研。~~其实也不难~~

其实期望看上去挺高深的东西，仔细研究一下也不难~

主要就是最基础的式子，然后高次的推导，其实很多题就是dp结合了数学期望方面的理论

找到了方向（其实上来基本就有方向）一顿猛推还挺有成就感，最后潇洒的码上几行极短的代码A掉。

唯一可能有难度的就是引用了二项式等知识（and条件期望？）

但这些也不怎么是事啦！

其实，后面某些题的做法还有一个名字叫概率dp

所以恭喜您又学了一种dp！

期望的定义等少数内容为了精准参考了百度百科即其他大佬的blog等,本文如有错误，欢迎大佬指正

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