题目所在试卷参考答案：

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在对应的括号里．

1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

[考点]中心对称图形；轴对称图形．

[分析]根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

[解答]解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．

[点评]本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

2．用配方法解方程x²﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为(　　)

[考点]解一元二次方程-配方法．

[分析]在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

[解答]解：把方程x²﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x²﹣2x=1，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x²﹣2x+1=1+1

[点评]考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．若关于x的一元二次方程kx²﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)

A．k＞﹣1　　　　 B．k＜1且k≠0　　　　 C．k≥﹣1且k≠0　　 D．k＞﹣1且k≠0

[考点]根的判别式；一元二次方程的定义．

[分析]根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．

[解答]解：∵一元二次方程kx²﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

解得：k＞﹣1且k≠0．

[点评]此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

4．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁(如图乙)，此时AB与CD₁交于点O，则线段AD₁的长为(　　)

A． B．5　　　　　　 C．4　　　　　　 D．

[分析]先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD₁=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD₁然后利用勾股定理列式计算即可得解．

∴△ACO是等腰直角三角形，

[点评]本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．

5．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是(　　)

A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B．摸出的三个球中至少有一个球是白球

C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D．摸出的三个球中至少有两个球是白球

[分析]必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．

[解答]解：A、是必然事件；

B、是随机事件，选项错误；

C、是随机事件，选项错误；

D、是随机事件，选项错误．

[点评]解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为(　　)

A．2　　　　　 B．1　　　　　　 C．0　　　　　　 D．不确定

[考点]直线与圆的位置关系．

[分析]欲求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把圆心距与半径进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．(d为圆心距，r为圆的半径)

[解答]解：已知⊙O的直径为12cm，

∴⊙O的半径为6cm，

∴直线L与⊙O的公共点有1个．

[点评]本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

7．已知点A(1，a)、点B(b，2)关于原点对称，则a+b的值为(　　)

A．1　　　　　 B．3　　　　　　 C．﹣1　　 D．﹣3

[考点]关于原点对称的点的坐标．

[分析]根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而得到答案．

[解答]解：∵点A(1，a)、点B(b，2)关于原点对称，

[点评]此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为(　　)

A．2　　　　　 B．8　　　　　　 C．2　　　　　　 D．2

[考点]垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

[分析]先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．

[解答]解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，

设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，

[点评]本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是(　　)

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

[考点]列表法与树状图法．

[分析]列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．

∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，

∴两次都摸到红球的概率是=．

[点评]列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

10．已知一个三角形的两边长是方程x²﹣8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是(　　)

A．y＜8 B．3＜y＜5　　 C．2＜y＜8　　 D．无法确定

[考点]解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

[分析]求出方程的两根确定出三角形两条边，即可求出第三边的范围．

∴第三边的范围为5﹣3＜y＜5+3，即2＜y＜8．

[点评]此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

11．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t(s)．∠APB=y(°)，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是(　　)

A．　 B．　 C．　　　　　　 D．

[考点]动点问题的函数图象；圆周角定理．

[分析]本题考查动点函数图象的问题．

[解答]解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．

[点评]本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．

12．如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(﹣1，0)．下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是(　　)

[考点]二次函数图象与系数的关系．

[分析]由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；

由抛物线与x轴有两个交点得到b²﹣4ac＞0，又抛物线过点(0，1)，得出c=1，由此判定②正确；

由抛物线过点(﹣1，0)，得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，

∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b²﹣4ac＞0，

④∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵ab＜0，∴b＞0．

∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，

⑤抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1，0)，设另一个交点为(x₀，0)，则x₀＞0，

由图可知，当x₀＞x＞﹣1时，y＞0，错误；

综上所述，正确的结论有①②③④．

[点评]本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填在对应的横向线上．

13．关于x的一元二次方程x²﹣mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为　﹣2　．

[考点]根与系数的关系．

[分析]将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出另一根的值．

[解答]解：设方程的另一根为x₁，又∵x=1，

[点评]本题考查了一元二次方程根与系数的关系，列方程组时要注意各系数的正负，避免出错．

14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO延长线交⊙O点C，连接BC，若∠A=38°，则∠C=　26°　．

[考点]切线的性质；圆周角定理．

[分析]连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠A=38°，易求∠AOB，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，利用三角形外角性质，可知∠AOB=2∠C，易求∠C．

[解答]解：如右图所示，连接OB，

[点评]本题考查了切线的性质、三角形外角性质．解题的关键是连接OB，构造直角三角形．

15．某工厂一月份生产电视机1万台，第一季度共生产电视机3.31万台，求二月、三月份生产电视机的平均增长率是　10%　．

[考点]一元二次方程的应用．

[分析]设二月、三月份生产电视机的平均增长率是x，则二月份生产零件(1+x)万台，3月份生产零件(1+x)²万台．根据“一季度共生产零件3.31万台”作为相等关系，列方程求解即可．

[解答]解：设二月、三月份生产电视机的平均增长率是x，根据题意得：

则二月、三月份生产电视机的平均增长率是10%．

[点评]本题考查了一元二次方程的应用，但要注意的是“一季度共生产零件3.31万台”，是三个月数量的和．

16．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为　　．

[考点]扇形面积的计算；弧长的计算．

[分析]首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S_△ABC﹣S_扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．

∵B，E是半圆弧的三等分点，

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面积相等，

∴图中阴影部分的面积为：S_△ABC﹣S_扇形BOE=﹣=﹣．

[点评]此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．

17．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字﹣2，﹣1，1，2，3的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的绝对值作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=﹣x²+2x+4与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是　　．

[考点]概率公式；二次函数的性质．

[分析]首先根据题意求得所有的点P的坐标，然后求得二次函数与x轴的交点与顶点坐标，画出图象；然后分别分析在抛物线y=﹣x²+2x+4与x轴所围成的区域内(不含边界)的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

﹣2，﹣1，1，2，3的绝对值为2，1，1，2，3．

描出各点：﹣2＜1﹣，不合题意；

把x=﹣1代入解析式得：y₁=1，1=1，故(﹣1，1)在边界上，不在区域内；

把x=1代入解析式得：y₂=5，1＜5，故(1，1)在该区域内；

把x=2代入解析式得：y₃=4，2＜4，故(2，2)在该区域内；

把x=3代入解析式得：y₄=1，1＜3，故(3，3)不在该区域内．

所以5个点中有2个符合题意．

故点P落在抛物线y=﹣x²+2x+4与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是．

[点评]此题考查了二次函数的性质，概率公式的应用以及绝对值的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

18．已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，则此正方形的边长为　2　．

[考点]旋转的性质；正方形的性质．

[分析]设E到A点，B点，C点的距离之和的最小值为．以B为旋转中心，把△AEB按逆时针方向旋转60°，得△FGB，连CF，

FC=+；设正方形的边长为2x，过F作FG⊥BC于G点，则FG=x，BG=x，则CG=(2+)x，在Rt△FGC中，利用勾股定理即可得到x的值，则正方形的边长即可得到．

[解答]解：如图，设E到A点，B点，C点的距离之和的最小值为．

以B为旋转中心，把△AEB按逆时针方向旋转60°，得△FGB，连CF，

∴△BEG是正三角形，

设正方形的边长为2x，过F作FG⊥BC于G点，如图，

∴正方形的边长为2x=2．

[点评]本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及勾股定理．

三、解答题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分。

[考点]解一元二次方程-因式分解法．

[分析]先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

[点评]本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(﹣4，1)，点B的坐标为(﹣1，1)．

(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A₁B₁C₁．试在图中画出图形Rt△A₁B₁C₁，并写出A₁的坐标；

(2)将Rt△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°后得到Rt△A₂B₂C₂，试在图中画出图形Rt△A₂B₂C₂．并计算Rt△A₁B₁C₁在上述旋转过程中C₁所经过的路程．

[考点]作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换．

[分析](1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A₁、B₁、C₁的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A₁的坐标即可；

(2)根据网格结构找出点A₁、B₁、C₁绕点A₁顺时针旋转90°后的对应点A₂、B₂、C₂的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A₁C₁的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解．

[解答]解：(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求作的三角形，

点A₁的坐标为(1，0)；

(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求作的三角形，

根据勾股定理，A₁C₁==，

所以，旋转过程中C₁所经过的路程为=π．

[点评]本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的计算公式，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．

四、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分。

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

[考点]根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

[专题]计算题；压轴题．

[分析](1)先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

(2)先利用公式法求出方程的解为x₁=k，x₂=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

∴方程有两个不相等的实数根；

综合上述，k的值为5或4．

[点评]本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．

22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

[考点]圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．

[分析](1)由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

[解答](1)证明：∵AB为⊙O的直径，

∵∠B=∠E，∠B=∠D，

[点评]此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

23．甲乙两单位随机选派相同人数参加科普知识比赛；每人得分成绩只有70分、80分、90分三种结果中一种，已知两单位得80分的人数相同，根据下列统计图回答问题．

(1)求甲单位得90分的人数，将甲单位职工得分条形统计图补充完整；

(2)分别计算两个单位职工参加比赛成绩的平均分，由此你能估计出哪个单位职工对此次科普知识掌握较好，并说明理由；

(3)现从甲单位得80分和90分的人中任选两个人，列出所有的选取结果，并求两人得分不同的概率(用大写字母代表得90分的人，小写字母代表得80分的人)．

[考点]条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

[分析](1)首先根据扇形统计图知得80分的占一半，有3人，从而求得总人数，补全统计图；

(2)计算平均分后比较平均分即可得到答案；

(3)列出树状图后即可得到结果．

[解答]解：(1)观察两种统计图知道，甲单位有3人得80分，乙单位有一半得80分，

∵得80分的人数相同，

∴总人数=3×2=6人，

∴甲单位得90分的有2人，

故甲单位职工对此次科普知识掌握较好．

P(两人得分不同的概率)==．

[点评]本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是仔细的读图，并从统计图中得到进一步解题的有关信息．此类考题是中考的高频考点．

24．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

[考点]一元二次方程的应用．

[分析]根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．

答：第二周的销售价格为9元．

[点评]此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．

五、解答题：本大题共2个小题，每小题12分，共24分。

(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2)，连接BD，取BD的中点F，问(2)中的结论是否仍然成立？并说明理由．

[考点]全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

(3)思路同(2)．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．

又∵F是线段BD的中点，

(2)如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；

(3)(2)中的结论仍然成立．

如图2，连接CF，延长EF交CB于点G，

∴△CEF为等腰直角三角形，

[点评]本题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．

26．如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

(1)抛物线及直线AC的函数关系式；

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

[考点]二次函数综合题．

[分析](1)将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；

(2)利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．

(3)设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．

设直线AC解析式为y=kx+n，将点A(﹣1，0)、C(2，3)代入得：，

可求出直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，

当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，x+3)，

则点E的坐标为：(0，1)．

②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，x﹣1)，

即点E的坐标为：(，)或(，)

综上可得满足条件的点E为E(0，1)或(，)或(，)．

[点评]本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．