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1、2 二元函数的极限(一) 教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系(二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限 基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题(三) 教学建议：(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法一 二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限： 的“” 定义(c31)：设函数在

2、的某一空心邻域内由定义，如果对 ，当 ，即 时，都有 ，则称时，函数的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数为定义在上的二元函数，在点为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 ，使得当 时，都有 ，则称在D上当 时，以A为极限。记作 也可简写为 或 例1 用定义验证 证明: 限制在 （2，1）的邻域 取 ，则有由二元函数极限定义 例2 ，证明 证 所以 对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点： 是指： 以任何方式趋于，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于 时，必须趋于同一确定的常数。 对于一元函数， 仅需沿轴从的左右两个方向趋于，但是对于二元函数，趋于的路线有无穷多条，

3、只要有两条路线，趋于时，函数的值趋于不同的常数，二元函数在点极限就不存在。例1 二元函数 请看图像（x62），尽管沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当沿抛物线 时， 的值趋于而不趋于零，所以极限不存在。f(x)=0f(x)=1f(x)=1 ( 考虑沿直线的方向极限 ). 例2 设函数 求证 证明 因为 所以， 当 时， 。 请看它的图像，不管沿任何方向趋于原点，的值都趋于零。通常为证明极限不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在.例3 设

4、函数 证明函数 在原点处极限不存在。 证明 尽管 沿 轴和轴趋于原点时 的值都趋于零， 但沿直线 趋于原点时 沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例沿任何路线趋于原点时，极限都是0，但例沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。 例4 判别函数 在原点是否存在极限.非正常极限 极限的定义:例1 设函数 证明 证 只要取 时，都有 请看它的图象，因此 是无穷大量。例2 求下列极限:i) ; ii) ; iii) ; iV) . 二. 累次极限:累次极限前面讲了以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量依一定次序趋于时 的极限，称为累次极限。对于

5、二元函数在的累次极限由两个 和 例1 , 求在点的两个累次极限. 例2 , 求在点的两个累次极限 .例3 , 求在点的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序 。例 函数 的两个累次极限是 （） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例 ， 两个累次极限都存在 但二重极限却不存在，事实上若点沿直线 趋于原点时， 二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例 函数 由 . 可见二重极限存在 , 但 和 不存在，从而两个累次极限不存在。（4）二重极限极限和累次极限(或另一次序)都存在 , 则必相等. ( 证 ) （5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等