题目所在试卷参考答案：

一.选择题(本题共12个小题，每小题3分，共36分)

1．下列图形是轴对称图形的有(　　)

[分析]根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．

[解答]解：图(1)有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图(2)不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；

图(3)有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图(3)有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图(3)有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．

[点评]本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像(如图所示)，此时，它所看到的全身像是(　　)

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

[分析]此题考查镜面反射对称的特点，注意与实际生活结合．

[解答]解：根据图中所示，镜面对称后，应该为第一个图象．

[点评]注意所学知识与实际生活的结合．

3．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(　　)

[考点]全等三角形的判定与性质；作图-基本作图．

[分析]利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．

可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，

[点评]考查全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点．

4．下列各组图形中，是全等形的是(　　)

A．两个含60°角的直角三角形

B．腰对应相等的两个等腰直角三角形

C．边长为3和4的两个等腰三角形

D．一个钝角相等的两个等腰三角形

[分析]综合运用判定方法判断．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．

[解答]解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；

B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；

C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；

D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．

[点评]本题主要考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系．

5．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于(　　)

[考点]线段垂直平分线的性质．

[分析]根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．

[解答]解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，

[点评]本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．

6．如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，点Q在AC上，PQ=QA，下列结论：①AN=AM，②QP∥AM，③AP平分∠BAC，④PA平分∠MPN，⑤△BMP≌△CNP，其中正确的个数有(　　)

[考点]角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

[分析]利用“HL”证明△APM和△APN全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=AM；全等三角形对应角相等可得∠PAM=∠PAN，再根据等边对等角可得∠PAN=∠APQ，从而得到∠PAM=∠APQ，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AM；根据角平分线的性质判定定理判断AP平分∠BAC，同时判断出PA平分∠MPN，欲证△BMP和△CNP全等，须得BP=PC，而此条件无法得到，所以，两三角形不一定全等．

∴AN=AM，故①正确；

∴QP∥AM，故②正确；

∴AP平分∠BAC，故③正确；

∴PA平分∠MPN，故④正确；

此条件无法从题目得到，

所以，假设不成立，故⑤错误．

综上所述，正确的是①②③④．

[点评]本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角的性质，比较复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．

[考点]角平分线的性质；等腰直角三角形．

[分析]由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．

[点评]此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．

8．如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路．现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)处．

A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4

[考点]角平分线的性质；作图-应用与设计作图．

[分析]由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．

[解答]解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

∴可供选择的地址有4个．

[点评]此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．

9．三角形内到三条边的距离相等的点是(　　)

A．三角形的三条角平分线的交点

B．三角形的三条高的交点

C．三角形的三条中线的交点

D．三角形的三边的垂直平分线的交点

[考点]角平分线的性质．

[分析]根据角平分线的性质的判定得出O在∠A、∠B、∠C的角平分线上，即可得出答案．

∴O在∠B的角平分线上，

同理可证：O在∠A的角平分线上，O在∠C的角平分线上，

即O是三角形ABC三角的角平分线的交点，

[点评]本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

10．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P₁与点P关于OA对称，点P₂与点P关于OB对称，则△P₁OP₂是(　　)

A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形

C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形

[考点]轴对称的性质．

[分析]根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．

[解答]解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P₁、P₂，

∴故△P₁OP₂是等边三角形．

[点评]本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

11．平面上有A、B两个点，以线段AB为一边作等腰直角三角形能作(　　)

A．3个　 B．4个　 C．6个　 D．无数个

[考点]等腰直角三角形．

[分析]分别以AB为斜边、以AB为直角边、以AB为另一直角边这三种情况去确定等腰直角三角形的个数即可．

[解答]解：以AB为斜边的等腰直角三角形有2个(上下各一个)，

同理以AB为直角边等腰直角三角形有2个，

同理以AB为另一直角边等腰直角三角形有2个，

所以以线段AB为一边作等腰直角三角形能作6个．

[点评]此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，难度比大，是一道基础题．

12．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB等于(　　)

[考点]线段垂直平分线的性质．

[分析]首先根据题意画出图形，然后分别从AB在EF的同侧与AB在EF的异侧去分析求解即可求得答案．

[解答]解：如图，若AB在EF的同侧，

∵A和B两点在线段EF的中垂线上，

∵A和B两点在线段EF的中垂线上，

[点评]此题考查了线段垂直平分线的性质．注意根据题意画出图形是关键．

二.填空题(本题共5个小题，每小题4分，共20分)

13．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．已知AC=5，AD=4，则AB的取值范围是　3＜AB＜13　．

[考点]三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．

[分析]延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答．

[解答]解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，

∵AD是BC边上的中线，

∵在△ABD和△ECD中，

即AB的取值范围是：3＜AB＜13．

故答案为：3＜AB＜13．

[点评]本题考查了全等三角形的判定与性质，“遇中线加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

14．已知点M(a，﹣4)与点N(6，b)关于直线x=2对称，那么a﹣b等于　2　．

[考点]坐标与图形变化-对称．

[分析]根据轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质在坐标系中得到对应点的坐标．

[解答]解：∵点M(a，﹣4)与点N(6，b)关于直线x=2对称，

[点评]主要考查了坐标与图形的变化﹣对称特点；解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．

[考点]直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．

[分析]根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．

[点评]三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为　30°或150°　．

[考点]等腰三角形的性质．

[分析]读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．

[解答]解：①当为锐角三角形时可以画图，

高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，

②当为钝角三角形时可画图，

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，

∴三角形的顶角为150°，

故答案为30°或150°．

[点评]本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．

[考点]等腰三角形的性质．

[分析]先根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，再由AM=AN，CN=CP用∠A与∠C表示出∠ANM与∠CNP的度数，由补角的定义即可得出结论．

[点评]本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

三．解答题(共64分)

18．作图题：(保留作图痕迹，不写作法)

(1)如图1，在“V”形公路(∠AOB)内部有两个村庄C和D，现要建一个果品加工厂点M，使其到“V”形公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样，用尺规在图上作出果品加工厂点M的位置．

(2)如图2，一牧民要从A点出发，到草地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水．问：该牧民应该走怎样的路线最短？(在图上画出)

[考点]作图-应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．

[分析](1)由角的平分线的性质：在角的平分线上的点到两边距离的相等，中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，把工厂建在∠AOB的平分线与CD的中垂线的交点上就能满足本题的要求；

(2)作出点A关于MN的对称点A′，点B关于PQ的对称点B′，连接A′B′，交于MN，PQ于点C，点D，则AC，CD，BD是他走的最短路线．

[解答]解：(1)如图所示：

[点评]本题考查了作图与应用设计作图，利用轴对称的性质﹣最短路线问题，两点之间线段最短的性质求，角的平分线和中垂线的性质求解．

19．△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？

[考点]等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

[分析]先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．

又∵∠NBC=∠MAB(全等三角形对应角相等)，

∠BQM=∠AQN=60°(全等三角形对应角相等)．

又∵∠NBC=∠MAB(全等三角形对应角相等)

[点评]此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F点，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D点．若BD=3cm，求线段AC的长．

[考点]全等三角形的判定与性质．

[分析]根据AAS证明△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根据AE是BC边上的中线，得出BC，最后根据AC=BC即可得出答案．

[点评]此题考查了全等三角形的性质与判定，用到的知识点是三角形的中线、全等三角形的判定与性质、余角的性质，关键是在较复杂的图形中找出全等的三角形，利用AAS证出△DBC≌△ECA．

21．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．

[考点]全等三角形的判定与性质．

[分析]先证△ABF≌△CBF，得出AF=FC，利用等腰三角形的性质可知∠3=∠4，再利用平行线的性质可证出∠4=∠5，等量代换，可得：∠3=∠5．那么AC就是∠DCF的平分线．

[解答]证明：∵BF是∠ABC的平分线，

∴CA是∠DCF的平分线．

[点评]本题考查了角平分线的性质、判定，全等三角形的判定和性质；找着并利用△ABF≌△CBF是正确解答题目的关键．

[考点]全等三角形的判定与性质．

[解答]解：延长AE、BC交于F，

[点评]本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEB≌△FEB是解题的关键．

23．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．

[考点]全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

[解答]解：DE=DF，理由如下：

[点评]本题主要考查三角形全等的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

[考点]等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

[分析](1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．

(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．

[解答](1)证明：在等腰直角三角形ABC中，

(2)△ACF是等腰三角形，理由为：

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴△ACF是等腰三角形．

[点评]此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．