• §2.3 拉氏变换和拉氏反变换的定义 ? §2.4 典型时间函数的拉氏变换 ? §2.5 拉氏变换的性质 ? §2.6 拉氏反变换的数学方法 ? §2.7 用拉氏变换解......

  实验八 拉氏正反变换与零极点分析一、实验目的 1、 掌握利用部分分式展开的方法求解拉普拉斯逆变换,并能利用 MATLAB 实现; 2、 掌握利用 MATLAB 计算拉氏正反变换......

  尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用,非常适合与相 关课题的研究与分析 2 利用 Matlab 实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉 普拉斯逆变换的设计 2.1 ......

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  3 第2章 拉普拉斯变换的数学方法 本章要点 拉氏变换及拉氏反变换的定义 典型时间环节的拉氏变换 拉氏变换的基本性质 部分分式法求拉氏反变换 用拉氏变换求解常......

  拉氏反变换的数学方法四种方法: 1、拉氏变换表; 2、有理函数法; 3、部分分式法 4、使用MATLAB函数求解原函数 16 机械控制工程基础 一、拉氏变换表()F ( s......

  矩形脉冲信号的拉氏变换对一、作业要求 利用 Matlab 求解矩形脉冲信号的拉氏变换对。 二、解题思路 1、利用阶跃函数相减,做成一个矩形脉冲; 2、利用 L=laplace(......

  则称 称为 为 的像原函数。 的拉氏逆变换(或称为像原函数),记为 2.拉普拉斯变换的MATLAB符号求解 MATLAB中提供了专门的拉氏变换及其逆变换的求解函数:laplace......

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  实验五 信号的拉氏变换及系统复频域的分析 一、实验目的 1、 学会用 MATLAB 进行部分分式展开; 2、 学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的特性; 3、 学会用 MATLAB ......

  的拉氏变换, 则称 为 的拉氏逆变换(或称为像原函数),记为 2.拉普拉斯变换的MATLAB符号求解 MATLAB中提供了专门的拉氏变换及其逆变换的求解函数:laplace和ilaplac......

  的拉氏变换, 则称 为 的拉氏逆变换(或称为像原函数),记为 2.拉普拉斯变换的MATLAB符号求解 MATLAB中提供了专门的拉氏变换及其逆变换的求解函数:laplace和ilaplac......

  学习并研究拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换有关理论; 3、利用 Matlab 编程,完成拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换分析与处理; 4、写出课程设计报告,打印程序,给出运行结果。...

• 一、复数和复变函数 1、复数的三种表现形式： 坐标形式： 三角形式： 指数形式： 2、复变函数：复数集E内的每一个复数z=a+b*i，都有(唯一确定的/无穷多个/有限个)复数与之对应,可以确定（单值/多值）复变函数。 ...

  1、复数的三种表现形式：

  复数集E内的每一个复数z=a+b*i，都有(唯一确定的/无穷多个/有限个)复数与之对应,可以确定（单值/多值）复变函数。

  极点：分母为零的点，即G(s)=∞时,s=p1,p2叫做G(s)的极点；

  拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)的函数。拉氏变换建立了时域与复频域(s域)之间的联系。

  式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。

  拉氏变换是将时间函数F(s)变换为复变函数f(t)的函数。

  式中，s=a+b*i为复变数,f(t)又称为原函数，F(s)又称为象函数。

  3、典型时间函数的拉氏变换

  推倒可得：（正余弦函数拉氏变换推导使用）

  齐次性：L[a*f(t)]=a*F(s)、叠加性：，齐次性和叠加性的组合起来就是拉氏变换的线形性质

  原函数在t=0处的初值，等于s*【F(s)的终值】

  原函数在t=+∞处的终值，等于s*【F(s)的初值】

  两个原函数卷积的拉氏变换=它们象函数的乘积

  拉氏逆变换有三种方法：查表法、留数定理法、部分分式法。

  1、查表法：由拉氏变换表直接查出与像函数F(s)对应的原函数f(t)。

  2、留数定理法：利用留数定理计算像函数的原函数。

  3、部分分式法：先把像函数分解为部分分式，再对各个分式进行逆变换。

  这里给出了拉氏逆变换例题的网址，读者可以自行练习。

  e=L_1-y %做差检查结果是否正确 %原函数与象函数图像绘制

• 当我们想用subs函数中s/t取具体值带入得到的拉氏变换/反拉氏变换公式中时发现，会报错“未定义函数或变量 ‘s’。”如图：
  那么明明F中已经有s了，为什么还会出现这种错误呢？

  经过查阅资料以及对比发现，不管是拉氏变换，还是拉氏反变换，得出的结果都是1x1 sym类型，那什么是sym类型呢？

  2.什么是sym类型？

  sym是一种符号数字、符号变量、符号对象。可以通过class(S)来验证，这里S是一个符号对象。同时也可以通过sym创建符号对象。

  【恍然大悟】：我到这里才明白了为什么syms用于创建符号变量和函数，这分明就是sym的复数形式啊！！！创建一个符号对象用sym，创建一个或多个符号对象用syms。因此，我们习惯直接使用syms，而将sym函数逐渐置之度外。

  那么，如何带入具体数值计算sym表达式的解呢？

转变为double类型的目的是使替换后的值方便之后计算。因为double 是 MATLAB中的默认数值数据类型，它可为大多数计算任务提供足够的精度。 而如果不加double，则替换后的类型为sym类型，仍无法进行计算。

ok，如果帮助到你，记得点个赞哟~

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1、实用标准2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10) 式中， 是复变数， （、均为实数）， 称为拉普拉斯积分； 是函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称 为 的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.1

2、0）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为当 ，则 。所以 （2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。令 则与求单位阶跃函数同理，就可求得 （2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，则由欧

3、拉公式，有所以(2.13）同理 (2.14）4.单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。图2.8 单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，故积分限变为。(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为见图2.9所示。图2.9 单位速度函数单位速度函数的拉氏变换式为利用分部积分法令则所以当时，,则（2.16）6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为如图2.10所示图2.10 单位加速度函数其拉氏变换式为（2.17）2.5.3 拉氏变换

4、的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。（1）齐次性 设，则（2.18）式中常数。（2）叠加性 设,，则（2.19）两者结合起来，就有这说明拉氏变换是线性变换。2.微分定理设则式中函数在 时刻的值，即初始值。 同样，可得的各阶导数的拉氏变换是（2.20）式中,，原函数各阶导数在时刻的值。如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为（2.21）3.复微分定理若 可以进行拉氏变换，则除了在 的极点以外，（2.22）式中， 。同样有一般地

5、，有（2.23）4.积分定理设 ，则（2.24）式中积分 在 时刻的值。当初始条件为零时，（2.25）对多重积分是（2.26）当初始条件为零时，则（2.27）5.延迟定理设 ，且 时， ，则（2.28）函数为原函数沿时间轴延迟了，如图2.11所示。图2.11 函数6.位移定理在控制理论中，经常遇到 一类的函数，它的象函数只需把 用代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。设，则（2.29）例如 的象函数，则的象函数为7.初值定理它表明原函数在 时的数值。（2.30）即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。8.终值定理设，并且 存在，则（2.31）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。 这一定理对于

6、求瞬态响应的稳态值是很有用的。9.卷积定理设，则有（2.32）即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。式（2.32）中， 为卷积分的数学表示，定义为10.时间比例尺的改变（2.33）式中 比例系数例如,的象函数 ,则 的象函数为11.拉氏变换的积分下限在某些情况下,在 处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下限是 还是 ，因为对于这两种下限， 的拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：若在 处 包含一个脉冲函数，则因为在这种情况下显然，如果 在处没有脉冲函数，则有2.5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的公式为 （2.36）式中 表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式

7、展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。1.部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式 为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有式中， ， ， 是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2. 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换 （2.37）式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下（2.38）再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数例 2.1 求的原函数。解: 首先将 的分母因式分解，则有 即得 3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换如果 有一对共轭复数极点 , ，其余极点均为各不相同的

8、实数极点。将 展成式中, 和 可按下式求解即（2.39）因为(或 ）是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得， 两个常数。例 2.2 已知,试求其部分分式。 解: 因为（2.40）含有一对共轭复数极点, 和一个极点 ，故可将式（2.40）因式分解成（2.41）以下求系数 、 和 。由式（2.40）和式（2.41）相等，有（2.42） 用乘以上式两边，并令，得到上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得为了求出系数,用乘方程（2.42）两边，并令,将 代入，得 将所求得的 , 值代入（2.41），并整理后得的

9、部分分式查拉氏变换表便得， 结果见式（3.16）。例 2.3 已知求。解: 将的分母因式分解，得利用方程两边实部、虚部分别相等得解得，所以这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得4.中含有重极点的拉氏反变换 设有r个重根，则将上式展开成部分分式（2.43） 式中，的求法与单实数极点情况下相同。，的求法如下：则(2.44） 例 2.4 设 ，试求 的部分分式。 解: 已知（2.45）含有2个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得（2.46） 以下求系数、和。将所求得的、值代入式（2.46），即得的部分分式查拉氏变换表可得。例 2.5 求的拉氏反变换。 解: 将展开为部分分式上式中各项系数为 于是

Works公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。(2) 用MATLAB进行部分分式展开MATLAB有一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。 设s的有理分式为

1命令r,p,k=residue(num,den)将得到如下结果：r,p,k=residue(num,den)r=1..0000p=-1.0-1.0000k= 所以可得注意，本例的余项k为零。2.5.5 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为 的代数方程；(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式

    z变换的思想来源于连续系统。线性连续控制系统的动态及稳态性能，可以应用拉氏变换的
方法进行分析。与此相似，线性离散系统的性能，可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏
变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，z变换又称为
采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。

    求离散时间函数的z变换有多种方法，下面只介绍常用的两种主要方法。
上式是离散时间函数e*(t)的一种无穷级数表达形式，显然，根据给定的理想采样开关的输入连
续信号e(t)或其输出采样信号e*(t),以及采样周期T，由式(7-30)立即可得z变换的级数展开
式。通常，对于常用函数z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。
试求理想脉冲序列δT(t)的z变换。
于相同的连续函数e(t)，这是利用z变换法分析离散系统时特别要注意的一个问题。
    利用部分分式法求名变换时，先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s),然后将有理
分式函数E(s)展成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z变
换是已知的，于是可方便地求出E(s)对应的z变换E(z)。
    常用时间函数的z变换表如表7-2所示。由表可见，这些函数的z变换都是z的有理分式，
且分母多项式的次数大于或等于分子多项式的次数。值得指出，表中各z2变换有理分式中，分母
z多项式的最高次数与相应传递函数分母s多项式的最高次数相等。
    z变换有一些基本定理，可以使z变换的应用变得简单和方便，其内容在许多方面与拉氏变
换的基本定理有相似之处。
    实数位移定理又称平移定理。实数位移的含意，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干
采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后，实数位移定理如下：
  在实数位移定理中，式(7-33)称为滞后定理l式(7-34)称为超前定理，显然可见，算子z有明
确的物理意义：z-k代表时域中的滞后环节，它将采样信号滞后k个采样周期；同理，zk代表超前
环节，它把采样信号超前k个采样周期。但是，zk仅用于运算，在物理系统中并不存在。
    实数位移定理是一个重要定理，其作用相当于拉氏变换中的微分和积分定理。应用实数位移
定理，可将描述离散系统的差分方程转换为=域的代数方程。有关差分方程的概念将在下节
  读者不妨自行论证。在离散系统分析中，常采用终值定理求取系统输出序列的终值误差，或称稳
    卷积定理指出，两个采样函数卷积的z变换，就等于该两个采样函数相应z变换的乘积。在
离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与2域的桥梁．
    在连续系统中，应用拉氏变换的目的，是把描述系统的微分方程转换为s的代数方程，然后
写出系统的传递函数，即可用拉氏反变换法求出系统的时间响应，从而简化了系统的研究。与此
类似，在离散系统中应用z变换，也是为了把s的超越方程或者描述离散系统的差分方程转换为
z的代数方程，然后写出离散系统的脉冲传递函数(z传递函数）,再用z反变换法求出离散系统
进行z反变换时，信号序列仍是单边的，即当n<0时,e(nT)=0。常用的名反变换法有如下三种：
    部分分式法又称查表法，其基本思想是根据已知的E(z)，通过查z变换表找出相应的
e*(t)，或者e(nT)。然而，z变换表内容毕竟是有限的，不可能包含所有的复杂情况。因此需要把
E(z)展开成部分分式以便查表。考虑到z变换表中，所有名变换函数E(z)在其分子上普遍都有
因子z，所以应将E(z)/z展开为部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以z，即得E(z)的部分
    幂级数法又称综合除法.由表7-2知，z变换函数E(z)通常可以表示为按z-1升幂排列的两
其中ai(i=1，2，…，n）和bj(j=0,1，…m)均为常系数。通过对式(7-42)直接作综合除法，得到按
z-1升幂排列的幂级数展开式
如果所得到的无穷幂级数是收敛的，则按z变换定义可知，式(7-43)中的系数Cn(n=0，1,…，∞)
就是采样脉冲序列e*(t)的脉冲强度e(nT)。因此，根据式(7-43)可以直接写出e*(t)的脉冲序列
    在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了。因此用幂级数法计算e*(t)最简便，这
是z变换法的优点之一。但是，要从一组e(nT)值中求出通项表达式，一般是比较困难的。
    应当指出，只要表示函数z变换的无穷幂级数E(z)在z平面的某个区域内是收敛的，则在
应用z变换法解决离散系统问题时，就不需要指出E(z)在什么z值上收敛。
    反演积分法又称留数法。采用反演积分法求取2反变换的原因是：在实际问题中遇到的2
变换函数E(z)，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求
z反变换，而只能采用反演积分法。当然，反演积分法对E（z）为有理分式的情况也是适用的。由
于E(z)的幂级数展开形式为
所以函数E(z)可以看成是z平面上的劳伦级数．级数的各系数e(nT)，n=0，1，…，可以由积分
的方法求出。因为在求积分值时要用到柯西留数定理，故也称留数法。
    z变换与拉氏变换相比，在定义、性质和计算方法等方面，有许多相似的地方，但是z变换也
    z变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此z变换与其原连续时间函数并非一一对应，
而只是与采样序列相对应，与此类似，对于任一给定的z变换函数E(z)，由于采样信号e*(t)可
以代表在采样瞬时具有相同数值的任何连续时间函数e(t)，所以求出的E(z)反变换也不可能是
唯一的。于是，对于连续时间函数而言，z变换和z反变换都不是唯一的。图7-20就表明了这样
的事实，其中连续时间函数e1(t)和ez(t）的采样信号序列是相同的，即e1*(t)=e2*(t)；它们的z
变换函数也是相等的，即E1(z)=E2(z)；然而，这两个时间函数却是寝不相同的，即e1(t）≠e2(t）。
(2)z变换的收敛区间
对于拉氏变换，其存在性条件是下列绝对值积分收敛：
若上式满足，则双边z变换一致收敛，即e(nT)的z变换存
换是单边的，其定义式为
上式为一无穷等比级数，其公比为az-l，只有当丨z丨=r>丨a丨I时，该无穷级数才是收敛的，其收敛
区间为丨z丨>丨a丨。故有
不难看出，E(z)的零点是z=0，极点是z=a，收敛区如图7-21所示。
    由于大多数工程问题中的z变换都存在，因此今后对z变换的收敛区间不再特别指出。