|
极值的定义 设函数在的某个邻域内恒有
成立，则称是函数的一个极大值(或极小值)．
极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．
|
|
可见，极大值就是局部最大值，极小值就是局部最小值．
二、哪些点有可能是极值点？
先观察极大值点，函数在的左边是单调增加的，而在的右边变成单调减少的了．其它极大值点处，同样地函数在其左边单调增加，在其右边单调减少．
思考：在极小值点的左右两边，函数的单调性有没有什么变化？有什么样的变化？请同学们自行思考．
例4.3.2 讨论函数的单调区间．
解 (1)函数的定义域为．
(2)．令，得驻点，．(无不可导的点)
(3)列表分析
可见，函数在区间和上单调减少，在区间上单调增加．
答：函数的单调减少区间为和，单调增加区间为．
在例4.3.2中，是极小值点，是极大值点．极小值是，极大值是．
例4.3.3 求的单调区间．
解 (1)定义域为．
(2) ，令，得驻点．此外是不可导的点．
(3)列表分析
答： 的单调增加区间是和，的单调减少区间是．
在例4.3.3中，函数有极大值点，极大值为；极小值点，极小值为．
结论：对于连续函数，只有驻点和不可导的点才有可能是极值点．
三、求极值的方法及步骤
方法一（第一充分条件：利用一阶导数）
(1)求出函数的驻点和不可导的点．
(2)以上述点划分定义域，列表分析，确定函数的单调区间．
(3)从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)，并求出这些点处的函数值，即得所求极值．
说明：在极值点的左右，若一阶导数符号从‘－’变到‘＋’，则该点为极小值点；若一阶导数符号从‘＋’变到‘－’，则该点为极大值点；若一阶导数不变号，则该点不是极值点．
方法二（第二充分条件：利用二阶导数）
对于函数的驻点（即一阶导数为零的点），考察该点处的二阶导数．如果不为零，则该点为极值点；如果为零，则无法判断．
在极值点处，若二阶导数值大于零，则该点为极小值点，若二阶导数值小于零，则该点为极大值点．
例题4.4.1 求的极值．
(1) 求驻点和不可导的点． 令，得驻点：，，．无不可导的点．
(2) 列表分析
答：极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为．
1. 在的左右，一阶导数不变号（均大于零），意味着函数在该点左右单调性无变化，所以该点不是极值点．
2. 驻点可能是极值点，但并非一定是极值点．例如本题中的是驻点但不是极值点．对于不可导的点，也有类似的结论．
|
|
定理（极值的必要条件）：如果函数在点处可导且取得极值，则必有，即一定是驻点．
|
|
例题4.4.2 求函数的极值．
(1)求驻点和不可导的点． 令 ，得驻点：，，．无不可导的点．
(2) 列表分析
答：函数在处取得极小值，极小值为；在处取得极大值，极大值为．
例题4.4.3 试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．
解 ，显然在处可导，又题设在处取得极值，所以应有
}
第八节 多元函数的极值及其求法
定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内一切异于 的点 ，都有
则称函数在点 取得极大（小）值 ．极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点
关于一个极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，还附加若干条件，这样的极值问题称为无条件极值．
定理1(必要条件) 设函数 在点 具有偏导数，且在点 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
定理2(充分条件) 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 ，
则 在 处是否取得极值的条件如下：
(1) 时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值；
(3) 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．
拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先构造辅助函数
其中 为某一常数．求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立起来：
由这方程组解出 及 ，则其中 就是函数 在附加条件 下的可能极值点的坐标．
这样的方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形．例如，要求函数
下的极值，可以先构造辅助函数
其中 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与条件中的两个方程联立起来求解，这样得出的 、 、 、 就是函数 在附加条件下的可能极值点的坐标．
关于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定．
在点(0, 0)处， ，所以 不是极值；
在点(0, 4)处， ，所以 不是极值；
在点 处， ，所以 不是极值；
在点 处， ，所以 不是极值；
在点 处， ，又 ，所以函数在
例2 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱．问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省．
解法一 设水箱的长为 m，宽为 m，则其高应为 m．此水箱所用材料的面积
可见材料面积 是 和 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点 ．
根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域 ： 内取得．又函数在 内只有唯一的驻点 ，因此可断定当 时， 取得最小值．就是说，当水箱的长为
m、宽为 m、高为 m时，水箱所用的材料最省．
解法二 此题也可以用拉格朗日乘数法求解。将其看作求水箱所用材料的面积 在条件 下的极值问题，作Lagrange函数
根据题的实际意义可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域 内取得．又函数在 内只有一个可能极值点 ，因此可断定当 时， 取得最小值．就是说，当水箱的长、宽、高均为
m时，水箱所用的材料最省．
}
点击联系发帖人
