数学分析中不定积分的定义是大家熟知的,一般的定义方法是将不定积分定义为"所有原函数"(如〔1〕),或再指明是"一个函数族"(如〔2〕),或更明确地指明是"全体原函数构成的集合"(如〔3〕).但我们认为这类定义方法是不严格的.首先,不论上述定义方法中的何种词语,其意都是指"原函数集合",这就无法解释为什么可以对不定积分进行求导运算,因为我们知道只有对一个函数才能施行求导运算.

前面讨论的都是求一个函数F(X)的导数问题，即F’(X) =f(x),现在已知f(x)，想求出它的原函数F(X),这个问题就称为不定积分问题。

①什么样的f（x）能保证它的原函数存在？如果f(x)是连续函数，它一定有原函数，注意可导必连续，连续不一定可导。
②如果f（x）有一个原函数，那么它就有无限多个原函数。

在区间I上，连续函数f(x)带有任意常数项的原函数，称为f(x)的不定积分：
∫称为积分号，f(x) 称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量

可见，积分符号∫与微分符号d是互逆运算，当两个符号在一起的时候，可以抵消或者抵消后差一个常数。
先抵消，加不加常数，要看最后一步是积分运算（加常数），还是微分运算（不加常数）。

matlab求函数的不定积分函数是int（），其具体使用格式为int（y，var）,y是被积表达式（无需加dx），var是积分变量可省略。

答案只给出了一个原函数。

积分的计算要比导数的计算灵活，复杂，往往把常用的积分公式汇集成表，叫做积分表。

对于曲边梯形图形，想求其面积，我们可以把图形[a,b]区间分成n个小区间，这样就把整个曲边梯形分成n个窄曲边梯形，用窄矩形来近似替代每个窄曲边梯形，那么n个窄矩形的面积之和，就能近似替代总曲边梯形的面积。

对匀速直线运动，路程=速度*时间，但速度不是常量而是随时间变化的变量，路程s不能直接按匀速公式来计算，但是在很短的一段时间内，速度的变化很小，我们可以用匀速来替代。把整个时间轴划分成n等分，每一个细微时间等分中，以匀速代替变速，就可以算出那一段时间的路程近似值，那么n个等分的路程之和，就能近似替代变速运动总路程。

根据以上思想，设函数f(x)在[a,b]上有界，把[a,b]区间分成n个小区间，各个小区间的长度依次为：Δxn=xn-x（n-1）
在每个小区间上任取一点εi，做f(εi)*Δxi ，并作出和 s = ∑ f(εi)*Δxi i=1到n ，记λ=max{Δx1，Δx2，……，Δxn}，如果当λ→0时，和的极限存在，且与闭区间[a,b]及点εi取法无关，那么称这个极限为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记为
a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫积分区间
定积分存在，则它是一个具体的数值，是个常数（如曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。

10、积分中值定理： 在[a,b]上至少存在一点ε，使∫f(x)dx = f(ε)(b-a)，几何解释是在区间[a,b]上至少存在一点ε，使得以[a,b]为底，y=f(x)为边的曲边梯形面积等于以[a,b]为底，高度为f(ε)的一个矩形的面积。f(ε)可以叫做区间上的平均值，平均高度，平均速度。

如果函数F(X)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么 ∫f(x)dx =F(b) - F(a) ,又称微积分基本定理，它表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。

所以我们只需要求出不定积分（原函数），再代入a，b即可求出定积分。

营口地区成人高等教育 QQ群* 不定积分的概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子 若存在可导函数 则由 的定义 关于原函数的说明： （左、右极限存在且相等） 而已知 矛盾 这说明 没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论： 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. （证明待下章给出） （2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？ ①若 ，则对于任意常数 ， ②若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 基本积分表 ? 是常数); 说明： 简写为 以上15个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 证 等式成立. 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 三、 不定积分的性质 证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数 （1）+（2） 即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合 这说明不定积分具有线性运算性质 注意到上式中有n个积分号，形式上含有n个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有一个任意常数 ——分项积分法 例5 求积分 解 注意 检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数 例6 求积分 解 例7 求积分 解 例8 求积分 解