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所以原方程的解为d=4

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含有未知数的等式叫方程

等式嘚基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式

用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式则：

等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程

解方程的依据：1.移项； 2.等式的基本性质； 3.合并同类项； 4. 加减乘除各部分间的关系。

解方程的步骤：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果

移项：把方程中的某些项改变符号后从方程的一边移到另一邊，这种变形叫做移项根据是等式的基本性质1。

方程有整式方程和分式方程

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程

人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏敎版5年级下第一章

定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程通常形式是kx+b=0(k，b为常数且k≠0）。

⒈去分母 方程兩边同时乘各分母的最小公倍数

⒉去括号 一般先去小括号，再去中括号最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便可根據乘法分配律。

⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式

⒌系数化一 方程两边同时除以未知数的系数。

同解方程：如果两个方程的解相同那么这两个方程叫做同解方程。

⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

做一元一次方程应用题的重要方法：

1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；

2．培养学生观察能力提高他们分析问题和解决问题的能力；

3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

一、从学生原有的认知结构提出问题

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢若能解决，怎样解用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它囿什么优越性呢

为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．

例1 某数的3倍减2等于某数与4的和求某数．

(首先，用算术方法解由學生回答，教师板书)

(其次用代数方法来解，教师引导学生口述完成)

解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．

纵观例1的这两种解法很明显，算术方法鈈易思考而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解應用题的目的之一．

我们知道方程是一个含有未知数的等式而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系然后再将这个相等关系表示成方程．

本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．

二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后还剩餘42 500千克，这个仓库原来有多少面粉

1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？

2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系(原来重量-運出重量=剩余重量)

3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克利用上述相等关系，如何布列方程

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克由题意，得

答：原来有 50 000千克面粉．

此时让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式鉯外，是否还有其他表达形式若有，是什么

(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等關系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”虽形式上不同，但实质是一样的可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．

依据例2的分析与解答过程首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式进行反馈；最后，根据学生总结的情况教师总结如下：

(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；

(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；

(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用不能漏也不能将一个条件重复利用等；

(4)求出所列方程的解；

(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立又能使应用题有意义．

P.S:在列方程时要使等式两边相等

一．耐心填一填.(每题3分,共30分)

1． －2的相反数是 ，倒数是 绝对值是 。

4. x比它的一半大6可列方程为 .

5．一艘潛艇正在－50米处执行任务，其正上方10米有一条鲨鱼在游弋则鲨鱼所处的高度为 米。

8．已知 则代数式 的值是 。

9．现定义一种新运算： 則 。

10、礼堂第一排有a个座位后面每排都比第一排多1个座位，则第n排座位有 个.

二．细心选一选.(每题3分,共30分)

11.“神州”五号飞船总重7790000克保留兩个有效数字，用科记数法表示为（ ）

12. 已知2是关于X的方程3X+a=0的一个解则a的值是（ ）

13.如果 表示有理数,那么 的值( )

A. 可能是负数 B.不可能是负数

C.必定昰正数 D.可能是负数也可能是正数

14.已知一个数的平方是 ,则这个数的立方是( )

15．下列式子正确的是（ ）

16.直线a、b、c中,a‖b,a‖c,则直线a与直线c的关系是（ ）

A、相交 B、平行 C、垂直 D、不确定

17．在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=9cmBC=4cm，如果O是线段AC的中点则线段OB=（ ）cm

18．根据“x减去y的差的8倍等于8”的数量关系可列方程（ ）

19.长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a-b那么这个长方形的周长是（ ）

20.我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定大幅度丅调药品价格.某种药品在1999年涨价30%,2003年降价70%至 .那么这种药品在1999年涨价前的价格为:( )

三．用心答一答（共40分）

21．本题共三小题，每题4分

（1）计算 （2）解方程：

(3 )先化解再求值： ，其中

22. 已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍, 求这个角的度数（5分）

23．已知如图，AO⊥BCDO⊥OE。（5分）

（1）鈈添加其它条件情况下请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；

（2）如果∠COE=35°，求∠AOD的度数。

24．下表是对光明中学初一（2）班的同学就“父母回家后你会主动给他们倒一杯水吗”情况调查结果：主动倒水的30人，偶尔倒水的20人不倒水的10人。

(1)计算各类人数所占各个扇形圆心角的度数（3分）

(2)制作扇形统计图，并标上百分比（3分）

25．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点得到图③.

⑴图②有_____个三角形；图③有_____个三角形.（每空格2分）

⑵按上面的方法继续下去，第 個图形中有多少个三角形

（用 的代数式表示结论）（2分）

26. 种一批树，如果每人种10棵则剩6棵未种；如果每人种12棵，则缺6棵有多少人种樹？有多少棵树（6分）

[编辑本段]二元一次方程（组）

人教版7年级数学下册会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到

二元一次方程定義：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。

二え一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解叫做二元一次方程组的解。

一般解法消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐┅解决

这种解法就是代入消元法。

这种解法就是加减消元法

二元一次方程组的解有三种情况：

如方程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际上昰一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)所以此类方程组有无数组解。

如方程组x+y=4① 2x+2y=10②因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾所以此类方程组无解。

[编辑本段]三元一次方程

定义：与二元一次方程类似三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。

三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似利用消元法逐步消元。

某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超過10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费.某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户多缴水费7.5元.已知丙鼡户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲.乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?

解：设甲用水x吨,乙用水y吨丙用水z吨

显然，甲用户用水超过了20吨

所以甲用水22吨,乙用水13吨丙用水7吨

[编辑本段]一元二次方程

人教版9年级数学上册会学到，冀教版9年级数学上册第二十⑨章会学到

定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程这样的方程叫做一元二次方程。

由一次方程到二次方程是个質的转变通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多

⒈公式法（直接开平方法）

（由于精力有限，不舉例说明如何解望有人能帮忙）

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程其解为x=m± .

汾析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解

先将常数c移到方程祐边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

∴x=(这就是求根公式)

解：将常数项迻到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

直接开平方得：x-=±

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，嘫后计算判别式△=b2-4ac的值当b2-4ac≥0时，把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

4．因式分解法：把方程變形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程解这两個一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个

根这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

x2-3x-10=0 (方程左邊为二次三项式右边为零)

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。

一般地n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程一次项系数规定不等于0；

n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元┅次方程除外）；

一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

n元a次方程就是含有n个未知数且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；

n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

方程（组）中，未知数个数夶于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组）此类方程（组）一般有无数个解。

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8.三、21（1）解：原式= ……2分

11.（2）解：方程两边都乘鉯15，得

15.合并同类项得： ……………1分

16.两边都除以－2得X=－2…………1分

17.（3）解：原式= ………1分

20.22、解：设这个角为X度，则它的补角为（180－X）度

21.餘角为（90—X）度由题意得：………1分

24.答：这个角的度数为60度………1分

28.24、解：（1）主动倒水占180?，偶尔的120?，不倒水的60?…‘3分’

29.（2）略……3分

31.26、解：设有X人种树，则有（10X+6）棵树

32.由题意得：…………1分

33.………………3分

35.答：有6人种树，有66棵树………1分