求不定积分的方法。
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时间：2016-01-20 00:39
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求不定积分2xdx．
wghdbniod00850
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∫xe2xdx=2xd2x=2x=2x-∫e2xdx)=2x-12e2x)
为您推荐：
利用分部积分法计算该不定积分即可．
本题考点：
不定积分的运算法则；有理函数的积分运算．
考点点评：
本题主要考查不定积分的运算法则，本题属于基础题．
扫描下载二维码不定积分例题
不定积分例题
范文一：不定积分习例题讲解计算题1.
已知f'(x)?sec2x?sinx，且f(0)?1，求函数f(x) 解：f(x)??f'(x)dx??(sec2x?sinx)dx??sec2xdx??sinxdx?tanx?cosx?c将f(0)?1代入，得c?2 则f(x)?tanx?cosx?2 2.
若?f(t)dt?F(t)?c,则?f(at?b)dt?1F(at?b)?c1
(a?0) a证明：用不定积分定义证明：??f(t)dt?F(t)?c, 所以F'(t)?f(t)又?d11[F(at?b)]?F'(u)u?at?b(at?b)' dtaa?F'(u)u?at?b?f(u)u?at?b?f(at?b)1?F(at?b)是f(at?b)的一个原函数， a1由不定积分定义有?f(at?b)dt?F(at?b)?c1a另证，用第一换元积分法证明。1f(at?b)dt?f(at?b)d(at?b) ?a?11??f(u)du?[F(u)?c] aa1?F(at?b)?c1 a采用“凑微分，使变量一致”的方法，将所求积分化成已知结果的不定积分或基本积分公式的那种形式，就可求得该积分。
3.解：x3dx 4．?1?x2解：x31x21(1?x2)?122?1?x2dx?2?1?x2dx?2?1?x2(x)111222?[?dx2??d(x?1)]?[x?ln(x?1)]?c 2221?x5.解：?
6.x?x2dx解：利用第一换元法?x?x2dx??12?x2d(x2)???12?x2d(1?x2)???d(?x2)??x2?c7.解：8.解：39．.tanxdx?32tanxdx?tan??x.tanxdx??(sec2x?1)tanxdx ??sec2xtanxdx??tanxdx??tanxd(tanx)???sinxdx cosx11tan2x??d(cosx) 2cosx1?tan2x?lncosx?c 210.解：?x211.
2x解： 利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt??x2cost?costdx??sin2tdt x221?sint1dt?(?1)td
??22?sinsintt?x2??cott?t?c???arcsinx?cx12.解：dx 13.
?arcsixn解：利用分部积分法?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)in??
?xarcsx?xarcsinx??x?x12?x22dxd(1?x2)?xarcsxin??x2?c14.解：15．求不定积分?x2?a2dxx,dx?asec2tdt, a解：第二换元法求解令x?atant,t?arctan?x2?a2dx??a2sec3tdt.32又?sectdt?sect.sectdt?sectdtant????sect.tant??tan2tsectdt ?sect.tant??(sec2t?1)sectdt ?sect.tant??sectdt??sec3tdtx223.x?a?lnsect?tant?sectdt 2?ax1??sec3tdt?2x2?a2?lnx?x2?a2?c22a?则?xa222x?adx?.x?a?lnx?x2?a2?c2222另解（分部积分法求解）?x2?a2dx?xx2?a2??xd(x2?a2)?xx?a??22x2x?a22dx?xx?a??22(x2?a2)?a2x?a22dx1x?a22?xx2?a2??x2?a2dx?a2?dx?xx2?a2?a2lnx?x2?a2??x2?a2dx则?x2a22x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c222216.lnx?x2dx解：
利用分部积分法lnx1lnx1dx?lnxd(?)????x2??xd(lnx) xxlnx1lnx1??2dx????c
??xxxx17.（n≠－1）解：18． 求积分xf''(x)dx 解：??xf''(x)dx??xd[f'(x)]?xf'(x)??f'(x)dx?xf'(x)?f(x)?c19.解：20.解：21．求积分?1x?a22dx解：令x?atant,dx?asec2tdt?1x2?a2dx??1asec2tdt??sectdt asect?lnsect?tant?c1x2?a2x?ln??c1aa?lnx?x2?a2?c,其中c?c1?lna原文地址：不定积分习例题讲解计算题1.
已知f'(x)?sec2x?sinx，且f(0)?1，求函数f(x) 解：f(x)??f'(x)dx??(sec2x?sinx)dx??sec2xdx??sinxdx?tanx?cosx?c将f(0)?1代入，得c?2 则f(x)?tanx?cosx?2 2.
若?f(t)dt?F(t)?c,则?f(at?b)dt?1F(at?b)?c1
(a?0) a证明：用不定积分定义证明：??f(t)dt?F(t)?c, 所以F'(t)?f(t)又?d11[F(at?b)]?F'(u)u?at?b(at?b)' dtaa?F'(u)u?at?b?f(u)u?at?b?f(at?b)1?F(at?b)是f(at?b)的一个原函数， a1由不定积分定义有?f(at?b)dt?F(at?b)?c1a另证，用第一换元积分法证明。1f(at?b)dt?f(at?b)d(at?b) ?a?11??f(u)du?[F(u)?c] aa1?F(at?b)?c1 a采用“凑微分，使变量一致”的方法，将所求积分化成已知结果的不定积分或基本积分公式的那种形式，就可求得该积分。
3.解：x3dx 4．?1?x2解：x31x21(1?x2)?122?1?x2dx?2?1?x2dx?2?1?x2(x)111222?[?dx2??d(x?1)]?[x?ln(x?1)]?c 2221?x5.解：?
6.x?x2dx解：利用第一换元法?x?x2dx??12?x2d(x2)???12?x2d(1?x2)???d(?x2)??x2?c7.解：8.解：39．.tanxdx?32tanxdx?tan??x.tanxdx??(sec2x?1)tanxdx ??sec2xtanxdx??tanxdx??tanxd(tanx)???sinxdx cosx11tan2x??d(cosx) 2cosx1?tan2x?lncosx?c 210.解：?x211.
2x解： 利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt??x2cost?costdx??sin2tdt x221?sint1dt?(?1)td
??22?sinsintt?x2??cott?t?c???arcsinx?cx12.解：dx 13.
?arcsixn解：利用分部积分法?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)in??
?xarcsx?xarcsinx??x?x12?x22dxd(1?x2)?xarcsxin??x2?c14.解：15．求不定积分?x2?a2dxx,dx?asec2tdt, a解：第二换元法求解令x?atant,t?arctan?x2?a2dx??a2sec3tdt.32又?sectdt?sect.sectdt?sectdtant????sect.tant??tan2tsectdt ?sect.tant??(sec2t?1)sectdt ?sect.tant??sectdt??sec3tdtx223.x?a?lnsect?tant?sectdt 2?ax1??sec3tdt?2x2?a2?lnx?x2?a2?c22a?则?xa222x?adx?.x?a?lnx?x2?a2?c2222另解（分部积分法求解）?x2?a2dx?xx2?a2??xd(x2?a2)?xx?a??22x2x?a22dx?xx?a??22(x2?a2)?a2x?a22dx1x?a22?xx2?a2??x2?a2dx?a2?dx?xx2?a2?a2lnx?x2?a2??x2?a2dx则?x2a22x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c222216.lnx?x2dx解：
利用分部积分法lnx1lnx1dx?lnxd(?)????x2??xd(lnx) xxlnx1lnx1??2dx????c
??xxxx17.（n≠－1）解：18． 求积分xf''(x)dx 解：??xf''(x)dx??xd[f'(x)]?xf'(x)??f'(x)dx?xf'(x)?f(x)?c19.解：20.解：21．求积分?1x?a22dx解：令x?atant,dx?asec2tdt?1x2?a2dx??1asec2tdt??sectdt asect?lnsect?tant?c1x2?a2x?ln??c1aa?lnx?x2?a2?c,其中c?c1?lna
范文二：不定积分例题例1、设f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)?（
B、?2e?2xC、?4e?2xD、4e?2x分析：因为f(x)的一个原函数是e?2x
所以f(x)答案：B 例2、已知?xfA、sinxx?(e?2x)???2e?2x(x)dx?sinx?c，则f(x)?（
D、xcosxB、xsinx
C、cosxx分析：对?xf(x)dx?sinx?c两边求导。cosxx得xf(x)?cosx，所以f(x)?答案：C例3、计算下列不定积分1、?(2、?exx?1x3)dx2(3?xesin?x2x)dx分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形解：1、?(?x?1x3)dx?22?(x?12x?12x1x3)dx12x2?xxdx??xe2??x?3x?2lnx?122?cx2、?e?x(3?xsinx)dx??(3e)dx??sinx?(3e)1?ln3?cotx?c例4、计算下列积分1、?2、?x?xexx2(1?e)2分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x)，设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分。2解：1、?
2、?x?xexx2??1?21?x12(1?x)???x2?c(1?e)?2?(1?ex)(1?e)??2x11?ex?c例5、计算?(x?1)sinxdx分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u，v?的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx，即v?dx变为?udv；②代公式，?udv?uv??dv，使积分?vdu，计算出du?u?dx；③计算积分?vdu解：?(x?1)sinxdx??xsinxdx??sinxdx???xdcosx?cosxx?cosx?c??(xcosx??cosxdx)?cosx??xcosx?sin
范文三：定积分例题一、定积分的概念及性质例1.用定积分的几何意义求?0(1?x)dx.解: 函数y?1?x在区间[0? 1]上的定积分是以y?1?x为曲边?的曲边梯形的面积. 因为以y?1?x为曲边?形? 其底边长及高均为1? 所以以区间[0? 1]为底1以区间[0? 1]为底的曲边梯形是一直角三角?0(1?x)dx?2?1?1?2.例2.用定积分的几何意义求111??sinxdx.??解:因为y?sinx在区间[??,?]上有正有负,所以上方的图形面积A减去x轴下方的图形面积A, 所以??
??例3. 比较下列各对积分的大小：??sinxdx等于[??,?]上位于x轴????sinxdx??sinxdx??sinxdx?A?A?0.0?（1）????10xdx与?x2dx1解：当0?x?1时，x?x2， 从而（2）1043xdx??x2dx1lnxdx与?43(lnx)2dx2解：当3?x?4时，lnx?1，所以lnx?(lnx)，43从而lnxdx??(lnx)2dx34解：当0?x???42时，0?arctanx?1，所以arctanx?(arctanx)，?从而?40arctanxdx??4(arctanx)2dx43（2）?43lnxdx与?(lnx)2dx342解：当3?x?4时，lnx?1，所以lnx?(lnx)，从而?lnxdx??(lnx)2dx34二、微积分基本定理例1. 求下列函数的导数：（1）?xt2dt；
（2）?e?tdtax解? （1）(?xt2dt)'?x2 ? e?tdt)'?e?x（2）(例2. 计算?2xa?0x1dx?解? 由于13x是x2的一个原函数? 所以 3xdx?[x]0??1??0?? ?033331例3. 计算??1dx2?1?x解 由于arctanx是12的一个原函数? 所以1?x? ?7
??1dx?[arctanx1?arctan?arctan(?1)??(?)???34121?x例4. 计算??21dx?x?11解 ??21dx?[ln|x|]??2?ln 1?ln 2??ln 2? x?1例5. 计算?41x(x?321)dx x241解：原式=?41xdx??162dx??ln4 x5例6. 计算正弦曲线y?sinx在[0?π]上与x轴所围成的平面图形的面积?
解：这图形是曲边梯形的一个特例? 它的面积
A??0?sinxdx??cosx0??(?1)?(?1)?2??三、换元积分法?例1. 计算?4cos2xdx?解 设t?2x，则dx?d()?t21dt 2当x?0时，t?0；当x???4时，t??2?1112??4cos2xdx ? ?cost?dt?[sint]0 ?00222?21例2. 计算?12(3x-1)解：设t?3x?1，则dx?d(t?11)?dt 33当x?1时，t?2；当x?2时，t?5??12dx??dt?[?]2? 22?2(3x-1)t33t10?例3. 计算?20sin3xdx解：设t?cosx，则dt?-sinxdx 当x?0时，t?1，x????2时，t?0.??20sinxdx?3?20sinx?sinxdx??(1?cosx)?sinxdx???(1?t2)dt20122?t3?2???t??=3?3?4例4. 计算?x?2dx?2x?1解2x??9)?(?3)]?
?[t?3t]1?[(?232333例5.?04x?2令2?21?t3 ?tdt??1t(t2?132?3)dt?10x?2xdx解：令3?2x?t，则原式=?13?t21133?2?t?(?t)dt??(t4?3t2)dt?225?例6. 计算?2cos5xsinxdx解： 解法一
设t?cosx，则dt?d(cosx)??sinxdx 当x?0时，t?1；当x???2时，t?00101??2cos5xsinxdx ?? ?t5dt??t6?01616??解法二?2cosxsinxdx ?? ?520?1162cosxdcosx??cosx?0665注：如并不明显写出新变量t，则定积分的上下限就不用变。 例7. 计算??ln30ln30exx1?e1 xxln3(1?e)?ln(1?e)0?ln2x1?e解：原式=四、分部积分例1. 计算?01xexdx解 设u?x，v?ex111?01xexdx??xd(ex)=xex-?exdx?e?(e?1)?1例2. 计算解?02?xsinxdx2??xcosx0?02?xsinxdx?e1lne??cosxdx?02?例3.计算xdx解e1lnxdxe1e112?e??(e?)??xlnx|e?dx11eee ee例4.计算?0exdx?
解 令?t? 则?0e1xdx?2?etdt?2?tde?2te1t1t1t
0?2?edt?2e?2e1t1t
0?2???12??x120??12?3?12五、定积分的应用例1 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形面积. 解：1、先画所围的图形简图?y2?2x解方程 ?,得交点：(2,?2) 和 (8,4)。?y?x?42、选择积分变量并定区间 选取x为积分变量，则0?x?8 3、给出面积元素 在0?x?2上，dA?[2x?(?2x)]dx?22xdx在2?x?8上，dA?[2x?(x?4)]dx?(4?2x?x)dx4、列定积分表达式A????[4x]dx2322288??31?????4x?x2?x2?=182?2?0?另解：若选取y为积分变量，则 ?2?y?4dA?[(y?4)?412y]dy 212A??2?(y?4?2y)dy4y2y3??4y?26?2?18显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 例2求y?x2?2，y?2x?1所围成的图形的面积.2?y?x?2，x2?2?2x?1，x??1，x?3 解 ??y?2x?1当?1?x?3时x2?2?2x?1，于是A?[(2x?1)?(x2?2)]dx?(x2?1x3?3x)3?102?1?33 13
范文四：例 求2 x (e x - 5)dx . ∫ [(2e) x - 5 ? 2 x )dx ∫解: 原式 =( 2e ) x 2x = +C -5 ln(2e) ln 2 ? ex 5 ? x =2 ? - ?+C ? ln 2 + 1 ln 2 ?阅读详情：例求x4 ∫ 1 + x 2 dx .4( x - 1) + 1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x ( x 2 - 1)( x 2 + 1) + 1 =∫ dx 2 1+ x dx 2 = ∫ ( x - 1) dx + ∫ 1 + x21 3 = x - x + arctan x + C 3阅读详情：直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,?阅读详情：ex 1 e 2x , e x sh x , e x ch x 都是 的原函数 . 1. 证明 2 ch x - sh x e x + e- x e x - e-x , sh x = 提示: ch x = 2 22. 若 e-x是 f ( x) 的原函数 , 则 1 2 - x +C 2 ∫ x f (ln x) d x = 2f ( x ) = ( e - x )′ = - e - x 提示: 1 - ln x f (ln x) = -e =- x阅读详情：3. 若 f ( x) 是 e - x 的原函数 , 则 1 f (ln x) + C0 ln x + C d x= x ∫x′( x) = e - x 提示: 已知 f∴f ( x ) = -e - x + C0 1 f (ln x) = - + C0 x f (ln x) 1 C0 =- 2 + x x x阅读详情：4. 若 f ( x) 的导函数为 sin x , 则 f ( x) 的一个原函数 ). 是( B( A) 1 + (C ) 1 +提示: 已知 求 即( B ) 1 - ( D ) 1 - cos x .f ′( x) = sin x ( ? )′ = f ( x ) ( ? )′′ = sin x或由题意 f ( x) = - cos x + C1 , 其原函数为∫ f ( x) d x = - sin x + C1 x + C2阅读详情：5. 求下列积分:dx (1) ∫ 2 ; 2 x (1 + x )提示:dx (2) ∫ 2 . 2 sin x cos x(1)1 1 (1 + x 2 ) - x 2 1 = 2- = 2 2 2 2 x 1+ x2 x (1 + x ) x (1 + x )1 sin 2 x + cos 2 x (2) = 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x = sec 2 x + csc 2 x阅读详情：e3 x + 1 6. 求不定积分 ∫ e x + 1 dx . 3x e +1 dx 解： ∫ x e +1(e x + 1) (e 2 x - e x + 1) =∫ dx x e +1 = ∫ (e 2 x - e x + 1) dx1 2x x = e -e + x+C 2阅读详情：7. 已知 求A,B.∫x21- x2dx = A x 1 - x + B ∫2dx 1 - x2解: 等式两边对 x 求导, 得x21- x2= A 1- x - =2Ax 21- x2+B1 - x2( A+ B) - 2 Ax 2?A = - 1 2 ? B=1 ? 21 - x2 ?A + B = 0 ∴ ? ? - 2A =1阅读详情：1.求∫dx . x 1+ e dx (1 + e x ) - e x d(1 + e x ) 解1： ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e x dx = ∫ d x - ∫ 1 + e x= x - ln(1 + e x ) + Cdx e- x d(1 + e - x ) 解2： ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e - x dx = -∫ 1 + e - x = - ln(1 + e- x ) + C- ln(1 + e - x ) = - ln[e - x (e x + 1)]两解法结果一样阅读详情：x +1 dx . 2. 求 ∫ x x(1 + x e )ex 1 1 ( x + 1) ) d( x e x ) dx = ∫ ( x - 解: 原式= ∫ x x x e 1+ x ex x e (1 + x e )= ln x e x - ln 1 + x e x + C = x + ln x - ln 1 + x e + C 1 1 1 1 + xe x - xe x 分析: = x- x x = xe (1 + xe ) xe x (1 + xe x ) x e 1 + xe x ( x + 1)e x dx = xe x dx + e x dx = d( xe x )x阅读详情：? f ( x) f ′′( x) f 2 ( x) 3. 求 ∫ ? - f ′( x) ′3 ( x ) f ?解: 原式 = ∫? ? d x. ?f ( x) ? f ′′( x) f ( x) 1- ? f ′( x) ? f ′2 ( x)? dx ? ?=∫f ( x) f ′ 2 ( x) - f ′′( x) f ( x) ? dx 2 f ′( x)f ′ ( x)f ( x) f ( x) 1 ? f ( x) ? 2 =∫ d( ) = +C f ′( x) f ′( x) 2 ? f ′( x) ? ? ?阅读详情：4.求 提示: 法1 法2 法3dx ∫ x ( x10 + 1) . ( x10 + 1 ) - x10 dx ∫ x ( x10 + 1) = ∫ x ( x10 + 1) d x dx 1 d x10 ∫ x ( x10 + 1) = 10 ∫ x10 ( x10 + 1)- 1 d x -10 dx dx ∫ x ( x10 + 1) = ∫ x11 (1 + x -10 ) = 10 ∫ 1 + x -10阅读详情：小结 常用简化技巧:(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1 = sin 2 x + cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x ) ; 2nsin 2 x = 1 (1 - cos 2 x ) ; 2n -1万能凑幂法∫ f ( x ) x dx ∫ f ( x ) d x n 1 1 f (xn ) 1 d xn ∫ f (x ) x dx = n ∫ xn=1 nnn(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元阅读详情：a -x dx . 5. 求 ∫ 4 x 1 则 dx = -1 d t 解: 令 x = t , t2原式 = ∫22a2 -1 t41 t21 -1 2 2 ? 2 d t = - ∫ (a t - 1) 2 t d t t当 x > 0时 ,原式 = - 1 2 2a∫ (a t2 23 21 - 1) 2d(a 2t 2 - 1)2 23 2(a t - 1) (a - x ) =- +C = - +C 2 2 3 3a 3a x 当 x2 2阅读详情：6. 求∫ ( x + 1)3dx解: 原式 = ∫x + 2x dx2.令 x +1 = 1 t( x + 1) 3 ( x + 1) 2 - 1 t3 1 t2 =∫ (- 2 ) d t = - ∫ dt 1 -1 2 t 1- t 2 t1- t2 1- t2 = 1 t 1 - t 2 + 1 arcsin t - arcsin t + C 2 2 =1 x2 +2 x 2 ( x +1) 2=∫(1 - t 2 ) - 1dt = ∫ 1- t d t - ∫21dt- 1 arcsin x1 1 + C 2 +阅读详情：7. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?(1)∫x51+ x2dx(2)∫dx 1+ ex x令 t = 1 + x2令 t = 1+ edx (3) ∫ x ( x 7 + 2)1 令t= x阅读详情：8. 已知x 5 f ( x) dx = x 2 - 1 + C , 求 ∫ f ( x) dx. ∫ x 5 ,则 解: 两边求导, 得 x f ( x) = x2 -1 dx 1 ∫ f ( x) d x = ∫ x 4 x 2 - 1 (令 t = x ) 3 2 - t d t 1 ( 1- t ) - 1 2 =∫ = ∫ dt 1- t2 2 1- t2 1 1 -1 1 2 2 2 2 -2 = ∫ (1 - t ) d (1 - t ) + ∫ (1 - t ) d (1 - t 2 ) 2 2 3 1 -1 2 2 2 2 ) = (1 - t ) + (1 - t ) + C = ? (代回原变量) 3阅读详情：9. 求下列积分:1 1 1) ∫ x dx = ∫ d ( x 3 + 1) 3 x3 + 1 x3 + 1 2 3 = x +1 + C 3 2x + 3 - (2 - 2 x) + 5 2) ∫ dx = ∫ dx 1 + 2x - x2 1 + 2x - x2212 - ( x - 1) 2 x -1 2 +C = -2 1 + 2 x - x + 5 arcsin 2= -∫d(1 + 2 x - x ) 1 + 2x - x22+ 5∫d( x - 1)阅读详情：2 sin x cos x 1 + sin 2 x 10.求不定积分∫ dx. 2 2 + sin x 解：利用凑微分法，得 2 sin x cos x 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x dx = ∫ d 1 + sin 2 x ∫ 2 + sin 2 x 2 + sin 2 x()令t = 1 + sin 2 x , 则 2t 2 1 ? 原式 = ∫ dt = 2∫ ?1 - dt = 2t - 2 arctan t + C ? 2 2 ? 1+ t ? 1+ t ? = 2 1 + sin 2 x - arctan 1 + sin 2 x + C.[]阅读详情：11.求不定积分∫1(1 + x ) 1 - x22dx.解：令x = sin t ,1 + x 2 = 1 + sin 2 t , dx = cos tdt , 1 cos t dx = ∫ dt 分子分母同除以 cos 2 t , ∫ 1+ x2 1- x2 1 + sin 2 t cos t 1 sec 2 t d tan t =∫ dt = ∫ 2 2 2 1 + 2 tan t sec t + tan t 1 1 =∫ 1 + 2 tan t 2 d 2 tan t 2()()()()1 1 2x = arctan 2 tan t + C = arctan + C. 2 2 1- x2()阅读详情：1. 求ln cos x ∫ cos 2 x dx .1 u = ln cos x , v′ = cos 2 x u′ = - tan x , v = tan x,则: 解: 令原式 =tan x ? ln cos x + ∫ tan 2 x dx+ ∫ (sec 2 x - 1) dx = tan x ? ln cos x= tan x ? ln cos x + tan x - x + C阅读详情：2. 求 : 解: 令∫e原式xdx .x = t , 则 x = t 2 , dx = 2 t d t= 2∫ t e t d t令u = t , v′ = e t= 2( t e t - e t ) + C = 2ex( x - 1) + C阅读详情：3. 求 : 解: 令∫ ∫2x + a dx (a > 0) .2 2则22u = x + a , v′ = 1,2u′ =2x x2 +a2x2 x +a2, v=xx + a dx = x x + a - ∫= x x +a -∫2 222dx22( x 2 + a 2 )-a 2x +a222dx2= x x + a - ∫ x + a dx + a2∴ 原式 =2∫dxx2 +a21 2 2 a x x + a + ln ( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2阅读详情：tan n -1 x 4.证明递推公式I n = ∫ tan n x dx = - I n - 2 (n ≥ 2) n -1: 证:I n = ∫ tan n - 2 x (sec 2 x - 1) dx= ∫ tan n - 2 x d(tan x) - I n -2 tan n-1 x = n - 1 - I n -2: 注:I n → ? → I 0 或 I1 I0 = x + C ,I1 = - ln cos x + C阅读详情：: 说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .阅读详情：5. 已知 : 解:f ( x)的一个原函数是cos x 求 , x∫ x f ′( x) dx .∫ x f ′( x) dx = ∫ x d f ( x) = x f ( x ) - ∫ f ( x ) dxcos x ′ cos x +C )- = x( x x cos x = - sin x - 2 +C x f ′( x) 再求积分反而复杂.: 说明: 此题若先求出? - cos x + 2 sin x + 2 cos x ? d x ∫ x f ′( x) dx = ∫ ? 2 ? x ? x ?阅读详情：6. 求 : 解:I = ∫ sin ( ln x) dx令t = ln x , 则 x = e t , d x = e t d t∴ I = ∫ e t sin t d t= e t sin t - ∫ e t cos t d t 1 t = e (sin t - cos t ) - I 2 1 t ∴ I = e (sin t - cos t ) + C 2 1 = x [sin(ln x) - cos(ln x)] + C 2阅读详情：7. 下述运算错在哪里? 应如何改正?cos x 1 d sin x sin x ∫ sin x dx = ∫ sin x = sin x - ∫ (sin x )′ sin x dx - cos x cos x = 1- ∫ sin x dx = 1 + ∫ dx 2 sin x sin x cos x cos x ∴ ∫ dx - ∫ d x = 1, 得 0 = 1 sin x sin x = ln sin x + C: 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .阅读详情：8.求不定积分∫xe x ex -1d x.1 解1：(先分部 , 再换元)∫xe x e -1xdx =∫x e -1xd (e - 1)x2u du u = e - 1 则，dx = 2 1+ u 2 4u x du = 2x e -1 - ∫ 2 1 +2u u +1 -1 x du = 2 x e - 1 - 4∫ 2 1+ u令x= 2 ∫ x d (e x - 1) = 2 x e x - 1 - 2∫ e x - 1dx- 4 e x - 1 + 4 arctan e x - 1 + C. = 2x e -1x阅读详情：解2：(先换元,再分部) 令u = e -1x则故∫(1 + u 2 ) ln(1 + u 2 ) 2u dx= ? du x ∫ 2 e -1 u 1+ u = 2 ∫ ln(1 + u 2 ) d uu 2 +1-1 du =2u ln 1 + u 2 - 4 ∫ 2 1+ u = 2u ln(1 + u 2 ) - 4u + 4 arctan u + Cxe x2u x = ln 1 + u , dx = du , 2 1+ u(2)()- 4 e x - 1 + 4 arctan e x - 1 + C. = 2x e -1x阅读详情：: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 简便的方法. 1. 求 因此要注意根据被积函数的结构寻求: 解:2 x3 + 2 x 2 + 5x + 5 I =∫ dx . 4 2 x + 5x + 4 2 x3 + 5x 2x2 + 5 I =∫ 4 dx + ∫ 4 dx 2 2 x + 5x + 4 x + 5x + 4( x 2 + 1) + ( x 2 + 4) 1 d( x 4 + 5 x 2 + 5) +∫ dx = ∫ 4 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x + 1)( x + 4) 1 1 x 4 2 = ln x + 5 x + 4 + arctan + arctan x + C 2 2 2阅读详情：2. 求x ∫ ( x 2 + 2 x + 2) 2 d x .( x 2 + 2 x + 2) - (2 x + 2) =∫ dx 2 2 ( x + 2 x + 2) dx d( x 2 + 2 x + 2) =∫ -∫ 2 2 ( x + 1) + 1 ( x + 2 x + 2) 2 1 = arctan( x + 1) + 2 +C x + 2x + 22: 解: 原式阅读详情：3. 求: 解: 原式dx ∫ x 4 +1 1 ( x 2 + 1) - ( x 2 - 1) = 2∫ dx 4 x +11 x2 2 x + 12 x1 = ∫ 21+1 dx - ∫ 21 x2 2 x + 12 x1-注意本题技巧dx按常规方法较繁1 1 - ∫ = ∫ 2 2 ( x - 1 ) + 2 2 ( x + 1 )2 - 2x xd( x - 1 ) xd( x + 1 ) xx+1- 2 x-1 1 1 1 x x = arctan + C ( x ≠ 0) - ln 2 2 2 22 2 x+1+ 2 x阅读详情：按常规方法解: 第一步 令x 4 + 1 = ( x 2 + a x + b)( x 2 + c x + d )比较系数定 a , b , c , d . 得dx ∫ x 4 +1x 4 + 1 = ( x 2 - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)第二步 化为部分分式 . 即令1 1 = 2 4 x + 1 ( x - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1) Ax + B Cx + D = 2 + 2 x - 2x + 1 x + 2x + 1比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 !阅读详情：4. 求dx ∫ a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x (a b ≠ 0) .1: 解:原式 = ∫cos x2dx2a tan x + b221 d tan x = 2∫ 2 b )2 a tan x + ( a1 a = arctan( tan x ) + C ab b: 说明: 通常求含 的积分时, 用代换sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x 的有理式t = tan x往往更方便 .阅读详情：5. 求1 ∫ (a sin x + b cos x) 2 dx (a b ≠ 0) .原式解法 1=∫令dx (a tan x + b) 2 cos 2 xt = tan x1 dt =- +C =∫ 2 a ( a t + b) ( a t + b)cos x =- +C a (a sin x + b cos x)阅读详情：5. 求解法 21 ∫ (a sin x + b cos x) 2 dx (ab ≠ 0) a b = cos ? 令 2 2 = sin ? , a +b a2 + b2 1 dx 原式 = 2 2∫ 2 a + b cos ( x - ? ) 1 = 2 tan( x - ? ) + C 2 a +b a ? = arctan b 1 a = 2 tan( x - arctan ) + C 2 b a +b阅读详情：6. 求cos x - 2 cos x ∫ 1 + sin 2 x + sin 4 x dx .3: 解: 令 原式t = sin x ,=∫ (cos 2 x - 2) cos x dx 1 + sin x + sin x224(sin 2 x + 1) d sin x = -∫ 2 4 1 + sin x + sin x1 t2 1 t2(t + 1) dt = -∫ 2 = -∫ 2 4 t +1+ 1+ t + t1+dt = - ∫d(t - 1 ) t (t1) 2 -t+3t -1 1 cos 2 x 1 arctan +C = - arctan t + C = 3 3 sin x 3 3阅读详情：7.如何求下列积分更简便 ?x2 1. ∫ 6 d x ( a > 0) 6 a -x: 解: 1.dx 2. ∫ 3 sin x cos x1 dx 3 - 1 x3 - a3 原式 = ∫ 3 2 = 3 ln 3 +C 3 2 3 3 (a ) - ( x ) 6a x +a2. 原式dx sin 2 x + cos 2 x cos x =∫ dx = ∫ + ∫3 dx 3 sin x cos x sin x cos x sin x d tan x d sin x 1 1 +C =∫ + ∫ 3 = ln tan x - 2 tan x 2 sin x sin x阅读详情：8.求不定积分1 ∫ x 6 1 + x 2 dx.()分母次数较高, 宜使用倒代换.解： 令1 则 1 1 t = , x = , dx = - 2 d t , 故 x t t 6 1 t 1 1 dt dx = ∫ 1 1 - 2 dt = - ∫ 2 ∫ x6 1 + x2 1+ t (1 + 2 ) t t t6 1 5 1 3 1 4 2 = - ∫ (t - t + 1 - ) dt = - t + t - t + arctan t + C 2 5 3 1+ t()1 1 1 1 = - 5 + 3 - + arctan + C. 5 x 3x x x
范文五：期末自我检测题说明：该自测题主要包括期末考试知识点，大家做题时对应相应知识点检查自己掌握的情况。这些题目有一定难度，尤其是最后两题，做题时请注意。这些题目里面没有包括定积分应用综合题，请大家参照网站内容复习。这些题目希望大家在两个小时之内，独立且不参考任何资料的条件下完成，然后自己对照答案评分，检测自己期末复习情况。我承诺：自评成绩是我在两个小时之内，没有参考任何资料的条件下独立完成的结果。签名：
自评成绩：期末自我检测测题一、 选择题（30分）sinxsin2x221．设I1??dx,I2??dx,则I1与I2的关系是() 00xx2(A) I1?I2,
(B) I1?I2,
(D) 不确定.2. 已知反常积分???0??dx(k?0)收敛于1，则k?（
） 1?kx2?2?2?A．
C．D．2423.设f(x)??sinx0（
） sin(t2)dt，g(x)?x3?x4，则当x?0时，（A）f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小；（B）f(x)与g(x)为等价无穷小； （C）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小；
（D）f(x)是比g(x)更低阶无穷小。4.下列广义积分发散的是（
）(A)1??1sinxx.(B)1?1?x.
(C)???0e?xdx.
(D)2???21x. 2xlnx5.双纽线r2?cos2?所围成的区域面积可用定积分表示为(
)???(A) 2?4cos2?d?
(B) 4?4cos2?d?
(C) 2?46.xdx?x4?2x2?5?(
(D) ?4?cos2??d?20?x2?1142?C;
(A) lnx?2x?5?C;
2arctan221x2?11x2?1?C;
(D) arctan?C. (C) arctan2242二、 填空题（30分） 1. 2.2x?lnx dx．?dx= ．3.由曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积 4．使广义积分?5. 设f(x)???pdxxx?1p?11收敛的p的取值范围是
。1113，则f(x)dx?。 ?xf(x)dx2??001?x6. 已知函数f (x) 连续，g(x)??t2f(t?x)dt，g?(x)x三、 计算（10分）?四、（10分）设I??????xe?x1?e?x2dxesinxsin2x证明 ?x(1) 当1???2时，I绝对收敛；；（2）0???1时,I条件收敛 （3）??2时，I发散。五、（10分）设f(x)为定义在(??,??)上，以T > 0为周期的连续函数，且?f(x)dx?A。求lim0T?xf(t)dtxx???。11六、（10分）设函数f(x)在[0，1]上连续，且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?1，试证：⑴?x0?[0,1]，使得f(x0)?4；
⑵?x1?[0,1]，使得f(x1)?4。
范文六：不定积分与定积分部分典型例题例1 验证F(x)?两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有F?(x)?G?(x)?f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.
所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.12(1?lnx)和G(x)?212ln2x?lnx是同一个函数的原函数, 并说明解 因为F?(x)?(1?lnx)?
G?(x)?lnx?所以F(x)?且有F(x)?12121x?21x??1?lnx1xx1?lnxx12ln2(1?lnx)和G(x)?(1?lnx)2x?lnx是同一个函数12?G(x)?121?lnxx的两个原函数.?12ln2x?lnx?说明两个原函数之间仅相差一个常数.
例2 已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为12x, 且曲线过点(4,3), 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3), 斜率是f(x)?分曲线.解
y?12x的积?f(x)dx??21xdx?x?c且曲线过点(4,3), 即3?于是所求曲线方程为4?c, 得出c?3?4?1y?x?1例3 判断下列等式是否正确.
（1）d?1?x2x?11?x2dx（2）?(sinx)?dx??cosx?c （3）ddx?e1lnxxx?12分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx所以, 等式d?1?x2x?1?x2dx成立.（2）依照不定积分的性质?f?(x)dx?f(x)?c所以, 等式?(sinx)?dx??cosx?c不成立. 正确的应为?(sin（3）由定积分定义,x)?dx?sinx?c?baf(x)dx?F(b)?F(a)是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式正确的结果应为?dxde1lnxxx?12错误,?dxde1lnxxx?0.例4 计算下列积分： （1）?(x?1x3)dx2（2）?e(3?（3）?2?0xxesin?x2x)dxsinxx分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2?]上有?sinxsinx????sinx0?x????x?2?利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为(x?1x3)?x?22x?1x3?(x?1x3)dx=?(x?12222x?1x3)dx?12x2?xdx??x2x??x13x=x?2lnx??c.（2）将被积函数变形为e(3?xxesin?x2x)?(3e)x?1sin2x再利用积分公式和积分运算性质得?e(3?xxesin?x2x)dx??(3e)dx?(3e)xx?sin12xdx=(3) ?2?0ln3?1?cotx?c2?sinxx???sinxdx?????sinxdx??cosx0?cosx???[?1?1]?[1?(?1)]?4.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将ex乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）?x?xexx22?2x；（2）?(1?e)e1x（3）?ln2xxx?（4）?2sin3xdx分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x), 设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x?x2看成xu, 其中u?1?x2, 且du??2xdx, 于是,xudx??112udu, 这时对于变量u可以利用公式求积分.（2）将被积函数exx2(1?e)看成eux2, 其中u?1?e, 且du?edx, 于是xxeux2dx?duu2,这样对于变量u?1?ex可以利用积分公式求积分.(lnx)x2（3）将被积函数看成u2x, 其中u?lnx, 且du?1xdx, 于是u2xdx?udu,2这样对于变量u?lnx可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数sin3x分解成sin2xsinx?(1?cos2x)sinx?sinx?cos2xsinx即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为2usinx, 其中u?cosx, du??sinxdx解 （1）?x?x2x=?1?21?x21?x)??21?21uu
(u?1?x2)=?
（2）?exxu?c???x?c2(1?e)x?2?(1?e1u1x)(1?e)?211?exx?u12u
（u?1?e）x=??c???c（3）[方法1]换元换限.
令u?lnx, 则du?e11xdx, 且当x?1时, u?0, x?e时, u?1, 于是有10?ln2xxx??udu?2131u30?13(1?0)?3313[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.
?e1ln2xxx??13e1ln2xd(lnx)e?(lnx)31?13[(lne)?(ln1)]?3313??3?2?(4) 因为?2sin0xdx=?2[1?cosx]sinxdx??20sinxdx??20cos2xsinxdx??20对于积分?2sinxdx??cosx?1?对于积分?2cos2xsinxdx用凑微分法,[方法1] 令u?cosx, 则du??sinxdx, 且当x?0时, u?1, x?是有??2时, u?0, 于?20cos2xsinxdx???udu?12131u30?13[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.????20cos2xsinxdx???20cos2xdcosx??13cos3x2?13说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?f(u)du容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着?f(u)du容易求积分的方向进行.
在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.
由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分： （1）?(x?1)sin2xdx；2x（2）?xe2dx；0e（3）?1lnxdxe分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v?的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx, 即v?dx?dv, 使积分变为?udv； 2．代公式,?udv?uv??vdu, 计算出du?u?dx3．计算积分?vdu.在定积分的分部积分公式是?udv?uvabba??bavdu, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中uva是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设u?x?1,v??sin2x, 则v??12cos2x, 由分部积分公式有b?(x?1)sin2xdx??12(x?1)cos2x?1cos2xdx ?214?x?12(x?1)cos2x?xsin2x?c(2) 设u?x,v??e2, 则v?2e2, 由定积分分部积分公式有?20xx22xx2xe2dx?2xe2?2?e2dx?4e?4e2?4e?4e?4?4???lnx（3）因为lnx????lnx1,
e1?x?e?x?1利用积分区间的可加性得到?e1elnxdx???1lnxdx?e1?e1lnxdx其中第一个积分为?1lnxdx?xlnxe111e?1e?11exx2edx?e1ee?1???1第二个积分为?lnxdx?xlnx1?1?e1dx?e?e?1?1,2e2e最后结果为?1lnxdx???1lnxdx?eee1?e1lnxdx?1??1?2?.例7 计算下列无穷限积分： （1）???11(x?1)3x；（2）???2x0e?dx； （3）???10xlnxdx分析 对于无穷限积分???af(x)dx的求解步骤为：（1）求常义定积分?baf(x)dx?F(b)?F(a)；
（2）计算极限lim??[F(b)?F(a)]b?极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）???1b11b(1(x?1)3x?limx?1)?2]b????1(x?1)3x?lim[?b???21=?12lim[(b?1)?2?(1?1)?2]?(?1)?(?124)b????18（2）???0e?3xdx?limb?3xdx?lim[?1b?3x]b????eb???3e?lim[?1b1b???3[e?3?e]?3(3) ???1b1bexlnxdx?limlnx)?limln(lnx)e???b????ed(lnxb???说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）
???11??1(x?1)3x?[?2(x?1)?2]??118（2）????3x1??edx?[?3e?3x]?103（3）???11??exlnxdx????elnxd(lnx)?ln(lnx)e???.不定积分与定积分部分典型例题例1 验证F(x)?两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有F?(x)?G?(x)?f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.
所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.12(1?lnx)和G(x)?212ln2x?lnx是同一个函数的原函数, 并说明解 因为F?(x)?(1?lnx)?
G?(x)?lnx?所以F(x)?且有F(x)?12121x?21x??1?lnx1xx1?lnxx12ln2(1?lnx)和G(x)?(1?lnx)2x?lnx是同一个函数12?G(x)?121?lnxx的两个原函数.?12ln2x?lnx?说明两个原函数之间仅相差一个常数.
例2 已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为12x, 且曲线过点(4,3), 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3), 斜率是f(x)?分曲线.解
y?12x的积?f(x)dx??21xdx?x?c且曲线过点(4,3), 即3?于是所求曲线方程为4?c, 得出c?3?4?1y?x?1例3 判断下列等式是否正确.
（1）d?1?x2x?11?x2dx（2）?(sinx)?dx??cosx?c （3）ddx?e1lnxxx?12分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx所以, 等式d?1?x2x?1?x2dx成立.（2）依照不定积分的性质?f?(x)dx?f(x)?c所以, 等式?(sinx)?dx??cosx?c不成立. 正确的应为?(sin（3）由定积分定义,x)?dx?sinx?c?baf(x)dx?F(b)?F(a)是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式正确的结果应为?dxde1lnxxx?12错误,?dxde1lnxxx?0.例4 计算下列积分： （1）?(x?1x3)dx2（2）?e(3?（3）?2?0xxesin?x2x)dxsinxx分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2?]上有?sinxsinx????sinx0?x????x?2?利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为(x?1x3)?x?22x?1x3?(x?1x3)dx=?(x?12222x?1x3)dx?12x2?xdx??x2x??x13x=x?2lnx??c.（2）将被积函数变形为e(3?xxesin?x2x)?(3e)x?1sin2x再利用积分公式和积分运算性质得?e(3?xxesin?x2x)dx??(3e)dx?(3e)xx?sin12xdx=(3) ?2?0ln3?1?cotx?c2?sinxx???sinxdx?????sinxdx??cosx0?cosx???[?1?1]?[1?(?1)]?4.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将ex乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）?x?xexx22?2x；（2）?(1?e)e1x（3）?ln2xxx?（4）?2sin3xdx分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x), 设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x?x2看成xu, 其中u?1?x2, 且du??2xdx, 于是,xudx??112udu, 这时对于变量u可以利用公式求积分.（2）将被积函数exx2(1?e)看成eux2, 其中u?1?e, 且du?edx, 于是xxeux2dx?duu2,这样对于变量u?1?ex可以利用积分公式求积分.(lnx)x2（3）将被积函数看成u2x, 其中u?lnx, 且du?1xdx, 于是u2xdx?udu,2这样对于变量u?lnx可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数sin3x分解成sin2xsinx?(1?cos2x)sinx?sinx?cos2xsinx即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为2usinx, 其中u?cosx, du??sinxdx解 （1）?x?x2x=?1?21?x21?x)??21?21uu
(u?1?x2)=?
（2）?exxu?c???x?c2(1?e)x?2?(1?e1u1x)(1?e)?211?exx?u12u
（u?1?e）x=??c???c（3）[方法1]换元换限.
令u?lnx, 则du?e11xdx, 且当x?1时, u?0, x?e时, u?1, 于是有10?ln2xxx??udu?2131u30?13(1?0)?3313[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.
?e1ln2xxx??13e1ln2xd(lnx)e?(lnx)31?13[(lne)?(ln1)]?3313??3?2?(4) 因为?2sin0xdx=?2[1?cosx]sinxdx??20sinxdx??20cos2xsinxdx??20对于积分?2sinxdx??cosx?1?对于积分?2cos2xsinxdx用凑微分法,[方法1] 令u?cosx, 则du??sinxdx, 且当x?0时, u?1, x?是有??2时, u?0, 于?20cos2xsinxdx???udu?12131u30?13[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.????20cos2xsinxdx???20cos2xdcosx??13cos3x2?13说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?f(u)du容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着?f(u)du容易求积分的方向进行.
在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.
由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分： （1）?(x?1)sin2xdx；2x（2）?xe2dx；0e（3）?1lnxdxe分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v?的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx, 即v?dx?dv, 使积分变为?udv； 2．代公式,?udv?uv??vdu, 计算出du?u?dx3．计算积分?vdu.在定积分的分部积分公式是?udv?uvabba??bavdu, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中uva是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设u?x?1,v??sin2x, 则v??12cos2x, 由分部积分公式有b?(x?1)sin2xdx??12(x?1)cos2x?1cos2xdx ?214?x?12(x?1)cos2x?xsin2x?c(2) 设u?x,v??e2, 则v?2e2, 由定积分分部积分公式有?20xx22xx2xe2dx?2xe2?2?e2dx?4e?4e2?4e?4e?4?4???lnx（3）因为lnx????lnx1,
e1?x?e?x?1利用积分区间的可加性得到?e1elnxdx???1lnxdx?e1?e1lnxdx其中第一个积分为?1lnxdx?xlnxe111e?1e?11exx2edx?e1ee?1???1第二个积分为?lnxdx?xlnx1?1?e1dx?e?e?1?1,2e2e最后结果为?1lnxdx???1lnxdx?eee1?e1lnxdx?1??1?2?.例7 计算下列无穷限积分： （1）???11(x?1)3x；（2）???2x0e?dx； （3）???10xlnxdx分析 对于无穷限积分???af(x)dx的求解步骤为：（1）求常义定积分?baf(x)dx?F(b)?F(a)；
（2）计算极限lim??[F(b)?F(a)]b?极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）???1b11b(1(x?1)3x?limx?1)?2]b????1(x?1)3x?lim[?b???21=?12lim[(b?1)?2?(1?1)?2]?(?1)?(?124)b????18（2）???0e?3xdx?limb?3xdx?lim[?1b?3x]b????eb???3e?lim[?1b1b???3[e?3?e]?3(3) ???1b1bexlnxdx?limlnx)?limln(lnx)e???b????ed(lnxb???说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）
???11??1(x?1)3x?[?2(x?1)?2]??118（2）????3x1??edx?[?3e?3x]?103（3）???11??exlnxdx????elnxd(lnx)?ln(lnx)e???.
范文七：不定积分与定积分部分典型例题例1 验证F(x)?两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有11(1?lnx)2和G(x)?ln2x?lnx是同一个函数的原函数, 并说明22F?(x)?G?(x)?f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.
所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.11?lnx? xx111?lnxG?(x)?lnx???xxx1121?lnx2所以F(x)?(1?lnx)和G(x)?lnx?lnx是同一个函数的两个原函数.22x112112且有F(x)?(1?lnx)?lnx?lnx??G(x)?2222解 因为F?(x)?(1?lnx)?说明两个原函数之间仅相差一个常数.
例2 已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为12x, 且曲线过点(4,3), 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3), 斜率是f(x)?分曲线.解
y?12x的积?f(x)dx??12xdx?x?c且曲线过点(4,3), 即3?于是所求曲线方程为4?c, 得出c?3?4?1y?x?1例3 判断下列等式是否正确.
（1）d?1?x2x?1?x2dx（2）(sinx)?dx??cosx?c?delnx1x?（3）dx?1x2分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx所以, 等式d?1?x2x?1?x2dx成立.（2）依照不定积分的性质?f?(x)dx?f(x)?c所以, 等式(sinx)?dx??cosx?c不成立. 正确的应为??(sinx)?dx?sinx?c（3）由定积分定义,?baf(x)dx?F(b)?F(a)是一个确定的数值, 因此, 对函数先求delnx1x?定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式错误,dx?1x2delnxx?0.
正确的结果应为?1dxx例4 计算下列积分： （1）(x??1x3)2dxe?x)dx （2）?e(3?sin2xxx（3）?2?sinxx分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2?]上有0?x???sinxsinx???sinx??x?2??利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为(x?1x3)2?x?1x321?3 xx2121?3)dx??xdx??x??3x xxxx?(x?)2dx=?(x?=121x?2lnx?2?c.
22x（2）将被积函数变形为e?x1xe(3?)?(3e)?sin2xsin2xxx再利用积分公式和积分运算性质得1e?xx(3e)dx?dx e(3?)dx?2??2?sinxsinxxx(3e)x?cotx?c
=ln3?1(3)?2?sinxx??sinxdx???sinxdx?2????cosx0?cosx???[?1?1]?[1?(?1)]?4.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将e乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）x?2??x?x2x；ex（2）?x x2(1?e)（3）?e1ln2xx xsin3xdx?（4）?20分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x), 设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x?x2看成x2, 其中u?1?x, 且du??2xdx, 于是,xdx??11du, 这时对于变量u可以利用公式求积分.
2uexduexexxxdx?u?1?edu?edx（2）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 222x2uuu(1?e)这样对于变量u?1?e可以利用积分公式求积分.x1(lnx)2u2u2dx?u2du, （3）将被积函数看成, 其中u?lnx, 且du?dx, 于是xxxx这样对于变量u?lnx可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数sinx分解成sin2xsinx?(1?cos2x)sinx?sinx?cos2xsinx即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为3u2sinx, 其中u?cosx, du??sinxdx解 （1）?x?x2x=?111121?x)??u
(u?1?x2) ??2?x22u=??c???x2?cex11xxu?1?e
（） x?(1?e)?ux2x22??(1?e)(1?e)u=?11?c???c
xu1?e（3）[方法1]换元换限.
令u?lnx, 则du?1dx, 且当x?1时, u?0, x?e时, u?1, 于是有 x1?e11ln2x111x??u2du?u3?(13?03)?0x3033[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.?e1eln2xx??ln2xd(lnx)1x111?(lnx)3?[(lne)3?(ln1)3]?3331e??32?0?0(4) 因为?20sinxdx=?2[1?cosx]sinxdx??2sinxdx??2cos2xsinxdx2?1 sinxdx??cosx0?对于积分??2?对于积分?20cos2xsinxdx用凑微分法,[方法1] 令u?cosx, 则du??sinxdx, 且当x?0时, u?1, x?是有?2时, u?0, 于13122cos2xsinxdx?? udu?u??0?1303?1[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.??20211cos2xsinxdx???2cos2xdcosx??cos3x?0330??说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?f(u)du容易求原函数.?f(u)du容易求积分的方向进行.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分：（1）(x?1)sin2xdx；?（2）??2xedx； lnxdxx2（3）e1e分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v?的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx, 即v?dx?dv, 使积分变为udv； 2．代公式,??udv?uv??vdu, 计算出du?u?dx3．计算积分vdu.
在定积分的分部积分公式是??baudv?uva??vdu, 它与不定积分的区别在于每一项abbb都带有积分上、下限. 注意公式中uva是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设u?x?1,v??sin2x, 则v??1cos2x, 由分部积分公式有 211(x?1)sin2xdx??(x?1)cos2x?cos2xdx ??22?x211?(x?1)cos2x?sin2x?c 24x2(2) 设u?x,v??e, 则v?2e, 由定积分分部积分公式有?2xedx?2xex2x220?2?edx?4e?4e2x2x220?4e?4e?4?41???lnx?x?1（3）因为lnx??,
e??lnx1?x?e利用积分区间的可加性得到?e1elnxdx???1lnxdx??lnxdxe11e其中第一个积分为1x1lnxdx?xlnx?dx 11?1e?xee1?第二个积分为112?1???1 eeeee1?e1lnxdx?xlnx1??dx?e?e?1?1,1e1最后结果为?e1elnxdx???1lnxdx??lnxdx?1?e22?1?2?.
ee例7 计算下列无穷限积分： （1）???11(x?1)3x；（2）???x0e?2dx；（3）???1xlnxdx 分析 对于无穷限积分???af(x)dx的求解步骤为：（1）求常义定积分?baf(x)dx?F(b)?F(a)；（2）计算极限blim???[F(b)?F(a)]极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.b解 （1）???1(x?1)x?limb11)x?blim???[?112(x?1)?23b????1(x?3] 1=?12blim???[(b?1)?2?(1?1)?2]?(?112)?(?4)
?18（2）???e?3xdx?lim?bbe?3xdx?lim??[?13e?3x]b???0b?0?1blim???[?[e?3b3?e0]?13(3)???1xlnxdx?blimb1be????elnxd(lnx)?blim???ln(lnx)e???说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式??（1）???1(x?1)3x?[?12(x?1)?2]??1118??（2）???0e?3xdx?[?1e?3x3]?103（3）???1?exlnxdx???1elnxd(lnx)?ln(lnx)??e???.
范文八：不定积分的典型例题 x2 +1 例 1．计算 ∫ 4 dx x +1 解法 1x4 + 1 = (x2 +2 x + 1)( x 2 -2 x + 1).而 ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 - 2 x + 1) = 2( x 2 + 1) 所以 x2 +1 1 1 1 ∫ x 4 + 1dx = 2 (∫ x 2 - 2 x + 1dx + ∫ x 2 + 2 x + 1dx) 1 = [∫ 2 = 1 dx + ∫ 1 dx)+ ∫ ∫ 2 ( 2 x - 1) 2 + 1 2 ( 2 x + 1) 2 + 1 1 = [arctan( 2 x - 1) + arctan( 2 x + 1)] + c. 22 2 1 (x - ) + 2 2 d ( 2 x - 1) 12 2 1 (x + ) + 2 2 d 2 x + 1) 1解法 2x2 +1 ( x 2 - 2 x + 1) + 2 x dx = ∫ 2 dx ∫ x4 +1 ( x - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)dx 2x + ∫ 4 dx x +1 x + 2x +1 1 1 = arctan( 2 x + 1) + arctan x 2 + c. 2 2 =∫2解法 3 1 1 d (x - ) +1 2 x +1 x dx = ∫ 当 x ≠ 0, ∫ 4 dx = ∫ x 1 1 x +1 2 2 x + 2 x + 2 x x21 d (x - ) x2 -1 1 x =∫ = +c arctan 1 2 2 2x (x - ) + 2 x ? lim +x →01 2arctanx2 -1 2x=-π2 2,x →0lim -1 x2 -1 π arctan = , 2 2x 2 2由拼接法可有1阅读详情：? ? x2 +1 ? ∫ x 4 + 1dx = ? ? ? ? 例 2.求1 x2 -1 π arctan + 2 2x 2 2 0 1 x2 -1 π arctan - 2 2x 2 2+ c, x > 0 x = 0. +c xx3 + 2 ∫ ( x + 1) 2 ( x 2 + 1)dx.解 将被积函数化为简单的部分分式 x3 + 2 A B Cx + D = + + 2 ? ? ? ? ? (*) 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x +1 两边同乘以 ( x + 1) 2 ，约去 x + 1 的因子后令 x → -1 得 B =(-1)3 + 2 1 = . (-1) 2 + 1 2两边同乘以 ( x + 1) 2 ，对 x 求导，再令 x → -1 ，施以上运算后，右端得 A,而左端 为 d x3 + 2 [ ( x + 1) 2 2 2 x → - 1 dx ( x + 1) ( x + 1) lim = lim d x3 + 2 3 x 2 ( x 2 + 1) - 2 x( x 3 + 2) [ 2 ] = lim x → - 1 dx x + 1 x→- 1 ( x 2 + 1) 2 6+2 = = 2. ∴ A = 2. 41 在分解式 （*） 中令 x = 0, 得 2 = A + B + D, 所以 D = - . 分解式 （*） 两边同乘以 x ， 2 再令 x → +∞, 得 1 = A + C , => C = -1. 故有x3 + 2 A B Cx + D ∫ ( x + 1) 2 ( x 2 + 1) dx = ∫ [ x + 1 + ( x + 1) 2 + x 2 + 1 ]dx 1 1 1 = 2 ln x + 1 - - - arctan x + c. 2 2( x + 1) 2 ln( x + 1) 2例 3. 求∫ (x4x dx. + 1) ( x 4 + x 2 )2解 令 u = x 2 , 再用部分分式，則∫ (x4x 1 du dx = ∫ 2 4 2 + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u )2阅读详情：1 A B Cu + D = + + 2 , 两边乘以 u , 再令 u → 0, 得 A = 1. 两边乘以 2 (u + 1) (u + u ) u u + 1 u + 121 1 u + 1, 再令 u → -1, 得 B = - . 两边乘以 u , 再令 u → +∞, 得 0 = A + B + C , => C = - . 2 2 1 令 u = 1, => D = - . 2 x 1 du ∴ ∫ 4 dx = ∫ 2 4 2 ( x + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u ) 1 1 - u- 1 1 1 = ∫[ - + 22 2 ]du 2 u 2(u + 1) u +1 1 1 1 1 = ln u - ln u + 1 - ln(u 2 + 1) - arctan u + c 2 4 8 4 1 1 1 1 = ln x 2 - ln( x 2 + 1) - ln( x 4 + 1) - arctan x 2 + c 4 2 4 8 8 1 x 1 = ln 2 - arctan x 2 + c. 2 4 8 ( x + 1) ( x + 1) 4 例41 x8 + 1 - 1 8 x15 x8 7 ∫ ( x8 + 1) 2 dx = ∫ ( x8 + 1) 2 ? x dx = 8 ∫ ( x8 + 1) 2 dx= 例 5.求1 1 1 1 1 8 8 ∫ [ x8 + 1 - ( x8 + 1) 2 ]d ( x + 1) = 8 ln( x + 1) + 8( x8 + 1)+ c. 8 1 + cos x∫ 1 + cos x - sin x dx.x 1 + cos x = t, 则 ∫ dx = 2 1 + cos x - sin x解 令 tan 1+1- t 2 2 2 1+ t 2 ∫ 1 - t 2 2t ? 1 + t 2 dx = ∫ (1 + t 2 )(1 - t )dt - 1+ 1+ t 2 1+ t 2 -1 t +1 )dt = ∫( + t -1 t 2 +1 1 = - ln t - 1 + ln(t 2 + 1) + arctan t + c 2 1 x = - ln(1 - sin x) + + c. 2 2 *例 6∫x2x 2 + 1dx3阅读详情：=1 4 2 2 ∫ x + x dx 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ∫ ( x + 2 ) - ( 2 ) d ( x + 2 ) = 2 ∫ u - ( 2 ) du 2 ==分部积分1 1 1 1 u u 2 - ( ) 2 - ln(u + u 2 - ( ) 2 ) + c 4 2 16 2 1 1 = x(2 x 2 + 1) x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 + c. 8 8- ( x - 1) 2 dx = ∫ ( x 2 - 2 x 2 + x 2 )dx ∫ x 3 1 1 分项例74 5 = 2 x - x 2 + x 2 + c. 3 2 1 1+ x 1 1 1 1 1 + arctan x + c. dx = ∫ [ ]dx = ln + 4 2 2 4 1- x 2 1- x 2 1- x 1+ x35例 8． ∫ 例 9．∫x 1+ x -1 dx = ∫ dx 1+ x 1+ x 1 2 4 dx = x 1 + x - 1 + x + c. 3 3 1+ x= ∫ 1 + x dx - ∫π x d( - ) dx dx 4 2 = - tan( π - x ) + c. 例 10． ∫ =∫ = -∫ π π x 1 + sin x 4 2 1 + cos( - x) cos 2 ( - ) 2 4 2例 11． ∫dx x x2 -1x==?∫1 t1 ? ?- arcsin x + c, x > 1 = ? arcsin t + c = ? 1 1- t 2 ? arcsin + c, xdt例 12． 求 ∫ ( x - a )(b - x) dx, 其中 a( x - a )(b - x) = R 2 - ( x -a+b 2 b-a a+b ，令 x = u + , 则有原式 ) , 其中R = 2 2 24阅读详情：= ∫ R 2 - u 2 du = R 2 ∫ cos 2 tdt = R 2 ∫u = R sin t1 + cos 2t dt 2t 1 R2 R2 sin t cos t + c = R 2 ( + sin 2t ) + c = t+ 2 4 2 2 1 2 x - ( a + b) = (b - a ) 2 arcsin 4 b-a 2 x - ( a + b) + ( x - a )(b - x) + c. 4 *例 13．求 I = ∫ cos 3 x sin 3 x dx, J = ∫ dx, cos x + sin x cos x + sin x1 1 解 I + J = ∫ (1 - sin 2 x)dx = x + cos 2 x + c. 2 41 (cos x - sin x)(1 + sin 2 x) 2 I-J =∫ dx cos x + sin x 1 (cos 2 x - sin 2 x)(1 + sin 2 x) 2 dx =∫ (cos x + sin x) 21 (1 + sin 2 x) cos 2 x 1 1 2 =∫ dx = sin 2 x + ln(sin 2 x + 1) + c. 1 + sin 2 x 4 4 解上面的联立方程可得出 I , J . （略） 。 *例 14． 计算 I = ∫ 1 dx. 1 + x3 1 1+ x - x dx I =∫ dx = ∫ 3 1+ x 1 + x3 x x 1 dx - ∫ dx, 令 J = ∫ dx.可求出 =∫ 2 3 1- x + x 1+ x 1 + x3 2 2 1 I+J = 3 arctan 3 ( x - ) + c, 3 3 2 1- x 1- x + x2 - x2 I-J =∫ dx = ∫ dx 1 + x3 1 + x3 1 x2 1 =∫ dx = ln( x + 1) - ln( x 3 + 1) + c, dx - ∫ 3 1+ x 1+ x 3 从而可解出 I .(略 )5阅读详情：例 15．分部积分∫ arcsin 1 + x dx = ∫ arcsin 1 + x d ( x + 1)2 x 1 +∫ dx 1+ x x2 x2 x） = （x + 1 arcsin= (1 + x) arcsin2 x + 2 x + c. 1+ x例 16． 求 I = ∫ 解 令dx x + x2 + x +1.x 2 + x + 1 = - x + t, => x = I = 2∫t 2 -1 t 2 + t +1 , dx = 2 dt , 1 + 2t (1 + 2t ) 2t 2 + t +1 1 3 3 dt =2 ∫ [ - - ]dt 2 t (1 + 2t ) t 2(2t + 1) 2(2t + 1) 2 3 = 2 ln x + x 2 + x + 1 - ln 2 x + 1 + 2 x 2 + x + 1 2 3 + + c. 2 2(2 x + x + 1 + 2 x + 1) 例 17．设 f (x) 有一个原函数解 用分部积分法有 sin x , 求 ∫ xf ′( x)dx. x ? ? ? ? ? ? (*)∫ xf ′( x)dx = ∫ xdf ( x) = xf ( x) - ∫ f ( x)dx? ∫ f ( x)dx = sin x + c1 => f ( x) = [ ∫ f ( x)dx]′ x x cos x - sin x sin x . =[ + c1 ]′ = x x2代入（*）有 sin x sin x - - c1 ， x x 2 sin x 即 ∫ xf ′( x)dx = cos x - + c. x 12 sin x + cos x 例 18．求 ∫ dx. 5 sin x - 2 cos x∫ xf ′( x)dx = cos x -解 ? [5 sin x - 2 cos x]′ = 5 cos x + 2 sin x. 被积函数的分子是 cos x, sin x 的线性组 合，故有6阅读详情：12 sin x + cos x = A(5 sin x - 2 cos x) + B (5 sin x - 2 cos x)′ = (5 A + 2 B) sin x + (5 B - 2 A) cos x, => A = 2, B = 1. 于是2(5 sin x - 2 cos x) + (5 sin x - 2 cos x)′ dx 5 sin x - 2 cos x = 2 x + ln 5 sin x - 2 cos x + c.∫ 5 sin x - 2 cos x dx = ∫∫ 3 + sin12 sin x + cos xsin xdx . 2 x sin xdx d (cos x) cos x =t dt 解 ∫ = -∫ = ∫ 2 2 2 3 + sin x 3 + 1 - cos x t -4 1 1 1 1 2 - cos x = ∫[ - ]dt = ln + c. 4 t-2 t+2 4 2 + cos x dx dx 例 20． ∫ =∫ 2 1 1 + 2 cos x ( 2 + 2) cos 2 x cos x 例 19．求 d (tan x) d (tan x) dt =∫ =∫ 2 1 3 + tan x 3 + t2 +2 cos 2 x t tan x 1 1 = arctan +c = arctan + c. 3 3 3 3 =∫ 例 21． ∫6x -2 x +3 x26dx = ?x =t3 = x 3 - 6 x + 9 3 x - 18 6 x + 18 ln(1 + 6 x ) + c. 2例 22． ∫2 5- x dx = 3 - x x -15- x =t x -1= ln5 - x + x -1 5 - x - x -1- 2 arctan5- x + c. x -1*例 23． ∫ *例 24． ∫dx x + 1- x2 1 + x 2 dx x3x =sin t1 = ? ?? = [arctan x + ln x + 1 - x 2 ] + c. π 2 t≤2x = tan t1+ x2 1 1+ x2 +1 = ? ?? = - - ln + c, π 2x2 2 x t27阅读详情：例 25． ∫e =t dx = ??? 2x x e - 3e + 2x例 26． ∫ arcsin xdx 例 27．e ∫ex分部积分=x arcsin x + 1 - x 2 + c.x x+xdx = ∫ e e (e x )dx =e e + c.例 28． ∫cos 2 xdx d (1 + sin x cos x) =∫ 1 + sin x cos x 1 + sin x cos x (妙用“1”）= ln 1 + sin x cos x + c 例 29.∫( x 2 + x)e x ( x + 3 x + 1)e x dx.? [( x 2 + x)e e ]′ = ( x 2 + 3 x + 1)e3 ∴ 原式 = ∫ ( x 2 + x)e x d [( x 2 + x)e x ] 2 = [( x 2 + x)e x ] 2 + c. 3 1 arctan x dx = - 1 (arctan 1 ) + c.? (arctan 1 )′ = - 1 . 例 30. ∫ 2 1+ x 2 x x 1+ x2 例 313∫sin 2 x a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 xdx=1 2 b - a2∫d (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x2 a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x + c. 2 b -a ? (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x)′ = (b 2 - a 2 ) sin 2 x. =21 - ln x 1 - ln x x2 例 32. ∫ dx = ∫ dx x - ln x 2 ( x - ln x) 2 ( ) x 1 x - ln x = -∫ d( ) x - ln x 2 x ( ) x 1 x = +c = + c. x - ln x x - ln x x *例 33． ∫ xdx ( x 2 + 1) 1 - x 2x =sin t= -1 2 2ln2 + 1- x2 2 - 1- x28+ c.阅读详情：例 34． ∫x3dx = 3x = tan t1 1+ x 1 3a 22+ 1 + x 2 + c.(1 + x 2 ) 2 x2 - a2 dx x4 =例 35． ∫ 例 36x = a sec t a >0? x2 - a2 ?? ? x ?? ?+ c. ? ?3∫1+dx 1- x2=-x =sin t=cos t - cos 2 t cos t dt = ∫ dt ∫ 1 + cos t 1 - cos 2 t1 1- x2 + + arcsin x + c. x x1t dx 例 37． ∫ = x( x 7 + 2)x=∫t 1 ( )7 + 2 t? (-1 )dt t2=-例 38． ∫1 1 ln 2 + x 7 + ln x + c. 14 2dx (1 + x + x )3 2 2=∫dx 1 3 [( x + ) 2 + ] 2 2 431 1 x+ = 2 t= -∫tdt 3 (1 + t ) 43 2 2=2(2 x + 1) 3 1 + x + x2+ c.例 39． ∫ 例 40． ∫x 2e x x 2e x 1 x-2 x dx = - ( x 2 e x )′dx = e + c. +∫ 2 x+2 x+2 x+2 ( x + 2) dx x 9 dx 1 1 = ∫ 10 = ln x - ln( x 10 + 2) + c. 10 10 20 x(2 + x ) x (2 + x ) 2 (1 - x 7 )dx (1 - x 7 ) x 6 dx 2 =∫ 7 = ln x - ln 1 + x 7 + c. 7 10 7 x(1 + x ) x (2 + x )*例 41． ∫ 例 42． ∫ = 例 43． ∫x 2 n -1 dx x n ? x n -1 1 1 =∫ dx = ∫ (1 - )d ( x n ) n n n n x +1 1+ x 1+ x 1 n ( x - ln x n + 1 ) + c. n 1 1 2 x3 + 1 dx. （令 x - 1 = , => dx = - 2 du ,? ? ? ） 100 ( x - 1) u u9阅读详情：u 2x3 + 1 1 1 3 dx = - - 99 ∫ ( x - 1)100 33 ( x - 1) 49( x - 1) 98x -1 =1*例 44． ∫ 例 45． ∫x =t dx = ? ? ? （先约分，分子加一减一） x +3 x6x( x + 1) x + x +1dx. 分子分母同乘（ x + 1 - x ） x x x x + cos 2 + 2 sin cos dx = ? ? ? 2 2 2 2*例 46． ∫ 1 + sin x dx = ∫ sin 2dx sin 2 x + cos 2 x =∫ dx = ∫ csc xdx + ∫ cot 2 x csc xdx 3 ∫ sin 3 x 例 47． sin x分部积分= ∫ csc xdx - ∫ cot xd (csc x) == ???1 1 csc x - cot x - + c. 2 2 cot x csc x sin x sin x(1 - sin x) 例 48． ∫ dx = ∫ d = ??? 1 + sin x cos 2 x 1 例 49． ∫ dx 1 + sin x + cos x ? 1 + sin x + cos x = sin x + (1 + cos x) x x x x x = 2 sin cos + 2 cos 2 = 2 cos 2 (1 + tan ) 2 2 2 2 2 x 1 ∴∫ dx = ln 1 + tan + c. 1 + sin x + cos x 2 x + sin x 例 50． ∫ dx = ∫ 1 + cos x x x x + 2 sin cos 2 2 = ??? 2 x 2 cos 2 x （分项分部积分） = x tan + c. 2f ′(ln x) f ′(ln x) dx = ∫ d (ln x) x f (ln x) f (ln x)*例 51．求 ∫ =∫d ( f (ln x)) = 2 f (ln x) + c. f (ln x)10阅读详情：*例 52．求∫ max( x3, x 2 ,1) dx.? x3 , x ≥ 1 ? 解 令 f ( x) = max( x 3 , x 2 ,1) = ? x 2 , x ≤ -1 ? 1, x1 lim ( x 4 + c1 ) = lim ( x + c3 ); + x →1 4 x →1- 1 lim+ ( x + c3 ) = lim- ( x 3 + c2 ), x → -1 x → -1 33 2 + c , c2 = - c , 4 3 ?1 4 3 ? 4 x + 4 + c , x ≥1 ?1 2 ? 故 ∫ max( x 3 , x 2 ,1)dx = ? x 3 - + c , x ≤ -1. 3 ?3 x + c, x从而解出 c3 = c, c1 =11
范文九：定积分与微积分基本定理（理）1.已知f(x)为偶函数且?6f(x)dx＝8，则?f(x)dx等于
D．16 解析：原式＝?0?6f(x)dx＋?60f(x)dx，∵原函数为偶函数， ∴在y轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D2．设f(x)＝???x2， x∈[0，1]，?2－x，x∈[1，2]，则??20f(x)dx等于
D．不存在 解析：数形结合，?20f(x)dx=?120xdx+?21(2-x)dx=1x31?(2x?1x22302)1 =13x3?(4?2?2?152)?6. 答案：C3．计算以下定积分： (1) ?21(2x2－1xx；(2)?312x＋x2dx； ?(3)?30(sinx－sin2x)dx；解：(1)?2(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)211＝163－ln 2－21433－ln 2. (2)?32(x＋1x)2dx＝?32(x＋1x2)dx(
)312＝(x＋lnx＋2x) 229＝(＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) 239＝ln＋22?(3)?301(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x)32?1111＝()－(－1)＝－.24244．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是
D．23解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于?20(－x2＋2x＋1－1)dx＝?204(－x2＋2x)dx＝.3答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分 4(如图所示)的面积为，则k＝________.3解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]， 再由?kkx2x3kk34(kx－x)dx＝()＝k＝2.230632答案：26．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动， 记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________． 解析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)， 则?x(kx－x2)dx＝?2x(x2－kx)dx，即(kx)＝－)， 解得2－x3＝－2k－(x32)，2333244416解得k＝，即直线OP的方程为y，所以点P的坐标为(，)．3339416答案：(，)397.[1,2]内的位移为
D.6366解析：s＝答案：A8．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(
) A．0.05 J
D．1 J解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1 N时，x＝0.01 m，可解得k＝100 N/m，则F＝100x，所以W＝答案：B?211117(t2－t＋2)dt＝(t3－t2＋2t)|2＝. 1326?0.10.1100xdx＝50x0＝0.5 J.29．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v与t的函数关系式如下：??2，0≤t＜20，v＝v(t)＝?50－t，20≤t＜40，??10，40≤t≤60.s＝3所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为?60v(t)dt＝?2040603tdt＋?(50?t)dt＋?4010dt202＝0＋(50t－t)＋10t 422020＝900米． 答案：90010.(2010·烟台模拟)若y＝?(sint＋costsint)dt，则y的最大值是
D．02解析：y＝?x(sint＋costsint)dt＝?x1(sint＋t)dt2x115＝(－cost－cos2t)＝－cosx－cos2x44401513＝－cosx2x－1)＋cos2x－cosx44221x＋1)2＋2≤2.2答案：B11．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且dx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由?10f(x)dx＝5，?1017xf(x)dx＝，那么6?21f(x)x?1011(ax＋b)dx＝5得(2＋bx)201＝a＋b＝5，
① 2由?1017xf(x)dx＝得6?10(ax2＋bx)dx＝176(ax＋bx) ＝a＝，
② 3232606解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， 于是?21f(x)dx＝x?214x＋3x＝x?213 (4＋xx2＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.1答案：4＋3ln212．设f(x)＝?10|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 解：(1)0≤a≤1时， f(a)＝＝?10|x2－a2|dx?a(a2－x2)dx＋?1a(x2－a2)dx13ax321＝(ax－)＋(－ax)303a21312a33＝a－－0＋0＋－a－＋a333341＝a3－a2＋. 33当a＞1时， f(a)＝?10(a2－x2)dx11＝(a2x3)301＝a2－31?432a?a???33∴f(a)＝??a2?1?3?(0≤a≤1),(a>1).1(2)当a＞1时，由于a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是312f(1)＝1－33当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)， 1由f′(a)＞0知：a＞a＜0，211故在[0]上递减，在[，1]上递增．2211因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f).241综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为4
范文十：不定积分的典型例题 例 1．計算 解法 1 x2 +1 ∫ x 4 + 1dxx4 + 1 = (x2 +2 x + 1)( x 2 -2 x + 1).而 ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 - 2 x + 1) = 2( x 2 + 1) 所以x2 +1 1 1 1 ∫ x 4 + 1dx = 2 (∫ x 2 - 2 x + 1dx + ∫ x 2 + 2 x + 1dx)1 = [∫ 2 = 1 2 2 1 (x - ) + 2 2 1 d ( 2 x - 1) dx + ∫ 1 2 2 1 (x + ) + 2 2 1 d 2 x + 1) dx)+ ∫ ∫ 2 ( 2 x - 1) 2 + 1 2 ( 2 x + 1) 2 + 1 1 = [arctan( 2 x - 1) + arctan( 2 x + 1)] + c. 2x2 +1 ( x 2 - 2 x + 1) + 2 x dx = ∫ 2 dx 解法 2 ∫ x 4 + 1 ( x - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)dx 2x + ∫ 4 dx x +1 x + 2x +1 1 1 = arctan( 2 x + 1) + arctan x 2 + c. 2 2 =∫2解法 31 1 +1 d (x - ) 2 x +1 x 当 x ≠ 0, ∫ 4 dx = ∫ x dx = ∫ 1 1 x +1 2 2 x + 2 x + 2 x x21 d (x - ) 1 x2 -1 x =∫ = arctan +c 1 2 2 2x (x - ) + 2 xQ lim +x →01 2arctanx2 -1 2x=-π2 2,x→0lim-1 x2 -1 π arctan = , 2 2x 2 2由拼接法可有304阅读详情：? ? x2 +1 ? ∫ x 4 + 1dx = ? ? ? ?1 x2 -1 π arctan + 2 2x 2 2 0 1 x2 -1 π arctan - 2 2x 2 2+ c, x > 0 x = 0. +c xx3 + 2 例 2.求 ∫ dx. ( x + 1) 2 ( x 2 + 1)解 将被积函数化为简单的部分分式x3 + 2 A B Cx + D = + + 2 ? ? ? ? ? (*) 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x +1两边同乘以 ( x + 1) 2 ，约去 x + 1 的因子后令 x → - 1 得 B =(-1)3 + 2 1 = . (-1) 2 + 1 2两边同乘以 ( x + 1) 2 ，对 x 求导，再令 x → - 1 ，施以上运算后，右端得 A,而左端为d x3 + 2 lim [ ( x + 1) 2 x → - 1 dx ( x + 1) 2 ( x 2 + 1) d x3 + 2 3 x 2 ( x 2 + 1) - 2 x( x 3 + 2) = lim [ 2 ] = lim x → - 1 dx x + 1 x→- 1 ( x 2 + 1) 2 6+2 = = 2. ∴ A = 2. 41 在分解式（*）中令 x = 0, 得 2 = A + B + D, 所以 D = - . 分解式（*）两边同乘以 x ，再令 2 x → +∞, 得 1 = A + C , => C = - 1. 故有x3 + 2 A B Cx + D ∫ ( x + 1) 2 ( x 2 + 1) dx = ∫ [ x + 1 + ( x + 1) 2 + x 2 + 1 ]dx 1 1 1 = 2 ln x + 1 - - - arctan x + c. 2 2( x + 1) 2 ln( x + 1) 2例 3. 求∫ (x4x dx. + 1) ( x 4 + x 2 )2解 令 u = x 2 , 再用部分分式，則∫ (x24x 1 du dx = ∫ 2 4 2 + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u )1 A B Cu + D = + + 2 , 两边乘以 u , 再令 u → 0, 得 A = 1. 两边乘以 u + 1, 再令 2 (u + 1) (u + u ) u u + 1 u + 1305阅读详情：1 1 1 u → -1, 得 B = - . 两边乘以 u , 再令 u → +∞, 得 0 = A + B + C , => C = - . 令 u = 1, => D = - . 2 2 2 du x 1 ∴ ∫ 4 dx = ∫ 2 4 2 ( x + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u ) 1 1 - u- 1 1 1 = ∫[ - + 22 2 ]du 2 u 2(u + 1) u +1 1 1 1 1 = ln u - ln u + 1 - ln(u 2 + 1) - arctan u + c 2 4 8 4 1 1 1 1 = ln x 2 - ln( x 2 + 1) - ln( x 4 + 1) - arctan x 2 + c 2 4 8 4 8 1 x 1 = ln 2 - arctan x 2 + c. 2 4 8 ( x + 1) ( x + 1) 4例4x15 x8 1 x8 + 1 - 1 8 dx = ∫ 8 ? x 7 dx = ∫ 8 dx ∫ ( x8 + 1) 2 ( x + 1) 2 8 ( x + 1) 2= 1 1 1 1 1 8 8 ∫ [ x8 + 1 - ( x8 + 1) 2 ]d ( x + 1) = 8 ln( x + 1) + 8( x8 + 1) + c. 81 + cos x例 5.求∫ 1 + cos x - sin x dx.解 令 tan1+x 1 + cos x = t, 则 ∫ dx = 2 1 + cos x - sin x1- t 2 2 2 1+ t2 ∫ 1 - t 2 2t ? 1 + t 2 dx = ∫ (1 + t 2 )(1 - t )dt 1+ - 1+ t2 1+ t2 -1 t + 1 = ∫( + )dt t -1 t 2 + 1 1 = - ln t - 1 + ln(t 2 + 1) + arctan t + c 2 1 x = - ln(1 - sin x) + + c. 2 2*例 6∫x2x 2 + 1dx=1 4 2 2 ∫ x + x dx 2306阅读详情：=1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ∫ ( x + 2 ) - ( 2 ) d ( x + 2 ) = 2 ∫ u - ( 2 ) du 2 =分部积分1 1 1 1 u u 2 - ( ) 2 - ln(u + u 2 - ( ) 2 ) + c 4 2 16 2 1 1 = x(2 x 2 + 1) x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 + c. 8 8- ( x - 1) 2 ∫ x dx = ∫ ( x 2 - 2 x 2 + x 2 )dx 3 1 1 分项例7= 2 x-4 2 5 2 x + x + c. 3 21 1 1 1 1+ x 1 ∫ [1 - x 2 + 1 + x 2 ]dx = 4 ln 1 - x + 2 arctan x + c. 235例 8．∫ 1- x例 9．14dx =∫x 1 + x -1 1 2 4 dx = ∫ dx = ∫ 1 + x dx - ∫ dx = x 1 + x - 1 + x + c. 3 3 1+ x 1+ x 1+ x例 10．π x d( - ) dx dx 4 2 = - tan( π - x ) + c. = -∫ ∫ 1 + sin x = ∫ π π x 4 2 1 + cos( - x) cos 2 ( - ) 2 4 2 1 ? 1 x= t ?- arcsin x + c, x > 1 dx dt 例 11 ∫ =m∫ = m arcsin t + c = ? 2 1 x x -1 1- t2 ? arcsin + c, x例 12． 求 ∫ ( x - a )(b - x)dx, 其中 a( x - a )(b - x) = R 2 - ( x -u = R sin ta+b 2 b-a a+b ) , 其中R = ，令 x = u + , 则有原式 2 2 2= ∫ R 2 - u 2 du = R 2 ∫ cos 2 tdt = R 2 ∫21 + cos 2t dt 2t 1 R2 R2 = R ( + sin 2t ) + c = t+ sin t cos t + c 2 4 2 2 1 2 x - ( a + b) = (b - a ) 2 arcsin 4 b-a 2 x - ( a + b) + ( x - a )(b - x) + c. 4307阅读详情：*例 13．求 I = ∫cos 3 x sin 3 x dx, J = ∫ dx, cos x + sin x cos x + sin x1 1 解 I + J = ∫ (1 - sin 2 x)dx = x + cos 2 x + c. 2 4 1 (cos x - sin x)(1 + sin 2 x) 2 I-J =∫ dx cos x + sin x 1 (cos 2 x - sin 2 x)(1 + sin 2 x) 2 dx =∫ (cos x + sin x) 21 (1 + sin 2 x) cos 2 x 1 1 2 =∫ dx = sin 2 x + ln(sin 2 x + 1) + c. 解上面的联立方程可得出 I , J .（略） 。 1 + sin 2 x 4 4 1 *例 14． 计算 I = ∫ dx. 1 + x3 1 1+ x - x dx I =∫ dx = ∫ 3 1+ x 1 + x3 1 x x =∫ dx - ∫ dx, 令 J = ∫ dx.可求出 2 3 1- x + x 1+ x 1 + x3 2 2 1 I+J = 3 arctan 3 ( x - ) + c, 3 3 2 1- x 1- x + x2 - x2 I-J =∫ dx = ∫ dx 1 + x3 1 + x3 1 x2 1 dx - ∫ dx = ln( x + 1) - ln( x 3 + 1) + c, =∫ 3 1+ x 1+ x 3 从而可解出 I .(略 )例 15．分部积分∫ arcsin 1 + x dx = ∫ arcsin 1 + x d ( x + 1)2 x 1 +∫ dx 1+ x x2 x2 x= （x + 1 arcsin ）= (1 + x) arcsin2 x + 2 x + c. 1+ x dx x + x2 + x +1 .例 16． 求 I = ∫ 解 令308阅读详情：x2 + x + 1 = - x + t, => x =I = 2∫t 2 -1 t 2 + t +1 , dx = 2 dt , 1 + 2t (1 + 2t ) 2t 2 + t +1 1 3 3 dt = 2 ∫ [ - - ]dt 2 t (1 + 2t ) t 2(2t + 1) 2(2t + 1) 2 3 = 2 ln x + x 2 + x + 1 - ln 2 x + 1 + 2 x 2 + x + 1 2 3 + + c. 2 2(2 x + x + 1 + 2 x + 1) 例 17．设 f (x) 有一个原函数 解 用分部积分法有sin x , 求 ∫ xf ′( x)dx. x? ? ? ? ? ? (*)∫ xf ′( x)dx =∫ xdf ( x) = xf ( x) - ∫ f ( x)dxQ ∫ f ( x)dx =sin x + c1 => f ( x) = [ ∫ f ( x)dx]′ x sin x x cos x - sin x =[ + c1 ]′ = . x x2代入（*）有sin x sin x - - c1 ， x x 2 sin x 即 ∫ xf ′( x)dx = cos x - + c. x 12 sin x + cos x 例 18．求 ∫ dx. 5 sin x - 2 cos x∫ xf ′( x)dx = cos x -解 Q [5 sin x - 2 cos x]′ = 5 cos x + 2 sin x. 被积函数的分子是 cos x, sin x 的线性组合，故有12 sin x + cos x = A(5 sin x - 2 cos x) + B (5 sin x - 2 cos x)′ = (5 A + 2 B ) sin x + (5 B - 2 A) cos x, => A = 2, B = 1.于是12 sin x + cos x 2(5 sin x - 2 cos x) + (5 sin x - 2 cos x)′ dx = ∫ dx ∫ 5 sin x - 2 cos x 5 sin x - 2 cos x = 2 x + ln 5 sin x - 2 cos x + c.例 19．求 解sin xdx . 2 x sin xdx d (cos x) cos x =t dt = -∫ = ∫ 2 2 2 ∫ 3 + sin x 3 + 1 - cos x t -4 1 1 1 1 2 - cos x = ∫[ - ]dt = ln + c. 4 t-2 t+2 4 2 + cos x∫ 3 + sin例309阅读详情：20． ∫dx = 1 + 2 cos 2 x ∫ (dx 1 + 2) cos 2 x cos 2 xd (tan x) d (tan x) dt =∫ =∫ 2 1 3 + tan x 3+ t2 +2 2 cos x 1 t 1 tan x = arctan +c = arctan + c. 3 3 3 3∫例 21．∫=6x =t x -2 dx = ? ? ? x +3 x63 3 x - 6 x + 9 3 x - 18 6 x + 18 ln(1 + 6 x ) + c. 25- x =t2例 22．x -1 2 5- x ∫ 3 - x x - 1 dx = ? ? ?= ln5 - x + x -1 5- x - 2 arctan + c. x -1 5 - x - x -1*例 23．∫ x+dx 1- x2x = sin t1 = ? ?? = [arctan x + ln x + 1 - x 2 ] + c. π 2 t≤2*例 24．∫1 + x 2 dx x3x = tan t t= ? ?? = -π2x1+ x2 1 1+ x2 +1 - ln + c, 2x2 2 x例 25． ∫e =t dx = ??? 2x x e - 3e + 2例 26． ∫ arcsin xdx 例 27． 例 28．e ∫ex分部积分=x arcsin x + 1 - x 2 + c.x x+xdx = ∫ e e (e x )dx =e e + c.d (1 + sin x cos x) 1 + sin x cos x = ln 1 + sin x cos x + c (妙用“1”）∫ 1 + sin x cos x = ∫cos 2 xdx310阅读详情：例 29.∫( x 2 + x)e x ( x + 3 x + 1)e x dx.Q [( x 2 + x)e e ]′ = ( x 2 + 3 x + 1)e3∴ 原式 = ∫ ( x 2 + x)e x d [( x 2 + x)e x ]3 2 2 x 2 = [( x + x)e ] + c. 3例 30. 1 1 1 1 1 ∫ 1 + x 2 x dx = - 2 (arctan x ) + c.Q (arctan x )′ = - 1 + x 2 . 例 31 sin 2 x ∫ a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x dx 1 d (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) = 2 = b - a 2 ∫ a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x arctan2 a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x + c. b - a2 Q (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x)′ = (b 2 - a 2 ) sin 2 x.2例 32.1 - ln x 1 - ln x x2 dx = ∫ dx ∫ ( x - ln x) 2 x - ln x 2 ( ) x x - ln x 1 = -∫ d( ) x - ln x 2 x ( ) x=1 x +c = + c. x - ln x x - ln x x例 33.1 1 d(x - ) 2 x +1 x x ∫ x 4 + 1dx = ∫ 2 1 dx = ∫ 1 2 x + 2 (x - ) + 2 x x 1? ? ? x- ? 1 x ?+c = arctan? 2 2 ? ? ? ? ? ?21+311阅读详情：=? x2 -1 ? 1 ? arctan? ? 2 x ? + c. ( x ≠ 0) 2 ? ?当x = 0, 利用原函数的连续性......*例 34．x = sin t∫ (xxdx2+ 1) 1 - x 2x3= -1 2 2ln2 + 1- x2 2 - 1- x2+ c.例 35． ∫dx = 3x = tan t1 1+ x2+ 1 + x 2 + c.(1 + x 2 ) 2 x2 - a2 dx x4x = sin t例 36． ∫ 例 37x = a sec t a >0=1 3a 2? x2 - a2 ?? ? x ?? ? + c. ? ?3∫1+dx 1- x2=cos t cos t - cos 2 t dt = ∫ dt ∫ 1 + cos t 1 - cos 2 t=-例 38．1 1- x2 + + arcsin x + c. x x1t 1 dx t = ∫ ? (- 2 )dt ∫ x ( x 7 + 2) 1 t ( )7 + 2 t 1 1 = - ln 2 + x 7 + ln x + c. 14 2x=例 39．∫dx (1 + x + x ) = -∫3 2 2=∫dx 3 1 3 [( x + ) 2 + ] 2 2 41 1 x+ = 2 ttdt 2(2 x + 1) = + c. 3 3 2 2 3 1 + x + x2 (1 + t ) 4例 40．x2e x x 2e x 1 x-2 x dx = - +∫ ( x 2 e x )′dx = e + c. ∫ ( x + 2) 2 x+2 x+2 x+2例 41．dx x 9 dx 1 1 10 = ∫ 10 ∫ x(2 + x10 ) x (2 + x10 ) = 2 ln x - 20 ln( x + 2) + c. *例 42．312阅读详情：(1 - x 7 )dx (1 - x 7 ) x 6 dx 2 =∫ 7 = ln x - ln 1 + x 7 + c. 10 ∫ x(1 + x 7 ) 7 x (2 + x ) 例 43． x 2 n -1dx x n ? x n -1 1 1 =∫ dx = ∫ (1 - )d ( x n ) n ∫ xn +1 1+ x n 1+ xn 1 = ( x n - ln x n + 1 ) + c. n 例 44． ∫2 x3 + 1 1 1 dx. （令 x - 1 = , => dx = - 2 du ,? ? ? ） 100 ( x - 1) u u3 x -1 = 1 u∫ ( x - 1)*例 45． ∫ 例 46． ∫ *例 47．2x + 1100dx = -1 1 3 - 99 33 ( x - 1) 49( x - 1) 98x =t dx = ? ? ? （先约分，分子加一减一） x +3 x6x( x + 1) x + x +1dx. 分子分母同乘（ x + 1 - x ）∫1 + sin x dx x x x x + cos 2 + 2 sin cos dx = ? ? ? 2 2 2 2= ∫ sin 2例 48．dx sin 2 x + cos 2 x =∫ dx = ∫ csc xdx + ∫ cot 2 x csc xdx 3 ∫ sin 3 x sin x分部积分= ∫ csc xdx - ∫ cot xd (csc x) == ???1 1 csc x - cot x - + c. 2 2 cot x csc x sin x sin x(1 - sin x) 例 49． ∫ dx = ∫ d = ??? 1 + sin x cos 2 x 例 50．313阅读详情：Q 1 + sin x + cos x = sin x + (1 + cos x) x x x x x = 2 sin cos + 2 cos 2 = 2 cos 2 (1 + tan ) 2 2 2 2 2 1 x ∴∫ dx = ln 1 + tan + c. 1 + sin x + cos x 2x + sin x 例 51． ∫ dx = ∫ 1 + cos x x x x + 2 sin cos 2 2 = ??? x 2 cos 2 2 x （分项分部积分） = x tan + c. 2∫ 1 + sin x + cos x dx1*例 52．求 ∫f ′(ln x) f ′(ln x) dx = ∫ d (ln x) x f (ln x) f (ln x)=∫d ( f (ln x)) = 2 f (ln x) + c. f (ln x)*例 53．求∫ max(x 3 , x 2 ,1 ) dx .? x , x ≥1 ? 解 令 f ( x) = max( x , x ,1) = ? x 2 , x ≤ -1 ? 1, x3 3 2? 1 4 ? 4 x + c1 , x ≥ 1 ?1 ? max( x 3 , x 2 ,1)dx = ? x 3 + c2 , x ≤ -1. ∫ ?3 ? x + c3 , x1 lim ( x 4 + c1 ) = lim ( x + c3 ); + x →1 4 x →1- 利用原函数的连续性，有 1 lim+ ( x + c3 ) = lim- ( x 3 + c2 ), x → -1 x → -1 3 3 2 + c, c2 = - c, 4 3 ?1 4 3 ? 4 x + 4 + c , x ≥1 ?1 2 ? 故 ∫ max( x 3 , x 2 ,1)dx = ? x 3 - + c , x ≤ -1. 3 ?3 x + c, x? ? ?从而解出 c3 = c, c1 =314}
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求不定积分2xdx．
wghdbniod00850
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∫xe2xdx=2xd2x=2x=2x-∫e2xdx)=2x-12e2x)
为您推荐：
利用分部积分法计算该不定积分即可．
本题考点：
不定积分的运算法则；有理函数的积分运算．
考点点评：
本题主要考查不定积分的运算法则，本题属于基础题．
扫描下载二维码不定积分例题
不定积分例题
范文一：不定积分习例题讲解计算题1.
已知f'(x)?sec2x?sinx，且f(0)?1，求函数f(x) 解：f(x)??f'(x)dx??(sec2x?sinx)dx??sec2xdx??sinxdx?tanx?cosx?c将f(0)?1代入，得c?2 则f(x)?tanx?cosx?2 2.
若?f(t)dt?F(t)?c,则?f(at?b)dt?1F(at?b)?c1
(a?0) a证明：用不定积分定义证明：??f(t)dt?F(t)?c, 所以F'(t)?f(t)又?d11[F(at?b)]?F'(u)u?at?b(at?b)' dtaa?F'(u)u?at?b?f(u)u?at?b?f(at?b)1?F(at?b)是f(at?b)的一个原函数， a1由不定积分定义有?f(at?b)dt?F(at?b)?c1a另证，用第一换元积分法证明。1f(at?b)dt?f(at?b)d(at?b) ?a?11??f(u)du?[F(u)?c] aa1?F(at?b)?c1 a采用“凑微分，使变量一致”的方法，将所求积分化成已知结果的不定积分或基本积分公式的那种形式，就可求得该积分。
3.解：x3dx 4．?1?x2解：x31x21(1?x2)?122?1?x2dx?2?1?x2dx?2?1?x2(x)111222?[?dx2??d(x?1)]?[x?ln(x?1)]?c 2221?x5.解：?
6.x?x2dx解：利用第一换元法?x?x2dx??12?x2d(x2)???12?x2d(1?x2)???d(?x2)??x2?c7.解：8.解：39．.tanxdx?32tanxdx?tan??x.tanxdx??(sec2x?1)tanxdx ??sec2xtanxdx??tanxdx??tanxd(tanx)???sinxdx cosx11tan2x??d(cosx) 2cosx1?tan2x?lncosx?c 210.解：?x211.
2x解： 利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt??x2cost?costdx??sin2tdt x221?sint1dt?(?1)td
??22?sinsintt?x2??cott?t?c???arcsinx?cx12.解：dx 13.
?arcsixn解：利用分部积分法?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)in??
?xarcsx?xarcsinx??x?x12?x22dxd(1?x2)?xarcsxin??x2?c14.解：15．求不定积分?x2?a2dxx,dx?asec2tdt, a解：第二换元法求解令x?atant,t?arctan?x2?a2dx??a2sec3tdt.32又?sectdt?sect.sectdt?sectdtant????sect.tant??tan2tsectdt ?sect.tant??(sec2t?1)sectdt ?sect.tant??sectdt??sec3tdtx223.x?a?lnsect?tant?sectdt 2?ax1??sec3tdt?2x2?a2?lnx?x2?a2?c22a?则?xa222x?adx?.x?a?lnx?x2?a2?c2222另解（分部积分法求解）?x2?a2dx?xx2?a2??xd(x2?a2)?xx?a??22x2x?a22dx?xx?a??22(x2?a2)?a2x?a22dx1x?a22?xx2?a2??x2?a2dx?a2?dx?xx2?a2?a2lnx?x2?a2??x2?a2dx则?x2a22x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c222216.lnx?x2dx解：
利用分部积分法lnx1lnx1dx?lnxd(?)????x2??xd(lnx) xxlnx1lnx1??2dx????c
??xxxx17.（n≠－1）解：18． 求积分xf''(x)dx 解：??xf''(x)dx??xd[f'(x)]?xf'(x)??f'(x)dx?xf'(x)?f(x)?c19.解：20.解：21．求积分?1x?a22dx解：令x?atant,dx?asec2tdt?1x2?a2dx??1asec2tdt??sectdt asect?lnsect?tant?c1x2?a2x?ln??c1aa?lnx?x2?a2?c,其中c?c1?lna原文地址：不定积分习例题讲解计算题1.
已知f'(x)?sec2x?sinx，且f(0)?1，求函数f(x) 解：f(x)??f'(x)dx??(sec2x?sinx)dx??sec2xdx??sinxdx?tanx?cosx?c将f(0)?1代入，得c?2 则f(x)?tanx?cosx?2 2.
若?f(t)dt?F(t)?c,则?f(at?b)dt?1F(at?b)?c1
(a?0) a证明：用不定积分定义证明：??f(t)dt?F(t)?c, 所以F'(t)?f(t)又?d11[F(at?b)]?F'(u)u?at?b(at?b)' dtaa?F'(u)u?at?b?f(u)u?at?b?f(at?b)1?F(at?b)是f(at?b)的一个原函数， a1由不定积分定义有?f(at?b)dt?F(at?b)?c1a另证，用第一换元积分法证明。1f(at?b)dt?f(at?b)d(at?b) ?a?11??f(u)du?[F(u)?c] aa1?F(at?b)?c1 a采用“凑微分，使变量一致”的方法，将所求积分化成已知结果的不定积分或基本积分公式的那种形式，就可求得该积分。
3.解：x3dx 4．?1?x2解：x31x21(1?x2)?122?1?x2dx?2?1?x2dx?2?1?x2(x)111222?[?dx2??d(x?1)]?[x?ln(x?1)]?c 2221?x5.解：?
6.x?x2dx解：利用第一换元法?x?x2dx??12?x2d(x2)???12?x2d(1?x2)???d(?x2)??x2?c7.解：8.解：39．.tanxdx?32tanxdx?tan??x.tanxdx??(sec2x?1)tanxdx ??sec2xtanxdx??tanxdx??tanxd(tanx)???sinxdx cosx11tan2x??d(cosx) 2cosx1?tan2x?lncosx?c 210.解：?x211.
2x解： 利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt??x2cost?costdx??sin2tdt x221?sint1dt?(?1)td
??22?sinsintt?x2??cott?t?c???arcsinx?cx12.解：dx 13.
?arcsixn解：利用分部积分法?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)in??
?xarcsx?xarcsinx??x?x12?x22dxd(1?x2)?xarcsxin??x2?c14.解：15．求不定积分?x2?a2dxx,dx?asec2tdt, a解：第二换元法求解令x?atant,t?arctan?x2?a2dx??a2sec3tdt.32又?sectdt?sect.sectdt?sectdtant????sect.tant??tan2tsectdt ?sect.tant??(sec2t?1)sectdt ?sect.tant??sectdt??sec3tdtx223.x?a?lnsect?tant?sectdt 2?ax1??sec3tdt?2x2?a2?lnx?x2?a2?c22a?则?xa222x?adx?.x?a?lnx?x2?a2?c2222另解（分部积分法求解）?x2?a2dx?xx2?a2??xd(x2?a2)?xx?a??22x2x?a22dx?xx?a??22(x2?a2)?a2x?a22dx1x?a22?xx2?a2??x2?a2dx?a2?dx?xx2?a2?a2lnx?x2?a2??x2?a2dx则?x2a22x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c222216.lnx?x2dx解：
利用分部积分法lnx1lnx1dx?lnxd(?)????x2??xd(lnx) xxlnx1lnx1??2dx????c
??xxxx17.（n≠－1）解：18． 求积分xf''(x)dx 解：??xf''(x)dx??xd[f'(x)]?xf'(x)??f'(x)dx?xf'(x)?f(x)?c19.解：20.解：21．求积分?1x?a22dx解：令x?atant,dx?asec2tdt?1x2?a2dx??1asec2tdt??sectdt asect?lnsect?tant?c1x2?a2x?ln??c1aa?lnx?x2?a2?c,其中c?c1?lna
范文二：不定积分例题例1、设f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)?（
B、?2e?2xC、?4e?2xD、4e?2x分析：因为f(x)的一个原函数是e?2x
所以f(x)答案：B 例2、已知?xfA、sinxx?(e?2x)???2e?2x(x)dx?sinx?c，则f(x)?（
D、xcosxB、xsinx
C、cosxx分析：对?xf(x)dx?sinx?c两边求导。cosxx得xf(x)?cosx，所以f(x)?答案：C例3、计算下列不定积分1、?(2、?exx?1x3)dx2(3?xesin?x2x)dx分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形解：1、?(?x?1x3)dx?22?(x?12x?12x1x3)dx12x2?xxdx??xe2??x?3x?2lnx?122?cx2、?e?x(3?xsinx)dx??(3e)dx??sinx?(3e)1?ln3?cotx?c例4、计算下列积分1、?2、?x?xexx2(1?e)2分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x)，设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分。2解：1、?
2、?x?xexx2??1?21?x12(1?x)???x2?c(1?e)?2?(1?ex)(1?e)??2x11?ex?c例5、计算?(x?1)sinxdx分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u，v?的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx，即v?dx变为?udv；②代公式，?udv?uv??dv，使积分?vdu，计算出du?u?dx；③计算积分?vdu解：?(x?1)sinxdx??xsinxdx??sinxdx???xdcosx?cosxx?cosx?c??(xcosx??cosxdx)?cosx??xcosx?sin
范文三：定积分例题一、定积分的概念及性质例1.用定积分的几何意义求?0(1?x)dx.解: 函数y?1?x在区间[0? 1]上的定积分是以y?1?x为曲边?的曲边梯形的面积. 因为以y?1?x为曲边?形? 其底边长及高均为1? 所以以区间[0? 1]为底1以区间[0? 1]为底的曲边梯形是一直角三角?0(1?x)dx?2?1?1?2.例2.用定积分的几何意义求111??sinxdx.??解:因为y?sinx在区间[??,?]上有正有负,所以上方的图形面积A减去x轴下方的图形面积A, 所以??
??例3. 比较下列各对积分的大小：??sinxdx等于[??,?]上位于x轴????sinxdx??sinxdx??sinxdx?A?A?0.0?（1）????10xdx与?x2dx1解：当0?x?1时，x?x2， 从而（2）1043xdx??x2dx1lnxdx与?43(lnx)2dx2解：当3?x?4时，lnx?1，所以lnx?(lnx)，43从而lnxdx??(lnx)2dx34解：当0?x???42时，0?arctanx?1，所以arctanx?(arctanx)，?从而?40arctanxdx??4(arctanx)2dx43（2）?43lnxdx与?(lnx)2dx342解：当3?x?4时，lnx?1，所以lnx?(lnx)，从而?lnxdx??(lnx)2dx34二、微积分基本定理例1. 求下列函数的导数：（1）?xt2dt；
（2）?e?tdtax解? （1）(?xt2dt)'?x2 ? e?tdt)'?e?x（2）(例2. 计算?2xa?0x1dx?解? 由于13x是x2的一个原函数? 所以 3xdx?[x]0??1??0?? ?033331例3. 计算??1dx2?1?x解 由于arctanx是12的一个原函数? 所以1?x? ?7
??1dx?[arctanx1?arctan?arctan(?1)??(?)???34121?x例4. 计算??21dx?x?11解 ??21dx?[ln|x|]??2?ln 1?ln 2??ln 2? x?1例5. 计算?41x(x?321)dx x241解：原式=?41xdx??162dx??ln4 x5例6. 计算正弦曲线y?sinx在[0?π]上与x轴所围成的平面图形的面积?
解：这图形是曲边梯形的一个特例? 它的面积
A??0?sinxdx??cosx0??(?1)?(?1)?2??三、换元积分法?例1. 计算?4cos2xdx?解 设t?2x，则dx?d()?t21dt 2当x?0时，t?0；当x???4时，t??2?1112??4cos2xdx ? ?cost?dt?[sint]0 ?00222?21例2. 计算?12(3x-1)解：设t?3x?1，则dx?d(t?11)?dt 33当x?1时，t?2；当x?2时，t?5??12dx??dt?[?]2? 22?2(3x-1)t33t10?例3. 计算?20sin3xdx解：设t?cosx，则dt?-sinxdx 当x?0时，t?1，x????2时，t?0.??20sinxdx?3?20sinx?sinxdx??(1?cosx)?sinxdx???(1?t2)dt20122?t3?2???t??=3?3?4例4. 计算?x?2dx?2x?1解2x??9)?(?3)]?
?[t?3t]1?[(?232333例5.?04x?2令2?21?t3 ?tdt??1t(t2?132?3)dt?10x?2xdx解：令3?2x?t，则原式=?13?t21133?2?t?(?t)dt??(t4?3t2)dt?225?例6. 计算?2cos5xsinxdx解： 解法一
设t?cosx，则dt?d(cosx)??sinxdx 当x?0时，t?1；当x???2时，t?00101??2cos5xsinxdx ?? ?t5dt??t6?01616??解法二?2cosxsinxdx ?? ?520?1162cosxdcosx??cosx?0665注：如并不明显写出新变量t，则定积分的上下限就不用变。 例7. 计算??ln30ln30exx1?e1 xxln3(1?e)?ln(1?e)0?ln2x1?e解：原式=四、分部积分例1. 计算?01xexdx解 设u?x，v?ex111?01xexdx??xd(ex)=xex-?exdx?e?(e?1)?1例2. 计算解?02?xsinxdx2??xcosx0?02?xsinxdx?e1lne??cosxdx?02?例3.计算xdx解e1lnxdxe1e112?e??(e?)??xlnx|e?dx11eee ee例4.计算?0exdx?
解 令?t? 则?0e1xdx?2?etdt?2?tde?2te1t1t1t
0?2?edt?2e?2e1t1t
0?2???12??x120??12?3?12五、定积分的应用例1 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形面积. 解：1、先画所围的图形简图?y2?2x解方程 ?,得交点：(2,?2) 和 (8,4)。?y?x?42、选择积分变量并定区间 选取x为积分变量，则0?x?8 3、给出面积元素 在0?x?2上，dA?[2x?(?2x)]dx?22xdx在2?x?8上，dA?[2x?(x?4)]dx?(4?2x?x)dx4、列定积分表达式A????[4x]dx2322288??31?????4x?x2?x2?=182?2?0?另解：若选取y为积分变量，则 ?2?y?4dA?[(y?4)?412y]dy 212A??2?(y?4?2y)dy4y2y3??4y?26?2?18显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 例2求y?x2?2，y?2x?1所围成的图形的面积.2?y?x?2，x2?2?2x?1，x??1，x?3 解 ??y?2x?1当?1?x?3时x2?2?2x?1，于是A?[(2x?1)?(x2?2)]dx?(x2?1x3?3x)3?102?1?33 13
范文四：例 求2 x (e x - 5)dx . ∫ [(2e) x - 5 ? 2 x )dx ∫解: 原式 =( 2e ) x 2x = +C -5 ln(2e) ln 2 ? ex 5 ? x =2 ? - ?+C ? ln 2 + 1 ln 2 ?阅读详情：例求x4 ∫ 1 + x 2 dx .4( x - 1) + 1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x ( x 2 - 1)( x 2 + 1) + 1 =∫ dx 2 1+ x dx 2 = ∫ ( x - 1) dx + ∫ 1 + x21 3 = x - x + arctan x + C 3阅读详情：直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,?阅读详情：ex 1 e 2x , e x sh x , e x ch x 都是 的原函数 . 1. 证明 2 ch x - sh x e x + e- x e x - e-x , sh x = 提示: ch x = 2 22. 若 e-x是 f ( x) 的原函数 , 则 1 2 - x +C 2 ∫ x f (ln x) d x = 2f ( x ) = ( e - x )′ = - e - x 提示: 1 - ln x f (ln x) = -e =- x阅读详情：3. 若 f ( x) 是 e - x 的原函数 , 则 1 f (ln x) + C0 ln x + C d x= x ∫x′( x) = e - x 提示: 已知 f∴f ( x ) = -e - x + C0 1 f (ln x) = - + C0 x f (ln x) 1 C0 =- 2 + x x x阅读详情：4. 若 f ( x) 的导函数为 sin x , 则 f ( x) 的一个原函数 ). 是( B( A) 1 + (C ) 1 +提示: 已知 求 即( B ) 1 - ( D ) 1 - cos x .f ′( x) = sin x ( ? )′ = f ( x ) ( ? )′′ = sin x或由题意 f ( x) = - cos x + C1 , 其原函数为∫ f ( x) d x = - sin x + C1 x + C2阅读详情：5. 求下列积分:dx (1) ∫ 2 ; 2 x (1 + x )提示:dx (2) ∫ 2 . 2 sin x cos x(1)1 1 (1 + x 2 ) - x 2 1 = 2- = 2 2 2 2 x 1+ x2 x (1 + x ) x (1 + x )1 sin 2 x + cos 2 x (2) = 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x = sec 2 x + csc 2 x阅读详情：e3 x + 1 6. 求不定积分 ∫ e x + 1 dx . 3x e +1 dx 解： ∫ x e +1(e x + 1) (e 2 x - e x + 1) =∫ dx x e +1 = ∫ (e 2 x - e x + 1) dx1 2x x = e -e + x+C 2阅读详情：7. 已知 求A,B.∫x21- x2dx = A x 1 - x + B ∫2dx 1 - x2解: 等式两边对 x 求导, 得x21- x2= A 1- x - =2Ax 21- x2+B1 - x2( A+ B) - 2 Ax 2?A = - 1 2 ? B=1 ? 21 - x2 ?A + B = 0 ∴ ? ? - 2A =1阅读详情：1.求∫dx . x 1+ e dx (1 + e x ) - e x d(1 + e x ) 解1： ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e x dx = ∫ d x - ∫ 1 + e x= x - ln(1 + e x ) + Cdx e- x d(1 + e - x ) 解2： ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e - x dx = -∫ 1 + e - x = - ln(1 + e- x ) + C- ln(1 + e - x ) = - ln[e - x (e x + 1)]两解法结果一样阅读详情：x +1 dx . 2. 求 ∫ x x(1 + x e )ex 1 1 ( x + 1) ) d( x e x ) dx = ∫ ( x - 解: 原式= ∫ x x x e 1+ x ex x e (1 + x e )= ln x e x - ln 1 + x e x + C = x + ln x - ln 1 + x e + C 1 1 1 1 + xe x - xe x 分析: = x- x x = xe (1 + xe ) xe x (1 + xe x ) x e 1 + xe x ( x + 1)e x dx = xe x dx + e x dx = d( xe x )x阅读详情：? f ( x) f ′′( x) f 2 ( x) 3. 求 ∫ ? - f ′( x) ′3 ( x ) f ?解: 原式 = ∫? ? d x. ?f ( x) ? f ′′( x) f ( x) 1- ? f ′( x) ? f ′2 ( x)? dx ? ?=∫f ( x) f ′ 2 ( x) - f ′′( x) f ( x) ? dx 2 f ′( x)f ′ ( x)f ( x) f ( x) 1 ? f ( x) ? 2 =∫ d( ) = +C f ′( x) f ′( x) 2 ? f ′( x) ? ? ?阅读详情：4.求 提示: 法1 法2 法3dx ∫ x ( x10 + 1) . ( x10 + 1 ) - x10 dx ∫ x ( x10 + 1) = ∫ x ( x10 + 1) d x dx 1 d x10 ∫ x ( x10 + 1) = 10 ∫ x10 ( x10 + 1)- 1 d x -10 dx dx ∫ x ( x10 + 1) = ∫ x11 (1 + x -10 ) = 10 ∫ 1 + x -10阅读详情：小结 常用简化技巧:(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1 = sin 2 x + cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x ) ; 2nsin 2 x = 1 (1 - cos 2 x ) ; 2n -1万能凑幂法∫ f ( x ) x dx ∫ f ( x ) d x n 1 1 f (xn ) 1 d xn ∫ f (x ) x dx = n ∫ xn=1 nnn(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元阅读详情：a -x dx . 5. 求 ∫ 4 x 1 则 dx = -1 d t 解: 令 x = t , t2原式 = ∫22a2 -1 t41 t21 -1 2 2 ? 2 d t = - ∫ (a t - 1) 2 t d t t当 x > 0时 ,原式 = - 1 2 2a∫ (a t2 23 21 - 1) 2d(a 2t 2 - 1)2 23 2(a t - 1) (a - x ) =- +C = - +C 2 2 3 3a 3a x 当 x2 2阅读详情：6. 求∫ ( x + 1)3dx解: 原式 = ∫x + 2x dx2.令 x +1 = 1 t( x + 1) 3 ( x + 1) 2 - 1 t3 1 t2 =∫ (- 2 ) d t = - ∫ dt 1 -1 2 t 1- t 2 t1- t2 1- t2 = 1 t 1 - t 2 + 1 arcsin t - arcsin t + C 2 2 =1 x2 +2 x 2 ( x +1) 2=∫(1 - t 2 ) - 1dt = ∫ 1- t d t - ∫21dt- 1 arcsin x1 1 + C 2 +阅读详情：7. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?(1)∫x51+ x2dx(2)∫dx 1+ ex x令 t = 1 + x2令 t = 1+ edx (3) ∫ x ( x 7 + 2)1 令t= x阅读详情：8. 已知x 5 f ( x) dx = x 2 - 1 + C , 求 ∫ f ( x) dx. ∫ x 5 ,则 解: 两边求导, 得 x f ( x) = x2 -1 dx 1 ∫ f ( x) d x = ∫ x 4 x 2 - 1 (令 t = x ) 3 2 - t d t 1 ( 1- t ) - 1 2 =∫ = ∫ dt 1- t2 2 1- t2 1 1 -1 1 2 2 2 2 -2 = ∫ (1 - t ) d (1 - t ) + ∫ (1 - t ) d (1 - t 2 ) 2 2 3 1 -1 2 2 2 2 ) = (1 - t ) + (1 - t ) + C = ? (代回原变量) 3阅读详情：9. 求下列积分:1 1 1) ∫ x dx = ∫ d ( x 3 + 1) 3 x3 + 1 x3 + 1 2 3 = x +1 + C 3 2x + 3 - (2 - 2 x) + 5 2) ∫ dx = ∫ dx 1 + 2x - x2 1 + 2x - x2212 - ( x - 1) 2 x -1 2 +C = -2 1 + 2 x - x + 5 arcsin 2= -∫d(1 + 2 x - x ) 1 + 2x - x22+ 5∫d( x - 1)阅读详情：2 sin x cos x 1 + sin 2 x 10.求不定积分∫ dx. 2 2 + sin x 解：利用凑微分法，得 2 sin x cos x 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x dx = ∫ d 1 + sin 2 x ∫ 2 + sin 2 x 2 + sin 2 x()令t = 1 + sin 2 x , 则 2t 2 1 ? 原式 = ∫ dt = 2∫ ?1 - dt = 2t - 2 arctan t + C ? 2 2 ? 1+ t ? 1+ t ? = 2 1 + sin 2 x - arctan 1 + sin 2 x + C.[]阅读详情：11.求不定积分∫1(1 + x ) 1 - x22dx.解：令x = sin t ,1 + x 2 = 1 + sin 2 t , dx = cos tdt , 1 cos t dx = ∫ dt 分子分母同除以 cos 2 t , ∫ 1+ x2 1- x2 1 + sin 2 t cos t 1 sec 2 t d tan t =∫ dt = ∫ 2 2 2 1 + 2 tan t sec t + tan t 1 1 =∫ 1 + 2 tan t 2 d 2 tan t 2()()()()1 1 2x = arctan 2 tan t + C = arctan + C. 2 2 1- x2()阅读详情：1. 求ln cos x ∫ cos 2 x dx .1 u = ln cos x , v′ = cos 2 x u′ = - tan x , v = tan x,则: 解: 令原式 =tan x ? ln cos x + ∫ tan 2 x dx+ ∫ (sec 2 x - 1) dx = tan x ? ln cos x= tan x ? ln cos x + tan x - x + C阅读详情：2. 求 : 解: 令∫e原式xdx .x = t , 则 x = t 2 , dx = 2 t d t= 2∫ t e t d t令u = t , v′ = e t= 2( t e t - e t ) + C = 2ex( x - 1) + C阅读详情：3. 求 : 解: 令∫ ∫2x + a dx (a > 0) .2 2则22u = x + a , v′ = 1,2u′ =2x x2 +a2x2 x +a2, v=xx + a dx = x x + a - ∫= x x +a -∫2 222dx22( x 2 + a 2 )-a 2x +a222dx2= x x + a - ∫ x + a dx + a2∴ 原式 =2∫dxx2 +a21 2 2 a x x + a + ln ( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2阅读详情：tan n -1 x 4.证明递推公式I n = ∫ tan n x dx = - I n - 2 (n ≥ 2) n -1: 证:I n = ∫ tan n - 2 x (sec 2 x - 1) dx= ∫ tan n - 2 x d(tan x) - I n -2 tan n-1 x = n - 1 - I n -2: 注:I n → ? → I 0 或 I1 I0 = x + C ,I1 = - ln cos x + C阅读详情：: 说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .阅读详情：5. 已知 : 解:f ( x)的一个原函数是cos x 求 , x∫ x f ′( x) dx .∫ x f ′( x) dx = ∫ x d f ( x) = x f ( x ) - ∫ f ( x ) dxcos x ′ cos x +C )- = x( x x cos x = - sin x - 2 +C x f ′( x) 再求积分反而复杂.: 说明: 此题若先求出? - cos x + 2 sin x + 2 cos x ? d x ∫ x f ′( x) dx = ∫ ? 2 ? x ? x ?阅读详情：6. 求 : 解:I = ∫ sin ( ln x) dx令t = ln x , 则 x = e t , d x = e t d t∴ I = ∫ e t sin t d t= e t sin t - ∫ e t cos t d t 1 t = e (sin t - cos t ) - I 2 1 t ∴ I = e (sin t - cos t ) + C 2 1 = x [sin(ln x) - cos(ln x)] + C 2阅读详情：7. 下述运算错在哪里? 应如何改正?cos x 1 d sin x sin x ∫ sin x dx = ∫ sin x = sin x - ∫ (sin x )′ sin x dx - cos x cos x = 1- ∫ sin x dx = 1 + ∫ dx 2 sin x sin x cos x cos x ∴ ∫ dx - ∫ d x = 1, 得 0 = 1 sin x sin x = ln sin x + C: 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .阅读详情：8.求不定积分∫xe x ex -1d x.1 解1：(先分部 , 再换元)∫xe x e -1xdx =∫x e -1xd (e - 1)x2u du u = e - 1 则，dx = 2 1+ u 2 4u x du = 2x e -1 - ∫ 2 1 +2u u +1 -1 x du = 2 x e - 1 - 4∫ 2 1+ u令x= 2 ∫ x d (e x - 1) = 2 x e x - 1 - 2∫ e x - 1dx- 4 e x - 1 + 4 arctan e x - 1 + C. = 2x e -1x阅读详情：解2：(先换元,再分部) 令u = e -1x则故∫(1 + u 2 ) ln(1 + u 2 ) 2u dx= ? du x ∫ 2 e -1 u 1+ u = 2 ∫ ln(1 + u 2 ) d uu 2 +1-1 du =2u ln 1 + u 2 - 4 ∫ 2 1+ u = 2u ln(1 + u 2 ) - 4u + 4 arctan u + Cxe x2u x = ln 1 + u , dx = du , 2 1+ u(2)()- 4 e x - 1 + 4 arctan e x - 1 + C. = 2x e -1x阅读详情：: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 简便的方法. 1. 求 因此要注意根据被积函数的结构寻求: 解:2 x3 + 2 x 2 + 5x + 5 I =∫ dx . 4 2 x + 5x + 4 2 x3 + 5x 2x2 + 5 I =∫ 4 dx + ∫ 4 dx 2 2 x + 5x + 4 x + 5x + 4( x 2 + 1) + ( x 2 + 4) 1 d( x 4 + 5 x 2 + 5) +∫ dx = ∫ 4 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x + 1)( x + 4) 1 1 x 4 2 = ln x + 5 x + 4 + arctan + arctan x + C 2 2 2阅读详情：2. 求x ∫ ( x 2 + 2 x + 2) 2 d x .( x 2 + 2 x + 2) - (2 x + 2) =∫ dx 2 2 ( x + 2 x + 2) dx d( x 2 + 2 x + 2) =∫ -∫ 2 2 ( x + 1) + 1 ( x + 2 x + 2) 2 1 = arctan( x + 1) + 2 +C x + 2x + 22: 解: 原式阅读详情：3. 求: 解: 原式dx ∫ x 4 +1 1 ( x 2 + 1) - ( x 2 - 1) = 2∫ dx 4 x +11 x2 2 x + 12 x1 = ∫ 21+1 dx - ∫ 21 x2 2 x + 12 x1-注意本题技巧dx按常规方法较繁1 1 - ∫ = ∫ 2 2 ( x - 1 ) + 2 2 ( x + 1 )2 - 2x xd( x - 1 ) xd( x + 1 ) xx+1- 2 x-1 1 1 1 x x = arctan + C ( x ≠ 0) - ln 2 2 2 22 2 x+1+ 2 x阅读详情：按常规方法解: 第一步 令x 4 + 1 = ( x 2 + a x + b)( x 2 + c x + d )比较系数定 a , b , c , d . 得dx ∫ x 4 +1x 4 + 1 = ( x 2 - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)第二步 化为部分分式 . 即令1 1 = 2 4 x + 1 ( x - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1) Ax + B Cx + D = 2 + 2 x - 2x + 1 x + 2x + 1比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 !阅读详情：4. 求dx ∫ a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x (a b ≠ 0) .1: 解:原式 = ∫cos x2dx2a tan x + b221 d tan x = 2∫ 2 b )2 a tan x + ( a1 a = arctan( tan x ) + C ab b: 说明: 通常求含 的积分时, 用代换sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x 的有理式t = tan x往往更方便 .阅读详情：5. 求1 ∫ (a sin x + b cos x) 2 dx (a b ≠ 0) .原式解法 1=∫令dx (a tan x + b) 2 cos 2 xt = tan x1 dt =- +C =∫ 2 a ( a t + b) ( a t + b)cos x =- +C a (a sin x + b cos x)阅读详情：5. 求解法 21 ∫ (a sin x + b cos x) 2 dx (ab ≠ 0) a b = cos ? 令 2 2 = sin ? , a +b a2 + b2 1 dx 原式 = 2 2∫ 2 a + b cos ( x - ? ) 1 = 2 tan( x - ? ) + C 2 a +b a ? = arctan b 1 a = 2 tan( x - arctan ) + C 2 b a +b阅读详情：6. 求cos x - 2 cos x ∫ 1 + sin 2 x + sin 4 x dx .3: 解: 令 原式t = sin x ,=∫ (cos 2 x - 2) cos x dx 1 + sin x + sin x224(sin 2 x + 1) d sin x = -∫ 2 4 1 + sin x + sin x1 t2 1 t2(t + 1) dt = -∫ 2 = -∫ 2 4 t +1+ 1+ t + t1+dt = - ∫d(t - 1 ) t (t1) 2 -t+3t -1 1 cos 2 x 1 arctan +C = - arctan t + C = 3 3 sin x 3 3阅读详情：7.如何求下列积分更简便 ?x2 1. ∫ 6 d x ( a > 0) 6 a -x: 解: 1.dx 2. ∫ 3 sin x cos x1 dx 3 - 1 x3 - a3 原式 = ∫ 3 2 = 3 ln 3 +C 3 2 3 3 (a ) - ( x ) 6a x +a2. 原式dx sin 2 x + cos 2 x cos x =∫ dx = ∫ + ∫3 dx 3 sin x cos x sin x cos x sin x d tan x d sin x 1 1 +C =∫ + ∫ 3 = ln tan x - 2 tan x 2 sin x sin x阅读详情：8.求不定积分1 ∫ x 6 1 + x 2 dx.()分母次数较高, 宜使用倒代换.解： 令1 则 1 1 t = , x = , dx = - 2 d t , 故 x t t 6 1 t 1 1 dt dx = ∫ 1 1 - 2 dt = - ∫ 2 ∫ x6 1 + x2 1+ t (1 + 2 ) t t t6 1 5 1 3 1 4 2 = - ∫ (t - t + 1 - ) dt = - t + t - t + arctan t + C 2 5 3 1+ t()1 1 1 1 = - 5 + 3 - + arctan + C. 5 x 3x x x
范文五：期末自我检测题说明：该自测题主要包括期末考试知识点，大家做题时对应相应知识点检查自己掌握的情况。这些题目有一定难度，尤其是最后两题，做题时请注意。这些题目里面没有包括定积分应用综合题，请大家参照网站内容复习。这些题目希望大家在两个小时之内，独立且不参考任何资料的条件下完成，然后自己对照答案评分，检测自己期末复习情况。我承诺：自评成绩是我在两个小时之内，没有参考任何资料的条件下独立完成的结果。签名：
自评成绩：期末自我检测测题一、 选择题（30分）sinxsin2x221．设I1??dx,I2??dx,则I1与I2的关系是() 00xx2(A) I1?I2,
(B) I1?I2,
(D) 不确定.2. 已知反常积分???0??dx(k?0)收敛于1，则k?（
） 1?kx2?2?2?A．
C．D．2423.设f(x)??sinx0（
） sin(t2)dt，g(x)?x3?x4，则当x?0时，（A）f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小；（B）f(x)与g(x)为等价无穷小； （C）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小；
（D）f(x)是比g(x)更低阶无穷小。4.下列广义积分发散的是（
）(A)1??1sinxx.(B)1?1?x.
(C)???0e?xdx.
(D)2???21x. 2xlnx5.双纽线r2?cos2?所围成的区域面积可用定积分表示为(
)???(A) 2?4cos2?d?
(B) 4?4cos2?d?
(C) 2?46.xdx?x4?2x2?5?(
(D) ?4?cos2??d?20?x2?1142?C;
(A) lnx?2x?5?C;
2arctan221x2?11x2?1?C;
(D) arctan?C. (C) arctan2242二、 填空题（30分） 1. 2.2x?lnx dx．?dx= ．3.由曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积 4．使广义积分?5. 设f(x)???pdxxx?1p?11收敛的p的取值范围是
。1113，则f(x)dx?。 ?xf(x)dx2??001?x6. 已知函数f (x) 连续，g(x)??t2f(t?x)dt，g?(x)x三、 计算（10分）?四、（10分）设I??????xe?x1?e?x2dxesinxsin2x证明 ?x(1) 当1???2时，I绝对收敛；；（2）0???1时,I条件收敛 （3）??2时，I发散。五、（10分）设f(x)为定义在(??,??)上，以T > 0为周期的连续函数，且?f(x)dx?A。求lim0T?xf(t)dtxx???。11六、（10分）设函数f(x)在[0，1]上连续，且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?1，试证：⑴?x0?[0,1]，使得f(x0)?4；
⑵?x1?[0,1]，使得f(x1)?4。
范文六：不定积分与定积分部分典型例题例1 验证F(x)?两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有F?(x)?G?(x)?f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.
所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.12(1?lnx)和G(x)?212ln2x?lnx是同一个函数的原函数, 并说明解 因为F?(x)?(1?lnx)?
G?(x)?lnx?所以F(x)?且有F(x)?12121x?21x??1?lnx1xx1?lnxx12ln2(1?lnx)和G(x)?(1?lnx)2x?lnx是同一个函数12?G(x)?121?lnxx的两个原函数.?12ln2x?lnx?说明两个原函数之间仅相差一个常数.
例2 已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为12x, 且曲线过点(4,3), 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3), 斜率是f(x)?分曲线.解
y?12x的积?f(x)dx??21xdx?x?c且曲线过点(4,3), 即3?于是所求曲线方程为4?c, 得出c?3?4?1y?x?1例3 判断下列等式是否正确.
（1）d?1?x2x?11?x2dx（2）?(sinx)?dx??cosx?c （3）ddx?e1lnxxx?12分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx所以, 等式d?1?x2x?1?x2dx成立.（2）依照不定积分的性质?f?(x)dx?f(x)?c所以, 等式?(sinx)?dx??cosx?c不成立. 正确的应为?(sin（3）由定积分定义,x)?dx?sinx?c?baf(x)dx?F(b)?F(a)是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式正确的结果应为?dxde1lnxxx?12错误,?dxde1lnxxx?0.例4 计算下列积分： （1）?(x?1x3)dx2（2）?e(3?（3）?2?0xxesin?x2x)dxsinxx分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2?]上有?sinxsinx????sinx0?x????x?2?利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为(x?1x3)?x?22x?1x3?(x?1x3)dx=?(x?12222x?1x3)dx?12x2?xdx??x2x??x13x=x?2lnx??c.（2）将被积函数变形为e(3?xxesin?x2x)?(3e)x?1sin2x再利用积分公式和积分运算性质得?e(3?xxesin?x2x)dx??(3e)dx?(3e)xx?sin12xdx=(3) ?2?0ln3?1?cotx?c2?sinxx???sinxdx?????sinxdx??cosx0?cosx???[?1?1]?[1?(?1)]?4.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将ex乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）?x?xexx22?2x；（2）?(1?e)e1x（3）?ln2xxx?（4）?2sin3xdx分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x), 设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x?x2看成xu, 其中u?1?x2, 且du??2xdx, 于是,xudx??112udu, 这时对于变量u可以利用公式求积分.（2）将被积函数exx2(1?e)看成eux2, 其中u?1?e, 且du?edx, 于是xxeux2dx?duu2,这样对于变量u?1?ex可以利用积分公式求积分.(lnx)x2（3）将被积函数看成u2x, 其中u?lnx, 且du?1xdx, 于是u2xdx?udu,2这样对于变量u?lnx可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数sin3x分解成sin2xsinx?(1?cos2x)sinx?sinx?cos2xsinx即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为2usinx, 其中u?cosx, du??sinxdx解 （1）?x?x2x=?1?21?x21?x)??21?21uu
(u?1?x2)=?
（2）?exxu?c???x?c2(1?e)x?2?(1?e1u1x)(1?e)?211?exx?u12u
（u?1?e）x=??c???c（3）[方法1]换元换限.
令u?lnx, 则du?e11xdx, 且当x?1时, u?0, x?e时, u?1, 于是有10?ln2xxx??udu?2131u30?13(1?0)?3313[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.
?e1ln2xxx??13e1ln2xd(lnx)e?(lnx)31?13[(lne)?(ln1)]?3313??3?2?(4) 因为?2sin0xdx=?2[1?cosx]sinxdx??20sinxdx??20cos2xsinxdx??20对于积分?2sinxdx??cosx?1?对于积分?2cos2xsinxdx用凑微分法,[方法1] 令u?cosx, 则du??sinxdx, 且当x?0时, u?1, x?是有??2时, u?0, 于?20cos2xsinxdx???udu?12131u30?13[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.????20cos2xsinxdx???20cos2xdcosx??13cos3x2?13说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?f(u)du容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着?f(u)du容易求积分的方向进行.
在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.
由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分： （1）?(x?1)sin2xdx；2x（2）?xe2dx；0e（3）?1lnxdxe分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v?的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx, 即v?dx?dv, 使积分变为?udv； 2．代公式,?udv?uv??vdu, 计算出du?u?dx3．计算积分?vdu.在定积分的分部积分公式是?udv?uvabba??bavdu, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中uva是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设u?x?1,v??sin2x, 则v??12cos2x, 由分部积分公式有b?(x?1)sin2xdx??12(x?1)cos2x?1cos2xdx ?214?x?12(x?1)cos2x?xsin2x?c(2) 设u?x,v??e2, 则v?2e2, 由定积分分部积分公式有?20xx22xx2xe2dx?2xe2?2?e2dx?4e?4e2?4e?4e?4?4???lnx（3）因为lnx????lnx1,
e1?x?e?x?1利用积分区间的可加性得到?e1elnxdx???1lnxdx?e1?e1lnxdx其中第一个积分为?1lnxdx?xlnxe111e?1e?11exx2edx?e1ee?1???1第二个积分为?lnxdx?xlnx1?1?e1dx?e?e?1?1,2e2e最后结果为?1lnxdx???1lnxdx?eee1?e1lnxdx?1??1?2?.例7 计算下列无穷限积分： （1）???11(x?1)3x；（2）???2x0e?dx； （3）???10xlnxdx分析 对于无穷限积分???af(x)dx的求解步骤为：（1）求常义定积分?baf(x)dx?F(b)?F(a)；
（2）计算极限lim??[F(b)?F(a)]b?极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）???1b11b(1(x?1)3x?limx?1)?2]b????1(x?1)3x?lim[?b???21=?12lim[(b?1)?2?(1?1)?2]?(?1)?(?124)b????18（2）???0e?3xdx?limb?3xdx?lim[?1b?3x]b????eb???3e?lim[?1b1b???3[e?3?e]?3(3) ???1b1bexlnxdx?limlnx)?limln(lnx)e???b????ed(lnxb???说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）
???11??1(x?1)3x?[?2(x?1)?2]??118（2）????3x1??edx?[?3e?3x]?103（3）???11??exlnxdx????elnxd(lnx)?ln(lnx)e???.不定积分与定积分部分典型例题例1 验证F(x)?两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有F?(x)?G?(x)?f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.
所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.12(1?lnx)和G(x)?212ln2x?lnx是同一个函数的原函数, 并说明解 因为F?(x)?(1?lnx)?
G?(x)?lnx?所以F(x)?且有F(x)?12121x?21x??1?lnx1xx1?lnxx12ln2(1?lnx)和G(x)?(1?lnx)2x?lnx是同一个函数12?G(x)?121?lnxx的两个原函数.?12ln2x?lnx?说明两个原函数之间仅相差一个常数.
例2 已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为12x, 且曲线过点(4,3), 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3), 斜率是f(x)?分曲线.解
y?12x的积?f(x)dx??21xdx?x?c且曲线过点(4,3), 即3?于是所求曲线方程为4?c, 得出c?3?4?1y?x?1例3 判断下列等式是否正确.
（1）d?1?x2x?11?x2dx（2）?(sinx)?dx??cosx?c （3）ddx?e1lnxxx?12分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx所以, 等式d?1?x2x?1?x2dx成立.（2）依照不定积分的性质?f?(x)dx?f(x)?c所以, 等式?(sinx)?dx??cosx?c不成立. 正确的应为?(sin（3）由定积分定义,x)?dx?sinx?c?baf(x)dx?F(b)?F(a)是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式正确的结果应为?dxde1lnxxx?12错误,?dxde1lnxxx?0.例4 计算下列积分： （1）?(x?1x3)dx2（2）?e(3?（3）?2?0xxesin?x2x)dxsinxx分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2?]上有?sinxsinx????sinx0?x????x?2?利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为(x?1x3)?x?22x?1x3?(x?1x3)dx=?(x?12222x?1x3)dx?12x2?xdx??x2x??x13x=x?2lnx??c.（2）将被积函数变形为e(3?xxesin?x2x)?(3e)x?1sin2x再利用积分公式和积分运算性质得?e(3?xxesin?x2x)dx??(3e)dx?(3e)xx?sin12xdx=(3) ?2?0ln3?1?cotx?c2?sinxx???sinxdx?????sinxdx??cosx0?cosx???[?1?1]?[1?(?1)]?4.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将ex乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）?x?xexx22?2x；（2）?(1?e)e1x（3）?ln2xxx?（4）?2sin3xdx分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x), 设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x?x2看成xu, 其中u?1?x2, 且du??2xdx, 于是,xudx??112udu, 这时对于变量u可以利用公式求积分.（2）将被积函数exx2(1?e)看成eux2, 其中u?1?e, 且du?edx, 于是xxeux2dx?duu2,这样对于变量u?1?ex可以利用积分公式求积分.(lnx)x2（3）将被积函数看成u2x, 其中u?lnx, 且du?1xdx, 于是u2xdx?udu,2这样对于变量u?lnx可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数sin3x分解成sin2xsinx?(1?cos2x)sinx?sinx?cos2xsinx即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为2usinx, 其中u?cosx, du??sinxdx解 （1）?x?x2x=?1?21?x21?x)??21?21uu
(u?1?x2)=?
（2）?exxu?c???x?c2(1?e)x?2?(1?e1u1x)(1?e)?211?exx?u12u
（u?1?e）x=??c???c（3）[方法1]换元换限.
令u?lnx, 则du?e11xdx, 且当x?1时, u?0, x?e时, u?1, 于是有10?ln2xxx??udu?2131u30?13(1?0)?3313[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.
?e1ln2xxx??13e1ln2xd(lnx)e?(lnx)31?13[(lne)?(ln1)]?3313??3?2?(4) 因为?2sin0xdx=?2[1?cosx]sinxdx??20sinxdx??20cos2xsinxdx??20对于积分?2sinxdx??cosx?1?对于积分?2cos2xsinxdx用凑微分法,[方法1] 令u?cosx, 则du??sinxdx, 且当x?0时, u?1, x?是有??2时, u?0, 于?20cos2xsinxdx???udu?12131u30?13[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.????20cos2xsinxdx???20cos2xdcosx??13cos3x2?13说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?f(u)du容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着?f(u)du容易求积分的方向进行.
在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.
由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分： （1）?(x?1)sin2xdx；2x（2）?xe2dx；0e（3）?1lnxdxe分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v?的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx, 即v?dx?dv, 使积分变为?udv； 2．代公式,?udv?uv??vdu, 计算出du?u?dx3．计算积分?vdu.在定积分的分部积分公式是?udv?uvabba??bavdu, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中uva是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设u?x?1,v??sin2x, 则v??12cos2x, 由分部积分公式有b?(x?1)sin2xdx??12(x?1)cos2x?1cos2xdx ?214?x?12(x?1)cos2x?xsin2x?c(2) 设u?x,v??e2, 则v?2e2, 由定积分分部积分公式有?20xx22xx2xe2dx?2xe2?2?e2dx?4e?4e2?4e?4e?4?4???lnx（3）因为lnx????lnx1,
e1?x?e?x?1利用积分区间的可加性得到?e1elnxdx???1lnxdx?e1?e1lnxdx其中第一个积分为?1lnxdx?xlnxe111e?1e?11exx2edx?e1ee?1???1第二个积分为?lnxdx?xlnx1?1?e1dx?e?e?1?1,2e2e最后结果为?1lnxdx???1lnxdx?eee1?e1lnxdx?1??1?2?.例7 计算下列无穷限积分： （1）???11(x?1)3x；（2）???2x0e?dx； （3）???10xlnxdx分析 对于无穷限积分???af(x)dx的求解步骤为：（1）求常义定积分?baf(x)dx?F(b)?F(a)；
（2）计算极限lim??[F(b)?F(a)]b?极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）???1b11b(1(x?1)3x?limx?1)?2]b????1(x?1)3x?lim[?b???21=?12lim[(b?1)?2?(1?1)?2]?(?1)?(?124)b????18（2）???0e?3xdx?limb?3xdx?lim[?1b?3x]b????eb???3e?lim[?1b1b???3[e?3?e]?3(3) ???1b1bexlnxdx?limlnx)?limln(lnx)e???b????ed(lnxb???说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）
???11??1(x?1)3x?[?2(x?1)?2]??118（2）????3x1??edx?[?3e?3x]?103（3）???11??exlnxdx????elnxd(lnx)?ln(lnx)e???.
范文七：不定积分与定积分部分典型例题例1 验证F(x)?两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有11(1?lnx)2和G(x)?ln2x?lnx是同一个函数的原函数, 并说明22F?(x)?G?(x)?f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数.
所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可.11?lnx? xx111?lnxG?(x)?lnx???xxx1121?lnx2所以F(x)?(1?lnx)和G(x)?lnx?lnx是同一个函数的两个原函数.22x112112且有F(x)?(1?lnx)?lnx?lnx??G(x)?2222解 因为F?(x)?(1?lnx)?说明两个原函数之间仅相差一个常数.
例2 已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为12x, 且曲线过点(4,3), 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3), 斜率是f(x)?分曲线.解
y?12x的积?f(x)dx??12xdx?x?c且曲线过点(4,3), 即3?于是所求曲线方程为4?c, 得出c?3?4?1y?x?1例3 判断下列等式是否正确.
（1）d?1?x2x?1?x2dx（2）(sinx)?dx??cosx?c?delnx1x?（3）dx?1x2分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质d?f(x)dx?f(x)dx所以, 等式d?1?x2x?1?x2dx成立.（2）依照不定积分的性质?f?(x)dx?f(x)?c所以, 等式(sinx)?dx??cosx?c不成立. 正确的应为??(sinx)?dx?sinx?c（3）由定积分定义,?baf(x)dx?F(b)?F(a)是一个确定的数值, 因此, 对函数先求delnx1x?定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式错误,dx?1x2delnxx?0.
正确的结果应为?1dxx例4 计算下列积分： （1）(x??1x3)2dxe?x)dx （2）?e(3?sin2xxx（3）?2?sinxx分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2?]上有0?x???sinxsinx???sinx??x?2??利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为(x?1x3)2?x?1x321?3 xx2121?3)dx??xdx??x??3x xxxx?(x?)2dx=?(x?=121x?2lnx?2?c.
22x（2）将被积函数变形为e?x1xe(3?)?(3e)?sin2xsin2xxx再利用积分公式和积分运算性质得1e?xx(3e)dx?dx e(3?)dx?2??2?sinxsinxxx(3e)x?cotx?c
=ln3?1(3)?2?sinxx??sinxdx???sinxdx?2????cosx0?cosx???[?1?1]?[1?(?1)]?4.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将e乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）x?2??x?x2x；ex（2）?x x2(1?e)（3）?e1ln2xx xsin3xdx?（4）?20分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u??(x), 设法将对x求积分转化为对u??(x)求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x?x2看成x2, 其中u?1?x, 且du??2xdx, 于是,xdx??11du, 这时对于变量u可以利用公式求积分.
2uexduexexxxdx?u?1?edu?edx（2）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 222x2uuu(1?e)这样对于变量u?1?e可以利用积分公式求积分.x1(lnx)2u2u2dx?u2du, （3）将被积函数看成, 其中u?lnx, 且du?dx, 于是xxxx这样对于变量u?lnx可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数sinx分解成sin2xsinx?(1?cos2x)sinx?sinx?cos2xsinx即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为3u2sinx, 其中u?cosx, du??sinxdx解 （1）?x?x2x=?111121?x)??u
(u?1?x2) ??2?x22u=??c???x2?cex11xxu?1?e
（） x?(1?e)?ux2x22??(1?e)(1?e)u=?11?c???c
xu1?e（3）[方法1]换元换限.
令u?lnx, 则du?1dx, 且当x?1时, u?0, x?e时, u?1, 于是有 x1?e11ln2x111x??u2du?u3?(13?03)?0x3033[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.?e1eln2xx??ln2xd(lnx)1x111?(lnx)3?[(lne)3?(ln1)3]?3331e??32?0?0(4) 因为?20sinxdx=?2[1?cosx]sinxdx??2sinxdx??2cos2xsinxdx2?1 sinxdx??cosx0?对于积分??2?对于积分?20cos2xsinxdx用凑微分法,[方法1] 令u?cosx, 则du??sinxdx, 且当x?0时, u?1, x?是有?2时, u?0, 于13122cos2xsinxdx?? udu?u??0?1303?1[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.??20211cos2xsinxdx???2cos2xdcosx??cos3x?0330??说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?f(u)du容易求原函数.?f(u)du容易求积分的方向进行.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分：（1）(x?1)sin2xdx；?（2）??2xedx； lnxdxx2（3）e1e分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u,v?的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为v?dx, 即v?dx?dv, 使积分变为udv； 2．代公式,??udv?uv??vdu, 计算出du?u?dx3．计算积分vdu.
在定积分的分部积分公式是??baudv?uva??vdu, 它与不定积分的区别在于每一项abbb都带有积分上、下限. 注意公式中uva是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设u?x?1,v??sin2x, 则v??1cos2x, 由分部积分公式有 211(x?1)sin2xdx??(x?1)cos2x?cos2xdx ??22?x211?(x?1)cos2x?sin2x?c 24x2(2) 设u?x,v??e, 则v?2e, 由定积分分部积分公式有?2xedx?2xex2x220?2?edx?4e?4e2x2x220?4e?4e?4?41???lnx?x?1（3）因为lnx??,
e??lnx1?x?e利用积分区间的可加性得到?e1elnxdx???1lnxdx??lnxdxe11e其中第一个积分为1x1lnxdx?xlnx?dx 11?1e?xee1?第二个积分为112?1???1 eeeee1?e1lnxdx?xlnx1??dx?e?e?1?1,1e1最后结果为?e1elnxdx???1lnxdx??lnxdx?1?e22?1?2?.
ee例7 计算下列无穷限积分： （1）???11(x?1)3x；（2）???x0e?2dx；（3）???1xlnxdx 分析 对于无穷限积分???af(x)dx的求解步骤为：（1）求常义定积分?baf(x)dx?F(b)?F(a)；（2）计算极限blim???[F(b)?F(a)]极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.b解 （1）???1(x?1)x?limb11)x?blim???[?112(x?1)?23b????1(x?3] 1=?12blim???[(b?1)?2?(1?1)?2]?(?112)?(?4)
?18（2）???e?3xdx?lim?bbe?3xdx?lim??[?13e?3x]b???0b?0?1blim???[?[e?3b3?e0]?13(3)???1xlnxdx?blimb1be????elnxd(lnx)?blim???ln(lnx)e???说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式??（1）???1(x?1)3x?[?12(x?1)?2]??1118??（2）???0e?3xdx?[?1e?3x3]?103（3）???1?exlnxdx???1elnxd(lnx)?ln(lnx)??e???.
范文八：不定积分的典型例题 x2 +1 例 1．计算 ∫ 4 dx x +1 解法 1x4 + 1 = (x2 +2 x + 1)( x 2 -2 x + 1).而 ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 - 2 x + 1) = 2( x 2 + 1) 所以 x2 +1 1 1 1 ∫ x 4 + 1dx = 2 (∫ x 2 - 2 x + 1dx + ∫ x 2 + 2 x + 1dx) 1 = [∫ 2 = 1 dx + ∫ 1 dx)+ ∫ ∫ 2 ( 2 x - 1) 2 + 1 2 ( 2 x + 1) 2 + 1 1 = [arctan( 2 x - 1) + arctan( 2 x + 1)] + c. 22 2 1 (x - ) + 2 2 d ( 2 x - 1) 12 2 1 (x + ) + 2 2 d 2 x + 1) 1解法 2x2 +1 ( x 2 - 2 x + 1) + 2 x dx = ∫ 2 dx ∫ x4 +1 ( x - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)dx 2x + ∫ 4 dx x +1 x + 2x +1 1 1 = arctan( 2 x + 1) + arctan x 2 + c. 2 2 =∫2解法 3 1 1 d (x - ) +1 2 x +1 x dx = ∫ 当 x ≠ 0, ∫ 4 dx = ∫ x 1 1 x +1 2 2 x + 2 x + 2 x x21 d (x - ) x2 -1 1 x =∫ = +c arctan 1 2 2 2x (x - ) + 2 x ? lim +x →01 2arctanx2 -1 2x=-π2 2,x →0lim -1 x2 -1 π arctan = , 2 2x 2 2由拼接法可有1阅读详情：? ? x2 +1 ? ∫ x 4 + 1dx = ? ? ? ? 例 2.求1 x2 -1 π arctan + 2 2x 2 2 0 1 x2 -1 π arctan - 2 2x 2 2+ c, x > 0 x = 0. +c xx3 + 2 ∫ ( x + 1) 2 ( x 2 + 1)dx.解 将被积函数化为简单的部分分式 x3 + 2 A B Cx + D = + + 2 ? ? ? ? ? (*) 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x +1 两边同乘以 ( x + 1) 2 ，约去 x + 1 的因子后令 x → -1 得 B =(-1)3 + 2 1 = . (-1) 2 + 1 2两边同乘以 ( x + 1) 2 ，对 x 求导，再令 x → -1 ，施以上运算后，右端得 A,而左端 为 d x3 + 2 [ ( x + 1) 2 2 2 x → - 1 dx ( x + 1) ( x + 1) lim = lim d x3 + 2 3 x 2 ( x 2 + 1) - 2 x( x 3 + 2) [ 2 ] = lim x → - 1 dx x + 1 x→- 1 ( x 2 + 1) 2 6+2 = = 2. ∴ A = 2. 41 在分解式 （*） 中令 x = 0, 得 2 = A + B + D, 所以 D = - . 分解式 （*） 两边同乘以 x ， 2 再令 x → +∞, 得 1 = A + C , => C = -1. 故有x3 + 2 A B Cx + D ∫ ( x + 1) 2 ( x 2 + 1) dx = ∫ [ x + 1 + ( x + 1) 2 + x 2 + 1 ]dx 1 1 1 = 2 ln x + 1 - - - arctan x + c. 2 2( x + 1) 2 ln( x + 1) 2例 3. 求∫ (x4x dx. + 1) ( x 4 + x 2 )2解 令 u = x 2 , 再用部分分式，則∫ (x4x 1 du dx = ∫ 2 4 2 + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u )2阅读详情：1 A B Cu + D = + + 2 , 两边乘以 u , 再令 u → 0, 得 A = 1. 两边乘以 2 (u + 1) (u + u ) u u + 1 u + 121 1 u + 1, 再令 u → -1, 得 B = - . 两边乘以 u , 再令 u → +∞, 得 0 = A + B + C , => C = - . 2 2 1 令 u = 1, => D = - . 2 x 1 du ∴ ∫ 4 dx = ∫ 2 4 2 ( x + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u ) 1 1 - u- 1 1 1 = ∫[ - + 22 2 ]du 2 u 2(u + 1) u +1 1 1 1 1 = ln u - ln u + 1 - ln(u 2 + 1) - arctan u + c 2 4 8 4 1 1 1 1 = ln x 2 - ln( x 2 + 1) - ln( x 4 + 1) - arctan x 2 + c 4 2 4 8 8 1 x 1 = ln 2 - arctan x 2 + c. 2 4 8 ( x + 1) ( x + 1) 4 例41 x8 + 1 - 1 8 x15 x8 7 ∫ ( x8 + 1) 2 dx = ∫ ( x8 + 1) 2 ? x dx = 8 ∫ ( x8 + 1) 2 dx= 例 5.求1 1 1 1 1 8 8 ∫ [ x8 + 1 - ( x8 + 1) 2 ]d ( x + 1) = 8 ln( x + 1) + 8( x8 + 1)+ c. 8 1 + cos x∫ 1 + cos x - sin x dx.x 1 + cos x = t, 则 ∫ dx = 2 1 + cos x - sin x解 令 tan 1+1- t 2 2 2 1+ t 2 ∫ 1 - t 2 2t ? 1 + t 2 dx = ∫ (1 + t 2 )(1 - t )dt - 1+ 1+ t 2 1+ t 2 -1 t +1 )dt = ∫( + t -1 t 2 +1 1 = - ln t - 1 + ln(t 2 + 1) + arctan t + c 2 1 x = - ln(1 - sin x) + + c. 2 2 *例 6∫x2x 2 + 1dx3阅读详情：=1 4 2 2 ∫ x + x dx 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ∫ ( x + 2 ) - ( 2 ) d ( x + 2 ) = 2 ∫ u - ( 2 ) du 2 ==分部积分1 1 1 1 u u 2 - ( ) 2 - ln(u + u 2 - ( ) 2 ) + c 4 2 16 2 1 1 = x(2 x 2 + 1) x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 + c. 8 8- ( x - 1) 2 dx = ∫ ( x 2 - 2 x 2 + x 2 )dx ∫ x 3 1 1 分项例74 5 = 2 x - x 2 + x 2 + c. 3 2 1 1+ x 1 1 1 1 1 + arctan x + c. dx = ∫ [ ]dx = ln + 4 2 2 4 1- x 2 1- x 2 1- x 1+ x35例 8． ∫ 例 9．∫x 1+ x -1 dx = ∫ dx 1+ x 1+ x 1 2 4 dx = x 1 + x - 1 + x + c. 3 3 1+ x= ∫ 1 + x dx - ∫π x d( - ) dx dx 4 2 = - tan( π - x ) + c. 例 10． ∫ =∫ = -∫ π π x 1 + sin x 4 2 1 + cos( - x) cos 2 ( - ) 2 4 2例 11． ∫dx x x2 -1x==?∫1 t1 ? ?- arcsin x + c, x > 1 = ? arcsin t + c = ? 1 1- t 2 ? arcsin + c, xdt例 12． 求 ∫ ( x - a )(b - x) dx, 其中 a( x - a )(b - x) = R 2 - ( x -a+b 2 b-a a+b ，令 x = u + , 则有原式 ) , 其中R = 2 2 24阅读详情：= ∫ R 2 - u 2 du = R 2 ∫ cos 2 tdt = R 2 ∫u = R sin t1 + cos 2t dt 2t 1 R2 R2 sin t cos t + c = R 2 ( + sin 2t ) + c = t+ 2 4 2 2 1 2 x - ( a + b) = (b - a ) 2 arcsin 4 b-a 2 x - ( a + b) + ( x - a )(b - x) + c. 4 *例 13．求 I = ∫ cos 3 x sin 3 x dx, J = ∫ dx, cos x + sin x cos x + sin x1 1 解 I + J = ∫ (1 - sin 2 x)dx = x + cos 2 x + c. 2 41 (cos x - sin x)(1 + sin 2 x) 2 I-J =∫ dx cos x + sin x 1 (cos 2 x - sin 2 x)(1 + sin 2 x) 2 dx =∫ (cos x + sin x) 21 (1 + sin 2 x) cos 2 x 1 1 2 =∫ dx = sin 2 x + ln(sin 2 x + 1) + c. 1 + sin 2 x 4 4 解上面的联立方程可得出 I , J . （略） 。 *例 14． 计算 I = ∫ 1 dx. 1 + x3 1 1+ x - x dx I =∫ dx = ∫ 3 1+ x 1 + x3 x x 1 dx - ∫ dx, 令 J = ∫ dx.可求出 =∫ 2 3 1- x + x 1+ x 1 + x3 2 2 1 I+J = 3 arctan 3 ( x - ) + c, 3 3 2 1- x 1- x + x2 - x2 I-J =∫ dx = ∫ dx 1 + x3 1 + x3 1 x2 1 =∫ dx = ln( x + 1) - ln( x 3 + 1) + c, dx - ∫ 3 1+ x 1+ x 3 从而可解出 I .(略 )5阅读详情：例 15．分部积分∫ arcsin 1 + x dx = ∫ arcsin 1 + x d ( x + 1)2 x 1 +∫ dx 1+ x x2 x2 x） = （x + 1 arcsin= (1 + x) arcsin2 x + 2 x + c. 1+ x例 16． 求 I = ∫ 解 令dx x + x2 + x +1.x 2 + x + 1 = - x + t, => x = I = 2∫t 2 -1 t 2 + t +1 , dx = 2 dt , 1 + 2t (1 + 2t ) 2t 2 + t +1 1 3 3 dt =2 ∫ [ - - ]dt 2 t (1 + 2t ) t 2(2t + 1) 2(2t + 1) 2 3 = 2 ln x + x 2 + x + 1 - ln 2 x + 1 + 2 x 2 + x + 1 2 3 + + c. 2 2(2 x + x + 1 + 2 x + 1) 例 17．设 f (x) 有一个原函数解 用分部积分法有 sin x , 求 ∫ xf ′( x)dx. x ? ? ? ? ? ? (*)∫ xf ′( x)dx = ∫ xdf ( x) = xf ( x) - ∫ f ( x)dx? ∫ f ( x)dx = sin x + c1 => f ( x) = [ ∫ f ( x)dx]′ x x cos x - sin x sin x . =[ + c1 ]′ = x x2代入（*）有 sin x sin x - - c1 ， x x 2 sin x 即 ∫ xf ′( x)dx = cos x - + c. x 12 sin x + cos x 例 18．求 ∫ dx. 5 sin x - 2 cos x∫ xf ′( x)dx = cos x -解 ? [5 sin x - 2 cos x]′ = 5 cos x + 2 sin x. 被积函数的分子是 cos x, sin x 的线性组 合，故有6阅读详情：12 sin x + cos x = A(5 sin x - 2 cos x) + B (5 sin x - 2 cos x)′ = (5 A + 2 B) sin x + (5 B - 2 A) cos x, => A = 2, B = 1. 于是2(5 sin x - 2 cos x) + (5 sin x - 2 cos x)′ dx 5 sin x - 2 cos x = 2 x + ln 5 sin x - 2 cos x + c.∫ 5 sin x - 2 cos x dx = ∫∫ 3 + sin12 sin x + cos xsin xdx . 2 x sin xdx d (cos x) cos x =t dt 解 ∫ = -∫ = ∫ 2 2 2 3 + sin x 3 + 1 - cos x t -4 1 1 1 1 2 - cos x = ∫[ - ]dt = ln + c. 4 t-2 t+2 4 2 + cos x dx dx 例 20． ∫ =∫ 2 1 1 + 2 cos x ( 2 + 2) cos 2 x cos x 例 19．求 d (tan x) d (tan x) dt =∫ =∫ 2 1 3 + tan x 3 + t2 +2 cos 2 x t tan x 1 1 = arctan +c = arctan + c. 3 3 3 3 =∫ 例 21． ∫6x -2 x +3 x26dx = ?x =t3 = x 3 - 6 x + 9 3 x - 18 6 x + 18 ln(1 + 6 x ) + c. 2例 22． ∫2 5- x dx = 3 - x x -15- x =t x -1= ln5 - x + x -1 5 - x - x -1- 2 arctan5- x + c. x -1*例 23． ∫ *例 24． ∫dx x + 1- x2 1 + x 2 dx x3x =sin t1 = ? ?? = [arctan x + ln x + 1 - x 2 ] + c. π 2 t≤2x = tan t1+ x2 1 1+ x2 +1 = ? ?? = - - ln + c, π 2x2 2 x t27阅读详情：例 25． ∫e =t dx = ??? 2x x e - 3e + 2x例 26． ∫ arcsin xdx 例 27．e ∫ex分部积分=x arcsin x + 1 - x 2 + c.x x+xdx = ∫ e e (e x )dx =e e + c.例 28． ∫cos 2 xdx d (1 + sin x cos x) =∫ 1 + sin x cos x 1 + sin x cos x (妙用“1”）= ln 1 + sin x cos x + c 例 29.∫( x 2 + x)e x ( x + 3 x + 1)e x dx.? [( x 2 + x)e e ]′ = ( x 2 + 3 x + 1)e3 ∴ 原式 = ∫ ( x 2 + x)e x d [( x 2 + x)e x ] 2 = [( x 2 + x)e x ] 2 + c. 3 1 arctan x dx = - 1 (arctan 1 ) + c.? (arctan 1 )′ = - 1 . 例 30. ∫ 2 1+ x 2 x x 1+ x2 例 313∫sin 2 x a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 xdx=1 2 b - a2∫d (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x2 a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x + c. 2 b -a ? (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x)′ = (b 2 - a 2 ) sin 2 x. =21 - ln x 1 - ln x x2 例 32. ∫ dx = ∫ dx x - ln x 2 ( x - ln x) 2 ( ) x 1 x - ln x = -∫ d( ) x - ln x 2 x ( ) x 1 x = +c = + c. x - ln x x - ln x x *例 33． ∫ xdx ( x 2 + 1) 1 - x 2x =sin t= -1 2 2ln2 + 1- x2 2 - 1- x28+ c.阅读详情：例 34． ∫x3dx = 3x = tan t1 1+ x 1 3a 22+ 1 + x 2 + c.(1 + x 2 ) 2 x2 - a2 dx x4 =例 35． ∫ 例 36x = a sec t a >0? x2 - a2 ?? ? x ?? ?+ c. ? ?3∫1+dx 1- x2=-x =sin t=cos t - cos 2 t cos t dt = ∫ dt ∫ 1 + cos t 1 - cos 2 t1 1- x2 + + arcsin x + c. x x1t dx 例 37． ∫ = x( x 7 + 2)x=∫t 1 ( )7 + 2 t? (-1 )dt t2=-例 38． ∫1 1 ln 2 + x 7 + ln x + c. 14 2dx (1 + x + x )3 2 2=∫dx 1 3 [( x + ) 2 + ] 2 2 431 1 x+ = 2 t= -∫tdt 3 (1 + t ) 43 2 2=2(2 x + 1) 3 1 + x + x2+ c.例 39． ∫ 例 40． ∫x 2e x x 2e x 1 x-2 x dx = - ( x 2 e x )′dx = e + c. +∫ 2 x+2 x+2 x+2 ( x + 2) dx x 9 dx 1 1 = ∫ 10 = ln x - ln( x 10 + 2) + c. 10 10 20 x(2 + x ) x (2 + x ) 2 (1 - x 7 )dx (1 - x 7 ) x 6 dx 2 =∫ 7 = ln x - ln 1 + x 7 + c. 7 10 7 x(1 + x ) x (2 + x )*例 41． ∫ 例 42． ∫ = 例 43． ∫x 2 n -1 dx x n ? x n -1 1 1 =∫ dx = ∫ (1 - )d ( x n ) n n n n x +1 1+ x 1+ x 1 n ( x - ln x n + 1 ) + c. n 1 1 2 x3 + 1 dx. （令 x - 1 = , => dx = - 2 du ,? ? ? ） 100 ( x - 1) u u9阅读详情：u 2x3 + 1 1 1 3 dx = - - 99 ∫ ( x - 1)100 33 ( x - 1) 49( x - 1) 98x -1 =1*例 44． ∫ 例 45． ∫x =t dx = ? ? ? （先约分，分子加一减一） x +3 x6x( x + 1) x + x +1dx. 分子分母同乘（ x + 1 - x ） x x x x + cos 2 + 2 sin cos dx = ? ? ? 2 2 2 2*例 46． ∫ 1 + sin x dx = ∫ sin 2dx sin 2 x + cos 2 x =∫ dx = ∫ csc xdx + ∫ cot 2 x csc xdx 3 ∫ sin 3 x 例 47． sin x分部积分= ∫ csc xdx - ∫ cot xd (csc x) == ???1 1 csc x - cot x - + c. 2 2 cot x csc x sin x sin x(1 - sin x) 例 48． ∫ dx = ∫ d = ??? 1 + sin x cos 2 x 1 例 49． ∫ dx 1 + sin x + cos x ? 1 + sin x + cos x = sin x + (1 + cos x) x x x x x = 2 sin cos + 2 cos 2 = 2 cos 2 (1 + tan ) 2 2 2 2 2 x 1 ∴∫ dx = ln 1 + tan + c. 1 + sin x + cos x 2 x + sin x 例 50． ∫ dx = ∫ 1 + cos x x x x + 2 sin cos 2 2 = ??? 2 x 2 cos 2 x （分项分部积分） = x tan + c. 2f ′(ln x) f ′(ln x) dx = ∫ d (ln x) x f (ln x) f (ln x)*例 51．求 ∫ =∫d ( f (ln x)) = 2 f (ln x) + c. f (ln x)10阅读详情：*例 52．求∫ max( x3, x 2 ,1) dx.? x3 , x ≥ 1 ? 解 令 f ( x) = max( x 3 , x 2 ,1) = ? x 2 , x ≤ -1 ? 1, x1 lim ( x 4 + c1 ) = lim ( x + c3 ); + x →1 4 x →1- 1 lim+ ( x + c3 ) = lim- ( x 3 + c2 ), x → -1 x → -1 33 2 + c , c2 = - c , 4 3 ?1 4 3 ? 4 x + 4 + c , x ≥1 ?1 2 ? 故 ∫ max( x 3 , x 2 ,1)dx = ? x 3 - + c , x ≤ -1. 3 ?3 x + c, x从而解出 c3 = c, c1 =11
范文九：定积分与微积分基本定理（理）1.已知f(x)为偶函数且?6f(x)dx＝8，则?f(x)dx等于
D．16 解析：原式＝?0?6f(x)dx＋?60f(x)dx，∵原函数为偶函数， ∴在y轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D2．设f(x)＝???x2， x∈[0，1]，?2－x，x∈[1，2]，则??20f(x)dx等于
D．不存在 解析：数形结合，?20f(x)dx=?120xdx+?21(2-x)dx=1x31?(2x?1x22302)1 =13x3?(4?2?2?152)?6. 答案：C3．计算以下定积分： (1) ?21(2x2－1xx；(2)?312x＋x2dx； ?(3)?30(sinx－sin2x)dx；解：(1)?2(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)211＝163－ln 2－21433－ln 2. (2)?32(x＋1x)2dx＝?32(x＋1x2)dx(
)312＝(x＋lnx＋2x) 229＝(＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) 239＝ln＋22?(3)?301(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x)32?1111＝()－(－1)＝－.24244．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是
D．23解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于?20(－x2＋2x＋1－1)dx＝?204(－x2＋2x)dx＝.3答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分 4(如图所示)的面积为，则k＝________.3解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]， 再由?kkx2x3kk34(kx－x)dx＝()＝k＝2.230632答案：26．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动， 记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________． 解析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)， 则?x(kx－x2)dx＝?2x(x2－kx)dx，即(kx)＝－)， 解得2－x3＝－2k－(x32)，2333244416解得k＝，即直线OP的方程为y，所以点P的坐标为(，)．3339416答案：(，)397.[1,2]内的位移为
D.6366解析：s＝答案：A8．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(
) A．0.05 J
D．1 J解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1 N时，x＝0.01 m，可解得k＝100 N/m，则F＝100x，所以W＝答案：B?211117(t2－t＋2)dt＝(t3－t2＋2t)|2＝. 1326?0.10.1100xdx＝50x0＝0.5 J.29．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v与t的函数关系式如下：??2，0≤t＜20，v＝v(t)＝?50－t，20≤t＜40，??10，40≤t≤60.s＝3所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为?60v(t)dt＝?2040603tdt＋?(50?t)dt＋?4010dt202＝0＋(50t－t)＋10t 422020＝900米． 答案：90010.(2010·烟台模拟)若y＝?(sint＋costsint)dt，则y的最大值是
D．02解析：y＝?x(sint＋costsint)dt＝?x1(sint＋t)dt2x115＝(－cost－cos2t)＝－cosx－cos2x44401513＝－cosx2x－1)＋cos2x－cosx44221x＋1)2＋2≤2.2答案：B11．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且dx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由?10f(x)dx＝5，?1017xf(x)dx＝，那么6?21f(x)x?1011(ax＋b)dx＝5得(2＋bx)201＝a＋b＝5，
① 2由?1017xf(x)dx＝得6?10(ax2＋bx)dx＝176(ax＋bx) ＝a＝，
② 3232606解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， 于是?21f(x)dx＝x?214x＋3x＝x?213 (4＋xx2＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.1答案：4＋3ln212．设f(x)＝?10|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 解：(1)0≤a≤1时， f(a)＝＝?10|x2－a2|dx?a(a2－x2)dx＋?1a(x2－a2)dx13ax321＝(ax－)＋(－ax)303a21312a33＝a－－0＋0＋－a－＋a333341＝a3－a2＋. 33当a＞1时， f(a)＝?10(a2－x2)dx11＝(a2x3)301＝a2－31?432a?a???33∴f(a)＝??a2?1?3?(0≤a≤1),(a>1).1(2)当a＞1时，由于a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是312f(1)＝1－33当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)， 1由f′(a)＞0知：a＞a＜0，211故在[0]上递减，在[，1]上递增．2211因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f).241综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为4
范文十：不定积分的典型例题 例 1．計算 解法 1 x2 +1 ∫ x 4 + 1dxx4 + 1 = (x2 +2 x + 1)( x 2 -2 x + 1).而 ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 - 2 x + 1) = 2( x 2 + 1) 所以x2 +1 1 1 1 ∫ x 4 + 1dx = 2 (∫ x 2 - 2 x + 1dx + ∫ x 2 + 2 x + 1dx)1 = [∫ 2 = 1 2 2 1 (x - ) + 2 2 1 d ( 2 x - 1) dx + ∫ 1 2 2 1 (x + ) + 2 2 1 d 2 x + 1) dx)+ ∫ ∫ 2 ( 2 x - 1) 2 + 1 2 ( 2 x + 1) 2 + 1 1 = [arctan( 2 x - 1) + arctan( 2 x + 1)] + c. 2x2 +1 ( x 2 - 2 x + 1) + 2 x dx = ∫ 2 dx 解法 2 ∫ x 4 + 1 ( x - 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)dx 2x + ∫ 4 dx x +1 x + 2x +1 1 1 = arctan( 2 x + 1) + arctan x 2 + c. 2 2 =∫2解法 31 1 +1 d (x - ) 2 x +1 x 当 x ≠ 0, ∫ 4 dx = ∫ x dx = ∫ 1 1 x +1 2 2 x + 2 x + 2 x x21 d (x - ) 1 x2 -1 x =∫ = arctan +c 1 2 2 2x (x - ) + 2 xQ lim +x →01 2arctanx2 -1 2x=-π2 2,x→0lim-1 x2 -1 π arctan = , 2 2x 2 2由拼接法可有304阅读详情：? ? x2 +1 ? ∫ x 4 + 1dx = ? ? ? ?1 x2 -1 π arctan + 2 2x 2 2 0 1 x2 -1 π arctan - 2 2x 2 2+ c, x > 0 x = 0. +c xx3 + 2 例 2.求 ∫ dx. ( x + 1) 2 ( x 2 + 1)解 将被积函数化为简单的部分分式x3 + 2 A B Cx + D = + + 2 ? ? ? ? ? (*) 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x +1两边同乘以 ( x + 1) 2 ，约去 x + 1 的因子后令 x → - 1 得 B =(-1)3 + 2 1 = . (-1) 2 + 1 2两边同乘以 ( x + 1) 2 ，对 x 求导，再令 x → - 1 ，施以上运算后，右端得 A,而左端为d x3 + 2 lim [ ( x + 1) 2 x → - 1 dx ( x + 1) 2 ( x 2 + 1) d x3 + 2 3 x 2 ( x 2 + 1) - 2 x( x 3 + 2) = lim [ 2 ] = lim x → - 1 dx x + 1 x→- 1 ( x 2 + 1) 2 6+2 = = 2. ∴ A = 2. 41 在分解式（*）中令 x = 0, 得 2 = A + B + D, 所以 D = - . 分解式（*）两边同乘以 x ，再令 2 x → +∞, 得 1 = A + C , => C = - 1. 故有x3 + 2 A B Cx + D ∫ ( x + 1) 2 ( x 2 + 1) dx = ∫ [ x + 1 + ( x + 1) 2 + x 2 + 1 ]dx 1 1 1 = 2 ln x + 1 - - - arctan x + c. 2 2( x + 1) 2 ln( x + 1) 2例 3. 求∫ (x4x dx. + 1) ( x 4 + x 2 )2解 令 u = x 2 , 再用部分分式，則∫ (x24x 1 du dx = ∫ 2 4 2 + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u )1 A B Cu + D = + + 2 , 两边乘以 u , 再令 u → 0, 得 A = 1. 两边乘以 u + 1, 再令 2 (u + 1) (u + u ) u u + 1 u + 1305阅读详情：1 1 1 u → -1, 得 B = - . 两边乘以 u , 再令 u → +∞, 得 0 = A + B + C , => C = - . 令 u = 1, => D = - . 2 2 2 du x 1 ∴ ∫ 4 dx = ∫ 2 4 2 ( x + 1) ( x + x ) 2 (u + 1)(u 2 + u ) 1 1 - u- 1 1 1 = ∫[ - + 22 2 ]du 2 u 2(u + 1) u +1 1 1 1 1 = ln u - ln u + 1 - ln(u 2 + 1) - arctan u + c 2 4 8 4 1 1 1 1 = ln x 2 - ln( x 2 + 1) - ln( x 4 + 1) - arctan x 2 + c 2 4 8 4 8 1 x 1 = ln 2 - arctan x 2 + c. 2 4 8 ( x + 1) ( x + 1) 4例4x15 x8 1 x8 + 1 - 1 8 dx = ∫ 8 ? x 7 dx = ∫ 8 dx ∫ ( x8 + 1) 2 ( x + 1) 2 8 ( x + 1) 2= 1 1 1 1 1 8 8 ∫ [ x8 + 1 - ( x8 + 1) 2 ]d ( x + 1) = 8 ln( x + 1) + 8( x8 + 1) + c. 81 + cos x例 5.求∫ 1 + cos x - sin x dx.解 令 tan1+x 1 + cos x = t, 则 ∫ dx = 2 1 + cos x - sin x1- t 2 2 2 1+ t2 ∫ 1 - t 2 2t ? 1 + t 2 dx = ∫ (1 + t 2 )(1 - t )dt 1+ - 1+ t2 1+ t2 -1 t + 1 = ∫( + )dt t -1 t 2 + 1 1 = - ln t - 1 + ln(t 2 + 1) + arctan t + c 2 1 x = - ln(1 - sin x) + + c. 2 2*例 6∫x2x 2 + 1dx=1 4 2 2 ∫ x + x dx 2306阅读详情：=1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ∫ ( x + 2 ) - ( 2 ) d ( x + 2 ) = 2 ∫ u - ( 2 ) du 2 =分部积分1 1 1 1 u u 2 - ( ) 2 - ln(u + u 2 - ( ) 2 ) + c 4 2 16 2 1 1 = x(2 x 2 + 1) x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 + c. 8 8- ( x - 1) 2 ∫ x dx = ∫ ( x 2 - 2 x 2 + x 2 )dx 3 1 1 分项例7= 2 x-4 2 5 2 x + x + c. 3 21 1 1 1 1+ x 1 ∫ [1 - x 2 + 1 + x 2 ]dx = 4 ln 1 - x + 2 arctan x + c. 235例 8．∫ 1- x例 9．14dx =∫x 1 + x -1 1 2 4 dx = ∫ dx = ∫ 1 + x dx - ∫ dx = x 1 + x - 1 + x + c. 3 3 1+ x 1+ x 1+ x例 10．π x d( - ) dx dx 4 2 = - tan( π - x ) + c. = -∫ ∫ 1 + sin x = ∫ π π x 4 2 1 + cos( - x) cos 2 ( - ) 2 4 2 1 ? 1 x= t ?- arcsin x + c, x > 1 dx dt 例 11 ∫ =m∫ = m arcsin t + c = ? 2 1 x x -1 1- t2 ? arcsin + c, x例 12． 求 ∫ ( x - a )(b - x)dx, 其中 a( x - a )(b - x) = R 2 - ( x -u = R sin ta+b 2 b-a a+b ) , 其中R = ，令 x = u + , 则有原式 2 2 2= ∫ R 2 - u 2 du = R 2 ∫ cos 2 tdt = R 2 ∫21 + cos 2t dt 2t 1 R2 R2 = R ( + sin 2t ) + c = t+ sin t cos t + c 2 4 2 2 1 2 x - ( a + b) = (b - a ) 2 arcsin 4 b-a 2 x - ( a + b) + ( x - a )(b - x) + c. 4307阅读详情：*例 13．求 I = ∫cos 3 x sin 3 x dx, J = ∫ dx, cos x + sin x cos x + sin x1 1 解 I + J = ∫ (1 - sin 2 x)dx = x + cos 2 x + c. 2 4 1 (cos x - sin x)(1 + sin 2 x) 2 I-J =∫ dx cos x + sin x 1 (cos 2 x - sin 2 x)(1 + sin 2 x) 2 dx =∫ (cos x + sin x) 21 (1 + sin 2 x) cos 2 x 1 1 2 =∫ dx = sin 2 x + ln(sin 2 x + 1) + c. 解上面的联立方程可得出 I , J .（略） 。 1 + sin 2 x 4 4 1 *例 14． 计算 I = ∫ dx. 1 + x3 1 1+ x - x dx I =∫ dx = ∫ 3 1+ x 1 + x3 1 x x =∫ dx - ∫ dx, 令 J = ∫ dx.可求出 2 3 1- x + x 1+ x 1 + x3 2 2 1 I+J = 3 arctan 3 ( x - ) + c, 3 3 2 1- x 1- x + x2 - x2 I-J =∫ dx = ∫ dx 1 + x3 1 + x3 1 x2 1 dx - ∫ dx = ln( x + 1) - ln( x 3 + 1) + c, =∫ 3 1+ x 1+ x 3 从而可解出 I .(略 )例 15．分部积分∫ arcsin 1 + x dx = ∫ arcsin 1 + x d ( x + 1)2 x 1 +∫ dx 1+ x x2 x2 x= （x + 1 arcsin ）= (1 + x) arcsin2 x + 2 x + c. 1+ x dx x + x2 + x +1 .例 16． 求 I = ∫ 解 令308阅读详情：x2 + x + 1 = - x + t, => x =I = 2∫t 2 -1 t 2 + t +1 , dx = 2 dt , 1 + 2t (1 + 2t ) 2t 2 + t +1 1 3 3 dt = 2 ∫ [ - - ]dt 2 t (1 + 2t ) t 2(2t + 1) 2(2t + 1) 2 3 = 2 ln x + x 2 + x + 1 - ln 2 x + 1 + 2 x 2 + x + 1 2 3 + + c. 2 2(2 x + x + 1 + 2 x + 1) 例 17．设 f (x) 有一个原函数 解 用分部积分法有sin x , 求 ∫ xf ′( x)dx. x? ? ? ? ? ? (*)∫ xf ′( x)dx =∫ xdf ( x) = xf ( x) - ∫ f ( x)dxQ ∫ f ( x)dx =sin x + c1 => f ( x) = [ ∫ f ( x)dx]′ x sin x x cos x - sin x =[ + c1 ]′ = . x x2代入（*）有sin x sin x - - c1 ， x x 2 sin x 即 ∫ xf ′( x)dx = cos x - + c. x 12 sin x + cos x 例 18．求 ∫ dx. 5 sin x - 2 cos x∫ xf ′( x)dx = cos x -解 Q [5 sin x - 2 cos x]′ = 5 cos x + 2 sin x. 被积函数的分子是 cos x, sin x 的线性组合，故有12 sin x + cos x = A(5 sin x - 2 cos x) + B (5 sin x - 2 cos x)′ = (5 A + 2 B ) sin x + (5 B - 2 A) cos x, => A = 2, B = 1.于是12 sin x + cos x 2(5 sin x - 2 cos x) + (5 sin x - 2 cos x)′ dx = ∫ dx ∫ 5 sin x - 2 cos x 5 sin x - 2 cos x = 2 x + ln 5 sin x - 2 cos x + c.例 19．求 解sin xdx . 2 x sin xdx d (cos x) cos x =t dt = -∫ = ∫ 2 2 2 ∫ 3 + sin x 3 + 1 - cos x t -4 1 1 1 1 2 - cos x = ∫[ - ]dt = ln + c. 4 t-2 t+2 4 2 + cos x∫ 3 + sin例309阅读详情：20． ∫dx = 1 + 2 cos 2 x ∫ (dx 1 + 2) cos 2 x cos 2 xd (tan x) d (tan x) dt =∫ =∫ 2 1 3 + tan x 3+ t2 +2 2 cos x 1 t 1 tan x = arctan +c = arctan + c. 3 3 3 3∫例 21．∫=6x =t x -2 dx = ? ? ? x +3 x63 3 x - 6 x + 9 3 x - 18 6 x + 18 ln(1 + 6 x ) + c. 25- x =t2例 22．x -1 2 5- x ∫ 3 - x x - 1 dx = ? ? ?= ln5 - x + x -1 5- x - 2 arctan + c. x -1 5 - x - x -1*例 23．∫ x+dx 1- x2x = sin t1 = ? ?? = [arctan x + ln x + 1 - x 2 ] + c. π 2 t≤2*例 24．∫1 + x 2 dx x3x = tan t t= ? ?? = -π2x1+ x2 1 1+ x2 +1 - ln + c, 2x2 2 x例 25． ∫e =t dx = ??? 2x x e - 3e + 2例 26． ∫ arcsin xdx 例 27． 例 28．e ∫ex分部积分=x arcsin x + 1 - x 2 + c.x x+xdx = ∫ e e (e x )dx =e e + c.d (1 + sin x cos x) 1 + sin x cos x = ln 1 + sin x cos x + c (妙用“1”）∫ 1 + sin x cos x = ∫cos 2 xdx310阅读详情：例 29.∫( x 2 + x)e x ( x + 3 x + 1)e x dx.Q [( x 2 + x)e e ]′ = ( x 2 + 3 x + 1)e3∴ 原式 = ∫ ( x 2 + x)e x d [( x 2 + x)e x ]3 2 2 x 2 = [( x + x)e ] + c. 3例 30. 1 1 1 1 1 ∫ 1 + x 2 x dx = - 2 (arctan x ) + c.Q (arctan x )′ = - 1 + x 2 . 例 31 sin 2 x ∫ a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x dx 1 d (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) = 2 = b - a 2 ∫ a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x arctan2 a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x + c. b - a2 Q (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x)′ = (b 2 - a 2 ) sin 2 x.2例 32.1 - ln x 1 - ln x x2 dx = ∫ dx ∫ ( x - ln x) 2 x - ln x 2 ( ) x x - ln x 1 = -∫ d( ) x - ln x 2 x ( ) x=1 x +c = + c. x - ln x x - ln x x例 33.1 1 d(x - ) 2 x +1 x x ∫ x 4 + 1dx = ∫ 2 1 dx = ∫ 1 2 x + 2 (x - ) + 2 x x 1? ? ? x- ? 1 x ?+c = arctan? 2 2 ? ? ? ? ? ?21+311阅读详情：=? x2 -1 ? 1 ? arctan? ? 2 x ? + c. ( x ≠ 0) 2 ? ?当x = 0, 利用原函数的连续性......*例 34．x = sin t∫ (xxdx2+ 1) 1 - x 2x3= -1 2 2ln2 + 1- x2 2 - 1- x2+ c.例 35． ∫dx = 3x = tan t1 1+ x2+ 1 + x 2 + c.(1 + x 2 ) 2 x2 - a2 dx x4x = sin t例 36． ∫ 例 37x = a sec t a >0=1 3a 2? x2 - a2 ?? ? x ?? ? + c. ? ?3∫1+dx 1- x2=cos t cos t - cos 2 t dt = ∫ dt ∫ 1 + cos t 1 - cos 2 t=-例 38．1 1- x2 + + arcsin x + c. x x1t 1 dx t = ∫ ? (- 2 )dt ∫ x ( x 7 + 2) 1 t ( )7 + 2 t 1 1 = - ln 2 + x 7 + ln x + c. 14 2x=例 39．∫dx (1 + x + x ) = -∫3 2 2=∫dx 3 1 3 [( x + ) 2 + ] 2 2 41 1 x+ = 2 ttdt 2(2 x + 1) = + c. 3 3 2 2 3 1 + x + x2 (1 + t ) 4例 40．x2e x x 2e x 1 x-2 x dx = - +∫ ( x 2 e x )′dx = e + c. ∫ ( x + 2) 2 x+2 x+2 x+2例 41．dx x 9 dx 1 1 10 = ∫ 10 ∫ x(2 + x10 ) x (2 + x10 ) = 2 ln x - 20 ln( x + 2) + c. *例 42．312阅读详情：(1 - x 7 )dx (1 - x 7 ) x 6 dx 2 =∫ 7 = ln x - ln 1 + x 7 + c. 10 ∫ x(1 + x 7 ) 7 x (2 + x ) 例 43． x 2 n -1dx x n ? x n -1 1 1 =∫ dx = ∫ (1 - )d ( x n ) n ∫ xn +1 1+ x n 1+ xn 1 = ( x n - ln x n + 1 ) + c. n 例 44． ∫2 x3 + 1 1 1 dx. （令 x - 1 = , => dx = - 2 du ,? ? ? ） 100 ( x - 1) u u3 x -1 = 1 u∫ ( x - 1)*例 45． ∫ 例 46． ∫ *例 47．2x + 1100dx = -1 1 3 - 99 33 ( x - 1) 49( x - 1) 98x =t dx = ? ? ? （先约分，分子加一减一） x +3 x6x( x + 1) x + x +1dx. 分子分母同乘（ x + 1 - x ）∫1 + sin x dx x x x x + cos 2 + 2 sin cos dx = ? ? ? 2 2 2 2= ∫ sin 2例 48．dx sin 2 x + cos 2 x =∫ dx = ∫ csc xdx + ∫ cot 2 x csc xdx 3 ∫ sin 3 x sin x分部积分= ∫ csc xdx - ∫ cot xd (csc x) == ???1 1 csc x - cot x - + c. 2 2 cot x csc x sin x sin x(1 - sin x) 例 49． ∫ dx = ∫ d = ??? 1 + sin x cos 2 x 例 50．313阅读详情：Q 1 + sin x + cos x = sin x + (1 + cos x) x x x x x = 2 sin cos + 2 cos 2 = 2 cos 2 (1 + tan ) 2 2 2 2 2 1 x ∴∫ dx = ln 1 + tan + c. 1 + sin x + cos x 2x + sin x 例 51． ∫ dx = ∫ 1 + cos x x x x + 2 sin cos 2 2 = ??? x 2 cos 2 2 x （分项分部积分） = x tan + c. 2∫ 1 + sin x + cos x dx1*例 52．求 ∫f ′(ln x) f ′(ln x) dx = ∫ d (ln x) x f (ln x) f (ln x)=∫d ( f (ln x)) = 2 f (ln x) + c. f (ln x)*例 53．求∫ max(x 3 , x 2 ,1 ) dx .? x , x ≥1 ? 解 令 f ( x) = max( x , x ,1) = ? x 2 , x ≤ -1 ? 1, x3 3 2? 1 4 ? 4 x + c1 , x ≥ 1 ?1 ? max( x 3 , x 2 ,1)dx = ? x 3 + c2 , x ≤ -1. ∫ ?3 ? x + c3 , x1 lim ( x 4 + c1 ) = lim ( x + c3 ); + x →1 4 x →1- 利用原函数的连续性，有 1 lim+ ( x + c3 ) = lim- ( x 3 + c2 ), x → -1 x → -1 3 3 2 + c, c2 = - c, 4 3 ?1 4 3 ? 4 x + 4 + c , x ≥1 ?1 2 ? 故 ∫ max( x 3 , x 2 ,1)dx = ? x 3 - + c , x ≤ -1. 3 ?3 x + c, x? ? ?从而解出 c3 = c, c1 =314}
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