微分方程微分方程（英语：Differential equation，DE）是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程里，其解是常数值。 …一、奥列弗. 赫维赛德是何许人也 二、傅里叶变换（轻量版拉普拉斯变换） 三、拉普拉斯变换（原来就是那么回事）拉普拉斯变换可以说是现代工程学使用最广泛的数学工具，它通过数学变换将微积分方程转化成代数方程，为求解连续空间连续时间的方程提供了可能。但是，一般的教材一上来就是拉普拉斯变换的数学定义，对于其历史和代表的深刻含义没有任何介绍，导致很多人一直头疼不已。今天，我们尝试一下从不同的角度来看看拉普拉斯变…这个问题让我们从曲线的微分开始说起。 1 曲线的微分比如，有曲线 [公式] : [图片] 给出 [公式] 的曲线段: [图片] 要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分： [图片] 此微分的特点是，当 [公式] 时，越来越逼近曲线段： [图片] 2 切线这个微分其实就是切线。 2.1 最初印象初学几何的时候，切线是这么定义的： [公式] 比如这就是圆、椭圆的切线： [图片] 但是这个定义推广到所有曲线上是不成立…你以为这么多特殊函数都是怎么来的... 六大初等函数还是刘维尔钦点的,顺便他用微分扩域研究了下什么时候有原函数. ----------------------------------------------------------- 在那原初的时光,你只有幂函数 [公式] 的陪伴你知道 [公式] 但是在 [公式] 处却不适用.你想知道反比例函数的不定积分. 于是你打开了 潘多拉之盒.你发现这个函数没法用有限的幂函数复合来表达. …高等数学上册内容中，最难的莫过于微分及积分学了，特别是证明题，尤为难解，当然这几个点前面都已经讲解过了，今天来讲讲 上册中的最后一部分内容~下面是之前更新的内容，请自取 10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用） 10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用） 10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用） 10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末…刚开始学习线性微分方程的时候，我心中有两个疑问： 线性微分方程为什么有“线性”这两个字？为什么线性微分方程的通解里面有 [公式] ？这篇文章就来回答这两个问题。让我们从什么是线性变换开始。 1 线性变换先直观感受一下什么是线性变换。 1.1 线性变换的几何意义直观来说，线性变换就是把直线上的点（向量），变换到另外一根直线上去。关于这个问题更具体的解释，请参看文章 如何理解相似矩阵 的前半部分。比如下图，把虚线上…微积分这门学科，从字面上拆开来看，就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字，很显然是非常重要，但是我觉得很奇怪，《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念，而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”，可能教材的目的是为了做题和考试吧。当然也有可能我下面讲的内容是微分几何的内容，如果要去严格化讲解的话需要引入更多概念。 在我看来，“微分”这个概念恰恰是理解微积分的关键，最好的表达了…有一天在图书馆看书时，无意在书架上翻到了一本讲李群和微分方程的书 [1]，打开翻了翻之后，才了解到这一块几乎被遗忘掉了的数学历史.Sophus Lie(索菲斯.李)的梦想, 是想像Galois对代数方程的操作那样去操作微分方程，他先从最简单的微分方程 [公式] 开始，它的解无非就是 [公式] 的原函数 [公式] 加上一个常数项 [公式] , 但是得益于Lie的伟大观察，他发现那个随意添加的常数项 [公式] ，实际上来自于一个连续变换群！这个群就是 [公式]下面回答一下作为数学工具有什么意义吧。 拉普拉斯变换是对傅立叶变换的推广，关于傅立叶变换，之前写过三篇文章，可供参考： 如何直观地理解傅立叶变换？ 如何理解傅立叶级数公式？ 从傅立叶级数到傅立叶变换 1 傅立叶变换简介简单介绍下傅立叶变换。 1.1 直角坐标、极坐标大家知道，直角坐标系、极坐标系之间可以相互转换： [图片] 在直角坐标系下，圆的方程为： [公式] 图示如下： [图片] 在极坐标系下，同样的圆的方程为： [公式] 图…解析：这一题求出边界区域的方程是关键，有一些读者在审题的过程中容易陷入一个误区，即仅求出木棒中点的轨迹方程，然后计算区域面积，得出错误的结果。下面分三个步骤求解这个问题. （一）设木棒两端分别为A、B，建立木棒滑行的直角坐标系，木棒滑行轨迹如下图一所示。 [图片] 在图二中，设点 [公式] 为AB上的任一点，设 [公式] ,则有 [公式] .在 [公式] 中，由勾股定理有（1） [公式] .利用三角形相似，可以得到 …这个问题很有意思，这种「先微后积」的方法民间被称为Feynman's Trick 我第一次见到这种方法是高二参加某划水竞赛的时候 当时有一道题遇到了这么一个积分（我 另外一个回答 里也有提到） [公式] 其中常数 [公式] （见图片第10题位置） [图片] 这道题原题来自 Putnam and Beyond 的 Problem 471 这个积分其实设计的非常巧妙，答案里有五种方法：用Riemann sum的解法，用Chebyshev polynomial的解法，…考虑 [公式] 的复数域延拓(Complex-Valued Logarithm Function )。 [公式] 注意到可以用 误差函数 [公式] 表达该不定积分，那么不难发现 [公式]摘要：解释了何种 物理现象是产生常微分方程，何种产生偏微分方程。进一步回答了题主所说的“为何不是‘直接的方程’？”。补充了“无穷维”和“连续”的异同。［图文混排，举例说明］ 我回答的第一个问题是“ 为什么物理化学方程往往是偏微分方程，而常微分方程少见？” 另外补充了： 题主：我可能没说清楚 我的意思是为什么是微分而不是直接的关系题主评论中问题的答案。 －－－－－－－－－－－－－－－－前言－－－－－－－…“我们所用的仅是他的结论，并无过程。”——来自百度百科“常数变易法”词条。 至于百科引文下面为什么给了思路和推导过程，我想应该是后人根据某拉格朗日大佬的结论逆推出来的。 下面讲讲思路和推导过程。 一切的一切，都来源于这个小贱人： [公式] ,让你求y函数的表达式。直白的说，因为有P（x）和Q（x）在那里摆着，首先这个等式不一定齐次。即使齐次，只要Q（x）不等于0，就无法分离变量。 而我们知道…本文为“身边的微分方程”系列第7篇。难度提示：★★★★★ 若想了解本系列及本专栏其他文章，请收藏目录： [文章: 【请收藏】我的科普文目录与链接] 或按下文方法关注本专栏： [文章: 新版知乎中如何关注专栏？(作废)] 0) 开篇语 本文中，我们将迎来本系列的一位VIP，它是主宰微观世界运行规律的基本法典、更是开创二十世纪灿烂物质文明的第一推动。 即使不抬头看本文标题，我们也能猜到，本文要出场的这位VIP，就是 薛定谔方程： [公式]给出二阶常系数线性非齐次微分方程 [公式] 1. 如果 [公式] 里有指数函数，在特解里也要用相同的指数函数。 例： [公式] 先把方程设齐次，然后解通解: [公式] , [公式] 通解： [公式] 然后解特解： [公式] 代入原方程，得， [公式] [公式] [公式] 特解： [公式] 最后…噗, 秉持着不嫌事大的原则我姑且也来尝试着详细地解释一下吧.首先做一个说明, 相信题主应该知道的是（书上肯定也会说到） [公式] 是一个形式记号, 他和 [公式] 表示的含义是完全相同的. 题主在意的其实是孤立的 [公式] 是什么含义. 一般高数或者数分（或者微积分）书上把等式 [公式] ,的极限情形人为记作 [公式] ,这里的含义是比较含混不清的. 从…在 微分方程(1)-基本概念及分类 中，介绍了微分方程的基本概念，并总结了几种常见的一阶微分方程形式，它们分别是：可分离变量方程 Separable Equations齐次方程 Homogeneous Equations （注意这里是狭义的“齐次”）恰当方程 Exact Equations线性方程 Linear Equations伯努利方程 Bernoulli Equations 下面分别介绍这几类常见微分方程的解法[1]。【注意】 为了方便理解，每种解法后面都配有计算实例，在无法理解为什么这样解的…基本概念 微分方程指的是：含有未知函数及其导数的方程。例如设未知函数为 [公式] ，则下面的例子 [公式] 都是关于函数 [公式] 微分方程[1]： [公式] [公式] [公式]本文总结了微分方程中的一些基础知识第一节——微分方程的基本概念第一节主要给出了基本概念——微分方程的定义；阶；解；通解；特解；初值条件；初值问题 着重理解的是两个——阶和通解 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶 举例： [公式] 为三阶微分方程如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（任…我以前一直很奇怪为什么三次方程求根公式有两部分构成,四次三个部分... 如果五次是不是四个部分? 这意味着什么? 看起来很像线性结构? 最近看到一种很有趣的五次方程解法. 一定程度上解决了我的这个疑惑 求解五次方程 [公式] 这个方程不可因式分解, 其伽罗瓦群是亚循环群 [公式] 考虑一般情况: [公式] 转化为同解微分方程 [公式] 一个简单的线性常微分,解之得: [公式]}