讲一下第二型曲面积分的几何意义吧。在三维空间里。无论是什么积分，实际是都是把某一些东西给加起来。对于第二型曲面积分，就是把每个点的通量加起来。首先回顾通量的概念，在高中物理我们学过磁通量，那时面对的是一张平面，如下图，磁通量是什么呢？就是 \bar{B}\bullet \bar{S}，其中
\bar{B}, \bar{S} 都是向量，
\bar{S} 代表着大小为
S
的平面法向量（有点拗口哈，不过是为了后面和第二型曲面积分统一）。磁通量（百度来的）并且补充一点哈，高中时我们强调通量是有正负的，如果从上面穿入为正，那么从下面穿入就为负，这样就保证了磁场进出的统一。（通量其实就是通过的量，肯定只能通过一边啊）好了，复习完通量的概念之后，接下来就来看看第二型曲面积分到底是啥？所谓积分，就是先分后积。我们平时遇到的面都是曲面（考试的时候一般遇到的是连续光滑曲面），而微分学告诉我们化曲为直的道理，积分学又告诉我们万物皆可加。因此曲面和平面实际是一个东西（当然要在光滑的情况下哈，不然微分学为什么那么强调导数啊连续啊），在微观层面都是平面。假设 S 为空间中一个光滑曲面，那么 dS 就是一个很小很小很小的平面，首先我们对这个面进行讨论。它首先有大小，有法向量（法向量设为 d \bar{S} ，定义看上面的磁通量那里）。那这个时候如果有个向量穿过它，自然就形成一个通量啦。那把所有的通量加起来，就形成了如下的第二型曲面积分：现如今空间里存在一个向量函数 f(x,y,z) ，则第二型曲面积分的定义是 \int_S f(x,y,z)d \bar{S} ，这里的 d \bar{S} 是 (x,y,z) 点的法向量（怕你们忘了，再强调一遍），大小趋于0但不是0。补充：事实上要计算出dS的大小还是有办法的，这时侯就需要回顾解析几何里关于向量叉积的定义： A\times B 为一个向量，垂直于上述两个向量（就是法向量：下图橙色那条），大小为这两个向量所围成的平行四边形的面积。再次盗图。。（对不起实在不会画图呜呜呜）是不是很像dS啊？因此我们只要找出这两个向量，做一下叉积就可以了。对于一个平面S来说，实际上可以将其看出一个向量函数， S=x(u,v)\bar{i}+y(u,v)\bar{j}+z(u,v)\bar{k} ，其中 u,v 是参数（隐函数定理告诉我们，只要面足够光滑，那么在小领域里，其中一个变量可以由另外两个变量表示——换言之就是这个函数只需要用两个变量就能表示），因此。。别忘了我们要干什么了！我们要找到两个向量，使得叉积后就是dS。这两个向量，就是S的关于u的偏导数乘du Sudu 和关于v的偏导数乘dv Svdv ，因为上面这两个微分(微分可以看成是很小很小的一个向量）是和S平面的相切的（别忘了微分的几何意义哈，相切！相切！），因此叉积之后的方向是 dS 的法向量，大小是 dS （因为微分趋于0，很小很小很小）。因此它们两者的叉积就是 d\bar{S} 。因此第二型曲面积分还可以表示为 \int_S f(x,y,z)\bullet (Sudu\times Svdv)=\int_ D
f(x,y,z)\bullet (Su\times Sv)dudv ，D是关于uv的区域。这样就变成一个混合积的积分，怎么算大家应该是知道的，如果不知道的话评论区留言我再补充~~最后希望大家动动小手点个赞，有啥问题咱们在评论区讨论哈}

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曲线积分是在同一个平面上线与线的封闭面积，就是形成了平面四边形;曲面积分是在一个由曲线积分形成的平面上，再进行体上的积分，就像杯子的底是由XY曲线积分形成，而它的杯子的上缘线就是Z的轨迹线，当然Z不一定是像杯子上缘线一样平行于底面。曲线曲面积分还是按照物理含义理解比较好，几何含义的限制太大了，虽然视觉上直观，但不及物理的广阔。有的时候在三维上是找不到几何含义的，比如被积函数不是1的三重积分就没有几何意义,但四维上思考几何形状就超出了人的几何想象。曲面积分的物理意义简单的说第一类是光滑曲面型构件的质量，第二类是通过指定侧的流量。二重积分,可以看做一个高函数f(x,y),在底面∑上的积分,所以他表示的是底面为∑的几何体的体积..三重积分,可以看做一个密度函数f(x,y),在几何体V上的积分,所以他表示的是几何体V的质量..第一类曲线积分,可以看做一个密度函数f,对曲线长度s的积分,所以他表示的是曲线s的质量.第二类曲线积分,可以看做一个变力f,对曲线切向的积分,所以他表示的是变力f沿曲线做的功.第一类曲面积分,可以看做一个密度函数f,对曲面面积S的积分,所以他表示的是曲面S的质量.第二类曲面积分,可以看做一个磁场强度f,对曲面法向的积分,所以他表示的是的磁通量.物理上形象的说,就是通过某个曲面的磁感线条数...
本回答被网友采纳将曲面拉平后所对应的曲顶柱体的体积}

2019-07-02 14:31
来源:
别迹无涯
第一类曲面积分是在二重积分的基础上拓展而来。二重积分描述的是函数对位于x轴y轴平面上的一块区域面积的积分，而第一类曲面积分则是将积分区域拓展至三维甚至更高维的空间。那么第一类曲面积分几何意义是什么呢？在不易画出积分区域的前提下，如何正确计算第一类曲面积分？
尽管二重积分看似是对坐标的积分，但其本质上是对x轴y轴平面上的一块区域进行积分，如图1所示。
图1.二重积分积分区域示意图
从几何意义上看，二重积分描述的是一个立体图形的体积。若将积分区域视作立体图形的底部，则立体图形的底部是平坦的、且位于x轴y轴平面上的。
相比于二重积分，第一类曲面积分是对一块曲面进行积分，也就是说积分区域上的所有点不是一定都位于x轴y轴平面上。图2显示的第一类曲面积分积分区域示意图。
图2.第一类曲面积分积分区域示意图
从几何意义上看，第一类曲面积分同样描述的是一个立体图形的体积。若将积分区域视作立体图形的底部，同二重积分立体图形平坦底部不一样的是，第一类曲面积分的立体图形的底部可能是平的、斜的、凹凸的。
相比于二重积分，第一类曲面积分其实就是添加了第三个变量，且这第三个变量与x、y之间存在一个函数关系。假设积分曲面由z=z(x,y)确定，且在积分区域内，z存在一阶连续偏导数。则第一类曲面积分的计算公式如下：
图3.第一类曲面积分的计算公式
第一类曲面积分的计算难点在于确定积分曲面和积分曲面在x轴y轴平面上的投影。同二重积分不一样的地方在于，二重积分容易通过画图的形式确定积分区域，但是在第一类曲面积分中，由于积分曲面是在三维空间内，因此不易画出积分曲面，也不易确定积分曲面在x轴y轴平面上的投影。
小编接下来举两个例子，来说明如何确定积分曲面的投影。
单个曲面的含义就是，在一个第一类曲面积分中，其积分曲面由一个函数关系式即可表示。
图4是例题1单个曲面的第一类曲面积分。
图4.单个曲面的第一类曲面积分
对于例题1，积分曲面的函数形式已经给出，但是如何确定积分曲面在x轴y轴上的投影呢？
例题1的积分区面是一个三角形区域。积分曲面在x轴y轴上的投影亦是一个三角形区域，用图5的数学式子表示。
图5.例1积分曲面的投影
确定积分曲面投影后，接下来就可以直接按照第一类曲面积分公式进行计算即可，具体计算过程见图6.
图6.例1解答过程
在实际中，同学常常会遇到多个曲面的积分。
多个曲面就是积分曲面可以看成是多个积分曲面，每个积分曲面由一个函数关系式表示。
图7是一个典型的多个曲面第一类曲面积分的问题。
图7.多个曲面的第一类曲面积分
对于图7的例题2，首先要确定的是积分曲面。
例题2的积分曲面包含两个曲面，一是锥面被平面z=1所截的部分，一是平面z=1被锥面所截的圆形区域。
图8显示的两个曲面的函数关系式以及对应的图形显示。
图8.积分曲面示意图
两个曲面在x轴y轴平面上的投影均相同，为同一个圆。结合第一类曲面积分的计算公式，可得出结果。求解过程，本文从略。
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