收录于合集#高等数学
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个#无穷级数
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个系列简介：这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上，以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本，并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容，我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导，也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异，对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”，我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章，欢迎关注数学若只如初见！求幂级数的和函数是高等数学课程中的一类重点题型，解答此类问题的基本思路是利用上一节中介绍的幂级数的逐项求导和逐项积分性质，将所给幂级数转化为等比级数，本节我们来具体介绍求幂级数和函数的方法和典型例题。（由于公式较多，故正文采用图片形式给出。）一、概述。二、求幂级数和函数的基础例题。（请读者先复习上一节中介绍的幂级数和函数的相关性质，包括和函数在其收敛域上连续，以及逐项求导和逐项积分的性质。）三、对例1的一些补充说明（严格来说求幂级数的和函数时必须先求出收敛域）。四、多次逐项求导或逐项积分的问题。五、对例2的一些补充说明（初学者容易忽略级数求和的“初始项”）。六、缺项幂级数求和函数的问题。注意缺项幂级数的收敛域不能直接用系数比值的极限计算，详细介绍见下文：高等数学入门——幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法七、完成例3的解答。本题中涉及的常数项级数的和我们曾利用其它方法求出过，参考下文：高等数学入门——交错级数的概念及莱布尼兹审敛法上一篇：高等数学入门——幂级数的运算及幂级数和函数的重要性质}

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展开全部　　幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。　　以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x)　　计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式　　解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。　　解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式　　解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。　　解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。四、含阶乘因子的幂级数　　（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数　　（2）逐项求导、逐项积分法　　（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
收起展开全部记 S(x) = ∑<n=1,∞> n(n+1)x^n得 T(x) = ∫ <0,x>S(t)dt = ∑<n=1,∞> n ∫<0,x>(n+1)t^n = ∑<n=1,∞> nx^(n+1) = ∑<n=1,∞> (n+2)x^(n+1) - 2∑<n=1,∞> x^(n+1)= ∑<n=1,∞> (n+2)x^(n+1) - 2x^2/(1-x)
(-1<x<1)得 U(x) =
∫ <0,x>T(t)dt = ∑<n=1,∞> x^(n+2) - 2 ∫ <0,x> t^2dt/(1-t) =
x^3/(1-x) - 2 ∫ <0,x> t^2dt/(1-t) = -x^2-x-1+1/(1-x) - 2 ∫ <0,x> t^2dt/(1-t),于是 T(x) = U'(x) = -2x-1+1/(1-x)^2-2x^2/(1-x) = 1-1/(1-x)+1/(1-x)^2S(x) = T'(x)
= -1/(1-x)^2+2/(1-x)^3 = (1+x)/(1-x)^3
(-1<x<1)
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展开全部积分二次转化为等比级数再求导二次，望采纳。
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