微分方程，什么叫线性无关解，什么是线性相关解，随便说我能听懂？高等数学 微分方程，45题。 相应的齐次方程两个线性无关的解是怎么求出的？怎么求向量组的极大线性无关组？线性代数 求线性无关解的个数什么时候是n-R(A)什么时候是n-R(A)＋1？怎么求向量组的极大线性无关组？怎样求向量的线性无关组？

微分方程，什么叫线性无关解，什么是线性相关解，随便说我能听懂

微分方程通常都有无数个解，这是前提

线性无关解和线性相关解是一对概念，知道了一个就可以知道另外一个。

好，什么是线性无关解呢？

当一组解中的任何一个都不能通过其他解线性组合得到时，那么

这一组解是线性无关的；反之，可以通过某种线性组合得到，那么这一组解是线性相关的

高等数学 微分方程，45题。 相应的齐次方程两个线性无关的解是怎么求出的？

求一个向量组的极大无关组的方法

其定义为：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

线性代数 求线性无关解的个数什么时候是n-R(A)什么时候是n-R(A)＋1

对于齐次线性方程组，线性无关解的个数，即基础解系中向量个数是n-R(A)。

非齐次，则是1个特解+基础解系，此时线性无关解的个数，是n-R(A)＋1。

因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。

如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，以此类推。

任意一个一元一次方程形式经化;;的方程。它的解为;;。

一元一次方程式是等于一条线性方程式：简单点来说，如;;或以上的次方是不容许的。

ax+b=0不是一元一次方程式。

如果;;，此方程式无限多解；如果b=0，则此方程式恰一解。

通常线性方程在实际应用中写作：

怎么求极大线性无关组的个数

极大线性无关组按照先将向量按列排列写出对应的矩阵，接着用初等行变化将其化为阶梯型（注意只能用行变化，列变化会改变向量），在阶梯型中找到非零元，非零元所在的列对应的向量就是极大线性无关组中的向量。只需要将这些向量组合，就是所要求的极大线性无关组。

在这求的过程中，需要注意一个问题，在求极大线性无关组的时候，按照向量按照列排列，就一定要用初等行变化使矩阵变为阶梯型，若是按照行的方向排向量的话就是使用初等列变化将其变为阶梯型。

极大线性无关组基本性质

1、只含零向量的向量组没有极大无关组；

2、一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

3、极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

4、齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

5、任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

6、一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

7、若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

怎样求向量的线性无关组？

整理得到关于a1,a2,a3的等式

因为向量组a1,a2,a3线性无关

与假设相比较即可得到答案

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有什么不懂得请继续追问，一定达到您满意为止，谢谢

特征值和特征向量是线性代数中另一块儿核心内容。

在我们的高等数学体系里，微积分关注的是单维，而线性代数关注的是多维。现在我们以函数的视角看矩阵 A，以矩阵 A 乘以向量 x，得到向量 Ax，A 像一个函数。我们关注这样的 A，向量 x 被变换前后方向相同，也即 $Ax= jx$，即 Ax 平行于 x，这里的 x 就是特征向量。j 允许取负值或者零，甚至是复数，j 是特征值。特征值和特征向量反应了一个矩阵的核心信息，在实际应用中，这两个信息往往也代表着系统的关键特征。

$(A - jI) x = 0$ 是特征方程。 如果存在一个非零向量 x 满足条件，那么 $A - jI$ 必须是一个奇异矩阵，即 $det（A - jI）= 0$，求解 n 个 j 就得到了特征值，有些 j 可能会发生重复，重复特征值是关于这块知识难点的根源。

对于每个特定的 j（特征值），利用消元法，找出主列，给自由变量赋值，求出的零空间即是由特征向量组成的空间。

• 如果特征值是 0，则 $Ax = 0x$，即特征向量 x 是零空间的向量。如果 A 是奇异矩阵，那么存在非零向量使得 $Ax=0$，则 j = 0 就是一个特征值。换句话说，奇异矩阵能使非零向量变成零向量。
• 投影矩阵P 的特征向量和特征值。给定向量 b，使 P 作用在上面，得到 Pb，向量 Pb 和向量 b 方向一般不相同。只有本来就在 P 的列空间里的向量，做投影之后，本身无改变，即 $Pb=b$，说明其是一个特征向量，特征值是 1。这样我们间接得到了一整个空间的特征向量。再来关注垂直空间里的向量，任意垂直 P 的列空间的向量 x，$Px = 0 = 0x$。综上投影矩阵的特征值是 0 和 1
• 旋转矩阵，记为 Q（将每个向量旋转 90），[[0,1],[-1,0]]，这是一个正交矩阵，由迹特征值之和等于 0，特征值之积等于行列式的值。得 j1+j2=0,j1j2=1,所以 j1 = i，j2 = -i, 就本例而言，它是共轭复数。这里可以研究问题，哪些向量旋转后与自己平行。特征向量是和作用前相同方向的，但 Q 是比较极端的，除非旋转 360 度。如果矩阵是对称的或者接近对称的，一般都是实数特征值，但旋转矩阵（这里非常的不对称 $Q^T = -Q$），它是反对称的，这种矩阵的特征值是虚数。好的特征是实数特征值，互相垂直的特征向量。坏的是虚数特征值。
• 三角矩阵，特征值在对角线上，带入求解特征向量，对于重复的特征值，会造成特征向量的短缺。特征值两个重复的 3，但特征向量只在一个方向上，而不是两个。这造成了特征向量的短缺。

关于特征知识的一些其他描述

• 一般来说，矩阵越特殊，特征值也越特殊。如二维对称矩阵 [0 1；1 0] ，特征值是 1，-1。 特征向量垂直的，分别为 [1,1] 和 [1,-1]
• n 维矩阵有 n 个特征向量，特征值的和（另外一个说法叫做迹）等于对角线元素的和。

定义 ：给定矩阵 A，其特征向量按列组成 S, 特征向量矩阵 S 必须可逆。推导如下。

假设 A 有 n 个线性无关特征向量 (不关注重复)，按列组成矩阵 S，组成特征向量矩阵，注意S 是特征向量组成的矩阵，A 是线性无关的矩阵

谨记以下三个变换公式，即

幂矩阵的特征值,这是可以重新帮助认识特征指的工具。其中特征值的平方计算非常容易。

如果特征绝对值小于 1，那么 k 趋向于无穷，A 的 k 次方趋向于 0，矩阵的幂趋近于 0，是稳定的。

注意所有的推导是在有 n 个线性无关特征向量的前提下的。
当所有特征值不同时，A 必然存在 n 个线性无关向量且可以对角化。证明略
当特征值有重复，它可能有但并不一定存在线性无关特征向量。举个例子，10*10 单位矩阵，特征值 1 重复了 10 次，但有很多线性无关向量。

一个彩蛋。斐波那契数列增长速度的快慢可以用矩阵特征表示，计算特征值大小为 $frac{1+sqrt{5}}{2}$,熟悉吗？

可以将一阶微分方程转化为求线性代数问题，中间注意常系数线性方程的解是指数形式。举个例子

对解的形式，这里的指数幂，相当于上节课 k 的幂次方，上次是幂形式，这次是指数形式,。证明方法，分别带入 $frac{du} {dt} = Au$,得证。

对于此例,随着时间增长逐渐流向稳态。观察形成稳态的条件，特征值需要小于 0，对于复数只要实部小于 0 就可以

进一步推导。确定 $c_1,x_2$ 时，用到了公式 $Sc=u_0$,原方程组有两个相互耦合的未知函数， 矩阵 A 就表明 $u_1，u_2$ 相互耦合，希望把解变成 S 和 $lambda$ 的形式,这样看来，特征值和特征向量的作用是解耦，又叫做对角化。

另外，求解二阶微分方程的方法与此类似。

定义：每个元素大于等于 0，每一列加起来等于 1

• 性质 1：矩阵平方后仍然大于等于 0
• 性质 2：平方后每列的值的和依然是 1。
• 性质 3：A 的幂依然是马尔科夫矩阵，这和概率论思想有关
• 性质 4：马尔科夫矩阵存在一个特征值 1，所有其他特征值 $|lambda_i|<1 $
  证明，观察 $A-lambda I$ 观察到每行相加等于 0，说明三行线性相关，说明三列线性相关，说明矩阵奇异，说明 1 是特征值。

有 n 个标准正交向量 $q_1,q_2 dots,q_n$，假设其是 n 纬空间的一组基。将向量 v 展开到基上去