定积分分部积分法公式是什么？

分部积分法公式是什么？

　　 分部积分法简介 分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
　　它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
　　 它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结。

例 14 解法 1 求 先分部积分, 设 则 于是 再设 则 于是 后换元. 例 14 解法 1 求 代入上式, 得 解法 2 先换元, 例 14 解法 1 求 后分部积分. 解法 2 先换元, 例 14 求 后分部积分. 设 则 再设 则 例 15 解 求不定积分 令 则 于是 原式 其中 例16. 求 解: 令 则 得递推公式 说明: 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 举一反三练习 证: 注: 或 证明递推公式 思考： 1.下述运算错在哪里? 应如何改正? 得 0 = 1 2. 已知 的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. * * * * * * * * * * * * * * * * 第三节 上两节我们已经熟悉和掌握了不定积分的换元积分法 也就是我们所俗称的凑微分法和开根号法。 因此我们需要引入新的积分法--分部积分法。 但是用这两种方法能求得的不定积分还是很有限的。 分部积分法 第四章 例如 还有相当的一部分积分仍无法计算， 考察这个不定积分： 若将等式两端的式子分别求不定积分，得 移项整理，便得到如下的分部积分公式： 被积函数是由两个函数相乘(除)构成的，这就启发我们想到第二章所学过的两个函数乘积的导数公式： 我们称这两个公式为分部积分公式。 分部积分公式 例1 求积分 应用分部积分公式, 我们来计算一个简单的积分 令 应用分部积分公式, 得 udv uv vdu 更复杂 u dv uv vdu 如果令 如此选取u和v, 将使积分的计算变得复杂, 甚至无法计算 ! 那么自然要问：在利用分部积分公式计算 不定积分时, 如何合理的选择u和v ？能使 得所求的不定积分容易计算？ 换句话说，如何正确地选取u和v，是否有什么经验规律可循？ 有！回答是肯定的。 如下的 “经验口诀” 有助于解决u，v的选取问题： 其中： 反表示: 反三角函数；对表示: 对数函数； “ 反对幂指三” 我们始终把被积函数分解成两个函数的乘积，这两 个函数在口诀中的顺序, 若在前者就将其设为u，顺 序在后者就设为 三表示: 三角函数 幂表示: 幂函数；指表示: 指数函数； 经验口诀一： 例 2 求不定积分 令 显然, 选择不当, 积分更难进行. 解 一 解 二 令 例 3 求不定积分 解 由“经验口诀”, 且每次使用时, 所选的u(x)应当是同一类函数。 幂函数序在前设为 指数函数 令 再次使用分部积分法 dv dx e x u x = = , 序在后应设为v?. 分部积分公式可多次反复使用, 例 4 求不定积分 解 令 例 4 求不定积分 解 令 例 4 求不定积分 解 令 例 5 求不定积分 课堂提问： 令 什么函数设成 u, 什么函数设成 v ？ 例 6 求不定积分 解 注意循环形式 例 7 求不定积分 解 问题思考：此题还有另外的解法吗? 在例6，7的解题中，我们通过一次或二次的 分部积分后，右端又出现了自身的积分， 通 过移项合并后求出不定积分。 此种解题方法称为循环积分法。 例 8 求不定积分 解 由于上式右端的第三项就是所求的积分 例 8 解 由于上式右端的第三项就是所求的积分 求不定积分 例 8 解 由于上式右端的第三项就是所求的积分 把它移到等号左端去, 便得 再两端各除以2, 求不定积分 例9. 求 解: 令 , 则 原式 = 我们将此思路归纳为 把被积函数中能凑到微分号后的函数当 作 v, 把剩余留在微分号外面的函数设为 u，然后进行分部积分计算！ “经验口诀二” 例 10 求不定积分 解 例 11 求不定积分 解 例 11 求不定积分 解 例 11 求不定积分 解 原式 例10,11是“经验口诀二”应用的具体例子。 称这种方法为组合积分法。 则 例7另解： 于是联立解得 设 举一反三练习： 用组合积分法求解如下的例子 (1) 设 (2) 把被积函数转化成sinx和cosx的二元函数, 再按(1)处理。 提示：列出A和B的两个等式，解出A和B. 显然有3A+2B=x, 可通过求分母的导数，列出A和B的另一个等式. 例 12 求不定积分 解 令 则 于是