设某一函数f(x)对自变量在其定义域内的所有值均满足某已知方程，那么把f(x)就叫做已知函数方程的解。即能使函数方程成立的f(x)就叫做函数方程的解。

函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解。如偶函数、奇函数、f(x)=x-1分别是上述各方程的解。

求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程。即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质。

由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等。

换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法。将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数。

但值得注意的是，某些换元会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性。

赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在函数定义域内赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解。

赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结合的一种方法。

如例2就是赋值法与反证法相结合，例3是赋值法、代换法、消元法结合的典型。

函数迭代是一类特殊的函数复合形式。一般由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法。

前面的例4仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程找出函数值之间的关系，然后通过n次迭代进行求解。而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解。如例5就是赋予一些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解。

待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，使问题得以解决。

观察题中条件，问题的难度比例6的增加了许多，这又怎么做呢？万变不离其宗，仍采用待定系数法进而找出规律，并结合等比数列相关性质而求得a，b，但要注意解决这类问题时千万不要漏根。

数学归纳法主要适用于定义域是正整数的函数方程，其解题方法是通过对f(1)，f(2)，f(3),…的具体计算，加以概括抽象，提出对f(n)的解析式的一个猜想，然后用数学归纳法对猜想进行证明。

根据已知条件，首先运用赋值法求出函数f(x)在某些点的特殊值，再猜想f(x)的表达式，最后用数学归纳法证明此猜想。

数学归纳法一般适用于证明题，但有时候不排除这类找规律、猜想进而证明猜想的问题。遇到这种问题的时候，首先要找准规律，证明起来也就会很轻松了。

利用等比、等差数列相关知识（通项公式、求和求积公式），求定义在N上的函数f(x)。

熟悉等差、等比数列的相关性质如公差（比）、求和公式等，运用起来解决本题就会感到得心应手。

反证法在数学上使用得相当普遍，即一些问题从正面直接证明有困难，而它的结论的相反结论比原结论更具体，更明确，易于导出矛盾，这时一般采用反证法。先从已知条件中得出满足函数方程的一些特殊解，然后再用反证法证明除了这些解以外无其他解。