矩阵的等价标准型在量子力学的应用

　　量子通信技术【1】

　　摘要：矩阵的等价标准型是矩阵论中的一种重要形式。

　　不仅可以解决很多线性代数中的问题，也可以解决物理中的一些问题。

　　本文以矩阵的等价标准型为研究对象，通过举例的方式，探讨了矩阵的等价标准型在量子力学中的应用。

　　关键词：矩阵;等价标准型;量子力学;应用

　　矩阵的等价标准型是矩阵论中的一种既特殊又重要的形式，它可以解决代数中的许多问题，例如利用矩阵的等价标准型来研究矩阵的一些性质，广义逆矩阵等等。

　　本文是把量子力学和代数中的矩阵联系起来，把矩阵的等价标准型应用在物理学的量子力学中。

　　矩阵A和B是等价的，如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到，同样也可以这样表达：两个n×m矩阵，A，B若存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B，则称这两个矩阵，A，B是等价的。

　　矩阵Ir000为A的等价标准形是这样定义的：A是一个m×n矩阵，并且A的秩为r，则A等价于矩阵Ir000.

　　二、在物理中关于量子力学的应用

　　标准形矩阵在量子力学中的应用，这是物理学中比较重要的一个应用。

　　等价标准形在量子力学中主要应用在线偏振器的表示和密度矩阵的求解中。

　　在力学中， 线偏振器是这样定义的，由入射自然光得到偏振光的器件称为线偏振器，当透振沿X轴的方向时，琼斯矩阵可以很容易得到为10

　　00， 根据上面的定义，我们可以知道它是等价标准形。

　　当入射光E连续通过两个或两个以上偏振器时，输出光是它们的叠加，输出的光可表示为E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 为依次通过的各偏振器的琼斯矩阵，那么很容易看出偏正态变为简单的矩阵运算，又回归到数学的运算之中了。

　　例1设有一条偏线振光满足振幅为A，并且振动方向是X轴，先通过一透振方向与X轴方向的偏振片，再通过一块沿轴X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正态和强度。

　　对于上式进行分析，不难得出输出光的x，y分量偏振幅均为A2，这两个振动相位差为π2，很容易看出，出射光和左旋圆偏正光的形式是一样的，那么它就为左旋圆偏正光，I=(A2)为出射光的强度，入射光线的强度为π2.

量子态|φ>相应的密度矩阵的矩阵元Pn′n出现(不为0时)，量子态|φ>必含有|n>和|n′>态，Pn′n的值与|n>和|n′>态在态|φ>中出现的几率和相位都有关，如|φ>就是F的某一个本征态|k>，则Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一个对角矩阵，而且对角元中只有一个元素ρkk′不为0，且ρkk′=1，求电子自旋σx=±1的本征态在pauli表象(σZ表象)中的密度矩阵，进而求它在σx表象中的密度矩阵。

　　[1]史荣昌，魏丰.矩阵分析[M].北京：北京理工大学出版社，2003.

　　[2]苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论[M].北京：科学出版社，2007(01).

　　[3]曾谨言.量子力学(卷Ⅱ，第三版)[M].北京：科学出版社，2002.

　　[4]曾祥金，吴华安.矩阵的分析及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2011(01).

　　[5]拜伦，富勒.物理中的数学方法(第二卷)[M].北京：科学出版社，2006.

　　[6]张禾瑞，郝新.线性代数[M].北京：人民教育出版社，2006.

　　[7]倪国熙.常用矩阵的理论与方法[M].上海：上海科技出版社，2006.

　　[8]北京大学数学系.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.

　　量子力学的发展及应用【2】

　　摘 要：量子力学是对经典物理学在微观领域的一次革命。

　　它有很多基本特征，如不确定性、波粒二象性等，在原子和亚原子的微观尺度上将变的极为显著。

　　爱因斯坦、海森堡、波尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。

　　量子力学是现代物理学基础之一，在低速、微观的现象范围内具有普遍适用的意义。

　　论述了量子力学的发展以及与量子力学相关的物理概念，讨论了量子力学研究的主要内容。

　　关键词：量子力学 量子力学发展 质子和粒子

　　前言：量子力学是对牛顿物理学的根本否定。

　　l9世纪末正当人们为经典物理取得重大成就欢呼的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。

　　在经典力学时期，物理学所探讨的主要是那些描述用比较直接的试验研究就可以接触到的物理现象的定律和理论。

　　在宏观和慢速的世界中，牛顿定律和麦克斯韦电磁理论是很好的自然定律。

　　而对于发生在原子和粒子这样小的物体中的物理现象，经典物理学就显得无能为力，很多现象没法解释。

　　1.量子力学的起源

　　量子论起源于经典物理学体系中出现的反常的经验问题，以及相伴随的概念问题。

　　量子力学的发展主要归功于四位物理学家。

　　德国的海森伯于1926年作出了量子力学理论的第一种表述。

　　利用矩阵力学的理论，求得描述原子内部电子行为的一些可观察量的正确数值。

　　接着，奥地利的薛定谔发表了波动力学，是量子力学的另一种数学表述。

　　同年，德国的伯恩对上述两种数学表述作出可以接受的物理解释，并首先使用“量子力学”这个名词。

　　1928年，英国的狄拉克又把上面的理论加以推广，并与狭义相对论结合起来。

　　量子力学是对牛顿物理学的根本否定。

　　牛顿认为物质是由粒子组成的，粒子是一个实体，量子力学认为粒子是波，波是无边无际的。

　　牛顿认为宇宙是一部机器，可以把研究对象分成几部分，然后对每一部分进行研究。

　　量子力学认为自然界是深深地连通着的，一定不能把微观体系看成是由可以分开的部分组成的。

　　因为两个粒子从实体看可以分开，从波的角度他们是纠缠在一起的。

　　牛顿认为宇宙是可以预言的，而量子力学认为，自然界在微观层次上是由随机性和机遇支配的。

　　牛顿认为自然界的变化是连续的，量子力学认为自然界的.变化是以不连续的方式发生的。

　　2.量子力学的形成

　　2.1 量子假说的提出

　　1900年l2月14日，德国物理学家普朗克在柏林德国物理学会一次会议上提出了黑体辐射定律的推导，这一天被认为是量子力学理论的诞辰日。

　　在推导辐射强度作为波长和绝对温度函数的理论表达式时，普朗克假设构成腔壁的原子的行经像极小电磁振子，各振子均有一个振荡的特征频率。

　　振子发射电磁能量于空腔中，并自空腔中吸收电磁能量，因此可以由在辐射平衡状态的振子的特性而推出空腔辐射的特性。

　　而关于原子的振子，普朗克作了两项

　　根本的假设，现简述如下：

　　① 振子不能为“任何能量”，只能为：

　　式中：为振子频率，为常数(现称为普朗克常数)，只能为整数(现称为量子数)，(1)式断言振子的能量只能是一份一份的，而不能是连续的，即振子能量是量子化的。

　　②振子并不连续放射能量，仅能以“跳跃”方式放射，或称“量子式”放射。

　　当振子自一量状态改变至另一态时，即放出能量量子。

　　因此，当改变一个单位时，放射之能量为：

　　只要振子仍在同一量子状态，则既不放射能量也不吸收能量。

　　2.2 爱因斯坦利用量子假说揭开光电效应之谜

　　爱因斯坦根据普朗克的量子假设推理认为：如果一个振动电荷的能量是量子化的，那么它的能量变化只能是从一个允许的能量瞬时地跃迁到另一个允许的能量，因为根本不允许它具有任何中间的能量值。

　　而能量守恒就意味着，发射出的辐射必须是以一股瞬时的辐射进发的形式从振动电荷产生出来，而不是电磁波理论所预言的长时间的连续波。

　　爱因斯坦得出结论：辐射永远以一个个小包、小粒子的形式出现，但不是象质子、电子那样的实物粒子。

　　这些新粒子是辐射构成的;它们是可见光粒子、红外光粒子、 射线粒子等等。

　　这些辐射粒子叫做光子。

　　光子和实物粒子不同：它们永远以光速运动;它们的静止质量为零;振动的带电粒子产生光子。

　　3.量子力学的宇宙观

　　在原子的量子理论的探讨中，从对氢原子的研究中发现，氢原子有无数个量子态。

　　而电子多于一个的原子有更复杂的量子态，这些量子态都从求解适合于该特定原子的薛定谔方程，并且要求其场刚好环绕原子核产生驻波而求得。

　　由于这些量子态的每一个都是有特定频率的驻波，并且波的频率和它的能量相联系，预期每个量子态只有一个特殊的能量。

　　这就是说，预期任何一个态的能量不会有任何量子不确定性。

　　可以对每个态的能量大小作合理的猜测。

　　由于质子作用于电子的力是吸引力，要把一个电子向外拖到离原子核更远的地方就必须做功。

　　因此电子离原子核越远，电子的电磁能量就越高。

　　量子理论的中心思想是，一切东西都由不可预言的粒子构成，但这些粒子的统计行为遵循一种可以预言的波动图样。

　　1927年，德国物理学家海森伯发现，这种波粒二象性意味着，微观世界具有一种内禀的，可以量化的不确定性。

　　量子理论的最大特点也许是它的不确定性。

　　量子不确定的实质是，完全相同的物理情况将导致不同的结果。

　　哥本哈根学派解释的结论是，微观事件真的是不可预言的。

　　而且，当我们说一个微观粒子的位置是不确定的时候，意思并不仅仅是我们缺乏有关其位置的知识。

　　相反，意思是这个粒子的确没有确定的位置

　　结语：量子力学在低速、微观的现象范围内具有普遍适用的意义。

　　它是现代物理学基础之一，在现代科学技术中的表面物理、半导体物理、凝聚态物理、粒子物理、低温超导物理、量子化学以及分子生物学等学科的发展中，都有重要的理论意义。

　　量子力学的产生和发展标志着人类认识自然实现了从宏观世界向微观世界的重大飞跃。

　　[1] 曾谨言.量子力学导论[M].2版.北京大学出版社，2OOO.

　　[2] 杨仲耆，申先甲.物理学思想史[M].长沙：湖南教育出版社，l993.

　　[3] 张德兴，桂起权.通向人类思想的深层：哲人科学家

1.1 n次多项式的原根、根与系数的关系——韦达定理的应用
1.1.2 n次多项式的根与系数的关系——韦达定理的应用
1.2 带余除法与多项式的整除
1.3 最大公因式与多项式的互素
1.4 因式分解与重因式、多项式的根与重根
1.5 不可约多项式及其应用
1.6 多项式相等——摄动法
1.7 牛顿公式及其应用
2.1 矩阵的基本运算、初等变换及其应用
2.1.1 矩阵的基本运算
2.1.2 方阵行列式的计算与性质
2.1.3 单位向量与基础矩阵
2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵
2.1.5 分块矩阵的广义初等变换及其应用
2.1.6 矩阵方程的求解
2.2 矩阵的数字特征
2.2.1 矩阵的秩及其应用
2.2.2 矩阵的迹及其应用
2.2.3 矩阵的特征值与特征向量
2.2.4 矩阵的合同、等价与相似的关系
2.3 特殊矩阵及其应用
2.3.1 一般的特殊方阵及其应用
2.3.3 矩阵的等价标准型及应用
2.3.4 可交换矩阵的性质及应用
2.3.5 正交矩阵及其应用
2.3.6 （半）正定矩阵及其应用
第3章 线性方程组理论
3.1 线性方程组的求解及应用
3.2 向量组的线性相关性
3.3 齐次线性方程组的基础解系的应用
4.1 线性空间的结构：基、维数与坐标
4.1.1 基与维数的计算
4.1.2 基变换与坐标变换
4.2 线性空间的关系
4.2.1 子空间及其维数公式
4.2.2 关于子空间的直和
4.2.3 子空间覆盖问题
4.2.4 线性空间的同构及几何问题代数化
4.3 带度量的线性空间——欧几里得空问
4.3.1 基本理论（概念与性质）
5.1 线性变换及其运算、线性变换的特征值与特征向量
5.2 线性变换的不变子空间
5.2.1 定义及判定方法
5.2.2 线性变换在不变子空间上的限制
5.2.3 判定不变子空间的方法
5.2.4 线性变换不变子空间的求法
5.2.5 利用不变子空间进行线性变换矩阵的化简
5.2.6 常见的不变子空间
5.3 公共特征值与特征向量及其应用
5.3.1 公共特征值问题
5.3.2 公共特征向量问题
5.4 线性变换的核与值域
5.5 线性变换（矩阵）的相似对角化
5.5.2 交换性和多项式表示、矩阵的同时对角化（上三角化）
5.6 常见的线性变换及其应用
5.6.1 对称变换与正交变换
5.6.2 化二次型为标准型
5.6.3 化二次型为标准型的方法和合同对角化的应用

本书共5章，内容包括多项式、矩阵、线性方程组、线性空间和线性变换。第1章多项式理论介绍根与系数的关系、整除理论、最大公因式与多项式的互素、不可约多项式和牛顿公式等内容。第2章矩阵理论介绍矩阵的基本运算、初等变换及其应用，将行列式作为方阵运算的一部分进行介绍，矩阵的数字特征包括矩阵的秩、迹、特征值与特征向量和常见的特殊矩阵的性质和应用，并将Lambda矩阵作为特殊矩阵加以讨论。第3章线性方程组理论包含线性方程组的求解及应用、向量组的线性相关性和齐次线性方程组的基础解系的应用。第4章线性空间理论包含线性空间的结构、线性空间的关系以及带度量的线性空间——欧几里得空间等内容。第5章线性变换理论包含线性变换的概念与性质、相似对角化、不变子空间、核与值域、常见的线性变换正交变换和对称变换，并将二次型理论纳入特殊线性变换的应用。 本书对高等代数的传统内容体系加以优化和重整，保证知识的科学性、系统性和完整性，突出知识点的强化，以典型例题为主线，贯穿高等代数的主要内容，深入挖掘内容背后的逻辑关系，归纳总结，拓展应用，并辅以适当的考研真题作为训练题和总习题，起到有效提高读者学习能力的作用。本书是高等代数内容的深化和补充，可为数学专业复习考研的学生提供参考。