微信公众号文章中可插入的富文本格式不如一般的博客自由，但目前来说也是中文互联网勉强都能接受的一个平台和事实标准了。然而，在撰写理工相关的文章时不免要用到数学公式，微信公众号不支持数学公式的插入和编辑，用图片（位图）代替又比较麻烦，截图、上传，尤其是行间公式排版相当麻烦。

目前来说，最佳的方案是将公式转换为 SVG 图片格式插入。SVG 是矢量图格式，在不同设备上都能清晰显示，而且可以以 DOM 的形式嵌入到富文本中，还有简单而严格安全的交互功能。

但是就目前可查阅到的资料来看，实现这一功能的仅有 ciaochaos 实现的和部分功能收费的 。笔者在这近一个月的时间里，结合这两年对数学公式排版的研究经验，对功能实现的一些技术难点一一突破，下面简记之，供自己参考。

所以在分析时要分清版本。MathJax 3.x 版本路径如下

该文件应该是由 output/svg/fonts/ 文件打包而成的。如下 tex.js 文件中就包含了大部分数学符号的 SVG 数据。

文件体积还略大于官方的版本，暂不清楚原因。

但不知道为什么，MathJax 3.0 版本开始后，就不再提供其它数学字体了（包括 STIX 字体），至少在 Repository 中看不到了。因此下面的链接是不存在的。

需要注意的是，MathJax 2/3 在对数学符号编码时可能有不同之处，可能有的 dict key 用的是十进制数字，有的是十六进制数字，无法直接对应。

MdNice 将 Markdown 转换为适合微信公众号排版的样式，数学公式用的是 MathJax。最后将渲染的 DOM 复制粘贴到微信公众号。

除了 Web 端，在桌面应用多次测试，Python 是无法实现这样的功能的，至少用 win32clipboard 模块是无法实现的（CF_TEXT、CF_UNICODETEXT、Bytes、Str 等多种数据类型和剪贴板类型均无效）。

MathJax 目前在国内外是事实上的前端数学公式排版标准，但是 MathJax 还是比较重，加载较慢；相对的 KaTeX 的渲染方法更加传统，速度更快。然而 KaTeX 到目前也不支持 SVG 渲染，所以可选的只有 MathJax，将 MathJax 的 LaTeX 数学公式渲染为 SVG。

但是，MathJax 渲染的结果通常使用 cache 技术，用 <use> 标签的引用调用数学字符的数据 path 加快页面显示效率。然而，这样的结果复制到公众号是无法正常显示的，必须要复制完整的 path。

配置，将其设置为 false。

如下 MathJax 4.x 的配置方法，以供参考（MathJax 3.x 配置参数基本相同，更低的版本可能不同，不推荐使用）

进一步修改其它配置参数，可以更美观：

有理数的加法教案(15篇)

　　作为一名老师，常常要写一份优秀的教案，借助教案可以让教学工作更科学化。写教案需要注意哪些格式呢？下面是小编整理的有理数的加法教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

　　1通过学生身边可以尝试、探索的场景，经历有理数加法法则得出的过程，理解有理数加法法则的合理性。2能进行简单的有理数加法运算。3发展观察、归纳、猜测验证等能力。

　　重点：有理数加法法则的得出，和的符号的确定;难点：异号两数相加

　　一激情引趣，导入新课

　　1我们早知道正有理数和零可以做加法运算，所有的有理数是否都可以进行加法运算呢?这就是我们这节课要研究的问题，先来分析一下，所有的有理数相加的时候有哪些情况呢?请你想一想

　　2从前有一个文盲记录家里的收入和支出的时候是这样的，用一颗红豆代表收入一文钱，用一颗黑豆代表支出一文钱，有一个月他发现记账的盒子里有10颗红豆6颗黑豆，他发现红豆比黑豆多了4颗，于是他不仅知道了这个月结余了4文钱还知道了自己这个月的收入和支出情况。我们可以用一个图形来表示他这种记账方式。“○”，“●”分别表红豆和黑豆。

　　，这个图形其实就是一个有理数的加法算式：(+10)+(-6)=+4下面我们借助数轴来理解有理数的加法运算。

　　二合作交流，探究新知

　　以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向，一个单位代表1千米

　　小亮从O点出发，先向西移动2个千米休息一会儿，再向西移动3个千米，两次走路的总效果等于从点O出发向_____走了_______千米，用式子表示为_______________.

　　从上，你发现了吗，同号两数相加结果的符号怎么确定?结果的绝对值怎么确定?请把你的发现填在下面的框里。

　　(1)小明先从点O出发，先向东走4千米，发现口袋里的钥匙丢了，急急忙忙掉头向西走了1千米，找到了掉在路边的钥匙，小明这两次走路的效果总等于从点O出发向___走了____千米，用式子表示为_________________________.

　　(2)小李先从点O出发，先向东走了1米，突然想起今天家里有事，赶紧掉头向西往家里走，走了3千米到达家中，小李两次走路的总效果等于等于吃哦从点O出发，向___走了

　　从上面例子，你发现了异号两数怎么做吗?把你的结论填在下框中。

　　异号两数相加，绝对值不相等时，取__________________的符号，并用_________的绝对值

　　3一个数和零相加，以及互为相反数相加

　　(1)某个人第一批货获得利润3万元，第二批货物保本，这两批货物总的利润是多少万元?

　　(2)某人第一批货物的利润是5万元，第二批货物亏损5万元，这两批货物总的利润是多少?

　　从上问题，你发现了什么?把你的结论写在下框中，

　　三应用迁移，拓展提高

四年级下册数学知识点梳理第 1 篇

1. 在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘除法，都要从左往右按顺序计算。（这是同级运算）

2. 在没有括号的算式里，有乘、除法和加减法，要先算乘除法，在算加减法。（这是两级运算）

3. 算式里有括号，先算括号里面的，在算括号外面的。

4. 加法、减法、乘法和除法统称四则运算。

5. 一个数加上0还得原数，一个数减去0也得原数。

6. 被减数等于减数，差是0。

7. 一个数和零相乘，仍得0。

8. 0除以一个非0的数，还得0。

10. 在解决问题时，如果列综合算式，必须用脱式计算。

11. 任何数除以0都得0。（×）因为0不能做除数。

1. 如何确定物体所在的位置？

2.根据方向和距离来确定物体的位置。

3.在生活中一般先说物体所在方向离的近（夹角较小）的方位。

4.平面图形的一般画法：

（1）先确定某建筑物的方向。

（2）再确定角度。（测量角度时，哪个方位在前，0刻度线就对准谁。）

5.两个城市的位置具有相对性，方向相对，角度和距离不发生改变。例如：甲地在乙地的南偏东30度500米处，则乙地在甲地的北偏西30度500米处。

1.两个数相加，两个加数交换位置，和不变。这叫做加法交换律。

2.三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变。这叫做加法结合律。用字母表示为：(a+b)+c=a+（b+c）

3.两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。

用字母表示为：a×b=b×a

4.三个数相乘，先让前两个数相乘，再乘第三个数，或者先让后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。这叫做乘法结合律。

5.两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。用字母表示为：（a+b）×c=a×c+b×c

6. 类似于乘法分配律的简便公式;

7.从一个数里连续减去两个数，等于从这个数里减去另两个数的和。这叫做减法的运算性质。用字母表示为：a-b-c=a-(b+c)

8.在一个带有括号的算式中，括号前面是“+”，去掉括号后，括号里面的运算符号不发生改变。用字母表示为：a+(b+c)=a+b+c a+(b-c)=a+b-c

括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的运算符号发生了变化，“+”变“-”， “-”变“+”。 用字母表示为：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c

9.一个数连续除以两个数，等于这个数除以另两个数的积。这时除法的运算性质。用字母表示为：a÷b÷c=a÷(b×c)

10. 在一个带有括号的算式中，括号前面是“×”，去掉括号后，括号里面的运算符号不发生改变。用字母表示为：

括号前面是“÷”，去掉括号后，括号里面的运算符号发生了改变。用字母表示为：a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c

12. 另两种简便方法：

（1） 把一个因数改写成两个一位数相乘的形式。

（2） 把一个因数改写成两个数相除的形式，然后变成乘除混和运算。

1. 在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时就需要用小数来表示，这样就产生了小数。

2. 分母是10、100、1000……的分数可以仿照整数的写法写在整数个位的右面，用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，叫做小数。

3. 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……

每相邻两个计数单位间的进率是10。

4. 一位小数的计数单位是十分之一（写作0.1），两位小数的计数单位是百分之一（写作0.01），,三位小数的计数单位是千分之一（写作0.001）。

5. 十分之几用一位小数表示，百分之几用两位小数表示，千分之几用三位小数表示……

（1）先读整数部分，再读点，最后读小数部分。

（2）整数部分按照整数的读法来读，小数部分要依次读出每个数字。

（3）整数部分是0的小数，整数部分就读“零”，小数部分有几个0，就读几个零。

7.小数的性质:小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

8.利用小数的性质进行小数的化简和改写。

又如：不改变数的大小，把下面各数写成三位小数

9.如何比较小数的大小？

先比较整数部分，整数部分相同，比较十分位上的数；十分位上的数相同，比较百分位上的数；百分位上的数相同，比较千分位上的数……

10.小数点移动的规律：

移动一位，小数就扩大到原数的10倍；

移动两位，小数就扩大到原数的100倍；

移动三位，小数就扩大到原数的1000倍；

移动一位，小数就缩小到原数的1/10；

移动两位，小数就缩小到原数的1/100；

移动三位，小数就缩小到原数的1/1000；

11.把量和单位名称合起来的数叫名数。

12.单名数：只带一个单位名称的名数。例如：4千米、0.8吨、15.38元……

13.复名数：带有两个或两个以上的单位名称的名数。例如：

14.名数改写的规律：先找进率；再看是把高级单位改写成低级单位，还是是把低级单位改写成高级单位；最后移动小数点。口诀如下：

（1）高到低，乘进率，小数点，向右移，移几位，看进率。

（2）低到高，用除法，小数点，向左移，移几位，看进率。

15.求小数的近似数，可用“四舍五入”法。

16.在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。

17.求小数的近似数的方法：

求近似数时，保留整数，表示精确到个位，看十分位上的数；保留一位小数，表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数，表示精确到百分位，看百分位上的数；保留三位小数，表示精确到千分位，看万分位上的数……。然后根据“四舍五入”法进行取舍。

例如：9.953≈ 10 （保留整数）

18. 1.0比1精确。保留的位数越多，数就越精确。

19.如何把一个数改写成以万为单位的数？

方法一：把已知数的小数点向左移动四位，进行化简后，在数的末尾加写一个万字。

方法二：（1）先找万位；（2）在万位后面点“.”；（3）根据实际情况进行化简；（4）在数的末尾加写一个万字；（5）如果有单位名称一定照抄过来。

20.如何把一个数改写成以亿为单位的数？

方法一：把已知数的小数点向左移动八位，进行化简后，在数的末尾加写一个亿字。

方法二：（1）先找亿位；（2）在亿位后面点“.”；（3）根据实际情况进行化简；（4）在数的末尾加写一个亿字；（5）如果有单位名称一定照抄过来。

注：对于改写的方法，同学们灵活掌握。

21.下列各数中的“6”分别表示什么？

6.32（表示6个一） 0.6（表示6个十分之一） 0.86（表示6个百分之一）

62.32（表示6个十） 3.416（表示千分之一）

22.三位小数一定小于四位小数。（×）例如：1.003﹥0.5678

23.去掉小数点后面的0，小数的大小不变。（×）

应该是去掉小数末尾的零，小数的大小不变。

24.小数就是比1小的数。（×）例如：10.1﹥1

25.近似数是0.5的两位小数有5个。（×）

近似数是0.5的两位小数有9个，分别是：0.45、0.46、0.47、0.48、0.49、0.51、0.52、0.53、0.54。（先看百分位上的数，再利用“四舍五入” 法。）

26.近似数4.0与精确数4.0末尾的0都可以去掉。（×）

在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。

27.小数的位数越多，数就越大。（×）

28.小数都比自然数小。（×）

29.整数都大于小数。（×）

30.0.4与0.6之间的小数只有一个。（×）因为0.4与0.6之间的小数有无数个。31.近似数是6.50的三位小数中，最大是（6.504），最小是（6.495）。

方法：求最大近似数时，一定比6.50大，千分位上的数必须“舍”，也就是千分位上只能是1、2、3、4，其中最大的数是4，所以近似数是6.50的三位小数中，最大是6.504。

求最小的近似数时，一定比6.50小一个计数单位（本题少一个0.01，也就是6.49），这时千分位上的数必须“入”， 千分位上只能是5、6、7、8、9，其中最小的数是5，所以近似数是6.50的三位小数中，最小是6.495。

1. 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

2. 三角形有3条边，3个角，3个顶点。

3. 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

4. 三角形有3条高，3个底。

5. 三角形具有稳定性，不易变形。

6. 三角形任意两边的和大于第三边。

7. 三角形任意两边的差小于第三边。

8. 快速判断任意三条线段能否围成一个三角形：看两条较短的线段之和是否大于第三条线段。

9. 直角三角形的两条直角边互为底和高。

10.三个角都是锐角的三角形，是锐角三角形。

11.有一个直角的三角形，是直角三角形。

12.有一个钝角的三角形，是钝角三角形。

13.三角形按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

13.三角形按边分：普通三角形、等腰三角形、等边三角形

14.有两条边相等的三角形是等腰三角形。（按边）

有两个角相等的三角形是等腰三角形。（按角）

15.有三条边相等的三角形是等边三角形。（按边）

有三个角相等的三角形是等边三角形。（按角）

注：课本83页三角形集合图。

16.等边三角形是特殊的等腰三角形。

17.等边三角形一定是锐角三角形。

18.等腰三角形的两腰相等，两个底角相等。

19.等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是60度。

20.等边三角形也叫正三角形。

21.等腰三角形中，两腰相交于一点形成的夹角是顶角；两腰与底相交形成的两个夹角是底角。（P84图）

22.三角形的内角和是180度。

23.多边形的内角和=180度×(多边形的边数-2)

24. 任意一个四边形的内角和是360度。

25.两个完全一样的三角形可以拼成三角形、正方形、长方形、平行四边形、和四边形。

26.最少用2个直角三角形可以拼成一个长方形；

最少用3个等边三角形可以拼成一个等腰梯形。

最少用2个等边三角形可以拼成一个菱形。

27.无论是什么形状的图形，没有重叠、没有空隙地铺在平面上，就是密铺。

28.把任何一个三角形的三个内角剪下来，都可以拼成一个平角。

29.所有的等边三角形都是锐角三角形。

30.有三个角的图形一定是三角形。（×）

31．有两个锐角的三角形一定是锐角三角形。（×） 因为也有可能是直角三角形。

32.等腰三角形一定是锐角三角形。（×） 因为等腰三角形中可能是等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形。

33.一个大三角形和一个小三角形的三个内角和是不相等的。（×）

因为三角形的内角和是180度。

34.一个钝角三角形里最多有两个钝角。（×）

因为任意一个三角形里至少有两个锐角，如果有两个钝角或两个直角，三角形的内和就大于了180度，根本拼不成三角形。

35.两个三角形一定能拼成一个平行四边形。（×）

因为必须是两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。

36.用两个直角三角形一定可以拼成一个长方形。（×）

因为必须是两个完全一样的直角三角形才能拼成一个长方形。

37.由三条线围成的图形叫做三角形。（×）

因为由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

38.三角形的底越长，这条底边上的高就越短。（√）

39.一个三角形的每一条边的长度确定后，这个三角形的形状就再不发生变化。（√）

40一个三角形只有一条高。（×） 因为每个三角形都有3条高。

41.直角三角形的两个锐角的和是90度。（√）

42.有一个角是60度的等腰三角形一定是正三角形。（√）

43.0.15时=15分（×）因为每相邻两个时间单位的进率不是100。

44.0.3与0.30的大小相同，但表示的意义不同，计数单位也不同。（√）

45.四个完全一样的正三角形可以拼成一个大三角形。（√）

1.小数加、减法应注意：

（1）小数点要对齐，也就是相同的数位要对齐；

（3）得数小数部分末尾有0，一般要把0去掉。

2.在小数减法中，如果被减数是整数，一般要补齐小数部分，补几位，看减数。例如：20-1.86，列竖式时应写成：20.00

3.整数的运算定律在小数运算中同样适用。

4.关于解决小数中人民币的问题，如没有特殊要求，一般保留两位小数。

5.条形统计图很容易看出数量的多少，折线统计图不但可以看出数量的多少，而且能清楚地表示出数量的增减变化。

6.在折线统计图中，所画的线段越接近垂直（或线段越长）说明上升（或下降）的越快；所画的线段越接近水平（或线段越短），说明变化得越小。

如果观察不出折线统计图的趋势来，只好计算后再作比较。

7.折线统计图的特点：能反映变化趋势。

1. 两端都栽时，棵树总比间隔数多一

全长÷每段长+1=棵树

（棵树-1）×每段长=全长

全长÷（棵树-1）=每段长

2. 两端都不栽时，棵树总比间隔数少一

全长÷每段长-1=棵树

全长÷（棵树+1）=每段长

（棵树+1）×每段长=全长

3. 在封闭图形上植树时，棵树等于间隔数

在一端植树与在封闭图形上植树相似。

4. 关于植树问题给孩子们的建议：

（1）认真读题，认清这是哪一种植树问题。

（2）学会把一些数学问题转化为植树问题。例如：剪绳子、锯木头、俩建筑物之间栽树都是两端都不栽时的情况；走楼梯、时钟报时、车站的站点是两端都栽时的情况。

（3）然后分清已知条件和问题，套公式。（当然理解是基础）

（4）注意隐藏的已知条件，例如：公路的两侧、方阵……

（5）无论是哪一种植树问题，平均分成的份数就是所谓的间隔数。

（6）植树问题的关键是高清各种植树问题中棵数与间隔数的关系。

（7）遇到自己解决不了的植树问题，或是犯糊涂时，借助画图，有时候画图是一种很好的策略。

5.关于120页例3这类题，知道最外层每边上的个数，（这个图形一定是正三角形，正方形，正五边形，正六边形……）求最外层的总数量，策略有三

（1）模拟两边都栽：每边上的个数×边数-角的个数

（2）模拟两边都不栽：（每边上的个数-2）×边数+角的个数

（3）模拟一边栽一边不栽：（每边上的个数-1）×边数

本道题认真看看棋盘图，帮助我们理解掌握。

如果是在长方形上摆，就模拟120页第2副图，上下两边摆，左右两边不摆。

6．关于121页做一做第1题，知道最外层的总数量，（这个图形一定是正三角形、正方形、正五边形、正六边形……），求每条边上的个数，策略有三

（1）模拟一边栽一边不栽：最外层的总数量÷边数+1

（2）模拟两边都栽：（最外层的总数量+角的个数）÷边数

（3）模拟两边都不栽：（最外层的总数量-角的个数）÷边数+2

四年级下册数学知识点梳理第 2 篇

“光阴似箭、日月如梭”转眼间上半学期的学习已经画上了句话，迎接着同学们的则是轻松愉悦的寒假生活。可是对于不少同学来讲，他们却开心不起来，那就是在期末考试当中成绩不是很理想的学生。最近，不少家长也是在向我询问道，关于四年级数学学习的相关问题。其实四年级数学的学习已经具有一定难度了，尤其是到了下学期，不少同学就会发现数学的学习难度比上学期增加了不少。

因此，在这个假期做好相关的预习和复习是特别重要的。其实不少孩子之所以认为四年级数学学习起来比较困难，很大一部分因素是因为基础知识掌握不牢分缘故，要知道到了四年级下册，同学们会学习到四则混合运算、小数的运算以及性质、平均数等相应的知识点，如果同学们还是以原来的学习方法和思维逻辑来学习的话，那么无疑是行不通的。

小学数学的学习需要同学们多开动自己的小脑筋，要学会从多方面、多角度来思考和解决问题，并运用相应的公式定理，把相对比较困难的题型简单化，只要做好这一点，那么四年级数学的学习就会变得很轻松了。

当然还有一点也特别的重要，那就是基本的公式定理以及概念性知识的掌握，因为这是学习数学的基础，同时也是解答数学题的关键。下面老师就将四年级数学下册的各章节知识进行了梳理，家长们可以先替孩子收藏起来，并让孩子在假期提前预习掌握，因为这些都是考试必考的知识，啃透掌握，开学数学的学习是完全不用担心的。

四年级下册数学知识点梳理第 3 篇

　　1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。

　　2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。

　　3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。

　　4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。

　　1、“0”不能做除数； 字母表示：a÷0错误

　　2、一个数加上0还得原数； 字母表示：a＋0= a

　　3、一个数减去0还得原数； 字母表示：a－0= a

　　4、被减数等于减数，差是0； 字母表示：a－a = 0

　　4、一个数和0相乘，仍得0； 字母表示：a×0= 0

　　5、0除以任何非0的数，还得0； 字母表示：0÷a（a≠0）= 0

　　1、 加法交换律：a＋b＝b＋a

　　2、 加法结合律：(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)

　　3、 乘法交换律：a×b＝b×a

　　6、连减：a—b—c＝a—(b＋c)

　　简便计算一（默写或自己举例子）

　　一、常见乘法计算：

　　二、加法交换律简算例子： 三、加法结合律简算例子：

　　四、乘法交换律简算例子： 五、乘法结合律简算例子：

　　六、含有加法交换律与结合律的简便计算： 七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：

　　简便计算二（默写或自己举例子）

　　乘法分配律简算例子：

　　一、分解式 二、合并式

　　三、特殊1 四、特殊2

　　五、特殊3 六、特殊4

　　简便计算三（默写或自己举例子）

　　一、 连续减法简便运算例子：

　　二、 连续除法简便运算例子： 三、其它简便运算例子：

　　小数的意义和性质（第7、10条默写，其它要理解）

　　1、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、 0.01、 0.001……

　　2、每相邻两个记数单位间的进率是（10）。

　　3、小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。整数部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是10。

　　4、 小数的数位顺序表

　　5、小数的`读法：先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分。读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。

　　6、小数的写法：先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再小数部分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。

　　7、小数的性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。

　　8、小数的大小比较：（1） 先比较整数部分；（2）如果整数部分相同，就比较十分位；（3）十分位相同，就比较百分位；（4）以此类推，直到比较出大小。

　　移动一位，小数就扩大到原数的10倍；

　　移动两位，小数就扩大到原数的100倍；

　　移动三位，小数就扩大到原数的10 00倍；

　　移动四位，小数就扩大到原数的10000倍；……

　　移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的；

　　移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的；

　　移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的；

　　移动四位，小数就缩小10000倍，即小数就缩小到原数的；……

　　10、生活中常用的单位：

　　质量： 1吨＝1000千克； 1千克＝1000克

　　长度： 1千米＝1000米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米

　　面积： 1平方米＝ 100平方分米 1平方分米＝100平方厘米

　　11、小数的近似数（用“四舍五入”的方法）：

　　（1）保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5则向前一位进一。如果小于五则舍。

　　（2）保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略， 这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。

　　（3）保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。

　　（4）为了读写的方便，常常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左移4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作单位的数就是小数点往左移8位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可。

　　小数的加法和减法（第1条背诵）

　　1、小数的加、减法要注意：小数点要对齐也就是把数位对齐，得数的末尾有0，一般要把0去掉。

　　2、整数的运算定律（以及简便的方法）在小数运算中同样适用。

　　三种求近似值的方法

　　1、 条形统计图优点：直观地反映数量的多少。

　　2、 折线统计图优点：既可以反映数量的多少，又能反映数量的增减变化。

　　3、 折线统计图中，变化趋势指：上升或者下降。

　　1、垂直与相互垂直，垂线的画法。

　　2、平行，平行线间的距离处处相等，平行线的画法。

　　1、“增加几倍”与“增加到几倍”问题

　　2、“工作效率”问题（个人n小时工作量、台机器n小时工作量、辆车n趟运输量）

　　3、“男女生植树”问题，“鸡兔同笼”问题

　　1、多功能三角尺画垂线与平行线

　　3、“计算比赛场次”与“握手次数”问题

　　4、位置的表示方法（用坐标表示位置）

　　1、 两端要栽：间隔数＝总长÷间距； 总长＝间距×间隔数；

　　棵数＝间隔数＋1； 间隔数＝棵数－1

　　2、 两端不栽：间隔数＝总长÷间距； 总长＝间距×间隔数；

　　棵数＝间隔数－1； 间隔数＝棵数＋1

　　（二）锯木问题： 段数＝次数＋1； 次数＝段数－1

　　总时间＝每次时间×次数

　　（三）方阵问题： 最外层的数目是：边长×4—4或者是（边长－1）×4

　　整个方阵的总数目是：边长×边长

　　（四）封闭的图形（例如围成一个圆形、椭圆形）：

　　总长÷间距＝间隔数；棵数＝间隔数

四年级下册数学知识点梳理第 4 篇

　　1、运算顺序：⑴、在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，都要从左往右按顺序(依次)计算。

　　⑵、在没有括号的算式里，有加减法又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。

　　⑶、算式里有括号时，要先算括号里面的。

　　2、加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。

　　3、有关0的运算：⑴、一个数加上0得原数。

　　⑵、任何一个数乘0得0。

　　⑶、0不能做除数。0除以一个非0的数等于0。

　　00得不到固定的商;50得不到商.

　　(二)位置与方向：

　　1、根据方向和距离确定或者绘制物体的具体地点。(比例尺、角的画法和度量)

　　2、位置间的相对性。会描述两个物体间的相互位置关系。(观测点的确定)

　　3、简单路线图的绘制。数学四年级下册必考知识点

　　(三)运算定律及简便运算：

　　1、加法运算定律：⑴、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

　　⑵、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数;或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)

　　加法的这两个定律往往结合起来一起使用。

　　2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。

　　3、乘法运算定律：⑴、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

　　⑵、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。

　　乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。

　　如：125788的简算

　　3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。(a+b)c=ac+bc

　　4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。

　　5、有关简算的拓展：

　　(四)小数的意义和性质：

　　1、分母是10、100、1000的分数可以用小数来表示。

　　2、小数是十进制分数的另一种表现形式。

　　3、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一分别写作0.1、0.01、0.001

　　4、每相邻两个计数单位间的进率是10。

　　5、小数的读写法：读法：整数部分按照整数读法来读，小数部分要顺次读出每一个数。

　　写法：整数部分按照整数的写法来写，整数部分是0就写0，小数部分依次写出每一个数。

　　6.小数的性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。注意：小数中间的0不能去掉，取近似数时有一些末尾的0不能去掉。作用可以化简小数等。

　　7.小数大小比较：先比较整数部分，整数部分相同比较十分位，十分位相同比较百分位，

　　8.小数点位置移动引起小数大小变化规律：

　　小数点向右：移动一位，小数就扩大到原数的10倍;

　　移动两位，小数就扩大到原数的100倍;

　　移动三位，小数就扩大到原数的1000倍;

　　小数点向左：移动一位，小数就缩小10倍，(小数就缩小为原数的

　　移动两位，小数就缩小100倍，(小数就缩小为原数的

　　移动三位，小数就缩小1000倍，(小数就缩小为原数的

　　9.名数的改写：1吨30千克+800克=()吨

　　长度单位：千米米 分米 厘米

　　面积单位：平方千米公顷平方米平方分米平方厘米

　　质量单位：吨千克克

　　10、求小数的近似数(四舍五入)：(保留两位小数与精确到百分位的提法)

　　保留整数，表示精确到个位，保留一位小数，表示精确到十分位，保留两位小数，表示精确到百分位，取近似数时，小数末尾的0不能去掉。

　　大数的改写。先改写，再求近似数。注意：带上单位。

　　1、三角形的定义：由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连或重合)，叫三角形。

　　2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。重点：三角形高的画法。

　　3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

　　2、边的特性：任意两边之和大于第三边。

　　4、三角形的分类：

　　按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

　　按照边长短来分：三边不等的'△，等腰△(等边三角形或正三角形是特殊的等腰△)。

　　等边△的三边相等，每个角是60度。(顶角、底角、腰、底的概念)

　　5、三角形的内角和等于180度。有关度数的计算以及格式。

　　6、图形的拼组：两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。

　　7、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。

　　(六)小数的加减法：

　　1、计算法则：相同数位对齐(小数点对齐)，按照整数计算方法进行计算，得数的小数点要和横线上的小数的小数点对齐。结果是小数的要依据小数的性质进行化简。

　　2、竖式计算以及验算。注意横式上要写上答案，不要写成验算的结果。

　　3、整数的四则运算顺序和运算定律在小数中同样适用。(简算)

　　折线统计图：是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。

　　优点：不仅可以看出数量的多少，还可以看出数量的增减变化情况，预测今后的趋势，对今后的生产和生活提供指导和帮助。

　　(八)数学广角：植树问题。

　　间隔数=总长度间隔长度

　　情况分类：⑴、两端都植：棵数=间隔数+1

　　⑵、一端植，一端不植：棵数=间隔数

　　⑶、两端都不植：棵数=间隔数-1

　　⑷、封闭：棵数=间隔数