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利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨

（四川建筑职业技术学院６１８０００）

摘要：本文主要通过一些典型例题介绍利用洛学达法则求极限的方法与技巧，从而更好地解决未定式问题。关键词：洛必迭法则未定式极限

两个无穷小量或两个无穷大量之比在给定的极限过程中，随着这些无穷小量或无穷大量类型的不同，可以有完全不同的变化状态，这种类型的极限称为未定式，洛必达法则就是求这种未定式的一种有效方法。用洛必达法则求极限，其特点是通过求极限号下分式的分子、分母的导数（一次或多次）的方法达到消去未定因素的

三、要及时分离因式。然后利用洛必达法则求之

洛必达法则使用前后都应注意分离因式，如果有可约去的公因式或有非零极限值的乘积因子，可以先行约去或提出来求极限。以简化运算。

目的。该法则是求解：或一未定式的使用最广泛的有效方法。下面

介绍如何利用洛必达法则求此类极限的一些方法与技巧。一、综合一些重要极限或应用等价无穷小求之

’洛必达法则就是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用，可以综合一些重要极限或应用等价无穷

例５、用洛必达法则求极限ｌｉｍ．竺塑坐兰！！坚。８１＂ｄａｌｌｘ—ｔａｎｘ

占一∞ｓｘｌｉｍ—ａｒｃｓｍＪｒ—－ｓｉｎｘ：ｌｉｍ塑；已—一

ａｒｅｔａｎｘ—ｔａｎｘ

“ｏ——Ｌｉ—ｓ∞２ｘ

小求之’女Ⅱｌ。ｉ珈ｍ半＝１，卿（１州；ｔ：舀ｌ删ｉｍ竿＝１等，这样

：ｌｉｍ坠攀．１ｉｍ生墼生雩

例１、设厂（工）具存一阶连｛揪，彤（ｏ）＝０，尸（ｏ）＝２，

求ｌｉｒａ—ｆ（—１－—ｃ＿ｏｓ

＝ｎｘ－ｍ－，０等产＝

ｌｉｍ—ｆ＇（１－—ｃｏｓｘ）．兰堕一赎ｆ７（卜ｃｏｓｘ）一ｆ’（ｏ）一１

ｌｉｍｆ＇（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘ

：ｌｉｍ：三！．１ｉｍ—（１－ｘ２）ｓｉｎ—ｘ＋ｘｃｏｓｘ

＝—。ｌｌｍ－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－：－－－－－－－－－－－－－－：：－－－－?－－－－?－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－—－

．２ｘｓｉｎｘ＋（１一Ｘ２＿）（＇Ｄ掰一ｘｓｉｎｘ＋ＣＯＳｘ

例２、求极限ｌｉｍ。厂－。…Ｘ。?ＳＩｎＸ

四、先作变■代换。‘后用洛必达法则求之

若用洛必达法则，计算结果较使用前更复杂，这时应考虑先

毹ｌ。ｉｍ。寒＝觋竽?去＝躲丁ｔａｎｘ－ｘ

用变量代换等其它方法处理，如所求极限的函数中含有专项，可

一２ｓｅｃ２ｘ．ｔａｉｌｘ

ｌｌｍ?－－－－－—－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－—??－－－－－??——

：ｌｌｉｍ—ｔａｎ—ｘ：一１

＠＝１，２，…）；如含有反三角函数，就令

二、多次使用洛必达法则

只要符合洛必达法则的条件，可连续多次使用该法则，直到求出极限值或得出不符合此法则条件中的情况为止。

该反三角函数等于一新变量等。

。．’．…．一３。＋－ｘ一２

例６、求极限ｌｉ哩（ｓｉｎ三＋ｃｏｓ与；

解：ｌｉｍ．３。＋３－＇－２：ｌｉｍ—（３。－３—－２）１ｎ３

：ｌｉｍｌｌｍ！！：±翌！里！：Ｉ?ｎ：３２—————Ｊ—一＝。ｊ

：ｌｉｒａ—２ｃｏｓ２ｔ—－ｓｉｎｔ：２

．．．。ｌｉｒａ。ｘｌｎ（ｓｉｎ量＋二｝垡嘞半

ｓｉｎ２．ｔ＋ｃｏｓｔ

例４、求极限ｌｉｍ二≥；

解－。ｌｉｒａｘ矿＂＝。ｌｉｍ了ｎＸｎ－１＝。ｌｉｍｅ２＇ｎＸ）１矿－ｎ（ｎ

．．．匾式：ｌｉｒａｅ蜘证｝｝：声。晰｝ｍ｝：Ｐｚ

五、其它一些未定式的求法

除了：０或一ｏｏ未定式外，还有０．∞、∞一∞、。、０００１

除了百或ｉ未定式外，还有ｏ?∞、∞一∞、。、

ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１５５

类型，ｏ?ｏｏ型未定式可转换成石或ｉ未定式求之；∞一ｏｏ型未定

式可先经通分，然后转换成＝或一未定式求之；而对于

２ｘ—计∞（口２＋ｘ２）【（ｘ＋１）２＋口２】

ｎ妁ｘ。３（【ｌ（川＋２ｘ））罚。兰，２

１。、０００、００未定式，可先取对数，再转换成÷或一未定式，然ＵＷ

例７、求极限ｌｉｍ（ｓｅｃｘ—ｔａｎ扪；

ｘ２（ａ翩旦一ａｒｃｔａｎ—旦＝）；口

解：ｌｉｒａ（ｓ∞Ｘ－－ｔａｎｘｌ：ｌｉｍ—１－ｓ—ｉｎｘ：ｌｉｍ—－－ＣＯ—ＳＸ：０Ｘ－－－Ｉｔ．－－：＃—叠一ｓｉｎｘ

七、及时调整解题方向．或寻找他法求之

使用洛必达法则时，如果越算越繁，应及时调整解题方向，如果极限号下的函数出现循环，或其极限不存在，这时不能用该法则求出所求的极限，但并不意味着原极限不存在，只能说该法则对此极限不适用，应考虑使用他法求之。

例８、求极限ｌｉｍ（二?ａｌ＇ｃｈａｎｘ）ｒ；

０．ａ哟ｎ∞，：ｌｉｍＰ—Ｈ；。…ｌ’

１、求极限№ｌｉｒａ＋。—ｔａｎ—３ｘｔａｎ；

：声柚；…，：Ｐ热丁：Ｆ熙了

：Ｐ，岘蕊ａ。ｃ晶ｌａｎ丽：Ｐ。：０Ｐ…２。１１＋，）２Ｐ１

解：所求极限为一型未定式，如按下述方法多次使用洛必达

１１ｍ——＝ｌｉｍ———－ｒ＝

＃—叠＋０３ｓｅ，３ｘ

ＩＩｍ————了—————一＝……

ｘ＋三＋０２７ｓｅｃ３３ｘ?ｔａｎ３ｘ

２ｓｅｃ。ｘ?ｔａｎｘ

例９、求极限ｌｉｍ矿；

其结果越算越繁，无法求出结果，但若改变解题方向，将所

求限变形为ｌｉｍ—ｃｏｔ—３ｘ，只用一次洛必达法则即可求出极限。

ｌｉｍ矿＝ｌｉｍｅ珈。＝∥耵

故原式：ｌｉｍ—ｃｏｔ—３ｘ：ｌｉｍ＿－３ｃｓｃ：３ｘ：３

本、使用洛必达法则求石或ｉ型的数列极限

数列极限与函数极限的关系知，离散变量以Ｉ撇ｌｉｍｆ（ｎ）可以

作为连续变量Ｘ的极限ｌｉｍ／（功的特殊情形求出，其值就是所求

因数列没有导数，不能直接使用洛必达法则求其极限，根据

因ｌｉｍｓｉｎｘ不存在，故上面右侧的极限不存在，但这并不说明原极限不存在，仅说明洛必达法则对该例失效，应寻找他法求

的相应数列的极限】ｉｍ／∽

原式＝ｌｉｍ——』一＝Ｉ

例１０、计算ｌｉｍＸ２（㈣旦一蝴—勺；…

。’。１＋—ＣＯ—ＳＸ

可见，使用洛必达法则，要先确定式子是不是不定式。再检

查是否满足洛必达法则的条件，以确定能不能用该法则。

本文通过一些例题探讨了利用洛必达法则求解未定式极限的方法与技巧，其中最常用的方法与技巧是把求极限的多种方法与技巧综合运用，只有这样，才能使运算简捷，达到运用自如的境地。

【１】．《高等数学）何瑞文等西南交通大学出版社２００３年８月第１版

［２】《高等教学＞朱弘教上海科学技术出版社２００１年６月第４版

【３】《高等数学试题精选题解＞廖玉辟等华中科技大学出版社

２００１年ｌＯ月第２版

因蚬ｒ（ａｒｃｔａｎａｘ一一者：蚬—ａｒｃｔａ＿ｎａＴ＿ａｒｃ—ｔａｎ五ａＩ

专十争巧１．【－丽ａ】

一?ｌｌｍ——＿二——了———彳———————＝－———彳—－二

ｘ２（１＋２ｘ＋ｘ２＋口２一ｘ２一ａ２）

２，—升∞（口２＋ｘ２）［（ｘ＋１）２＋口２】

【４】《高等数学＞工程类数学教材编写组高等教育出版社２００３年６月第１版口

ＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ

利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

四川建筑职业技术学院,618000现代企业教育

　　总结是事后对某一阶段的学习或工作情况作加以回顾检查并分析评价的书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，不如静下心来好好写写总结吧。以下是小编整理的有关考研数学求数列极限的方法总结，希望对大家有所帮助。

　　考研高数求极限的方法指南

　　1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

　　2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x)，没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

　　3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。

　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂，处理很简单!

　　5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!

　　6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

　　7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。

　　8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

　　9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

　　10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

　　11、还有个方法，非常方便的方法，就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

　　12、换元法是一种技巧，不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

　　13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

　　14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

　　15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

　　16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式，看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!

　　函数是表皮，函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

　　1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);

　　2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;

　　3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;

　　4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。

　　考研高等数学复习三点建议

　　近两年的考题开始重视学科之间的联系了，像今年概率大题中高数和概率的结合(利用级数求和算期望)，以及数一的考生比较头疼的高数中解析几何与线代线性方程组之间的联系问题!能把这些综合性稍强的题目做对做好，需要扎实的基本功!这就要求大家首先不能偏科，我们在讲到数学三个科目复习的时候往往顺口就是“高数、线代、概率”的顺序，这并不代表线代、概率不重要或者概率最不重要，相反，任何一门偏科的话数学整体的分数肯定不会高的!但是每个人肯定都有自己的喜好，不喜欢的相对就学的不好，这很正常，但是为了考上研究生，即使是正常的事情我们也要找到对策，然后解决这个问题。建议大家在复习的时候可以先选择自己不擅长的科目，拿出一整段的时间来攻克这个难点，因为人的心理是越到最后越容易紧张，前期把最难的攻克，对于减轻日后复习的压力是很有帮助的。

　　其次，近十年的题目中有几年的题目都是将线代中的线性相关性、秩、方程组的解等等这些基本概念和平面解析几何(高数)中平面的直线方程、空间直线方程及平面方程在空间中的位置关系等结合在一起出题，这样的题目得分率往往很低。因为首先平面解析几何考生就不是很熟悉，线代的线性方程组这一章节又是比较晦涩难懂的部分，这两块结合到一起，不熟悉加上不太熟悉，就基本得不到分了!所以考生应该做到知识全面，多做一些相关的题目练一下手，不至于到时候真遇到了完全没有思路。最后，大家在复习的时候应该自己把学科之间可能有联系的地方做一下笔记，便于考前的集中突击。比如概率里面分布函数和概率密度函数，这部分内容和高数部分的由变上限积分确定的原函数有相似的地方，类似的知识点大家就应该仔细总结一下，相似点在哪里，又有什么不同。如果考纲中要求的知识点大家都能这样去研究，相信再难考的学校也会留下你的。

　　针对2016考研试题特点，高等数学的复习应该怎能规划呢?在此给2017考研考生提出几点建议，供大家参考。

　　1.重视基础。考研数学80%的题目是考基础的，包括基本概念、基本理论和基本方法。基本概念比如极限、连续、可导、可微、可积等。基本理论有单调有界准则和中值定理等。基本方法如极限的四则运算法则和罗必达法则等。从近十年考研数学真题来看，真正需要冥思苦想的偏题、难题只占少数。

　　2.重视计算。考研数学80%都是计算题，所以你的计算能力不过关，一定拿不到高分。很多同学学习数学时眼高手低，就喜欢看例题，看别人做好的题目。只是一味的被动的接受别人的东西，就永远也变不成自己的东西。而且考研数学题的技巧性强，同样一个题目如果用常规方法做耗费的时间比较长，在考研中我们要寻求简单的方法和技巧，达到做题准、快。这里强调的是精练，不主张搞题海战术。

　　3.重视归纳总结。我们在做出每一道题目的时候，都要从两方面进行分析：这道题的类型如何求解和这道题中对你而言具有价值的知识点技巧等。每做完一道题目，要明白其解题思路，对于解题过程中所用到的方法、技巧进行归纳总结，如求极限、微分中值定理的使用，二重积分的计算等等。

　　考研高数极限的一般题型总结

　　1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的!

　　2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!

　　1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决?

　　解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!

　　解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系，就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)

　　3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候，就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的，当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的.定理。判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的，只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限，就能出结果了!

　　4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数，分子必须是无穷小，否则极限为无穷，还有洛必达法则的应用，主要是因为当未知数有几个时候，使用洛必达法则，可以消掉某些未知数，求其他的未知数。

　　5、极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数，但是不太会!!!

　　最后总结一下间断点的题型：

　　首先，遇见间断点的问题、连续性的问题、复合函数的问题，在某个点是否可导的问题。主要解决办法一个是画图，你能画出反例来当然不可以了，你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的!我就画图!!我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应!(在这里尤其要注意分段函数!(例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊!!应为一般的函数都是连续的);

　　方法2就是举出反例!(在这里也是尤其要注意分段函数!!)例如一个函数是个离散函数，还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的嘞?答案是NO，举个反例就可以了;

　　方法3上面的都不行那就只好用定义了，主要是写出公式，连续性的公式，求在某一点的导数的公式。

　　最后了，总结一下函数在某一点是否可导的问题：

　　1、首先函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在(0，0)不可导，我的理解就是：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，因为他有个前提，在点的邻域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等;

　　主要考点1：函数在某一点可导，他的绝对值函数在这点是否可导?解决办法：记住函数绝对值的导数等于f(x)除以(绝对值(f(x)))再乘以F(x)的导数。所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f(a)导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊。

　　考点2：处处可导的函数与在，某一些点不可导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断，直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f(x)连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f(x)乘以G(x)的函数在x趋近a的时候，f(x)在这点上的这2个极限乘以g(a)，当g(a)等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f(a)导数乘以G(a)+G(a)导数乘以F(a)，应为f(a)导数乘以G(a)=0，前面推出来了，所以乘积函数在这点上就可导了。导数为G(a)导数乘以F(a)。

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