上章围绕曲边梯形的面积问题，引出了定积分的概念，并给出定积分的计算方法，刻画了可积条件，从理论上完善了定积分。而马克思再次告诉我们，理论要服务于实践，所以本章讨论定积分的应用！

定积分的所有应用问题，都可以归结为四部曲：分割，近似，求和，取极限（注：数学分析上一般说三部曲，大表哥习惯把近似与求和分开）。为了简约实用，我们也常常把定积分的四部曲转换为微元法！

由于定积分的定义本身是一个和式的极限，所以上述注1要求所求量，是代数可加的。比如力学问题中，求合力时，把不同方向的力分解到同一方向，才能相加。

误差可忽略是选择表达式的客观标准，教材在导出平面图形面积、旋转曲面的侧面积、立体体积与曲线弧长的计算公式时，实际上就是在验证误差可忽略这一事实。如果把弧长增量的近似式改取为Δs≈△x，将导致弧长=b-a的荒谬错误，因为此时不难验证△s-△x≠o(△x),即理论上误差太大。

作为定积分天生的应用，自然是求面积！

1 直角坐标系下关于y=f(x)的曲线所围的平面区域面积

2 直角坐标系下的参数曲线所围的平面区域的面积

3 极坐标系下的曲线所围成的平面区域面积

4 空间旋转曲面的侧面积

旋转曲面的面积公式的推导，略有难度，原因可能有以下两个方面

（1）同学们对圆台的侧面积公式不熟悉；

（2）同学们不理解为什么要用较复杂的，小圆台的侧面积，作为旋转曲面侧面积的微元，而不选用较简单的，圆柱的侧面积作为微元。原因很简单，要保证“误差可忽略”。大表哥给出私房的上述两个问题的具体解答！

PS:关于圆台，同学们可以从以下三个方面认识：

(1) 被平行于锥底的截面截去锥尖儿之后得到；

(2) 可由直角梯形绕其一条直角边旋转而得到；

(3) 圆台展开之后是扇环(见上图大表哥手绘)；

1 已知平行截面面积求体积

如果你有切土豆片、黄瓜片、或茄子片的经历，那就不难理解1中求体积的原理。如果没有那种经历，赶紧去厨房试试吧！

只看下图，就足以推出（如果你基础正常）已知平行截面面积求体积的公式了！

由曲线y=f(x)，x=a,x=b及x轴所围成的封闭区域，分别绕x ,y轴所得空间立体的体积，计算时都用到了积分的思想，即分割、近似、求和、取极限这四部曲，但在实际操作过程中，用到的工艺是不同的。

绕x轴转时，我们可以竖着切，把旋转体切成小钢镚，很薄很薄的那种哦，有多薄呢？薄到不可描述，大抵只有全球最大的橡胶制品实业公司--杜蕾斯才有发言权，大表哥强烈建议，该公司出一款名为“do it--dx”的超薄产品，奉献人类！切成的每个小钢镚的厚度即为dx，即分割之后的每个圆柱的高为dx,而底面积为派f(x)平方，再把所有的小体积加起来，而积分就是高档次的求和，所以不难得到绕x轴旋转的体积。

绕y轴转时，如果还竖着切，则很难计算出每一片的体积（因为此时的薄片可能是不规则的图形）。我们转换一种思路，考虑如何才能切出容易计算的薄片的体积。如果你吃过果丹皮或者蛋卷（这两种零食较有年代感），想象下，把绕y轴旋转的旋转体一层一层一层地扒拉开（和剥洋葱一样），现在考虑扒拉出的那一薄层，把它拆开之后，是不是一个长方体呢？而长方体的体积是容易计算的，其长即为2派x,宽dx，高f(x)，再把所有的小长方体体积加起来即得绕y轴旋转体的体积。

旋转体的两个公式不必强记，同学们需要理解它们的推导过程，熟悉之后，大脑只需十秒，两个公式就跃然纸上。

定理10.1的证明略有难度，建议同学们认真看两遍，捋清证明的思路，搞懂每一步的具体含义。

曲率也称弯曲程度，即单位角度弧长的变化率。同学们了解即可。

四 定积分在物理中的应用

关于力学问题，做功问题等都是定积分常常要解决的问题，但是，对于考研数学分析，同学们不必深究！个别的985院校会涉及物理应用问题，绝大多数院校更注重考察定积分在数学上的应用！

本章同学们需要在理解（尤其要理解微元法）的基础上记忆，并利用公式去计算面积、体积、弧长等几何问题。

PS:作为数学专业，在用微元法时，同学们一定要注意大表哥给出的关于“误差可忽略”的这个客观标准（公共数学一般不用验证），否则可能会犯本质的错误。数学发展的历史上，曾对曲面面积的定义，就出现过偏差，一些数学家们尝试用曲面的一系列内接三角形面积之和的极限，去定义曲面的面积，后来发现这种定义是不正确的，而要利用曲面的一系列外切多边形面积之和的极限来定义）。产生原来那种错误的原因，是因为采用了微元法时，没有达到“误差可忽略”的标准！

我是大表哥，关注我数学考研不翻车。

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