这部分最难的当然是物理应用，其次几何应用。其他的题目就拿全书上来讲，线积分的联系，面积分的联系这部分出题不熟悉也会觉得比较难。其他的更重要的是计算，方法都比较固定。但是要防止混淆方法乱用，比如在面积分就不要乱用线积分中的奇偶性。而且变量对称性在线积分和面积分是不同的定义~

第一节 三重积分与线面积分

据说，李永乐复习全书每道题都滚瓜烂熟，可以有120的潜力。那么，我们一定要加油掌握每一道题呀。

注意，怎么确定曲线积分中参数方程的积分上下限：

1.计算(空间线积分计算的方法)

2)直接法(化为参数方程求解)

这里的方向余弦就是有向曲线L的切线的方向余弦，和方向导数那里的方向余弦一致

如果函数f(x,y)在点处可微，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且有,，其中和为方向的方向余弦。 

(四)对面积的面积分(第一类面积分)

注意：对面积的积分的直接法就是直角坐标系，没有参数和极坐标，不要混淆

直接法中有一个归一法：

一型面积分不存在什么正负号的问题，就是面的投影直接算就行，不用考虑面的法向量。不要混淆；且只有线面积分能直接将方程代入，二重积分和三重积分不能把题目条件方程代入到积分函数中去！

(五)对坐标的面积分(第二类面积分)

1. 直角坐标(先二后一或先一后二) 

1.当被积函数只含有x，或者只含有y，或只含有z的时候，计算三重积分可以考虑形心计算公式，奇偶性(不关于坐标轴也没关系，平移过后再用奇偶性)

2.三重积分要求导时，通常把要求导的未知量通过交换次序转换到最左边

通常利用二重积分交换次序逐步实现三重积分累次积分交换次序

三、计算对弧长的线积分

1.当直角坐标系很难求解的时候，不妨换种坐标系进行求解。比如极坐标系。

2.直接法是一般方法，变量对称性奇偶性是技巧，但是我们一般选择先考虑性质，再去计算。

3.我他娘忘记极坐标是咋算的了，推导就更别说了，嗨呀，赶紧记一下！

(我记录在知识点里面了)推导我就放在这里嗷！

四、计算对坐标的线积分

1.使用格林公式时要注意的问题！

格林公式：设闭区域D由分段曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有

其中L为D取正向的边界曲线(正向就是逆时针方向)

2.如果遇到线积分与积分路径有关，但是知道起点和终点的坐标，怎么求线积分？

  讲义例题中，将两点连接形成的直线算出来，然后将y代入被积函数求解；此时的积分上下限就是x的起点和终点

3.计算空间曲线需要注意的地方

直接法(化参数方程求解)

注意：并不是每次求到算空间曲线所围的面积的时候，都需要投影到面上去算。很容易就能看出来积分域的面积再投影可能算不出来哦。(武忠祥辅导讲义275注2)

4.计算曲面的形心和平面的形心不是一个东西，不要混淆。

5.怎么判断曲线积分，在区域内是否与路径无关？

若积分域是一个单连通区域(所有点都可以取到)

若不是单连通区域则用：

6.在计算题中，如果知道曲线积分在某个区域的单连通域上域路径无关，好的方法是怎么计算呢？

1)一般方法是考虑挖洞，常规

2)但是，也可以自己重新设计一条路径呀，有些题目就可以把分母去掉了，然后补线格林巴拉巴拉。

6.注意题目中告诉你是切向量还是法向量，因为若涉及到两类线积分的转换，方向导数这些知识点，方向余弦是切线的方向余弦，而不是法向量的方向余弦

五、计算对面积的面积分

1.球的表面积和球的体积公式以及推导，还有为什么对球的体积求导就能得到球体的表面积呢？

至于为什么对球的体积求导就能得到球体的表面积：

想象一下球面按照半径方向增大一个小量，增大的体积大概是球体的表面积乘以作为增加高度的那个小量，所以球体积的变化率是球面积

1. 不要立马就想着高斯公式，计算啥的

2. 考虑能否直接代入方程，选择适当的计算方法

计算方法：直接法，高斯公式，化二型面积分为一型面积分

注意：奇偶性和对称性是一型面积分要考虑的，不要混淆

第二节 多元积分应用和场论初步

注意：力的求法就是先求出力的大小，然后乘以一个和他方向一致的单位向量

1.怎么计算曲面的面积呀，直接用公式的那种?(用微分法可以，但是不如公式好用呀，怎么老想着自己用微元法算呢？)

当遇到均匀密度，不涉及到重力场，可以把他们当做一个东西。

2.怎么算一个平面到一条直线的转动惯量？

1)先算出平面上一点(x,y)到直线的距离d

2)再通过公式算转动惯量，这里设密度为 ρ(x,y)

3.有时候遇到球体的题目，球心的选择需要灵活，尽量选在原点处减少运算。同样的，如果题目给了一个定点，也理应先考察是否在原点取得会减少运算。

4.涉及到变力做功，一定要回忆公式，不要自己想，不要自己想！用公式多简单啊!