连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。给定一有理数，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完全商，规定αN>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。 渐近分数和完全商 　在连分数【α0，α1,…,αn,…】中取而写,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【αn,αn+1,…】为连分数【α0，α1,…,αn,…】的第n个完全商。 渐近分数有如下简单关系： ① ② ③(pn,qn)=1和qn≥n (n≥2) ④ 由此可得存在；⑤设α =【α0,α1,…,αn,…】,n≥1，01。 循环连分数 　设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期，记为 。例如 等。运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然。 当D>0且不是平方数,则，其中函数【x】表示不超过x的最大整数。此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则的周期k满足。 应用举例 　连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个适合。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数。式中是最佳的,即设，则必有一无理数α，使不能有无穷多个解，如就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,之连分数展开式中αń可表为，此处Pn及Qn皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Qn=1,则x=pn-1,y=qn-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。

π拥有神奇的魔力，随着人类的“进化”而进化，貌似没有上限，正如人类不知道自己能发展到何种地步。

1、约公元前1900年至1600年，一块古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率 = 3.125。

同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书表明圆周率≈3.1605。

2、公元前800至600年，成文的古印度宗教巨著《百道梵书》显示了圆周率≈3.139。

3、公元前287–212年，古希腊大数学家阿基米德计算圆周率≈3.141851 。

4、约公元前2世纪，中国古算书《周髀算经》的中有“径一而周三”的记载，意即圆周率=3。

5、汉朝时，张衡得出圆周率≈3.162。

6、公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率≈3.1416。

7、公元480年左右，数学家祖冲之得出圆周率精确到3.1415926～3.1415927。

8、约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率等于10的算术平方根。

9、15世纪初，阿拉伯数学家卡西在求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。

10、1596年，德国数学家鲁道夫·范·科伊伦将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数。

11、1706年，英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。

12、1789年，斯洛文尼亚数学家得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。

13、1948年，英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。

14、1950年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用人类首部电脑，计算出π的2037个小数位。

15、1960年，美国海军兵器研究计算机算出π的3089个小数位。

16、1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。 17、1976年，萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。

18、1989年，美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。

19、2010年1月7日，法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。

20、2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。

21、2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位。

22、2015年，科学家首次发现了一个令人惊讶的事实——圆周率π的经典计算公式竟隐藏于量子物理学的世界中，在氢原子能级的量子力学计算中，意外发现了π“潜伏”于物理界中。

二、圆周率π其实就是一个“虫洞”——传送门。

在一定范围内，通过圆周率π制造传送门，可以传送到任意位置。圆周率π的精度越高，则传送距离越快也越远。但是有前提条件……

不是所有人都能使用这个权限，只有在熟背圆周率π的情况下，才能使用。

传送距离越远，需要背诵的口诀就越多，越精确！若是口诀错误，轻则传送错误，重则卷入时间乱流之中，生死未知！

虽然有危险，但是圆周率π是人类挣脱这片宇宙束缚的唯一方法！