邀请你加入共享群「新建共享文件夹」一起进行文档协作

第一部分用正割对数计算积分的方法

一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，
导数等于微分，微分积分后变成原函数，即

推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

解法2，根据上面的公式，

解法3，根据上面的公式，

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得

推导过程可参见三角函数计算页
上式中，k=1.3，或，
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册，
推导过程参见惠更斯公式页，

这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，

这样就得到由原函数y构成的导数y，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y，
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，

解法2，用上面的公式求解

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数,

在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)

于是它的展开式可表示为

一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
若x =0，戴劳公式看来是最简单的：
0
注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。

在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)

于是它的展开式可表示为

一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
3-21.反三角函数的导数

这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式：
而这就是说，cosy是正的量

这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π，
而这就是说,siny是正的能量。

第三部分古今算学丛书假数测圆
推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，1898年刘铎整理，
推导过程参见《古今算学丛书，假数测圆》清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理，
以本弧弧分径，求四十五度以内正割对数。
术曰：先求各率分子，为递次乘法，以二为数根，即为第一乘法，置前数根，加二得四，为数根，置前乘法，四五递乘之，一二递除之，得二十，为初减数，以数根减初减数，得十六，为第二乘法，置前数根，加二，得六，为数根，置前初减数，六七递乘之，三四递除之，得七十，为初减数，置前乘法六七，递乘之，一二递除之，得三百三十六，为次减数，以数根减初减数，得六十四，再减次减数，得二百七十二为第三乘法，置前数根加二，得八，为数根，置前初减八九递乘之，五六递除之，得一百六十八，为初减数，置前次减八九递乘之，三四递除之，得二千零十六，为次减数，置前乘法八九递乘之，一二递除之，得九千七百九十二，为三减数，以数根减初减，得一百六十，再减次减，得一千八百五十六，再减三，减得七千九百三十六，为第四乘法，凡数根均起各偶数，其求各减数，则用偶奇二数，乘而逐次，乘法递加，如第二乘法，用四五乘，第三乘法用六七乘，再用奇偶二数，除而，挨次减数递降，如第三乘法，初减用三四除，次减用一二除，乘法将一位，则多一减，如是递求得各率分子，即为递次乘法。

第六乘法 三五三七九二

第七乘法 一九零三七五七三零零
第八乘法 二零九八六五三零零零零零
第九乘法 二九零八八八九零零零零零零零
第十乘法 四九五一五零零零零零零零零零零零
第十一乘法 一零一五四二零零零零零零零零零零零零零
第十二乘法 一零一五四二零零零零零零零零零零零零零
第十三乘法 七零二五二零零零零零零零零零零零零零零零零零零
第十四乘法 二三一二零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零
把上面的计算过程，用数学归纳法，得到下面的公式

法检弧线表，得四十五度，弧分单位下，七八五三九八一六三四零为二率，自乘，得单位下六一六八五零二七五零七二，为三率，以对数根，单位下四三四二九四四八一九零三乘之，二除之，得零一三三九四七三三五三一，为第一数正，次置第一数，以三率乘之，得五率，三除之，四除之，得连单位三零下六八八五四五四二一九二六，为七率，用数第一乘法，二乘之，得一三七七零九零八四四，为第二数正，次置七率，用数以三率乘之，得七七六三八，为九率，用数第二乘法，一六乘之，得二二六五二二三六四，为第三数正，次置九率，用数以三率乘之，得九率，七除之，八除之，得连单位六零下一五五九四九零八七八二，为十一率，用数第三乘法二七二乘之，得四二四一八一五二，为第四数正，次置十一率，用数以三率乘之，得十一率，九除之，十除之，得连单位八零下一零六八八五八一九七，为十三率，用数第四乘法七九三六乘之，得八四八二四五九，为第五数正，次置十三率，用数以三率乘之，得十三率，十一除之，十二除之，得连单位十一零下四九九四八八九九五，为十五率，用数第五乘法三五三七九二乘之，得一七六七一五二，为第六数正，次置十五率，用数以三率乘之，得十五率十三除之，十四除之，得连单位十三零下一六九二九一一七，为十七率，用数第六乘法二二三六八二五六乘之，得三七八六七五，为第七数正。次置十七率，用数以三率乘之，得十七率，十五除之，十六除之，得连单位十六零下四三五一一三七七，为十九率，用数第七乘法一九零三七五七三下连单位二零乘之，得八二八三五，为第八数正，次置十九率用数以三率乘之，得十九率，十七除之，十八除之，得连单位十九零下八七七一二四三，为二十一率，用数第八乘法二零九八六五三下，连单位五零乘之，得一八四零八，为第九数正，次置二十一率，用数以三率乘之，得一八四零八，为第九数正，次置二十一率，用数以三率乘之，得二十一率，十九除之，二十除之，得连单位二十一零下一四二三八二七，为二十三率，用数第九乘法二九零八八八九下，连单位七零乘之，得四一四二，为第十数正，次置二十三率，用数以三率乘之，得二十三率，二十一除之，二十二除之，得连单位二十四零下一九零一零五，为二十五率，用数第十乘法四九五一五零下，连单位十零，乘之，得九四一，为第十一数正，次置二十五率，用数以三率乘之，得二十五率，二十三除之，二十四除之，得连单位二十七零下二一二四四，为二十七率，用数第十一乘法一零一五四二下，连单位十三零乘之，得二一六，为第十二数正，次置二十七率，用数以三率乘之，得二十七率，二十五除之二十六，除之，得连单位三十零下二零一六零，为二十九率，用数第十二乘法二四六九二下连单位十六零，乘之，得五零，为第十三数正，次置二十九率，用数以三率乘之，得二十九率，二十七除之，二十八除之，得连单位三十三零下一六四五，为三十一率，用数第十三乘法，七零二五二下连单位十八零乘之，得一十二，为十四数正，次置三十一率，用数以三率乘之，得三十一率，二十九除之，三十除之，得连单位三十六零下一一七第十四，乘法二三一二下连单位二十一零乘之，得三，为第十五数正，乃以诸正数相并，得零一五零五一四九九七八四，以半径一百亿系十一位乃于首位加一零，尾位未满五弃之，得一零一五零五一四九九七八，为四十五度正割对数也。

由此可知曲线y=f(x)上点P 处的切线方程为
0

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》

半径甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，甲己，己甲丙角，己丙弧，正弦己庚，辛甲，正矢丙庚，正切壬丙，正割壬甲，余弦己辛，庚甲，余矢乙辛，余切葵乙，余割葵甲，己甲乙角，己乙弧，正弦己辛，庚甲，正矢乙辛，正切葵乙，正割葵甲，余弦己庚，辛甲，余矢丙庚，余切壬丙，余割壬甲，圆中心之直线为径，如乙丁，如丙戊，皆全径也，径为直线，圆周为弧线，弧线与直线之比例不通径一周，三以大数言也，尚有零数不盖径一，则周三有余，周三则径一不足周，径二者不能皆为有盖之数，引用割圆之法，内弦外切，屡求勾股为无数多边形，使弧线直线渐合为一，而圆周始得径一。周为三一四五九二六五三有余周一。则径为三一八三九八八六有余，此周径定率也，而弧线，直线不可比例，则用八线驭之，仍以直线与直线为比，而周度可得命圆周为三百六十度，如丙乙，戊丁，每度六十分，每分六十秒，微织忽盲尘，皆以六十过析命，全径为二千万，如丙戊，如乙丁，半径为一千万，如甲丙，如甲乙如甲戊，如甲丁，圆周四分之一皆九十度，如丙乙弧，乙戊弧，戊丁弧，丁丙弧，皆为一象限，于一象限中任取一处，如己，截一弧为两弧，如己丙弧为六十度，己乙弧为三十度，则每弧皆有八线，己甲仍为半径，与甲乙，甲丙等也，己丙弧为己甲丙角之度，己乙弧为己甲乙角之度，其八线在弧内与半径平行者为弦，如乙庚，如己辛，切弧外与弦平行者为切，如壬丙，如葵乙，弦切半径之余为矢，如丙庚，如乙辛，自圆心割圆周而与切线遇者为割，如壬甲，如葵甲，在己甲丙角，则其弧己丙，其正弦己庚，正矢丙庚，正切壬丙，正割壬甲，而以己甲乙角己乙弧为余角，余弧，余弦己辛，余矢乙辛，余切葵乙，余割葵甲，若在己甲乙角则其弧己乙，其正弦己辛，正矢乙辛，正切葵乙，正割葵甲，而以己甲丙角己丙弧为余角，余弧，余弦己庚，余矢丙庚，余切壬丙，余割壬甲，此为正则，彼为余，比为正，则此为余也，正矢即余弦之余，余矢即正弦之余，如甲丙，半径内庚甲，即同余弦，其余丙庚为正矢也，甲乙半径内辛甲即同正弦，其余乙辛为余矢也，余矢加半径为大矢，如庚戊为戊己一百二十度弧之大矢，辛丁为丁己一百五十度弧之大矢，正弦之倍为通弦，如己子为己丙子一百二十度弧之通弦，己丑为己乙丑六十度弧之通弦也，钝角之弧过象限即以外角八线，为其八线，如戊甲己，钝角其弧戊乙己一百二十度以减半周戊乙丙余丙己弧六十度，即为外角己甲丙角之弧，己甲丙角八线与戊甲己钝角，同用惟矢，则以戊庚为大矢，直角九十度，如丙甲乙角，其弧丙乙，适足一象限，则半径乙甲，即其正弦，余割，半径丙甲即其正矢，而其余诸线俱无矣。八线皆成同式勾股形，正弦己庚为股，余弦庚甲为勾，半径己甲为弦，正切壬丙为股，半径丙甲为勾，正割壬甲为弦，半径乙甲为股，余切葵乙为勾，余割葵甲为弦，皆为同时，故正余弦可以勾股法相求，弦切割可以比例相求，以余弦庚甲为一率，正弦己庚为二率，半径丙甲为三率，则得四率正切壬丙，以正弦辛甲为一率，余弦己辛为二率，半径乙甲为三率，则得四率余切葵乙，以余弦庚甲为一率，半径丙甲为二率，半径己甲为三率，则得四率正割壬甲，正弦辛甲为一率，半径乙甲为二率，半径己甲为三率，则得四率余割葵甲，此二三率，
《割圆密率捷法》是清代蒙古族科学家明安图讨论无穷幂级数的一部著作。明安图30余年心血写成此书草稿，临终前嘱其门人陈际新定稿。陈际新会同明安图之子明新以及同学张弘同整理校。康熙年间，法国传教士杜德美(Petrus Jartoux)曾将英国数学家格列高里(JamesGregory)和牛顿(IssacNewton)所创的三个无穷级数公式传入中国。但是没有说明其理论根据。在西方的微积分知识还没有被介绍到中国来的情况下，明安图依靠纯粹的几何手段，不但证明了上述3个公式，而且还独立的导出了其他6个相关公式。《割圆密率捷法》共4卷。首卷叙述了9个无穷幂级数的内容，分别以r,a,c,b,a表示半径、弧、弦、矢和圆心角，则有：前3式为杜德美所介绍，清代有人称上述9个公式为“杜氏九术”是不对的。《割圆密率捷法》和后三卷主要阐述以上公式的来源，明安图设计的割圆连比例法，系在图中构造一系列成比例的三角形，将它们加以整理就得到了所需的无穷幂级数公式。同时，他也开创了由已知函数的展开式求其反函数展开式的新的研究方向，后来被人称为：级数回求
《割圆八线缀术》，清徐有壬，吴嘉善编辑，明安图以后，函数的幂级数展开式都用文字而不用算式。徐有壬创造了一种表达幂级数的算式，称为缀术，但未见著录。同治元年（1862）春，吴嘉善在长沙编写是书，阐明徐氏缀术在三角函数幂级数展开式中的应用，十二年，左潜为作细草，合为四卷，收入《白芙堂算学丛书》
《数学拾遗》，书名，清丁取忠撰，一卷，初刊于咸丰元年（1851），再刻于同治三十年（1874）。系丁氏早年研习数学心得，分两个方面，一是弦，矢三角函数与弧的互求及级数表示。二是传统差分术的讨论。成就以后者为高。如将三色差分径设一物为零简化为二色差分，较好地阐释了《张建丘算经》百鸡问题解法之理。还纠正了焦循《里堂学算》，骆腾风《艺游录》的几处错误，收入《白芙堂算学丛书》

周为三一四五九二六五三有余周一。当一个圆的周长为3.…时
则径为三一八三九八八六有余，此周径定率也，
则一个多边形的边长是3.189886…，这就是周和径的比例，也就是圆弧和其内接弦的比例。
一个圆是360度，1度的弧长是3.0=0.，一个圆有一个360边内接多边形，这个内接多边形长边长是3.189886…，这个内接多边形的一个边的边长是3.=0.，所以，1度弧长的切线长是0./0..，

又丙己通弦为勾，己戊通弦为股，丙戊全径为弦，己庚正弦为其中垂线，，与戊庚大矢，丙庚正矢为连比例三率，己庚为中率，戊庚及丙庚为首末率，中率己庚正弦自乘,戊庚大矢除之，则得丙庚正矢，若丙庚正矢除之则得戊庚大矢，首末率相乘开平方则得中率己庚，

正弦，故弦矢，可相求也，又八线可以代相为用，如命半径为一千万，用半径乘除者，其数不变，乘则升八位，除则降八位而已，而除难，于乘则可易，除为乘而用相代法，正弦与余割相代如一率，正弦辛甲股二率，半径乙甲大股，三率余弦己辛，勾四率余切葵乙，大勾可以半径，己甲弦为一率，余割葵甲大弦为二率，以比己辛勾，葵乙大勾比易一二率之同式股，为同式弦也，
如一率余割葵甲弦，二率半径己甲小弦，三率余切葵乙，勾四率余弦己辛，小勾可以半径，乙甲股为一率，正弦辛甲小股为二率，以比葵乙勾己辛小勾，此易一二率之同式弦，为同式股也，余弦与正割相代如一率，余弦庚甲勾，二率半径丙甲大勾，三率正弦己庚股，四率正切壬丙，大股可以半径，己甲弦为一率正割壬甲大弦为二率，以比己庚股，壬丙大股此易一二率之同式勾，为同式弦也，一率正割壬甲弦，二率半径己甲小弦，三率正切壬丙股，四率正弦己庚小股，可以半径，丙甲勾为一率，余弦庚甲小勾为二率，以比壬丙股己庚小股，此易一二率之同式弦为同式勾也，正切与余切相代如一率，正切壬丙股，二率半径丙甲勾，三率正弦辛甲小股，四率余弦己辛，小勾可以半径，乙甲股为一率，余切葵乙勾为二率，以比己庚小股，己辛小勾，又如一率余切葵乙勾，二率半径乙甲股，三率余弦己辛小勾，四率正弦辛甲，小股可以半径，丙甲勾为一率，正切壬丙股为二率，以比己辛小勾，辛甲小股，此一二率皆以同式勾股，易同式勾股也，一象限中逐度分秒皆有八线术之，之法同六宗三要二简诸法，屡次过求得每度每分每十秒之正弦，以求各余弦，正切，余切，正割，余割之数，以列表为八线表，一象限九十度，取其半四十五度列之，四十五度以后，即将四十五度以前逆数而得凡六页，一度每页织分六格，一正弦，二正切，三正割，四余弦，五余切，六余割，正余弦切割之名标于上，四十五度后，逆数者，正为余，余为正，标其名于下，每个皆横分十层，每层为一分，每一层中又分六栏，每栏为十秒，其度分秒标于左右，自初度至四十四度列于右方之上，其分秒顺列右行，由上而下自四十五度至八十度列于左方之下，其分秒逆列左行由下而上，其每线之数则于每格，每栏中，由左而右横列之，检表之法有度分秒查线者，视对度分秒某栏之线，有线查度分秒者，视对线某栏之度分秒，其所列者越十秒而一线，如查十秒中之零秒，则用中比例，如检一度三分一十三秒之正弦，则以一度三分一十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率，一度三分一十秒之正弦与一度三分二十秒之正弦相减余为二率，三秒为三率，得四率以加一度三分一十秒之正弦，即为一度三分一度三分一十三秒之正弦，表中不列正余矢者，正矢余矢可以正余弦减半径而得，半径减余弦得正矢，减正弦得余矢，则数已寓也。全表四十五度之正余弦切割各一万六千二百线，计凡九万七千二百线。
下面介绍用无穷级数展开正弦的方法：

割圆以六宗三要二简诸法，欲求勾股以推八线为数甚繁，且不能随度以求，今即差数用连比例以立乘除之法度，不必符乎，六宗法不必依乎三要而有弧度，即可求弦矢，有弦矢即可以求弧度，只须乘除比例，无用屡次开方，而真数顷刻可得，故称捷焉。设二千亿之径，其全周弧数为六二八三一八五三点七一七以六除之，为六十度弧本数一点四七一九七五五一一九，又六除之为十度之弧本数一七四五三二九二五一九，又十除之为一度弧本数一七四五三二九二五一，又六除之为十分弧本数二九点八八八二点八，，又十除之为一分弧本数二九点八八八点二，又六除之为十秒弧本数四八四八一三六，此十秒弧本数截尾四位为四八四，而表中十秒正弦反为四八五者，表中因尾下之小余八而进一，于尾数为五者也，试观表中自十秒至十一分一十秒，正弦皆与正切同数，则内弦外切已合为一，而与弧本数同矣，是即可过因而求正弦，试以十秒正弦四八五，用二因之为二十秒之正弦九七，用三因之为三十秒之正弦一四五五，用四因之为四十秒之正弦一九四，是皆过于表中正弦一四五四一九三九之数，若以四十秒正弦一九三九折半，则二十秒正弦当是九六九，又折半则一十秒正弦当是四八四，是正与弧本数合，可知表中一十秒二十秒之正弦，皆于尾数进一者也。又十除之为一秒本数四八四八一三所设弧，若干度分秒合取其数，相因相加为设弧本数，
梅氏取度分秒弧本数列表检用甚便，附录于后。
弧求正弦，以弧本数为第一条，以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之得第三率，以第一条，三率乘之, 一率除之得第四率，二除之三，除之为第二条，以第二条三率乘之，一率除之，得第六率，四除之五，除之为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之得第八率，六除之七，除之为第四条，以后例推除至单位下，而止第一条，第三条相并，第二条，第四条，相数相减余即正弦。
法取五度二十分二十秒弧本数，并之得九十三万一千八百一十一，注：小余八，半径八位，则五度二十分二十秒弧本数，六位至单于单位下多取小余一位者，齐尾数也后放此，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得八万六千八百二十七，（小于三）为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得八千零九十（小于六）为第四率，二除之，三除之，得一千三百四十八（小于四）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十一（小于七）为第六率，四除之，五除之，得（小于五）为第三条，以第一条第三条相并，与第二条相减，余九十三万零四百六十四，（并减后仍截去小于，不用凡小于在六以上者皆进一于末位后放此），即五度二十分二十秒之正弦也。
sinθ的计算方法，八线割圆，

设如二十六度，半径一千万求正弦，法取二十六度弧本数，并之得四百五十三万七千八百五十六零（小于）为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之得二百零五万九千二百一十三（小于七）为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得九十三万四千四百四十一（小于五）为第四率，二除之，三除之，得一十五万五千七百四十零（小于二）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三万二千零七十零（小于二）为第六率，四除之，五除之，得一千六百零三（小于五）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得三百三十零（小于一）为第八率，六除之，七除之，得七（小于八）为第四条，第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减余四百三十八万三千七百一十一，即二十六度正弦也。

设如本数一千万，半径一千万，求正弦。 法以弧本数一千万为第一条，半径一千万为第一率， 弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得一千万为第三率， 依第一条三率乘之，一率除之，得一千万为第四率，二除之，三除之，得一百六十六万六千六百六十六（小于六）为第二条， 以第二条，三率乘之，一率除之，得一百六十六万六千六百六十六（小于六）为第六率，四除之，五除之，得八万三千三百三十三（小于三）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得八万三千三百三十三（小于三）为第八率，六除之，七除之，得一千九百八十四（小于一）为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千九百八十四（小于一）为第十率，八除之，九除之，得二十七（小于五）为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二十七（小于五）为第十二率，十除之，十一除之，得（小于二）为第六条，第一条第三条第五条相并，第二条第四条第六条相并，两数相减，余八百四十一万四千七百零九，即五十七度一十七分四十四秒三十六微正弦也。

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰收录于《白芙堂算学丛书》,
弧求正矢，以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，二除之为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四条，以下例推。除至单位下而止第一条，第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余即正矢。
设如五度二十分二十秒，半径一千万求正矢。
法以半径一千万为第一率，并五度二十分二十秒弧本数，得九十三万一千八百一十一（小于八）为第二率，自乘一率，除之，得八万六千八百二十七（小于三）为第三率，二除之，得四万三千四百一十三（小于六）为第一条，三率乘之，一率除之，得三百七十六（小于九）为第五率，三除之，四除之，得三十一（小于四）为第二条，第一条第二条相减，余四万三千三百八十二，即五度二十分二十秒正矢也。

设如二十六度，半径一千万，求正矢。
法以半径一千万为第一率，并二十六度弧本数，得四百五十三万七千八百五十六（小于零）为第二率，二率自乘，一率除之，得二百零五万九千二百一十三（小于七）为第三率，二除之，得一百零二万九千六百零六（小于八）为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得二十一万二千零一十八（小于零）为第五率，三除之，四除之，得一万七千六百六十八（小于一）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三千六百三十八（小于二）为第七率，五除之，六除之，得一百二十一（小于二）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得二十四（小于九）为第九率，七除之，八除之，得（小于四）为第四条，第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一百零一万二千零六十零，即二十六度正矢也。

设如弧本数一千万，半径一千万，求正矢，
法以半径一千万为第一率，弧本数一千万为第二率，二率自乘，一率除之，得一千万为第三率，二除之，得五百万为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得五百万为第五率，三除之，四除之，得四十一万六千六百六十六（小于六）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得四十一万六千六百六十六（小于六）为第七率，五除之，六除之，得一万三千八百八十八（小于八）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万三千八百八十八（小于八）为第九率，七除之，八除之，得二百四十八（小于零）为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得二百四十八（小于零）为第十一率，九除之，十除之，得二（小于七）为第五条，第一条第三条第五条相并，第二条第四条相并，两数相减，余四百五十九万六千九百七十七，即五十七度一十七分四十四秒三十六微正矢也。

以弦为第一条，以半径为连比例第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得第四率，二除之，三除之，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得第六率，九乘之，四除之，五除之，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得第八率，二十五乘之，六除之，七除之，为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得第十率，四十九乘之，八除之，九除之，为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，为第六条，以后例推除之单位下而止，诸条相并，即弧本数，以每度分秒之本数收之，得度分秒。
设如正弦二百八十三万三千七百八十四，半径一千万，求弧度。法以正弦二百八十三万七百八十四为第一条，半径一千万为第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得八十万零三千零叁拾三，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二十二万七千五百六十二，为第四率，二除之，三除之，得三万七千九百二十七，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三千零四十五（小于六）为第六率，九乘之，四除之，五除之，得一千三百七十零为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一百一十零为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六十五为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得五（小于二）为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得三为第五条，以诸条相并，得二百八十七万三千一百五十一，即弧本数以度分秒之本数收之，得一十六度二十七分四十三秒。

设如正弦七百零七万一千零六十八，半径一千万，求弧度。
法以正弦七百零七万一千零六十八为第一条，半径一千万，为第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得五百万为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得三百五十三万五千五百三十四为第四率，二除之，三除之，得五十八万九千二百五十五（小于六）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得二十九万四千六百二十七（小于八）为第六率，九乘之，四除之，五除之，得一十三万二千五百八十二（小于五）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得六万六千二百九十一（小于二）为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得三万九千四百五十九为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一万九千七百二十九（小于五）为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一万三千四百二十七（小于零）为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得六千七百一十三（小于五）为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得四千九百四十三（小于六）为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得二千四百七十一（小于七）为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得一千九百一十七（小于一）为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得九百五十八（小于六）为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得七百七十一（小于四）为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得三百八十五（小于七）为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得三百一十九（小于一）为第九条，以第九条，三率乘之，一率除之，得一百五十九（小于五）为第二十率，二百八十九乘之，十八除之，十九除之，得一百三十四（小于八）为第十条，以第十条，三率乘之，一率除之，得六十七（小于四）为第二十二率，三百六十一乘之，二十除之，二十一除之，得五十七（小于九）为第十一条，以第十一条，三率乘之，一率除之，得二十八（小于九）为第二十四率，四百四十一乘之，二十二除之，二十三除之，得二十五（小于二）为第十二条，三率乘之，一率除之，得一十二（小于六）为第二十六率，五百二十九乘之，二十四除之，二十五除之，得一十一（小于一）为第十三条，以第十三条，三率乘之，一率除之，得五（小于五）为第二十八率，六百二十五乘之，二十六除之，二十七除之，得四（小于九）为第十四条，以第十四条，三率乘之，一率除之，得二（小于四）为第三十率，七百二十九乘之，二十八除之，二十九除之，得二（小于二）为第十五条，以第十五条，三率乘之，一率除之，得一（小于一）为第三十二率，九百六十一乘之，三十除之，三十一除之，得一（小于零）为第十六条，以诸条相并，得七百八十五万三千九百八十一，即本弧数以度分秒收之，得四十五度。

正矢求弧，以正矢倍之为第一条，以半径为连比例第一率，倍正矢为第三率，三率自乘，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四条，以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得第十一率，九除之，十除之，为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得第十三率，十一除之，十二除之，为第六条，以后例推，除至单位下而止，以诸条相并又为连比例第三率，以于第一率半径相乘，开平方，得第二率，即弧本数以度分秒收之，得度分秒。
设如，正矢四十万零九千九百一十八，半径一千万，求弧度，
法以正矢，四十万零九千九百一十八，倍之，得八十一万九千八百三十六，为第一条，以半径一千万，为第一率，倍正矢，为第三率，三率自乘，一率除之，得六万七千二百一十三，为第五率，三除之，四除之，得五千六百零一，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得一千八百三十六，为第七率，五除之，六除之，得六十一，为第三条，以诸条相并，得八十二万五千四百九十九，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得八兆二千五百四十九亿九千万，开方得二百八十七万三千一百五十一，为连比例第二率，即弧本数，以每度分秒之本数收之，得一十六度二十七分四十三秒。

设如，通弧六十度，半径一千万，求矢，
法以半径一千万，为第一率，六十度弧本数一千零四十七万一千九百七十五（小于五一），为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六（小于七七），为第三率，二除之，得一百三十七万零七百其实吧（小于三八），为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得三十七万五千八百零六（小于六七），为第五率，三除之，四除之，得三万一千三百一十七（小于二二），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得八千五百八十五（小于七九），为第七率，五除之，六除之，得二百八十六（小于一九），为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得七十八（小于四六），为第九率，七除之，八除之，得一（小于四零），为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一百三十万九千七百四十五（小于九五），即六十度通弧之矢也，

正矢求通弧，以正矢，八乘之，为第一条，以半径为连比例第一率，八乘正矢，为第三率，四除之，以为每次所用之第三率，与正矢求弧之法同。
设如，正矢五百万，半径一千万，求通弦，
法取正矢五百万，八乘之，得四千万，为第一条，以半径一千万，为第一率，八乘正矢，又四除之，得一千万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得四千万，为第五率，三除之，四除之，得三百三十万三千三百三十（小于三三），为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得一千三百三十三万三千三百三十三，为第七率，五除之，六除之，得四十四万四千四百四十四（小于四四），为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得四百万，为第九率，七除之，八除之，得七万一千四百二十八（小于五七），为第四条，以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得一百一十四万二千八百五十七（小于一四），为第十一率，九除之，十除之，得一万二千六百九十八（小于四一），为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得三十一万七千四百六十零（小于三一），为第十三率，十一除之，十二除之，得二千四百零五，为第六条，以第六条，三十六乘之，三率乘之，一率除之，，得八万六千五百八十零（小于零八），为第十五率，十三除之，十四除之，得四百七十五（小于七一），为第七条，以第七率，四十九乘之，三率乘之，一率除之，得二万三千一十零（小于零二），为第十七率，十五除之，十六除之，得九十七，（小于一二），为第八条，以第八条，六十四乘之，三率乘之，一率除之，得六千二百一十六，为第十九率，十七除之，十八除之，得二十零（小于三一），为第九条，八十一乘之，三率乘之，一率除之，得一千六百四十五（小于四一），为第二十一率，十九除之，二十除之，得四（小于三三），为第十条，以诸条相并，得四千三百八十六万四千九百零七，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得四百三十八兆六千四百九十亿零七千万，开平方，得二千零九十四万三千九百五十零，为连比例第二率，即通弧本数也，以每十度之本数收之，得一百二十度，即所求通弧度数也。

推导过程参见《割圆八线缀术》，清同治十二年荷池精舍出版，吴嘉善，徐有壬在长沙编撰
收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《测圆海镜细州》，清同治十二年荷池精舍出版，金李治1248年编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,

视本弧过三十度至六十度内者，对于本身弧长30度到60度的弧，借四十五度弧，如甲丙与本弧甲丁或甲戊相减，余为较弧如丁丙或丙戊，较弧只在十五度内，如法求得较弧正弦，如丁戌如戊戌，皆即酉戌正矢，如丙戌，仍以半径丙已为一率，借弧弦，如丙庚或丙辛，为二率，较弧弦矢相加，如丙酉，或相减如申酉，为三率，四率为弦较，如丙丑，如丙演，或如申卯，如申辰与卯酉，丁丑，辰酉，戊演，俱等以与借弧弦相加，如戊亥同丁子，或相减，如丁壬同戊葵，即得本弧之正弦，正弦如丁壬同戊葵，余弦如丁子同戊亥，三率，本弧在六十度内，求正弦，则加成丙酉，求余弦，则减余申酉，本弧在三十度外，求正弦，则减余申酉，求余弦，则加成丙酉，四率，在四十五度内求正弦，则减余丑庚，求余弦，则加成丁子，在四十五度外，求正弦，则加成戊亥，求余弦则减余演辛。
设如，本弧三十三度，求正弦。
法以本弧三十三度，减借弧四十五度，余一十二度，如法求之，得正弦二百零七万九千一百一十七，得正矢二十一万八千五百二十四，弦矢相加，得二百二十九万七千六百四十一，乃以半径为一率，借弧正弦七百零七万一千零六十八，为二率，较弧弦矢相加得二百二十九万七千六百四十一，为三率，求得四率，一百有六十有二万四千六百七十七，以与借弧正弦七百零七万一千零六十八相减，余五百四十四万六千三百九十一，即三十三度之正弦也，
如求五十七度正弦，则以较弧弦矢相减，余一百八十六万零五百九十三，为三率，求得四率，一百三十一万五千六百三十七，与借弦正弦七百零七万一千零六十八相加，得八百三十八万六千七百零六，即五十七度之正弦也。

视正弦，若过半径十分之五至十分之六，借三十度正弦五零零零零零零，余弦八六六零二五四，用之，若过半径十分之六至十分之八，借四十五度正弦，余弦，皆七零七一零六八，用之若过半径十分之八至十分之九，借六十度正弦八六六零二五四，余弦五零零零零零零，用之，先以本弧正弦求得，本弧余弦，次以本弧正弦，与借弧正弦相减，余为正弦，较如丙演，或戊辰，皆为股以本弧余弦，与借弧余弦，相减，余为余弦，较如，演丁，或辰丙，皆为勾，求得弦如丙丁，或丙戊，为较弧通弦，如法求得较弧，如丙丁弧，或丙戊弧，与借弧相加减，得本弧，本弧正弦大于借弧正弦，则两弧相加，本弧正弦小于借弧正弦，则两弧相减。
设如正弦五百四十四万六千三百九十一，求弧度，
法以半径一千万为弦，正弦五百四十四万六千三百九十一为勾，次借三十度正弦五百万，与本弧正弦五百四十四万六千三百九十一相减，余四十四万六千三百九十一，为正弦，较为股，借三十度余弦八百六十六万零二百五十四，与本弧余弦八百三十八万六千七百零六相减，
余二十七万三千五百四十八，为余弦，较为勾，求得弦五十二万三千五百三十九，为通弦，如法求之得通弦三度，以与借弧三十度相加，得三十三度，即所求之弧度也，如正弦为八百三十八万六千七百零六，则借六十度正弦，余弦，如法求之，亦得通弦五十二万三千五百三十九，求得通弧三度，与借弧六十度相减，的五十七度，亦所求之弧度也。

上二法，又为捷法中之捷法，借弧求弦，先求较弧之弦矢，弦矢可并求也，法以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，后每率皆用二率自乘一率除之，得相连诸率。
第一率半径，第二率弧本数，一除之（其数不变）为第一条，（求弦第一条）, 第三率二除之，为第二条，（求矢第一条）, 第四率三除之，为第三条，（求弦第二条）, 第六率五除之，为第五条，（求弦第三条）, 第七率六除之，为第六条，（求矢第三条）, 第八率七除之，为第七条，（求弦第四条）, 第九率八除之，为第八条，（求矢第四条）, 第一条与第五条相并，第三条与第七条相并，两数相减，余即正弦，第二条与第六条相并，第四条与第八条相并，两数相减，余即正矢。
法以半径一千万，为第一率，弧本数五百二十三万五千九百八十七，为第二率，一除之，得五百二十三万五千九百八十七，为第一条，（求弦第一条）, 以第一条，二率乘之，一率除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，二除之，得一百三十七万零七百七十八，为第二条，（求矢第一条）, 以第二条，二率乘之，一率除之，得七十一万七千七百三十七，为第四率，三除之，得二十三万九千二百四十五，为第三条，（求弦第二条）, 以第三条，二率乘之，一率除之，得一十二万五千二百六十八，为第五率，四除之，得三万一千三百一十七，为第四条，（求矢第二条）, 以第四条，二率乘之，一率除之，得一万六千三百九十七，为第六率，五除之，得三千二百七十九，为第五条，（求弦第三条）, 以第五条，二率乘之，一率除之，得一千七百一十六，为第七率，六除之，得二百八十六，为第六条，（求矢第三条）, 以第六条，二率乘之，一率除之，得一百四十九，为第八率，七除之，得二十一，为第七条，（求弦第四条）, 以第七条，二率乘之，一率除之，得一十零，为第九率，八除之，得一，为第八条，（求矢第四条）,第一条与第五条相并，第三条与第七条相并，两数相减，余五百万，即三十度正弦，第二条与第六条相并，第四条与第八条相并，两数相减，余一百三十三万九千七百四十六，即三十度正矢。

借弧求弦矢，极多不过求至四条，如或只有三条（四条已在单位下），即一第一条与第三条相并，与第二条相减，若只有一条，一条即弦矢也，弦矢并求极多，不过求至八条，即得弦矢可用八线相求切割。附录梅文穆赤水遗珍。

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,

置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。
弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。
设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，

法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）

法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。

如求正矢，法以设弧其分自乘之，八二五四九九八五零为屡乘数，又以三四相乘之十二，为第一除数，五六相乘之三十，为第二除数，七八相乘之五十六，为第三除数，乃以屡乘数折半，为第一得数，为实以屡乘数乘之，第一除数二十除之，得二八三九三八六，为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十三除之，得七八一三，为第三得数，又为实以屡乘数五十六除之，得一一，为第四得数，于是以第一得数与第三得数相并，以第二得数与第四得数相并，复以两并数相减，得四零九九一八三四一。截去末二位，即所求之正矢也。以正矢减半径，得九五九零零八一七，即设弧之余弦，亦即余弧七十三度三十二分十七秒之正弦。如设弧过四十五度以上者，先求得余弧之正矢，以减半径，即得设弧之正弦也。

右三术，梅文穆所译，杜德美法也，而弦矢求弧背者，缺焉，其于立法之原，亦无一语道及，盖杜氏藏匿根数秘而不宣，今乃知其用连比例术，以半径为一率，设弧共分为二率，二率自乘，一率除之，得三率，二率三率相乘，一乘，除之，得四率，由是推之，三率自乘，一率除之，得五率，三率四率相乘，一率除之，得六率，三率五率相乘，一率除之，得七率，三率六率相乘，一率除之，得八率，三率七率相乘，一率除之，得九率，循序而进，虽至亿万胥，如是也，文穆所谓，设弧共分自乘，为屡乘数，即二率之自乘也，其截去末八位者，即以一率半径一千万除之也，以七千万除其数，不变降八位而已，设半径为十万，则所截者，为末六位，而非八位，或半径非一之整数，则又非以其数除之，不可以皆布算者，宜知也至其立法之原则，有明净庵氏，董方立氏，项梅吕氏，戴鄂士氏，及徐庄憨公，各自立术，开发靡遗，皆详，本书兹不赘。
第六部分三角函数的计算缀术
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，

平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，切点在C点，AB垂直于X轴，AO与圆O交于F点，FG是圆O的切线，切点在F点，ED平行于FG,D在直线AB上，FG平行于ED, ∠DOE=α,FG=ED，在直角三角形OED中，tgα=FG/FO，根据平面几何相关性质，可得，FG/FO=AD/BD，

0

解上面的关于tgα的一元四次方程式，得

0

也就是说，当60°<α≤90°时，切弦和其弧的比值是4/π,
推导过程可参见《古今算学丛书，象数一原》，光绪戊戌六月算学书局印,

平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，AC垂直于X轴，AD是圆O的切线，AD垂直于Y轴，∠AOB=α, 所以根据平面几何相关知识，
设∠AOB=∠ABO=α, 在三角形OHD中，根据勾股定理,

如图4所示, 平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，AC垂直于X轴，AD垂直于Y轴，∠AOB=α, 所以根据平面几何相关知识，
在三角形ACB中，根据勾股定理

也就是说，切弦和其弧的比值是 tgα/α,
第七部分三角函数的计算
下面介绍一种计算三角函数的方法，
如图1所示：在圆O中，圆O的半径是1，MN是单位圆上的1/4圆弧，
它的角度是90°，P是弧MN上任意一点，

推导过程参见《割圆八线缀术》，清同治十二年荷池精舍出版，吴嘉善，徐有壬在长沙编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《测圆海镜细州》，清同治十二年荷池精舍出版，金李治1248年编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》

如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ，
通弧求通弦，法如弧求正弦，通弧求矢，法如弧求正矢，通弦求通弧法，如正弦求弧，皆以连比例第三率，四除之，以为每次所用之第三率。
设如，通弦六十度，半径一千万，求通弦，法以六十度，弧本数一千零四十七万一千九百七十五，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百八十七万零九百五十一，为第四率，二除之，三除之，得四十七万八千四百九十一，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十三万一千一百八十一，为第六率，四除之，五除之，得六千五百五十九，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一千七百九十三，为第八率，六除之，七除之，得四十二，为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一千万，即六十度通弦也。

设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。

圆径求周，以全径（半径即六十度弧之通弧，全径为六十度弧通弦者二）三因之（为六十度通弦者六）为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，为第六条，以后例推除至，单位而至，以逐条相并，即圆周也。
设如，全径一千万，求圆周。
法以全径一千万，三因之，得三千万，为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，得一百二十五万，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，得一十四万零六百二十五，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，得二万零九百二十六（小于三三），为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，得三千五百六十零（小于三八），为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，得六百五十五（小于四三），为第六条，以第七条，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，十五除之，得二十五（小于五七），为第八条，以第八条，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，十七除之，得五（小于二八），为第九条，以第九条，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，十九除之，得一（小于一一），为第十条，以十条相并，得三千一百四十一万五千九百二十六，即圆周。

此六通弦，求六通弧也，其不用连比例者，六十度通弦与半径等，则每率皆等无用比例也，
每条多，一四除之者，即不用连比例，则第三率之四除以，为每次第三率者，分用于每条中也，盖求通弦，通弧之于第三率，先用四除原，即每条各用之四除，总用之于第三率也。以上诸法，无论弧之大小，按法求之，皆得真数，若弧过六十度者，可以余弧求得，余弦乃用勾股法求得，正弦，若弧在三十度以外，至六十度者，求之之条数，渐多，尚若其繁，则又有借弧借弦之法。
求周径密率捷法，译西士杜德美法。
割圆旧术，屡求勾股至精至密，但开数十位之方，非旬日不能辩，今以圆内六等边，别立乘除之数，以求之得之，顷刻与屡求勾股者无异，故称捷焉。

先将一三五七九等数，各自乘为屡次乘数，如一自乘仍得一，为第一乘数，三自乘得九，为第二乘数，以至二十三自乘，得五百二十九，为第十二乘数，又将二三四五六七八九等数，以挨次两位相乘，又以四乘之，为屡次除数。

如二三相乘，得六，以四除之，得二十四，为第一除数，四五相乘，得二十，以四乘之，得八十，为第二除数，以至二十四与二十五相乘，得六百，以四乘之，得二千四百，为第十二除数。
设径二十亿，求周（径位愈多，尾数愈密，兹以十位为例）, 法以径二十亿，三因之，得六十亿（即圆内六边形），为第一数，为实以第一乘数乘之，（一乘其数不变），第一除数（二十四）除之，得二五零零零零零零零，为第二数，又为实以第二乘数（九）乘之，第二除数八十除之，得二八一二五零零零，为第三数，累次乘除至所得一位为止，（去单位以下之零数不用）,

论曰，乘除俱至单位止，今设十位之径，须乘除十二次，始至单位，若位数多，则所用乘除之数，必须按位增加也。

置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。
弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。
设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，

法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）

法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。

如图1所示在单位圆O中，圆O的半径是1，AB是圆O上的一段弧，OM是角AOB的角平分线，OM和圆O交于M，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N，L在OM的延长线上，

下面公式的推导, 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册,
5）为着同一目的，契贝塞夫(П.Л.Чебышев)曾给出下面的法则：
弦长近似地等于作在弦上而高为矢的 倍的等腰三角形两腰之和。

0

解上面的一元四次方程式，得

0