第三章 一维扩散方程 本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程： ；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） ；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程；（其它非齐次边界等） 对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。 §3.1全直线上的扩散方程 首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在时间内位移转移概率为均值为0，方差为的正态分布。在时刻处于的概率密度记为。则 ， 或 因此， 。 可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度： 。 所以，有如下定理。 定理 扩散方程的解为 。 证 由 ， 易知初始条件成立： 。 且对函数，直接计算，有 ， ， ， 所以， 。 即但与只差常数倍，故 。 【end】 对具有源的扩散方程 ， 可用常微分方程的结果类比得到。 常微分方程 的解为。可以把理解为一个算子：把初始函数变换为一个新的函数。 而齐次方程的解也可这样理解： ， 定义了算子。只不过常微分方程中，直接可用一个函数给出该算子。 非齐次常微分方程 的解为 ， 这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论 定理 直线上的非齐次扩散方程的解为 。 证 直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即 ， 而后一项， 即 所以，满足方程。 初始条件显然也满足： 。 因此，定理成立。 【end】 该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程 的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到是下面波动方程 ， 的解，故定义算子 ， 那么原来齐次波动方程的解为 ， 则非齐次的波动方程的解为 。 注意到 ， 即得结论。 §3.3半直线上的扩散方程 类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的） ， 可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统， 其中，。该方程的解 ， 因此，原方程的解， 【end】 对Neumann问题（边界是齐次的） ， 为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统 ， 其中，。该方程的解， ， 因此，原方程的解为 【end】 对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题， ， 仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。 对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题， ， 则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。 作函数变换：，则 问题成为其次边界问题。 对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题 ， 则可作变换：，变为齐次边界的Neumann问题， ， 然后再用偶延拓方法求解。 §3.2 一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性 若函数满足齐次扩散方程，那么有下面结论。 定理（最大值原理） 如果，则在矩形时空区域（）内，函数的最大值只能在，在边界或上取得。 （最小值原理也类似成立） 证 这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。 用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若在矩形内取到极值，则 ，。 此时，如果，则产生矛盾：。故只要证时，仍会产生矛盾。 记边界上函数的最大值是。构造。 下证：（如果证得此结论，则令即得定理的结果）。 由于在边界上，，所以只要证不能在 （1）矩形内部；（2）矩形顶部： 取得最大值。 （1）若在内部有最大值，则。但 ， 矛盾。 （2）在矩形顶部，则，仍矛盾。所以定理结论成立。 【end】 利用上述极值原理，可得到Dirichlet 问题的唯一性和稳定性。 定理 如果扩散方程解存在，则解必定唯一。 证 如果和都是解，则是方程 的解。由最大值原理，在矩形内，即。 【end】 利用该原理还可得到方程解的稳定性。 定理 如果扩散方程 和 的解分别为和，则。 证 对直接利用极值原理。 【end】 第三章 习题 1. 对满足扩散方程的函数，在矩形区域找出取到最大值和最小值的点和相应的值。 解 在上，显然，处有最大值；而，处有最小值。 在上，显然，处有最大值；而，处有最小值。 所以，最大值为，在处；最小值为，在处。 2. 求扩散方程的解的解，其中。（用积分形式表示） 3. 求扩散方程