主要研究含参数的一元二次不等式在限定区间内恒成立问题的一般解法,核心是转化为有限定区间的二次函数问题.借助二次函数,结合数形结合的思想解决这类问题,主要有两种解法:对称轴法,判别式法.处理好变轴与定区间之间的关系以及利用函数的单调性是解决这类问题之关键.

　　一、内容和内容解析

　　等式与不等式性质、基本不等式；从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.

　　本章类比初中学过的等式与方程学习了不等式的一些知识.与用方程刻画相等关系类似，用不等式刻画不等关系.解决不等式需要利用不等式的性质，为此，在学习两个实数大小关系的基本事实的基础上，类比等式的性质，先研究了不等式的一些性质；接着，利用不等式的性质研究了基本不等式，并用基本不等式解决了一些最值问题；最后，学习了一元二次不等式，并利用它与二次函数、一元二次方程的联系获得了求解它的一种方法.

　　关于两个实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础.不等式与等式之间既有共性又有差异，所以可以通过类比等式的内容和研究方法，获得关于不等式的内容和研究方法的启发.其中，“运算中的不变性就是性质”指引我们发现了一些不等式的性质；等号没有方向性而不等号具有方向性，这使我们注意到，在不等式两边同乘以一个数（式）时，所乘数（式）的符号对不等式方向的影响；以两个实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归纳猜想出不等式的性质；再运用逻辑推理证明不等式的性质.这个过程不仅可以使我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养我们借助直观理解数学内容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯.

　　利用不等式的性质研究了一类重要的不等式---基本不等式.基本不等式是研究不等关系的一种重要形式，它主要刻画两个数的算术平均数、几何平均数之间的不等关系，教材中突出了基本不等式的代数、几何背景及应用基本不等式的基本方法.基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，是解决不等问题的重要数学模型.

　　类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，我们得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想方法，并得到了一种利用函数的零点求一元二次不等式解集的简单方法.

　　综合以上分析，确定本节课的教学重点：掌握用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路, 基本不等式及变形公式 的运用, 用函数理解方程和不等式的基本思想方法.

　　二、目标和目标解析

　　（1）梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；

　　（2）掌握基本不等式 .结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题；

　　（3）会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；

　　（4）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；

　　（5）借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

　　达成上述目标的标志是：

　　（1）运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质解决简单的不等式问题；

　　（2）利用基本不等式解决最值问题，注意基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，用辨析的方式让学生充分领会“正、定、等”的含义.设置“不是正数”“不是定值”“不能取等号”等的基本不等式构造问题，从正反两方面进行基本不等号的辨析应用；

　　（3）利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.

　　三、教学问题诊断分析

　　本章要求学生从初中“相等关系”的模型中，建立起“不等关系”的概念模型，形成证明和应用不等式时，应有理有据、严谨细致，这对于学生是比较困难和容易忽视的，所以用不等式的性质证明一些简单命题（包括用分析法证明基本不等式）是本章的一个难点.

　　在利用基本不等式研究最值问题时，需要理解和识别问题中的数量关系，看它们是否能转化为“和”为定值和“积”为定值这两类问题，转化过程中学生容易忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现.

　　用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系，涉及从联系的角度看待所学知识，认识函数的重要性，体会数学的整体性，发展直观想象、数学抽象等素养，因此是学生学习的一个难点.

　　（一）等式性质与不等式性质

　　问题1：举出一些蕴含不等关系的实际例子，并用不等式描述这些不等关系.

　　设计意图：学生举一些生活中不等关系的例子，并用不等式进行表达，经历了从实际问题中抽象不等关系，即从问题中抽象出数学概念、数学知识的过程，提升数学抽象素养.

　　问题2：你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗？

　　两个实数大小关系的基本事实：

　　基本思路：将两个式（实数）作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论.

　　追问：作差与0比较，此方法有何优点？

　　师生活动：教师引导学生体会，0是正数与负数的分界点，比较差值与0的大小关系，是比较两个实数的大小的基本思路.

　　例1：比较下列各组两个代数式的大小：

　　设计意图：体会作差法是比较两个实数大小的基本方法.

　　问题3：在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，你认为应特别注意哪些问题？

　　等式和不等式的基本性质的本质属性就集中反映在“自身的特性”和“对于运算的不变性”这两个方面，要特别注意“运算中的不变性”. 由于不等号具有方向性，注意在“自反性”和两边同乘负数时，不等号要变号.  

　　设计意图： 学生讨论，进一步理解利用基本不等式求最值的条件“正”“定”和“等”。   /

　　（三）二次函数与一元二次方程、不等式

　　问题6：用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，其中函数的图象、零点、图象与 轴的关系是关键要素. 你能以函数观点看一元二次方程、一元二次不等式为例，谈谈体会吗？

　　师生活动：学生在教师的引导下谈体会：

　　1. 从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.

　　2. 如果二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点；从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根.

　　从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0（或者小于0）就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使得函数值大于0（或者小于0）的自变量x的取值范围.

　　3. 因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.

　　（四）归纳总结、布置作业 

　　布置作业：教科书复习参考题2第1，2，3，4题.  

　　设计意图：考查学生求解一元二次不等式的能力.