实在是看不下去某些人的回答了，再看我的尴尬癌都要犯了。等价无穷小是无能老师创造出来的东西？等价无穷小思想有问题？大哥您是有多牛逼？你只是单纯的菜而已。

先说一下，极限这东西，最一般的算法就是泰勒公式。一种是佩亚诺型余项一种是拉格朗日型余项，这两者有什么不同呢？一个研究的是一点处的极限，另一个是研究这点一小段邻域内的极限。当你研究的点为0的时候，就叫麦克劳林公式。 sinx，tanx的麦克劳林公式我在下面给你写了。

至于等价无穷小是什么东西呢？它其实是由麦克劳林公式推导来的。在x趋近于零时，sinx比tanx也就等于他们的麦克劳林之比，跟x的高阶无穷小比起来，x大很多，所以比值就可以近似于x与x的比也就是1，但sinx减tanx是不是就等于0了呢？答案是否定的，因为这时候展开式中的x就被约掉了，x的三次方就会成为精度最高的项，虽然在x趋近于0的情况下，这项也趋近于零，但不可以直接写成0，而要写成x的高阶无穷小的形式。

再说你这个问题，不是这两种方法求出的极限不一样，而是你的做法根本就不对。大学老师讲过等价无穷小代换只能换乘除不能换加减，那这是为什么呢？我给你写了推导过程。本质上就是整个式子乘上一个趋近于1的极限。所以你要是想用等价无穷小替换的话，只能替换一个式子的公因子。所以这道题最简单的办法就是用泰勒公式来做。你的方法是完全错误的。

我本来在床上刷知乎，看到那个赞最高的答案，气得我立马翻下床了。等价无穷小是无能老师发明的东西？人家本来就是用来代换乘除的东西，你非要用来代换加减。sinx等价于tanx说的是它俩相除为1，谁都没说过它俩相减可以写成0。等价无穷小是我们研究复杂的极限问题必须要用到的一种简化思想。兄弟，像咱们这种给人解答问题的，还是要认真点，你自己都一知半解的，你就去反驳它？前辈们用他们的智慧总结出来的东西，到你嘴里变成了无能的东西？所以麻烦你自己多读书才是真的，要不只会误人子弟。

　　 　-- 如此一来，我只是一个人，为自己所想的去追求，为自己所要的去奋斗，仅此而已。

　　 　-- 如此一来，我只是一个人，为自己所想的去追求，为自己所要的去奋斗，仅此而已。