集中趋势只是数据组特征的一方面，而另一方面是离散趋势，也就是围绕中心点（平均值）的变动幅度。例如，图 7-24 所示的这些学生的体重都是 45kg，均值是 45kg，每个人的体重都没有变动趋势，直方图就是一个窄长条，如图 7-25 所示。

图7-24体重相同的学生

图7-25体重相同的直方图

如果这些学生的体重是图 7-26 所示的情况，直方图就会变成图 7-27 所示的形态。

图7-26体重差异大的学生

图7-27体重差异大的直方图

量化描述数据这种分散状态的是方差和标准差。

假设有如图 7-28 所示的 3 组数据，这 3 组数据的均值虽然都是 50，但是 B 组的变动幅度最大， A 组较小， C 组完全没有变动幅度。

量化描述这种变动幅度的是极差。

本节重点讨论的是离散趋势的 3 个描述方法，分别是极差、方差和标准差。另外，四分位差也是描述数据离散趋势的常用方法。

极差是 3 个概念中最简单、最笼统的指标，即数据组中最大值和最小值之差，在图 7-28中， A 组的极差是 4， B 组的极差是 40， C 组的极差是

图7-29极差计算方法

极差可以直观看到数据组的范围，但是不够精确。

1. 方差和标准差的实际意义

方差和标准差如何来度量分散程度呢，现有一组人群的体重数据如图 7-30 所示。

这组体重数据的均值是 38.7，每一个数据相对平均值都有一定的变动幅度。

如图 7-31 所示，图中每个点代表一个人的体重，右边的垂线是平均值所在的平均线，左边的垂线是其中一个数据点所在直线，两条垂线间的距离是数据点到平均线的距离，方差是所有数据点到平均线距离的平方的均值。

图 7-32 展示了方差的计算过程：

图 7-32距离平方的计算步骤

借助这个表中得到的总和，可以求得距离的均值： ，这个结果就是方差，将 91 开方后得到 9.5 就是标准差。

注意：由于统计总体和样本的差异，计算均值时用的数值个数不是 22

方差已经足够描述数值与均值的偏离程度，为什么又要计算标准差呢？虽然方差可以很好地描述数据与均值的变动幅度，但是方差与要描述的数据的单位是不一致的，这样的处理结果并不符合人们的直观思维习惯，而标准差与真实数据的单位是相同的。因此很多场合大家更倾向于使用标准差。

例如一个班级有 50 名学生，经过统计数学平均分是 80 分，标准差是 10，其实际意义是每个学生的分数与平均分的平均差距是 10 分；方差是 100，是标准差的平方，没有单位，即每个学生的分数与平均分的平均差距的平方是 100，这个解释没有任何实际意义，通常使用标准差进行描述更具有实际意义也更容易理解。从这一点来说，方差只是一个中间的计算过程，它的目的是平方运算后去掉负号，再开方得到原单位偏差值。当然，方差的作用绝不仅限于此，在数据分析中它有很多重要的用途。

（ 1） 标准差是以均值为中心的变动幅度测量， 如果是以中位数为中心， 标准差是无效的。

（ 2） 如果数据组的所有数据都相等， 标准差为 0， 否则必然是大于 0 的数值， 而且数据越分散标准差越大，

标准差在描述数据中有极其重要的作用，希望每一位读者能深入体会其实际意义。

2. 在 Excel 中计算数据组的方差和标准差

某公司的销售部门在月底统计每个销售人员的业绩，如图 7-33 所示。

图7-33某公司销售人员业绩

计算标准差和方差如图 7-34 所示。

图7-34计算销售人员业绩的标准差与方差

在 D2 单元格输入以下公式，得到标准差为 10 185。

在 E2 单元格输入以下公式，得到方差为 103 740 510。

节）。计算方法的差别在于，总体标准差用的数值个数是 n，样本标准差用的数值个数是 n- 1。

本例中，全部销售人员是一个总体，所以用 STDEV.P计算标准差。从计算结果可以知道，每个销售人员的业绩与全体员工业绩均值的平均差距是 10 185 元，均值是 21 692 元，标准差大约是均值的一半，说明整个销售部门的员工销售能力差距较大。

标准差是以均值为中心的变动幅度测量，如果以中位数的变动幅度测量需要借助四分位间距。

四分位间距也称为四分位差，基本原理是把数据组内的数值从小到大排序，按照数值个数等分成 4 组，然后再继续观察变动幅度，具体等分方法如下。

名学生的语文成绩，按从小到大排列。首先在中位数处将数据组分成高低分两组，由于中位数恰好是其中的一个数值 80，而不是某个中间位置，目的是将整个数据组等分，无论将中位数划分到哪个组都不再相等，所以划分原则是将中位数既分配给高分组也分配给低分组，这样所有学生的成绩就分成了两组，每组数值个数为

（2）低分组的中位数是 72，称作第一四分位数，也称为下四分位数，通常记作 Q1。高分组的中位数是 83，称作第三四分位数，也称为上四分位数，通常记作 Q3。原数据组的中位数 80 也称为第二四分位数，记作 Q2。

（3）Q3 与 Q1 距离称为四分位间距，记作

图7-35确定四分位数

IQR 展示的是中间一半数据的离散程度，数值越大越分散，反之数值越小越集中。同时 IQR 处在数据中段且不受极端值的影响，能在一定程度上表现整体数据的离散程度。

箱形图是由著名统计学家 John W. Tukey 发明的，借助箱形图可以更直观地观察四分位数。以图 7-35 中的数据为例来说明。

找出 Q1、 Q3 和中位数的位置，以 Q1 和 Q3 为两边画一个矩形，以中位数的位置在矩形中画一条直线，如图 7-36 所示。

图7-36箱形图的主体

从矩形两侧分别延长出两条线，延长线的长度为 1.5 倍的 IQR，如图 7-37 所示。左端点和右端点分别称作下限和上限，需要注意的是，此处上限和下限并不是数据组的最大值和最小值，而是人为规定的一个界限，在界限以内的值是正常值，超过界限以外的是异常值。图 7-37 中最左侧的点是该组数据中唯一没有落在上下限以内的点，是异常值。

箱形图不受异常值影响，能够准确描述数据的离散程度，非常适合数据组之间的对比。而且箱形图可以横着画，也可以竖着画，只要保证对比的数据组用统一的刻度即可，如图 7-38 所示。

图7-38多组箱形图的对比

3. 用 Excel 计算四分位数和制作箱形图

示例 7-2 计算四分位数和制作箱形图来检验超市 SKU 调整效果

有一家新开业的超市，由于老板经验不足，前 3 个月对商品数量一直在做调整。现在老板希望对这一季度的商品数量进行分析，如图 7-39 所示。

图7-39某超市的商品数量

需要给每一个月数据计算四分位数并创建箱形图，并且要求在同一个图表中展示，以方便对比，步骤如下。

计算四分位数的方法如图 7-40 所示。具体方法如下。

在 G2 和 G4 单元格分别输入以下公式，并分别向右复制填充到 G2:I2 单元格区域和 G4:I4 单元格区域。

图7-40计算四分位数

插入 3 组数据的箱形图，步骤如下。

步 骤 2单击【插入】选项卡中的【插入统计图表】→【箱形图】命令，即可生成箱形图，如图 7-41所示。

对箱形图进行美化，如图 7-42 所示。

图7-42新开超市前 3 个月的商品数量箱形图

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