导数 一、导数的概率 设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。 3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。 4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。 5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。 7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。 8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在，反之不然。若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。 一般地，，其中为常数。特别地，。 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝ 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。 注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。 2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。 3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝ 4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量。 （2）.求平均变化率。 （3）.取极限，得导数＝。 二.练习题 （一）、选择题 1．若函数在区间内可导，且则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒， 那么物体在秒末的瞬时速度是（ ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 3．函数的递增区间是（ ） A． B． C． D． 4．,若,则的值等于（ ） A． B． C． D． 5．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 6．函数在区间上的最小值为（ ） A． B． C． D． （二）、填空题 1．若，则的值为_________________； 2．曲线在点 处的切线倾斜角为__________； 3．函数的导数为_________________； 4．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数的单调递增区间是___________________________。 （三）、解答题 1．求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。 2．求函数的导数。 3．求函数在区间上的最大值与最小值。 4．已知函数，当时，有极大值； （1）求的值；（2）求函数的极小值。 （一）、选择题 1．函数有（ ） A．极大值，极小值 B．极大值，极小值 C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A． B． C．和 D．和 4．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则 与满足（ ） A． B．为常数函数 C． D．为常数函数 5．函数单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 6．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． （二）、填空题 1．函数在区间上的最大值是 。 2．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。 3．函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。 4．若在增函数，则的关系式为是 。 5．函数在时有极值，那么的值分别为________。 （三）、解答题 已知曲线与在

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3、1：两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 ) ，即：f x g xf x g x法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：f x g xf x g xf x g x常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf ( x) Cf ( x). ( C 为常数 )法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：fxf x g xf x gxgxg2g x 0。x2. 复合函数的导数形如 yf ( x) 的函数称为 复合函数 。法则：f (x)f

4、()*( x) .三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数yf ( x) 在某个区间 (a,b) 可导，如果如果ff( x)0，则 f ( x)( x)0，则 f ( x)在此区间上为增函数；在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内 恒有 f ( x)0 ，则 f ( x)为常函数 。2函数的极点与极值：当函数f (x) 在点 x0处连续时，如果在x0

的值 ; 比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值。4相关结论总结：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.四、函数的概念1. 函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集，

6、如果按照某种对应法则f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数f ( x) 和它对应， 那么这样的对应 （包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合 A 到 B的一个函数，记作f : AB 函数的三要素: 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数五、函数的性质1. 函数的单调性定义及判定方法函数的定义性 质如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 , 当 x1 x 2 时，都有 f(x 1)f(x 2 ) ， 那 么 就说f(x)在这个区间上是增函数 函数的单调性如果对于属于定义域I内

7、某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、 x2 ，当 x1 f(x 2 ) ， 那 么 就说f(x)在这个区间上是减函数 图象判定方法（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的yy=f(X)f(x )单调性2f(x1 )（ 3）利用函数图象（在o某个区间图x1x2x象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的yy=f(X)单调性f(x )1（ 3）利用函数图象（在f(x)2o某个区间图x 1x 2x象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对于 复 合 函数

为减aox（2）打“”函数 f (x)x(a 0) 的图像与性质xf (x) 分别在 (,a 、 a,) 上为增函数，分别在a , 0) 、 (0,a 上为减函数2. 最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）一般地，

，使得 f ( x0 )m 那么，我们称m 是函数 f ( x) 的最小值，记作f max ( x) m 3. 奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质如果对于函数f(x)定义域内（ 1）利用定义（要先任意一

10、个 x，都有 f( x)= 判断定义域是否关于f(x),那么函数 f(x)叫做奇函原点对称）数（ 2）利用图象（图象函数的关于原点对称）奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x，都有 f( x)= f(x) ,判断定义域是否关于那么函数 f(x)叫做偶函数 原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 f (x) 为奇函数，且在x0 处有定义，则f (0) 0奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数