高一数学幂函数知识点归纳整理
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
(1)所有的图形都通过(1,1)这点。
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。
(6)显然幂函数无界。
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域
要怎么学好?在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中,使大脑兴奋,思维敏捷,能够进入最佳状态,在考试中能运用自如。今天小编在这给大家整理了高二数学题大全,接下来随着小编一起来看看吧!
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.
1.命题“a=0,则ab=0”的逆否命题是()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.双曲线=1的渐近线方程是()
6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()
7.已知双曲线的离心率e=,点(0,5)为其一个焦点,则该双曲线的标准方程为()
9.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为()
12.过点M(2,﹣1)作斜率为的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两个不同点,若M是AB的中点,则该椭圆的离心率e=()
二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分.、共16分.
三、解答题:本大题共7小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p:函数y=kx是增函数,q:方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,若p∧(¬q)为真命题,求实数k的取值范围.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A,B两个不同点,求|AB|的最小值.
(1)若函数f(x)在x=处取得极值,求实数a的值;
(2)求证:当a≤1时,不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立.
(1)若函数f(x)在x=处取得极值,求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k的取值范围.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k的取值范围.
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、若函数,则等于()
2、设全集,,,则是()
3、命题“存在R,0”的否定是.(()())
4、下列函数中,在定义域内是减函数的是()
5、函数的图象在处的切线在轴上的截距为()
6、设,则“”是“”的()
A、充分必要条件B、必要不充分条件
C、充分不必要条件D、既不充分也不必要条件
7、已知定义在上的函数是偶函数,对,都有,当
8、函数在定义域内的零点的个数为()
9、函数错误!未找到引用源。的图象大致是()
10、已知,则的大小关系为()
11、设函数是定义在R上的奇函数,若的最小正周期为3,且,的取值范围是()
12、已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
其中是“垂直对点集”的序号是()
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在答题卡中横线上.)
15、偶函数的图象关于直线对称,且,则
16、函数,在点处的切线方程为
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
17、(10分)已知有两个不相等的负实根,:方程无实根,求:当或为真时的取值范围.
18、(12分)已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、相交于点、.
(1)将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程;
19、(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(1)将曲线上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线,试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;
(2)在曲线上求一点P,使点P到直线的距离,并求出此值.
(1)求函数的单调区间和值域;
(2)若方程有四个解,求实数的取值范围.
21、(12分)已知函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且.
(2)判断函数在(-1,1)上的单调性;
(1)当时,求该函数的值域;
(2)若恒成立,求的取值范围.
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,每小题只有一项是符合题目要求)
1.已知,则向量的夹角为()
2.已知椭圆上的一点到椭圆的一个焦点的距离等于4,那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于()
4.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()
6.双曲线的渐近线方程和离心率分别是()
7.“”是“方程为椭圆方程”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.若且为共线向量,则的值为()
9.已知F1、F2是椭圆x216+y29=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则△MNF2的周长为()
10.若平面的一个法向量为,则点到平面的距离为()
11.如图,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD的中点,
12.若椭圆的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2|的值为()
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
14.已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,则______.
15.若直线的方向向量,平面的一个法向量,则直线与平面所成角的正弦值等于_________。
三、解答题(本题共6小题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
17.(10分)已知命题有两个不等的实根,命题无实根,若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围.
18.(12分)已知:如图,60°的二面角的棱上
有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角
的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,
19、(12分)如图所示,四棱锥中,底面为矩形,,,点为的中点.
20.(12分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点,点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)以为中点作双曲线的一条弦,求弦所在直线的方程.
21.(12分)已知四棱锥的底面为直角梯形,,
(1)求与所成角的余弦值;
(2)求面与面所成夹角的余弦值.
22.(12分)已知椭圆的离心率,焦距为.
(2)已知椭圆与直线相交于不同的两点,且线段的中点不在圆内,求实数的取值范围.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2.当m∈正整数集,命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是()
4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
5.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()
6.在区间[0,3]上随机地取一个实数x,则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为()
7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为6,4,则输出a的值为()
8.在班级的演讲比赛中,将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图.记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙,则下列判断正确的是()
A.甲<乙,甲比乙成绩稳定B.甲>乙,甲比乙成绩稳定
C.甲<乙,乙比甲成绩稳定D.甲>乙,乙比甲成绩稳定
9.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是()
A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B.当m?α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C.当m?α时,“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件
D.当m?α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
11.已知命题p:函数f(x)=x2﹣2mx+4在[2,+∞)上单调递增;命题q:关于x的不等式mx2+2(m﹣2)x+1>0对任意x∈R恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数m的取值范围为()
12.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,给出以下结论:
②若M是线段AC1上的动点,则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是;
③若P,Q是线段AC上的动点,且PQ=1,则四面体B1D1PQ的体积恒为.
其中,正确结论的个数是()
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.根据如图所示的算法语句,当输入的x为50时,输出的y的值为.
14.某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为.
15.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.
16.若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点,则b的取值范围是.
三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知圆C过点A(1,4),B(3,2),且圆心在x轴上,求圆C的方程.
19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面ABC等边三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.求证:
20.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛,并抽取了20名学生的成绩进行分析,如图是这20名学生竞赛成绩(单位:分)的频率分布直方图,其分组为[100,110),[110,120),…,[130,140),[140,150].
(Ⅰ)求图中a的值及成绩分别落在[100,110)与[110,120)中的学生人数;
(Ⅱ)学校决定从成绩在[100,120)的学生中任选2名进行座谈,求此2人的成绩都在[110,120)中的概率.
(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角(锐角)的余弦值.
(Ⅰ)若a=1,求直线y=x被圆C所截得的弦长;
(Ⅱ)若a>1,如图,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧).过点M的动直线l与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点.问:是否存在实数a,使得对任意的直线l均有∠ANM=∠BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.设全集,集合,,则等于()
2.下列函数中,在R上单调递增的是()
4.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的函数是()
5、下列各组函数中,表示同一函数的是()
6、已知全集,集合,,那么集合等于()
7.函数在上为减函数,则的取值范围是()
8.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()
9.已知,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()
10.若点(a,b)在图像上,,则下列点也在此图像上的是
11.设,,,则a、b、c的大小关系是()
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13.已知函数那么的值为.
14.若,则定义域为.
15.设函数若,则..
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分)
17(本题满分10分)设集合为方程的解集,集合为方程的解集,,求。
18.(本小题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)当时,解不等式的解集;
(Ⅱ)若存在x使成立,求的取值范围.
19.(本题满分12分)已知函数是定义在上的奇函数,且
(1)确定函数的解析式;
(2)用定义证明在上是增函数;
20.(本题满分12分)已知函数,其中常数满足
(1)若,判断函数的单调性;
(2)若,求时的的取值范围.
21.(本题满分12分)已知函数,,.
(1)若,试判断并证明函数的单调性;
(2)当时,求函数的值的表达式.
22.(本题满分12分)设函数,曲线过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
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