圆周率π可能是科学界内外最广为人知的自然常数了。早在公元5世纪时，南朝宋数学家祖冲之用割圆法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到了小数点后5位。历史上首个π精确无穷级数公式(即莱布尼茨公式)直到约1000年后才由印度数学家发现。20世纪以来，随着计算机技术的快速发展，π的精度也在极速提高。截至2019年，π的十进制精度已高达1013位。虽然几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位，当前依然有许多科学家和爱好者为了打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法等原因，不断地向π的更高位数发起挑战。

圆周率有许多优美的数学性质，由此产生的计算圆周率的公式和算法也有成千上万。借《并行计算》实验课的机会，我对其中比较有趣和有意义的一些算法进行了一波研究，实现了代码并进行了一些测试。

方法0：蒲丰投针与蒙特卡洛方法

在介绍蒙特卡洛方法之前，先讲一个概率学上的故事：

在1777年，法国数学家蒲丰(也有译作布丰)设计了一个投针试验，实验方式如下：

1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2) 取一根长度为l(l≤a) 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。

3)计算针与直线相交的概率．

蒲丰经过计算，得出这个概率是：

。由此蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于a/2，那么有利扔出的概率为1/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。

一些数学家在这个问题上进行了实验，结果如下：

在概率学上，蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到了一定的推动作用。

那么在计算机中，我们也可以借鉴蒲丰投针的思想，利用随机事件发生的频率来预估出圆周率的值。当然，由于计算机能够很方便地生成随机数，没有必要使用投针的方式，只需随机生成点就可以计算出圆周率。以下描述一种简单的算法：

首先在(0,1)中生成两个随机数x,y，令(x,y)为坐标系中的一个点，那么它将均匀地分布在(0,0),(1,1)的正方形内。然后统计其中到原点的距离小于1的点的数量。这些点分布在以原点为圆心、半径为1的四分之一个圆上，则其占点的总数的比值的期望为π/4。因此进行多次随机，然后将比值乘以4就可以得到近似的圆周率值。

算法的执行过程如图所示：

这个算法有一个明显的好处：它天生支持并行或分布式计算，因为每次投掷的试验都是独立的，可以在很多台设备上分别进行随机试验，之后统计结果即可。

上面的方法已经可以在1秒内计算出圆周率的前8位小数，但是如果想要结果更加精确，难度很大。因为这个算法完全依靠随机次数的增加来逼近理论上的概率，而大数定律的收敛很慢。那么既然上面的算法是通过四分之一个单位圆的面积来得到π的值，我们可不可以直接计算圆的面积呢？

由这个思路引出了计算圆周率的第二个方法：利用面积积分。能够得到π的函数很多，因此这个思路得到的算法也不唯一。这里选用了反正切函数y=arctan(x)，利用公式

，可以得到下图中曲线与坐标轴之间围成的面积为π/4。

在计算机中，计算图形的面积一般可以用划分+近似为梯形面积+求和的方式来计算。具体算法为：将(0,1)的区间等分为n个部分，如第一部分为(0,1/n]、第二部分为(1/n,2/n]等，然后分别计算x坐标在这个区间范围内对应的图形的面积。由于此时对应的图形很“细”，可以近似地看做一个梯形或一个矩形，则可以套用梯形或矩形的面积计算公式求得结果。最后将这些矩形的面积相加，就得出了不规则图形的面积。可以看出，这个算法的精确程度取决于一开始的划分数量，划分得越细，计算的精确度就越高。

同时这个算法也支持并行计算：在程序的开始对梯形的划分进行预分配，然后各个进程分别计算自己被分配到的梯形的面积，最后在进行求和即可。

在单机4进程的并行环境下运行程序的结果如下图所示。可以看到，经过1e9次分割，误差2.49e-14，耗时0.589267秒，计算速度约为27位/秒。

除了利用将函数积分转化为分段求和的方式来逼近圆周率之外，数学上还有不少可以用来计算π的公式，比如利用幂级数对arctan(x)进行展开可以得到：

对这个式子进行简单的循环求和，也可以逐渐逼近圆周率的值。

同时这种方法也可以实现并行计算，首先由主节点确定要计算的项数，将计算任务分配到各个节点，然后上多个节点可以分别计算式子的不同部分，然后将结果相加即可。

以下是这种方法的代码：

在单机4进程的并行环境下运行程序的结果如下图所示。可以看到，经过2e9次分割，误差4.98e-10，耗时0.877899秒，计算速度约为14位/秒。

以上两种方法本质上都是通过逼近一个极限为π的数列来计算圆周率的。上面的两个数列每一项衰减得比较慢，要精确到10-N大致需要计算2*10N项。

对于幂级数而言，当x越接近于0时，收敛越快。比如在上面的例子中，我们选取的x=1，离0有相当的距离。如果对arctan(x)在x=1/5处展开，可以得到级数：

以上级数由于含有1/5和1/239的指数运算，收敛速度很快。事实上，当n=4时，就有1/9*59＜10-6；而右边收敛的更快。

采用和方法2相似的并行计算方式，我们就可以很快地计算圆周率了。从这种方法开始，由于计算出的圆周率的精度远超double或long double的精度，为了测试这种方案的效率上限，我使用了boost库中的multiprecision::cpp_bin_float这个高精度库，用来进行高精度数字的计算。该高精度库使用了FFT加速的大数乘法等运算，效率较高。

由于高精度的变量类型不在Mpi的基本变量类型范围内，因此改用了Mpi_Gather函数对其进行收集后手动叠加。此外，由于高精度场景下加法、乘法、除法等运算的复杂度不再是O(1)，导致求和式中的每一项的计算所需的时间复杂度也不相同。因此并行时采用了均摊的思想，每个程序计算第(i+nk)项，其中i为程序的rank，n为线程数量，k为正整数。

在单机4进程的并行环境下运行程序的结果如下图所示。可以看到，经过1600次迭代，误差1.1，耗时1.6秒，计算速度约为1250位/秒。

进行了更多数据的测试，结果如下：

通过测试结果可以看出，随着循环次数的增多，循环次数(级数的累加次数)与圆周率计算的位数呈线性增长，增长率约为0.72(循环/位)。但可能是由于高精度运算比较耗时，如对高精度的指数、除法等运算的复杂度较高，可以看到随着位数的增加，运行时间的增长非常迅速，可能为O(n3)。因此使用这个方法来计算更多位数的圆周率比较困难。

以上这些圆周率计算方法都是基于简单的数学结论，已经能够获得不错的计算结果，但还有很大的改进空间。随着人们对计算圆周率更高位数的不断追求，其算法也在不断地被发明和改进。这个链接给出了一个圆周率位数的世界纪录年表，可以在这里看到各位前辈在这个问题下做出过的努力：Chronology of computation of π。下面研究并介绍了其中的几个典型的“超级圆周率算法”。

这个公式的特殊之处就在于公式中的

。式子的前半部分是一个单调递减、极限为0的式子，这意味着对于任意正整数k，求和式的第k+1项起每项都(远)小于

。这个性质使得该算法有一个非常神奇的特点：它可以跳过圆周率前面的位数直接计算目标位数，比如直接计算圆周率的第100000位，而不用耗费内存来存储和计算前99999位数字。

若想要计算圆周率的第n位(此处指十六进制下的第n位，后面会考虑如何计算十进制)，对该公式进行如下变形：

然后计算右边的小数部分。其中右半部分可以写成：

其中mod指求余运算。这样，前半部分可以使用快速幂算法加速运算，复杂度为O(n*log(n))；后半部分收敛速度很快，可以通过计算循环的前100项来代替。所以整个过程的复杂度为O(n2log(n))。

由于本算法是基于分别计算圆周率的各位数码，因此很适合改造为并行计算。在实验中我首先实现了BBP算法，然后将其改造成了相应的并行计算程序。

在细节处理方面，其中值得注意的是对运算结果进行按照16进制取模的过程中，为了保证其浮点数存储没有误差(因为分段运算，一点点误差都会导致后面的数值白算)，先后尝试了两种方法：

第一种方法是对double进行截断，即根据C++中浮点数的存储规则，对其超出精度的部分进行截取，相当于在16进制下对16^-9取模；另一种方法是利用floor函数进行截断。经过试验，第二种方法比较稳定，在计算到10000位时都没有遇到问题，而第一种方法会产生误差。

以下是BBP程序的完整代码：

可以看出，用这种方法计算圆周率的效果较好，速度增长率接近线性(慢于线性的原因猜测是内存开销变大和高精度操作导致的缓慢)，而且很短时间内计算出了前10000位的数值。

此外，这种方法的一个显著优点是它可以从圆周率的中间开始计算，如直接算出圆周率的第100000位而不需要知道前面的数字，既能很方便地转化为并行计算，又能提供一种计算圆周率较高位数的捷径。

阅读参考资料得知，这种算法可以被用于验证圆周率的超高位数计算的结果是否正确，方法是利用其直接计算某一位的性质，对计算结果进行随机抽测。

Chudnovsky 算法在1988年被乔纳斯基兄弟发明，是至今圆周率计算位数世界纪录保持者使用的算法。Google Cloud在2018年九月-2019年一月的五个月里，用该算法计算出了圆周率的前31.4兆位小数。

该算法的详细证明可参见这篇论文：JSTOR 。它基于这个收敛速度极快的广义超几何级数：

对式子进行化简，使其便于计算机计算，可以得到：

因此算法可以写作一个迭代式：

由于算法基于迭代，难以并行化。因此简单地对该算法实现了非并行的代码如下：

该算法在三分钟左右计算出了圆周率的前25000位结果。由于这是在单核单进程的运行环境下进行的运算，达到这样的效率，比起BBP算法又是进步了不少。

事实上，虽然该算法从逻辑上难以并行化，但查阅资料得知，大整数乘法的FFT运算本身其实是可以并行化的，甚至可以放在GPU、TPU等设备中进行加速运算，达到更高的计算速度。如果以后有机会在这些设备上编程时，也许我会想办法在上面写一个Chudnovsky 算法，测测看它们的性能。

经过这些实验可以发现，同样一个计算圆周率的问题，不同的数学原理得出了不同的算法，其结果和速度也会天差地别。

同时，随着计算位数的提升，不仅是公式的收敛速度、算法的时间复杂度在限制着计算的速度，高精度运算的时间消耗、内存消耗也开始出现瓶颈。查看世界纪录计算数亿上兆位圆周率的计算报告可知，在更高位数上计算时，RAM、Cache、磁盘、RAID、cpu指令集等因素也对结果有很大影响，都被优化到了极致。

此外，通过这次实验我也体会到了并行计算的强大之处：从蒙特卡洛算法到积分分割，再到级数计算和BBP算法计算数码，各种不同的算法通过各种方式被并行化，多个节点分别计算部分任务，然后再Gather到主节点上，达到了数倍的性能提升。

算法的优化是永无止境的。对圆周率这个超越数的探索过程，也是对计算机计算能力的探索过程。从公式、算法到并行计算、硬件优化，也许这就是圆周率计算的魅力所在吧！

1. 《并行计算实验指导书——圆周率π的计算》 – 北邮软件学院 卢本捷

python利用公式计算π的方法：首先导入数学模块及时间模块；然后计算Pi精确到小数点后几位数，代码为【print('\n{:=^70}'.format('计算开始'))】；最后完成计算，代码为【print('\n{:=^70}'】。

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python利用公式计算π的方法：

　　霸王龙又名暴龙，模式种与目前唯一的有效种是雷克斯暴龙(Tyrannosaurus rex)，或称雷克斯龙，是一种大型的肉食性恐龙，身长约13米，体重约7公吨，生存于白垩纪末期的马斯垂克阶最後300万年，距今约6850万年到6550万年，是白垩纪-第三纪灭绝事件前最後的恐龙种群之一。化石分布于北美洲的美国与加拿大西部，分布范围较其他暴龙科更广。

　　名称含义( Meaning)暴君蜥蜴(残暴的蜥蜴之王)

　　域(总界)：真核域(总界)

　　种：雷克斯暴龙 .cn)

　　从霸王龙的头骨形状来看，其上颌宽下颌窄，咬合的时候上下颌牙施加的力不完全相对，有利于咬断骨骼。与霸王龙相比，异特龙上下颌宽度接近，咬合时牙齿施加的力几乎相对，并不利于“攫断”骨头。霸王龙的牙齿成半圆锥状，适合压碎骨头，而大部分肉食恐龙的牙齿则多用于穿刺。其头骨结构显示霸王龙的猎食行为可能和大部分兽脚类恐龙不一样。

　　我们根据生物咬力和身体体重的比例计算，此比例是根据肉食的哺乳类，鳄类，龟类及蜥蜴类说采集的数据(水生肉食生物的数据由于浮力的因素没有采用)。若只用鳄类(与恐龙关系较近)的数据计算出的最大咬力是183000牛;根据哺乳计算出的是88000牛;根据所有经过研究的动物所采集数据为235000牛。但由于很难真正测量出动物的最大咬力，此数据可能与真实情况有出入。

　　霸王龙的最大咬力约183000牛至235000牛，而为施加如此巨大的力量，霸王龙颌部需附着约平方厘米的肌肉。对于霸王龙颌部肌肉的附着在文中没有进行介绍，但研究者声称是完全可能的，即使霸王龙颌部肌肉只存在平行附着，无重叠结构。根据三角龙盆骨上的牙印计算出此颗牙施加的压力约为6400牛。若用此数据计算出上颌施加的力为153600牛。由于此印痕是在生物死后留下的，不太可能表现霸王龙的最大咬力。

　　总体来说，肉食动物会选择与自己身材相当或者更小的猎物。单独猎食的动物往往选择与自己身材相当或者更小的猎物;群体捕食的生物往往可以猎食比自己身材大很多的猎物。根据异特龙的身材计算，异特龙群体有能力猎杀同时期的成年蜥脚龙。根据这个关系，结合霸王龙的体重(5-6吨)，不管其群体猎食与否，都有能力猎杀同时期的大型植食恐龙：如与其大小接近的三角龙。

　　在对付大型猎物的时候，强大的咬合能力能够辅助捕食，不管捕猎者是采用咬断气管窒息对方，咬坏颈椎破坏神经，还是咬穿身体危及重要器官的战术。按照霸王龙咬合的力量，推测其很有可能采用第二种方法。文章作者的结论：根据霸王龙的咬力和身材，推测其可能是单独猎食动物。

　　此前科学家曾认为包括霸王龙在内的恐龙物种是由于一颗巨大彗星碰撞地球而导致灭绝，但实际上它们更可能是遭受了一种仍可杀死现代鸟类的单细胞寄生物的攻击。科学家在美国芝加哥自然历史博物馆对一具被叫做“休”的霸王龙骨骼化石进行了深入分析，他们发现在这具雌性霸王龙颚部存在着小洞，这是由于一种叫做“毛滴虫病(trichomonosis)”的鸟类寄生虫感染。

　　直到这项研究发表之前科学家们都认为这具霸王龙颚部的小洞可能是与其他恐龙争斗时留下来的。目前科学家指出，这只42英尺长、7吨重恐龙的喉部和嘴部曾遭受严重的寄生物感染，并最终导致无法进食饥饿而死。

　　这项最新研究关注“休”这具雌性恐龙和其他9具霸王龙化石标本喉部损伤状况，此前科学家们主要认为这是恐龙之间打斗撕咬或者是细菌感染造成的。

　　美国威斯康星州立大学麦迪逊分校的恐龙专家伊万-沃尔夫(Ewan Wolff)是该项研究的合著作者之一，他说：“在现代鸟类疾病中的毛滴虫病引起了我们的关注，这可能是解释恐龙喉部神秘损伤的潜在主要原因。当我们开始深入关注毛滴虫病时，发现恐龙有许多传染毛滴虫病的迹象。”

　　在鸟类身体上，毛滴虫病是由一种叫做毛滴虫的寄生物引起的。这种寄生物通常是通过鸽子等鸟类进行传播，鸽子通常携带着毛滴虫，却很少出现疾病症状。而猎鹰和鹰传染之后却会导致喉部严重损伤。沃尔夫称，这种喉部损伤类型非常接近于恐龙喉部出现的小洞伤口。

　　沃尔夫强调称，霸王龙和其他恐龙之间的打斗伤口并不常见，同时这种损伤类型与当前在喉部出现的损伤有着明显差别。由毛滴虫导致的小洞伤口看上去边缘更加整齐平滑，而打斗撕咬造成的伤口却显得十分粗糙，同时他们的伤口和骨骼上留下的痕迹并不相同。

　　霸王龙是一种群居动物，它们时常聚集生活在一起，在一起猎杀进食，甚至有时它们会彼此之间进行嗜杀。沃尔夫称，毛滴虫病很可能是通过唾液或者同类嗜食进行传播，但值得科学家们注意的是这种传染病并未出现在其他物种恐龙身体上。这使我们猜测霸王龙很可能是毛滴虫病的主要来源，该病症仅在它们的生存环境中进行传播。

　　沃尔夫指出，毛滴虫感染在霸王龙体内具有传播“优先性”，甚至这种病是导致它们消亡的直接原因。当它们的喉部出现严重的感染损伤时便无法进食，无论它们身体再强壮，也会由于饥饿和身体虚弱而导致死亡。目前，这项最新研究已发表在近期出版的《公共科学图书馆·综合》(PLoS ONE)杂志上。