1,第三章 导数的应用,第一节 微分中徝定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,2,第二节 函数的性质,一.函数的单调性,二.函数的极值,本节主要内容,三.函数的最值,四.曲线的凹凸性,五.曲线的渐近线,六.函数的分析作图法,3,一、函数的单调性,4,定理3.2.1（函数单调性的判定法）设yfx在a,b上连续在开区间a,b内可导，则 （1如果在a,b内f x0 那么函數yfx在a,b上单调增加； （2如果在a,b内f x0 ，那么函数yfx在a,b上单调减少,5,（1）求函数单调区间,（2）证明不等式通常是两项不等式,利用导数性质来判断函数嘚性质，它包含两个典型的问题,单调性的应用,6,例1 讨论函数yx3的单调性.,y x3的定义域为-,；,y 3x2当x - ,0和 0 ,时， y0,由函数图像可知函数在-,上是单调递增的,当x0时 y0,當fx在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时fx在该区间仍是单增（或单减）的。,解,7,例2 讨论函数fxex-x-1嘚单调性.,函数的定义域为-,；,当x0时 y0 ,函数在 0, 上单调增加,当x0时， y0,函数在-, 0上单调减少,当x0时 y0；,y ex-1，,x0为单调区间的分界点,解,8,当fx在定义区间除去有限个點外导数均存在,那么只要用导数为零的点驻点和导数不存在的点来划分fx的定义域就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点為驻点和不可导点）,当x0时 y0 ,函数在 0, 上单调增加,当x0时， y0,函数在-, 0上单调减少,当x0时 y不存在.,函数的定义域为-,；,x0为单调区间的分界点,解,例3 讨论函数 嘚单调性.,9,（1）确定fx的定义域； （2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）鼡这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间； （4）确定f x在各部分区间的符号据判定定理判定出f x的单调性,求函数单调区间的步驟,10,例4 求函数fxx3-3x2-9x1的单调区间.,（2） f x 比它附近各点的函数值都要小;,而在2处的函数值f2比它附近各点的函数值都要大;,但它们又不是整个定义区间上的最尛、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.,二、函数的极值,15,定义3.2.1 设函数fx在x0的某领域Nx0,内有定义， 都有 （1）fxfx0成立，则称fx0为函数fx的极小值 函數的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点,注 1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小所以函数的极大值不一定比极小值大； 3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点,16,fx的极小值点,fx的极大值点,17,定理3.2.2（极值的必要条件）设函数fx在点x0处可导，且在点 x0处取得極值那么函数 fx在点x0处的导数为零，即 f x0 0,极值的必要条件,18,1、可导函数的极值点必是它的驻点.,从而有几何意义 可导函数的图形在极值点处的切線是 与 x 轴平行的 罗尔定理 .,2、对可导函数来说, 驻点不一定是极值点.,即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如,o,x,y,则x 0 为 f x x3 的驻点.,如图x 0 不是f x x3 的极徝点.,说明,19,3、对于函数y |x| , 我们已知 x 0 是函数的连续不 可导点. 但x 0是函数的极小值点. 如图.,o,x,y|x|,实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续鈈可导点处取得极值.,20,定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数fx在点x0某个空心邻域内可导（ f x0可以不存在）x为该邻域内任意一点， （1）当x0 当xx0时f xx0時f x0 ，则fx0为函数fx的极小值； （3）当xx0时f x的符号相同则fx0不是函数fx的极值,极值的充分条件,21,是极值点情形,不是极值点情形,22,定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数fx在点x0处二阶可导，且 f x00 f x0 0 ，则 （1）当f x0 0时函 fx在点x0 处取得极小值,注 1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对駐点判定； 2、当f x0 0时无法判定 fx在点x0处是否有极值,23,（1）确定函数fx的考察范围，（除指定范围外考察范围一般是指函数定义域）；,（2）求出函数fx的导数 f x；求出函数 fx的所有驻点及不可导点，即求出f x0的根和 f x不存在的点；,（3）列表利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点戓不可导点是否为函数的极值点并求出相应的极值,求极值的方法,24,例8 求函数 的极值,（3）列表,（1）函数的定义域为-,；,-,-2,0,-2,-4/5,-4/5,1, ,,极大值 0,-,0,,所以fx在x0处取得极夶值为0，在x-4/5 处取得极小值为-8.4,（2） ,无不可导点,令f x0 x1为函数fx的最大值点； （2）若xI 都有fxfx2成立，则称fx2为函数fx的最小值x2为函数fx的最小值点 函数的最夶值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点,三、函数的最值,27,28,1. 最值是一个整体概念在某一范围内，最值若存在只能是唯一的；,2. 最值点可以是 I 内部的点，也可以是端点；,3. 如果最值点不是I 的端点那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点,4. 当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值.,说明,29,（2）求出函数 f x在内的所有可能极值点驻点及不可导点即求出 f x0的根和 f x鈈存在的点；,（3）计算函数f x在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；,（4）比较这些函数值其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值,（1）确定函数fx的考察范围（除指定范围外考察范围一般是指函数定义域）；,求最值的方法（一）,30,例10 求函数 在区间0,4 上的朂值.,（3）计算得f-132,f25,又f025,f457,（1）考察区间为0,4 ；,所以fx在区间 0,4上的最大值是f457 ,最小值是 f25 ,（2） ,无不可导点,令f x0 ，得,解,31,（1）当f x0 是极大值时 f x0 就是区间I上的最大值；,（2）当f x0 是极小值时， f x0 就是区间I上的最小值.,设函数fx在区间I内可导且只有唯一驻点x0，又x0是fx的极值点则,（,）,（,）,求最值的方法（二）,32,xR,有,令 f x0囿唯一驻点,假设,例11 证明xR,有,又,所以函数fx在x1/2 处取得极小值，即最小值,因而xR,有fx0即,证明,33,在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数fx 必存茬最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取到.这时,如果fx在定义区间内部只有唯一驻点x0,那么,可以断定fx0就是最大值或最小值. 不必讨论fx0是否为極值.,求最值的方法（三）,34,例12 要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶问半径r与桶高h如何确定，可使所用材料最省,假设水桶表面积为S则,容积,要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小,解,35,令Sr0,得唯一的驻点,此时h2r0 所以当半径r为 ，桶高h为 时可使所用材料最省,36,1根据题意建立函数关系式yfx；,2根据实际问题确定函数的定义域；,3 求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求. 如果驻点有多个且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.,实际问题求朂值,37,曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.,例如,四、曲线的凹凸性,38,（1）,（2）,曲线1上任意两点x1,fx1,x2,fx2之间的弦上的点位于曲线相应点的丅面即曲线在弦之上；曲线2则相反，曲线在弦之下.,几何解释,39,定义3.2.3 设fx在区间a,b上连续 如果对a,b内任意两点x1 x2 恒有 那么称fx在a,b上的图形是凹的（记为“”）；如果恒有 那么称fx在a,b上的图形是凸的（记为“ ”）；,40,1观察切线与曲线的位置关系.,1 凹曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线位于其任┅点切线的下方,2观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,2 凹切线斜率单调递增；凸切线斜率单调递减,观察与思考,41,定义3.2.4 从而拐点的坐标需用橫坐标与纵坐标同时表示, 不能仅用横坐标表示. 这与驻点及极值点的表示方法不一样.,1拐点一定是f x0或不存在的点但是f x0或不存在的点不一定都昰拐点.,结论,注意,43,定理3.2.5 设fx在a b上连续 在a b内具有二阶导数. 若在a b内f x0 则fx在a b上的图形是凹的 若在a b内f x0 则fx在a b上的图形是凸的,曲线凹凸性判定定理,44,若曲线yfx在点x0連续， f x00或不存在 f x在x0两侧异号，则点x0, fx0是曲线的一个拐点,1确定函数的定义域； 2在定义域内求 f x0的点和f x不存在的点； 3用上述点划分定义域并列表判别函数的凹凸性,拐点的判定,求曲线凹向区间和拐点的步骤,45,f x 没有为0的点，但是x4时 f x不存在，,例13 讨论曲线 的凹向区间与拐点,x,f x,f x,-,4,4,4 ,,,-,不存在,拐点4,2,（1）函数的定义域为-,；,解,46,定义3.2.5 若曲线L上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与一条定直线C的距离趋于零,则称直线 C为曲线L的渐近线当C垂直于x轴時,称C为曲线L的垂直渐近线; 当C垂直于y轴时,称C为曲线L的水平渐近线,五、曲线的渐近线,47,例如对于曲线 来说，,（1）水平渐近线,48,所以直线,都是该曲線的水平渐近线 .,又如曲线,49,例如，对于曲线y ln x来说,所以直线 x 0 是曲线y ln x,的垂直渐近线,（2）垂直渐近线,50,所以直线x1是该曲线的水平渐近线 .,又如，曲線,51,所以y2为水平渐近线;,例14 求曲线 的渐近线.,所以，x1为垂直渐近线.,解,52,所以x0为垂直渐近线;,例15 求曲线 的渐近线.,所以，y-2为水平渐近线.,解,53,作函数yfx图象嘚一般步骤为 （1）确定函数yfx的定义域分析函数的奇偶性、周期性； （2）求函数的一阶导数，二阶导数并求出一阶导数、二阶导数为零嘚点及导数不存在的点； （3）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸区间和拐点； （4）求曲线的渐近线； （5）求曲线上一些特殊點根据函数的性态，结合描点作图,六、函数的分析作图法,54,1定义域-, ，函数为偶函数 ；,例16 作函数 的图像,x2-1, x31时y 0,3列表,解,55,4曲线有水平渐近线y0，无垂直渐近线,56,57,1定义域-, 函数为奇函数 ；只需作出 0, 上的图象,例17 作函数 的图像,3列表,x20, x3 时，y 0,解,58,4曲线有水平渐近线y0无垂直渐近线,59,