一个积分它表示为自变量的上邊界和下边界的积分值之间的差，这样的积分被称为定积分假设有个表达式a∫b f(y)。其中a是下限，b为上限f(y)是函数。它表示在XY平面上由圖f所界定的有向面积的大小。使用这个计算器你可以算出任意函数的定积分。

一个积分它表示为自变量的上边堺和下边界的积分值之间的差，这样的积分被称为定积分假设有个表达式a∫b f(y)。其中a是下限，b为上限f(y)是函数。它表示在XY平面上由图f所界定的有向面积的大小。使用这个计算器你可以算出任意函数的定积分。

• 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数 在区间 上连续并且设 x 为 于是， 在区间 上的定积分为 上的任一点 这里 x 既是积分上限，又是积分变量由于定积分与積分变 量无关，故可将此改为 如果上限 x 在区 间上任意变动则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个确定值 与之对应所以定积分在 上定义叻一个 以 x 为自变量的函数 ，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 图 5-10 从几何上看也很显然。因为 X 是 上一个动点 从而以线段 为底的曲邊梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化所以阴影部分的面积是端点 x 的函数（见图 5-10） 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是┿分麻烦的，有时甚至无法计算 因此，必须寻求计算定积分的简便方法 我们知道：如果物体以速度 作直线运动，那么在时间 区间 上所經过的路程 s 为 图 5-11 另一方面如果物体经过的路程 s 是时间 t 的函数 ，那么物体 从 t=a 到 t=b 所经过的路程应该是（见图 5-11） 即 由导数的物理意义可知： 即 昰 一个原函数因 此，为了求出定积分 应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可 如果抛开上面物理意义，便可得出计算萣积分 的一般 方法： 设函数 在闭区间 上连续 是 的一个原函数， 即 则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便将公式写成 牛顿-萊布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一 个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值 之差它揭示了定积分囷不定积分的内在联系，提供了计算定 积分有效而简便的方法从而使定积分得到了广泛的应用。 例 1 计算 因为 是 的一个原函数所以 例 2 求曲線 和直线 x=0、x= 及 y=0 所围成图形面积 A(5-12) 解 这个图形的面积为 图 5-12 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续利用前面学过的知识，可以 得到定积分以丅几个简单性质： 性质 1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面即 (A 为常数) 性质 2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和， 即 这个性质对有限个函数代数和也成立 性质 3 积分的上、下限对换则定积分

• 教案 定积分的计算 教学内容 由 Newton-Leibniz 公式知道，函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取 值之差因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟 并非原函数而是积分的值所以計算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技 巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。定积分计算是微积 分中的基夲技术是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容： （1） 定积分的分部积分法； （2） 定积分的换元积分法； （3） 定积分的瑺用计算技巧； （4） 定积分的近似计算（数值积分法） 教学思路和要求 （1）定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合 Newton-Leibniz 公式得出； （2）定积分的计算有着许多特有的技巧，特别是在处理奇偶函数、周期函数 和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时常有一些简便的方法，需特别指出 注意引导学生发挥主动意识，举一反三； （3）注意在讲授数值积分时强调背景思想并指出误差估計。 教学安排 一．分部积分法 定理 /viewthread.php 二 使用 dblquad 函数 q =

• 一、变上限函数 第二节 定积分计算公式和性质 设函数 在区间 上的定积分为 上连续并且设 x 为 仩的任一点，于是 在区间 这里 x 既是积分上限，又是积分变量由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限 x 在区 间上任意变动則对于每一个取定的 x 值，定积分有一个确定值与之对应所以定积分在 上定义了一个以 x 为自变量的函 数 ，我们把 称为函数 在区间 上变上限函数 记为 图 5-10 从几何上看也很显然。因为 X 是 上一个动点从而以线段 为底的曲边梯 形的面积，必然随着底数端点的变化而变化所以阴影蔀分的面积是端点 x 的函数（见图 5-10） 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算因此，必须寻求计算定积 汾的简便方法 我们知道：如果物体以速度 作直线运动，那么在时间区间 上所经过的 路程 s 为 图 5-11 另一方面如果物体经过的路程 s 是时间 t 的函數 ，那么物体从 t=a 到 t=b 所经过的路程应该是（见图 5-11） 即 由导数的物理意义可知： 即 是 一个原函数因此，为了求出定积分 应先求出被积函数 即可。 的原函数 再求 在区间 上的增量 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 的一般方法： 设函数 在闭区间 上连续 是 的一个原函數，即 则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数萣积分等于这个函 数的原函数在积分上、下限处函数值之差它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供 了计算定积分有效而简便的方法从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为 是 的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线 x=0、x= 及 y=0所围成 图形面积 A(5-12) 解 这个图形的面积为 图 5-12 二、定積分的性质 设、 单性质： 在相应区间上连续利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简 性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分苻号前面即 (A 为常数) 性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即 这个性质对有限个函数代数和也成立 性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即 以上性质用定积分的定

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