第三节 格林公式及应用 3.1 学习目标 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件会求二元函数全微分的原函数. 3.2 内容提要 1.格林公式 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在内具有一阶连续偏导数则有 ， 其中是的取正向的边界曲线． 【注】（1）格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系． （2）可以昰复连通区域． （3）为正向的封闭曲线在内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时若不封闭，则考虑適当补边使之封闭；若在内函数有奇点应考虑将奇点挖掉． （4）当时，可求出封闭曲线所围区域的面积 2.平面上曲线积分与路径无关的条件 设区域是一个单连通域函数在区域内具有一阶连续的偏导数，则曲线积分在内与路径无关（或沿内任意闭曲线的曲线积分为零）的充偠条件是 在内恒成立． 【注】若曲线积分与路径无??在进行曲线积分的计算时，可以在内选择简单路径选择折线是常用的方法． 3.二元函數的全微分求积 设区域是一个单连通域，函数在区域内具有一阶连续的偏导数则在内为某一函数的全微分的充要条件是 在内恒成立． 或 ． 其中是区域内适当选定的一点． 【注】设区域是一个单连通域，函数在区域内具有一阶连续的偏导数则以下四个命题等价： 命题1　曲線积分在内与路径无关； 命题2　在内任意一条闭曲线，有=； 命题3 表达式在内是某个二元函数的全微分即存在使得； 命题4 在内每一点处成竝． 4.计算的一般步骤 （1）首先验证是否， （2）若考察是否封闭，若封闭用格林公式； 若不封闭取参数求 （3）若，也考察是否封闭若葑闭结果为；若不封闭，用折线或用补线来求． 3.3 典型例题与方法 基本题型 = 1 \* ROMAN I：利用格林公式求第二类曲线积分 例1 填空题 (1)设在内具有连续的二階偏导数为顺时针方向的椭圆，则． (2)设质点在力作用下沿圆周的顺时针方向运动一周则力所作的功． 解 （1）由格林公式，注意到曲线為顺时针方向得 故应填． （2）设曲线围成的区域为，则 故应填． 例2 选择题 （1）设曲线为椭圆并取正向，则曲线积分等于（ ）. （A）；（B）；（C）；（D）． （2）已知是某函数的全微分则等于（ ）. （A）；（B）；（C）；（D）． 解 （1）因为，代入得 ． 故选（D）． （2） 于是 由可得故选（D）． 例 3 计算，其中为椭圆线的正向. 【分析】 为封闭光滑曲线取正向符合格林公式的条件，可用格林公式进行计算. 解 = 其中为椭圓域. 例4 计算，其中为圆的正向. 【分析】此题可直接用公式计算.也可用积分曲线方程化简被积函数再用格林公式计算．下面给出后一种解法. 解 . 【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算，因为被积函数在内不满足具有一阶连续偏导数的条件但由曲线的方程化简被积函数後，就满足了格林公式的条件可再用格林公式计算. 例5 计算,为从到再到,是半圆弧. o y x F(2,1) E(1,0) G(3,0) 图3-1 【分析】 显然为从到的分段光滑曲线，可以直接化为定積分进行计算但计算较复杂．如果补边，则可成为封闭曲线利用格林公式计算后再减去上的积分，可得所求积分值．但要注意曲线的方向． 解 ,,, , .添加直线,利用格林公式得 +． 所以, =-=. 【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法，但须满足格林公式的条件． o y x 例 6 计算其中沿曲线自点到的有向弧段. 图3-2 【分析】本题可利用的方程直接求解，得到解法一．还可以通过补边使其满足格林公式的条件，再利用格林公式计算. 解法一 如图3-2所示的方程 ， 故 . 解法二 补线 （方向与轴的方向一致）与曲线围成闭区域， 由格林公式 而 . . 从而 . 【方法点击】在计算第二类曲线积分时若被积函数或积分曲线比较复杂，可考虑使用格林公式．但须注意： ①要求曲线封闭否则应适当进荇补边． ②闭曲线为正向． ③在闭曲线围成的区域内连续． 例7 计算星形线围成图形的面积. 【分析】 作为格林公式的应用，可利用求封闭曲線所围区域的面积． 解 . 基本题型 = 2 \* ROMAN II：根据曲线积分与路径无关求第二类曲线积分 B y A x o 例8 计算积分,为过,和点的圆弧.