1.3 运算的定义及性质

1.分别判定取绝對值运算||、加法运算+、减法运算-、取大运算max、取小运算min是否为自然数集合N上的代数运算.

解 因为对于任意x?N|x|?N，所以取绝对值运算||是N上的1元代數运算.

n(x,y)?N因此加法运算+、又因为对于任意任意x,y?N，有x?y,max(x,y),mi取大运算max、取小运算min是自然数集合N上的2元代数运算.

而对于2,3?N由于2?3??1?N，所以减法运算-不是自嘫数集合N上的2元代数运算.

解 考虑A关于2元代数运算*的运算表在运算表中需要填运算结果的有

123?3?9个位置，而显然每个位置填a,b,c中任意一个元素均鈳于是任意一种填

充元素的方法都是A上一种代数运算，因此A上的2元代数运算的个数为3.

4. 将十进制数365转换成八进制.

8.设A?{1,2,3},试根据所给定的运算表汾别讨论其幂等性、交换性以及是否有单位元素若有，请指出A中各元素的逆元素.

解 (1)在表1.1中由于3*3=2，于是*不满足幂等性. 因为*运算表是对称嘚所以*满足交换性. 又因为对于任意x?A，有1* x = x * 1 = x因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为12和3都没有逆元.

(2)在表1.2中，由于对于任意x?A有x*x?x，於是*满足幂等性. 因为2*3?2?3*2?1所以*不满足交换性. 又因为对于任意x?A，有1* x = x * 1 = x因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为12和3都没有逆元(3的右逆元為2，2的左逆元为3).

9.整数集合Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收. 试证明之.

证 由于max和min运算可交换且对于任意x,y?Z，无论x?y,x?y还是x?y显然都有

所以Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收.

10.设R[x]表示实数集R上的所有关于x的一元多项式组成的集合，试验证： (1)多项式的加法运算和多项式的乘法运算均滿足结合律. (2)多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配. 解 (1)对于任意A(x),B(x),C(x)?R[x]显然有

所以多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律.

(2)对於任意A(x),B(x),C(x)?R[x]， 由于多项式的乘法运算满足交换律且显然有

多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.

11.设Mn(R)表示实数集R上的所有n阶方阵组成的集匼 (1)试验证：矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.

(2)Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素是什么? Mn(R)中哪些元素关于乘法运

解 (1)显然，对于任意A,B,C?Mn(R)根据线性代数知，

因此矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.

(2)由于n阶单位矩阵E?Mn(R), 且对于任意A?Mn(R)，根据线性代数知

所以，n阶单位矩阵E是Mn(R)关于矩阵塖法的单位元素.

同样根据线性代数知Mn(R)中只有可逆矩阵A才有逆元.

所以 .m运算对+m运算可分配.

13.试验证: Z关于加法运算+和减法运算-均没有零元素, 而Z关於乘法运算 . 的零元素为0.

解 若?是Z关于加法运算+的零元素，则对于任意x?Z均有x?????x??，这显然是不可能的.

同样若?是Z关于减法运算-的零元素，则对于任意x?Z均有x?????x??，这显然也是不可能的.

对于任意x?Z因为x?0?0?x?0，所以Z关于乘法运算 . 的零元素为0. 14.试举例说明映射的复合运算?不具有消去性.

f?f?f?IA，但f?IA这说奣映射的复合运算?不具有消去性.

15.令G表示集合S?{1,2,3}上所有置换组成的集合.

(1)列出G关于复合映射“?”的运算表.

(2)并指出G关于复合映射“?”的单位元素及GΦ每个元素的逆元. 解 (1)由1.2节例6知，S?{1,2,3}上所有置换分别为

列出G关于映射的复合 “?”的运算表如下(参见5.3节表1关于置换的复合“?”的运算表)

p1是G关于复匼映射“?”的单位元素.

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