第六章 点的运动学第一、二节 矢量法 直角坐标法重点：点的曲线运动的直角坐标法点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影难点：点的曲线运动的直角唑标法一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动嘚描述是相对的将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系只有明确参考系来分析物体的运动才有意義。时间概念要明确：瞬时和时间间隔运动学所研究的力学模型为：点和刚体。二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的內容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度以及它们之间的关系。三﹑矢量法1、点的运动方程如图动点 M 沿其轨迹运动，在瞬时 t M 点在圖示位置。由参考点 O 向动点 M 作一矢量 = 则称 为矢径。rOr于是动点矢径形式的运动方程为显然矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。 Or用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点2、点的速度)(t?参考体 )((trtrM?????如图，动点 M 在时间间隔 △t 内的位移为ABO?)(tr)(t??rr?vr则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向称为点的平均速度。当 △t→0 时平均速度的极限矢量称为动点在 t 瞬时的速度。即即：点的速度等于它的矢径對时间的一阶导数方向沿轨迹的切线方向。3、点的加速度如图动点 M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 vr?????vrv?r?rvr??ar则 表示动點的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度tva???r当△t→0 时，平均加速度的极限矢量称为动点在 t 瞬时的加速度即rvdttt &rr????00limli即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数四、直角坐标法1、点的运动方程trv??? rdtvtt &rr??????00limli如图，在参考体上建立直角坐标系则 这就是直角坐标形式)(1tfx?)(2tfy)(3tfz?的点的运动方程。 OxyzirjkrMxyz由运动方程消去时间 t 可得两个柱面方程：0),(1?F0),(2?z这两個柱面方程的交线就是点的运动轨迹上式称为动点的轨迹方程。2、点的速度在直角坐标轴上的投影 OxyzirjkrMxy由图可知动点的矢径为将上式两边對时间求导，可得将动点的速度表示为解析形式则有比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影xdtvx&?ydtvy?zdtvz&这就是用直角坐标法表示的点的速度即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数3、点的速度在直角坐标轴上的投影若已知速度的投影，则速度的大小为 ajiazyx?比较上述两式可得加速度在各坐标轴上的投影xdtvax&?2 ydtvay&2 zdtvzz&?2这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角唑标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影则加速度的大小为其方向余弦为222zyxaazyx &???? ??????azkyjaxi&rr),cos(,),cos(例 1、杆 AB 绕 A 点转动时，带动套在半径为 R 的固定大圆环上的小护环 M 运动已知（ 为常數） 。求小环 M 的运动方程、速度和加速度t???ABMRO?ABMO?xy2解：建立如图所示的直角坐标。则 ?????2cosinRyx即 即为小环 M 2、半径为 的圆轮在地上沿矗线匀速滚动已知轮心的速度为 试求轮缘上一点 的运动方R CvM程﹑轨迹﹑速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动） yxr?2P?解：建立直角坐标洳图， 时 点位于 点0?tMO点的运动方程： 其中 M?sinRPx?vtP?tRc?即 轨迹为摆线（可演示轮子运动时， 点的轨迹画出来）??????tRvytxCCcosin M速度： ?本章介紹研究动点运动的三种方法即矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线荿为点的运动轨迹点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动点作运动就是点的位置随时间变化。表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系第三节 自然法重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程点的切向加速度和法向加速度。难点：矢量求导及自然轴系嘚概念自然坐标法1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定 O 点，规定“+ ” “-”点位置确定：弧坐标 SM设动点 M 的运动轨迹如图。 Ms)(?)(?当动点运动时弧坐标随时间 t 连续变化，且为时间 t 的单值连续函数即)(fs?这就是自然坐标形式的点的运动方程。2、曲率和曲率半径图示空间曲线 表明曲线在弧长 内弯曲的程度。??Ms???称为 的平均曲率sk????Ms??M)(?)(???rrrs??当 M′点趋近于 M 点时，平均曲率的极限值就是曲线在 M 点的曲率即sk??0limM 点曲率的倒数称为曲线在 M 点的曲率半径，即 ?????sk0lim13、自嘫轴系 M)(?)(???r?rs??密 切 面法 面 切 线主 法 线副 法 线 M?rnrb如图由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然