有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第1_百度知道
有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第1
有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2），直到...
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（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P0=1．第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴P1=．棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为．∴P2=+=．（2）证明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为Pn-2；②棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为Pn-1．∴Pn=Pn-2+Pn-1．∴Pn-Pn-1=-（Pn-1-Pn-2）．（3）解：由（2）知，当1≤n≤99时，数列{Pn-Pn-1}是首项为P1-P0=-，公比为-的等比数列．∴P1-1=-，P2-P1=（-）2，P3-P2=（-）3，…，Pn-Pn-1=（-）n．以上各式相加，得Pn-1=（-）+（-）2+??+（-）n，∴Pn=1+（-）+（-）2++（-）n=[1-（-）n+1]（n=0，1，2，，99）．∴P99</sub
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。硬币游戏:写一个程序模拟反复抛硬币，直到连续出现三次正面或反面为止，此时你的程序应该显示抛硬币的总次_百度知道
硬币游戏:写一个程序模拟反复抛硬币，直到连续出现三次正面或反面为止，此时你的程序应该显示抛硬币的总次
运行效果：国徽向上！ 国徽向上！ 国徽向下！ 国徽向上！ 国徽向上！ 国徽向下！ 国徽向下！ 国徽向上！ 国徽向上！ 国徽向上！ =================================================== 总共抛了 10 次！
我有更好的答案
#include &stdio.h&#include &stdlib.h&#include &time.h&int main(void){ int count_z = 0,count_s = 0,count_x = 0;
srand((unsigned int)time(NULL));//以时间作为种子。 while(count_s & 3 && count_x & 3) {
flag = rand()%2;//产生0和1两个随机数，作为正反面。
count_x++;
count_s = 0;
printf(&国徽向下 !&#92;n&);
count_s++;
count_x = 0;
printf(&国徽向上 !&#92;n&);
count_z++; } printf(&========================================================&#92;n&); printf(&总共抛了 %d 次！&#92;n&, count_z); system(&pause&); return 0;}
采纳率：33%
用srand()和rand()%2产生0、1两个随机数，分别代表正面反面。设置一个while循环，用变量i对相同值连续出现的次数进行计数，用j对总的随机次数计数，当i达到3时退出while循环，输出j。程序的逻辑就是这样，具体的代码建议还是楼主自己写吧，多锻炼一下自己。
本回答被提问者采纳
#include &stdio.h&#include &stdlib.h&#include &time.h&int main() { int up = 0, down = 0; srand((unsigned) time(NULL)); while (up != 3 && down != 3) {
int a = rand() % 2;
if (a == 1) {
printf(&国徽向上&#92;n&);
printf(&国徽向下&#92;n&);
} } printf(&%s%d%s&#92;n&,&一共抛了&,up + down ,&次&); system(&PAUSE&); return 0;}
printf(&%s%d%s&#92;n&,&一共抛了&,up + down ,&次&);&%s%d%s&
这有点问题吧？
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。解竞赛题的钥匙 一 算谜问题——凑凑、估估、揭谜底算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏， 它不仅加深对小学数学基本知识的 理解，对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。 1958 年开始，心理学家以算谜为例子，研究人类解决问题的思维过程。由于算谜问题 构思精巧，变化多端，并且具有不同的难度层次，所以经常被智力竞赛和数学竞 赛所选用。 算谜问题， 一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完整的 算式就像“谜”一样， 要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、判断把算 谜“猜”出来，使不完整的算式补充完整。 我们通过一些例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。 例 1 9○13○7=100 14○2○5= □ 把+、-、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可 以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？ （1986 年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题） 解法：先考虑第一个等式，等式右边是 100 比 9、13、7 大得多，所以等式 的圆圈里首先应考虑“+”或“×”，但 9×13=117 比 100 大，所以得 9＋ 13×7=100。 第二个等式中，题意要求在长方形中填整数，而且只剩下减号和除号，所以 得 14÷2-5=2。 即长方形中的数是 2。 例2 在 15 个 8 之间添上+、-、×、÷，使得下面的算式成立： = 19868 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8（北京市第二届小学生“迎春杯”数学决赛题） 分析：这个式子数字很大，我们先凑出与 1986 较接近的数，如： 8888÷8 ＋888=1999。这个数比 1986 大 13，这样原问题就转化为：能否用剩下的七个 8 经适当的四则运算得出一个等于 13 的算式呢？还是用上面的想法： 11 与 13 较接近，而 88÷8=11 这样一来问题就转化为能否用剩下的四个 8 写出一个等于 2 的算式。而这是不难办到的。如： 8÷8＋8÷8＝2 解法： 8-88÷8-8÷8-8÷8=1986用上面类似的方法你能找到另外的解答吗？ 以上二例是填写运算符号， 例 1 是根据运算结果进行逆推，是解答算谜问题 的常用方法。例 2 用逆推的方法比较麻烦，因此，我们先经过估算，凑出一个与 结果较接近的数，然后凑凑、算算，使算式成立。 下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。 例 3 将 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰 好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几？ ○×○=□=○÷○ （1986 年第一届“华罗庚金杯赛”复赛试题） 解法：要求用七个数字组成五个数，根据算式，应当三个数是一位数，两个 二位数，二位数应是积和被除数。 O 和 1 不宜做一位数，一位数如果是 2，则会出现 2×6＝12 （2 重复出 现） ， 2×5=10 （经试验不行） ， 2×4＝8 （7 个数中没有 8） ， 2×3=6 （6 不能成为商），因此，2 也不能做一位数。 0、1 和 2 只能用来组成二位数，它可以组成 12 和 21，经验算，21 不能填 在方框内，于是得到 3×4=12=60÷5。 即填在方框内的数是 12。 例 4 下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这 6 个方框中的数字的 总和是多少？ （1991 年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题）分析：解决这样的问题，我们需要认真审题，抓住式中的某些特点，寻找突 破口。 这个题目的突破口在百位上，由于十位至多向百位进 1，且百位上两个□内 数字之和加上十位向百位的进位等于 19，可以推出百位上两个□内数字均填 9， 且十位向百位进 1；同理，由于十位上两个□内数字之和加上个位向十位的进位 等于 19，可以推出十位上两个□内数字均填 9，且个位向十位进 1；由此推出个 位上两个□内数字之和等于 11。 解法：由于两个加数的十位和百位数字均为 9，两个加数的个位数字之和为 11，因此所有□内数字之和为 9×4+11=47。7，8，9”中的某一个数字，使得该除式成立。 （上海市 1988 年小学数学竞赛试题） 分析：根据除式条件，首先可知除数的十位数字是 1，第一次相除后，余数 是 32，由此推出商数的个位数字只能是 2，除数的个位数字也只能是 6。 解法：例6在□中填上适当的数字，使算式成立。分析：因为除数是三位数，并且百位数为 6，它和商的首位的乘积也是三位 数，所以商的首位是 1；因为第一行的个位数是 7，所以除数的个位数也是 7； 因为第二行的个位为 1，所以商的个位为 3。因为 3×7= 21，必须向十位进 2，所以根据十位上的 6，推知除数的十位是 8。商与除数确定后，其他数字都易 于确定。 解法：（1993 年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题） 分析： 这是一道数字谜的最值问题，要选择好“突破口”通常从首位或未位 数字入手。 解法：由已知条件首先确定 A＝1，然后再看被加数与加数的个位数字之和：D+G=3 或 13，由 题意 A、D、G 代表不同的数字，于是 D＋C≥2＋3=5，因此有 D＋G=13。同理，被 加数与加数的十位数字之和：C+F≤8＋9=17。这样可以断定 C＋F=8，最后可以 推知，被加数与加数的百位数字之和 B＋E=9，下面考虑乘法算式为了使乘积最大，显然乘数的首位数字 E 应该尽可能大，而 B＋E=9。于是 B 应该尽可能小，这样可以断定取 B =2，E=9，根据同样理由，可以确定乘数的十 位数字 F 应该取 5，因为这时 C 的最小值可取 3；最后确定 C=9，6606。 类似地，为了使乘积最小，可以依次确定 B=7，E=2，C=5，F=3，D=9，1606。 606=525000。 所以，乘积 ABCD×EFG 的最大值与最小值差 525000。 例8 在右边的算式中 A、B 代表不同的数字，若算式成立，求出 A、B。（1980 美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题） 解法： 算式中， AB×A=114 将 114 分解因式， 114=2×3×19， 然后将 114 写成一个二位数与一个一位数的积。 114=52×2=38×3=19×6，显然 38×3 符合要求，所以 A=3，B＝8。 例 9 右边乘法算式中的来参加数学邀请赛“来参加数学邀请赛”八个字 各代×赛表一个不同的数字， 其中赛代表来来来来来来来来来 9， 来代表＿＿＿， 参代表＿＿＿，加代表＿＿＿，数代表＿＿＿，学代表＿＿＿，邀代表＿＿＿， 请代表＿＿＿。 （1986 年“小学生数学报”数学邀请赛试题） 解法： 已知赛代表 9， 赛×赛＝9×9=81， 所以来代表 1， 即乘积为 。 根据积÷一个因数＝另一个因数，可以求得被乘数 ÷9=。 从而得出：参代表 2，加代表 3，数代表 4，学代表 5，邀代表 6，请代表 7。例 10 下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字，每 个方框中可以填 0 至 9 任何一个数字，但最高位不能填 0，试确定算式中的每一 个数字。解法：为叙述方便，把每行中的数字从上到下称为第一行，第二行，?? 从第二行看，“数”代表 0。 从第三行看，“趣”代表的数自乘后仍是一位数，所以这个数必须小于等于 3。而且当“趣”代表 3 时，“味”必须小于等于 2。 从第四行看，第三行的第一个数字必须是 9，因此“趣”代表 3。 又因“数”代表 0， 如果“味”代表 1，那么第二行的第一个数“3”与第三 行的第二个数“3”相加就没法进行。所以，“味”必须是 2。于是“趣”、 “味”、“数”分别为“3”、“2”、“0”。 最后看第一行“学”不能大于 3，否则第一行将是五位数，又因为四个数字 表示互不相同的数，所以学只能是“1”。 通过上面例题分析，解答算谜问题要注意： 1.首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取 0 至 9 中的某一个数 字。 2.要认真分析已知算式中给出的各种数量关系，根据这些数量关系，选择 “突破口”。 3.突破口的选择往往从确定一个数（乘数，被乘数，除数或商）的个位、首 位或其他数位上的数字入手。 4.必要时要采用枚举和筛选相结合的方法，淘汰那些不合题意的解，寻找正 确答案。 5.运用估算的方法，缩小枚举和试验范围以减少试验次数。习题一1.在 1199 之间填上适合的运算符号，使等式成立。 1199＝10 （天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛试题） 2.填上合适的符号，使等式成立。 4=2 4=4 4444=5 （天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题） 3.在下面式中填上算术运算符号、括号，使式子成立： （1）1 2 3=1； （2）1 2 3 4=1； （3）1 2 3 4 5=1； （4）1 2 3 4 5 6=1； （5）1 2 3 4 5 6 7=1。 （1984 年重庆市小学数学竞赛试题） 4. 填上适当的运算符号，使下式成立： 1 2 3 4 5＝100（1983 年《小学生报》数学邀请赛） 5.在下面十五个 9 之间添上+、-、×、÷、（ ）使下面算式成立：9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2000 6.在被除数小于 100 的情 况下，在右图□内填上适当的数：（1983 年《小学生报》数学邀请赛试题） 7.在下面的□中，分别填上 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的一个数字（每 个只许填一次）使得带分数算式（每式只要一个填法）：（上海第一届“从小爱数学”邀请赛试题） 8.在下面乘法竖式的□内各填上适合的数字，使算式成立：9.在下面的方框中填上适当的数字，使算式成立：10.关于下面的算式，只知道一个数字 8，你能确定其他数字吗？11.把下面除法算式中的*号填出来，成为一完整的算式。12.下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求出 这些字母各代表什么数字，算式才能成立：13.将下面式中的字母用数字代替，使算式成立。（1984 年上海“金钥匙”数学竞赛题） 14.下面算式中每一个字代表一个数字，不同的字代表不同的数字，当算式 成立时，求每个字所代表的数字。（1986 年北京奥林匹克学校入学试题） 15.在下面的算式中“三”、“好”、“学”、“生”四个汉字各代表一个 阿拉伯数字，其中“三”代表＿＿，“好”代表＿＿，“学”代表＿＿，“生” 代表＿＿。（1988 年《小学生数学》报小学生数学邀请赛初赛试题） 16.在象棋算式里，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想棋子各代表哪 些数字。17.下列各题的每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，试 求出下列各算式。(2)(3)（4）优优优优优优÷学=学习 再学习二填数问题——从“九宫算”谈起在填数问题中，小学生常常采用“凑”的方法，通过几次试验来寻找解答。 如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。在这个 意义上讲，填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。 我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献， 著名的“九宫算”就是其 中之一，最早提出的问题是： 将 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、 每一纵列和两个对 角线上的数之和相等。这种图形填数， 我国古代称为“九宫算”、 “纵横图”， 国外叫做幻方。 “九 宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在 3×3 的小格内，它是一个三阶幻方。传说大 禹治水的时候，洛水中浮出一只神龟，龟背上驮了一个“洛书”图。将它译释成 今日数字即为一个三阶幻方。一般地，在 n×n 的方格内，既不重复又不遗漏地填上 n2 个自然数，每个数 占一格，并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等，这样排成的数 表称为 n 阶幻方。都相等的和叫幻和。 幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林就曾 经对幻方很感兴趣。目前，最大的幻方是 105 阶，它是由美国一位 13 岁少年作 成的。 下面我们来谈谈如何填好“九宫图”。 例1 填九宫图所表示的幻方。解：首先应解决二个问题： （1）每行、每列的和是多少？ （这个和叫幻和） （2）中间位置的数应当填几？ （求幻和时几次用到了它） 为了叙述方便，我们把每个方格内要填的数字用字母表示（图 1）。首先求出幻和。因为 a1+a2＋a3＋b1＋b2＋b3+c1+c2+c3＝1+2+3+4+??+9=45， a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2＋c3=幻和，所以，幻和×3=45，幻和=45÷3=15。 其次，确定中心数 b2。 因为（al+b2+c3）+（a3+b2+c1）+（a2+b2+c2）+（b1+b2+b3）=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60， 所以 b2=5，即中间数应当是 5。 最后，考虑四个角上应填什么数 假设 a1 为奇数，那么 （1）如果 a2 也是奇数，那么 a1＋a2＋a3=a1+5＋c3=a2+5＋c2=15。于是 a3、c3、 c2 也都是奇数，连同 b2=5 共有六个奇数，矛盾（如图 2）。（2）如果 a2 为偶数，那么 a3、c2 为偶数。又因为 c3 为奇数，a3＋b3＋c3=c1+c2 ＋c3=15，所以 b3、c1 为偶数。这样就有 5 个偶数，矛盾（如图 3）。 所以 a1 不能为奇数。 同理可证 c1、c3、a3 都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方（如图 4、图 5）。例2把 4 至 12 填在 3×3 的方格内，制成三阶幻方。解：（1）求幻和：（4＋5＋??＋12）÷3＝72÷3=24。 （2）求中心数：∵72＋3b2=24×4，∴3b2=24，∴b2=8。 （3）确定四角数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数 为偶。现在九个数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证 这个猜想是正确的，所以在四个角上填 7、5、9、11。填其余数字就容易了（如 图 6）。数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、既辐 射又封闭的复合型数阵。 例3 将 1 至 7 七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相等。解：首先确定中心数。不妨设中心数为 a，则 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3 整 除。 所以， （28＋2a） ÷3=28÷3＋2a÷3。 其中， 28÷3 商 9 余 1。 因此， 2a÷3 的余数必须是 2， 那么当 a 是什么数时 2a÷3 的余数才是 2 呢？为此， 我们在 1～ 7 六个数中试验选择如下： 当 a＝1 时， 2a÷3=2÷3 商 0 余 2；（符合要求）当 a＝2 时， 当 a＝3 时，2a÷3=4÷3 商 1 余 1； 2a÷3=6÷3 商 2 余 0；当 a=4 或 7 时，余数也是 2。（符合要求） 所以，当 a=1、4、7 时，2a÷3 的余数是 2，即中心数为 1，4，7。 当 a＝l 时，（28＋2）÷3＝10，所以除中心数外，其他两个数的和是 10-1 ＝9，只要把 2、3、4、5、6、7 按和为 9 分成三组填入○内即可。 当 a=4 时，（28＋8）÷3=12，除中心数外其他两个数的和为 8。 当 a＝7 时， （28＋14）÷3=14，除中心数外其他两个数的和为 7。因此，可得三个解：例4将 1 至 6 分别填入圈内，使各边上三个○内数字和相等。解：首先应确定三个顶点上○内的数字。 用 k 表示每边上三个○内的数字和，用 a、b、c 分别表示三个顶点○内的数 字，因为三个顶点上的数在求和时多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c＝3k， 21+a+b+c＝3k，即 k=（21+a+b+c）÷3。 又因为 a、b、c 可以分成七组数：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6； 1，2，6；1，3，5；2，4，6。 我们把这四组 a＋b＋c 的和与 k 的值列表如下：从表中看出，当 a＋b＋c 的最小值是 1＋2＋3=6 时，k 的最小值是 9。当 a＋b＋c 的值最大是 4＋5＋6＝15 时，k 的最大值是 12。 1.当 a＋b＋c=6，k=9 时，a、b、C 分别是（1，2，3）、（1，3，2）、（2， 1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）、（3，2，1），那么，其余三个○内分别 填 4、5、6。我们可以填出六种解法：从上面答案可发现， 只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得到其 余的五个解。 我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解是同一个 解。 2.当 a＋b＋c=9，k=10 时，试验如下： （1）如果 a=1，b=2，c=6（如右图），那么在三角形底边上只有填 2，才能 使底边上○内数的和是 10，但这样重复，因此无解。（2）如果 a=1，b=3，c=5，那么其余三个○内分别填 2、4、6，得本题的第 二个基本解。 （3）a=2，b＝3，c=4 时，无解。 3.当 a＋b＋c=12，k=11 或 a＋b＋c=15，k=12 时，用上面同样的方法得到下 面的两个基本解：从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有 24 个解， 但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。 例 5 把 1 至 8 八个数分别填入图中的八个○内，使每个圆周上五个数的和 都等于 21。 解：设两个圆的交叉点上的两个○内各是 a、b。那么，在计算两个大圆周 上 10 个数的和时，a、b 两数都多加了一次，所以 1＋2+??＋8＋a＋b 除以 2 应该是 21，即 36＋a＋b=21×2，从而得 a＋b=6。 在 1 至 8 八个数中，只有 1 和 5，2 和 4 这两组数的和是 6。 （1）如果中间两个○内分别填 1 和 5，另外三个○①内三个数的和都应当 是 21-6=15，在 2，3，4，6，7，8 这六个数中，和相等的数只有 2，6，7 和 3， 4，8。（2）如果中间两个○内填 2 和 4，其他的数可分成两组 1，6，8 和 3，5，7， 分别填入○中。 例6 把 1 至 7 七个数填在右图的○内，使每条线上三个数的和都相等。（1988 年无锡市小学生数学竞赛试题） 解：本题是例 3 的发展，设中心数为 x，其余各数分别为 a、b、c、d、e、f。 根据例 3 的分析，x 可取 1、4、 7。 （1）当=1 时，则得每条线上三个数的和为 10。 a+b+c+d+e+f=28-x=-27。 但 a+c+e=10，b+d＋f＝10， 于是 a+b+c+d+e+f=20。 两种结果产生矛盾，因此，x 不能为 1。 （2）当 x＝4 时，则得每条线上三个数的和为 12。 a+b+c+d+e+f=28-x=24。 但 a+c+e＝12，b+d+f=12， 于是 a+b+c+d+e+f＝24。 两种结果一致，因此，x 可为 4。 因为 1+7+4=12，6+2+4＝12，5+3+4=12，而且 7+2+3= 12，1＋6＋5=12，所 以可得解（见右图）。图中当 1 的位置确定后，5 与 6 可以对换，（3 与 2 也相应的对换），因此 有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式，这样就 有 2×3=6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因此，本题 有 6×2=12 种不同形式。 （3）当 x=7 时，无解。习题二1.在下面的方格内，每边加起来的数都是 5，总数是 12，现在请你用任何数 字重新排列，每边加起来仍是 5，但总数是 13、l4。2.把 5、7、9、11、13、15、17、19、 21 分别填入下面正方形的方格里， 使每行、每列、对角线上三个数的和都相等。3.右图中的 A=＿＿＿，B=＿＿＿，C= ＿＿＿，D=＿＿＿ ，E= ＿＿＿时， 它可能构成一个三阶幻方？4.将 1 至 8 八个数填入右图的八个方格内，使上面四格，下面四格，右边四 格，中间四格，对角线上四格和四角四格内的四个数的和都是 18。5.用 1 至 5 这五个数填入右图中使每行和每列的 3 个数的和相等。6.将 1 至 9 这九个数分别填入右图的○内， 使每条辐射支上的三个数的和都 相等。7.将 1 至 11 这 11 个数， 分别填入右图中，使每条线段上三个○内数的和都 相等。8.在右图的每个圆圈里填上适当的质数（不得重复），使每条直线上三个数 的和都相等，且均为偶数。（安庆市首届小学数学竞赛试题） 9.请将 1 至 8 这八个数字填入右图的空方框内， 使每条直线上三个数的和都 为质数。（张家口市 1990 年小学五年级数学竞赛（复赛试题）） 10.把 1 至 7 七个自然数分别填入右图中的圆圈里，使每条线上三个数的和 相等。（1990 年济南历下区小学五年级数学竞赛试题） 11.把 20、21、22、23、24、25 这六个数分别放在图中的一个圆圈中，使这 个三角形各边上的三个数之和是相等的。（天津市第二届“我爱数学”竞赛题） 12.将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数分别填在右图的三角形的圆圈 里，使每条边上的四个数字和等于 17。（1983 年洛阳市小学生数学竞赛试题） 13.如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上 六个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。问这 六个质数的积是多少？（1986 年“华罗庚金杯”决赛试题） 14.把 1 至 10 这十个数填入右图的十个○内， 使每个正方形四个顶点上各数 的和都等于 24。15.把 5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 填入右图中的小圆中，使每个 大圆圈中六个数的和是 55。（长春市 1988 年四年级数学竞赛题） 16.将 195、196、197、198、199、200、201 七个数分别填入右图的小圆圈 内，使每条直线上和每个圆上的三个数的和都是 594。（石家庄市长安区 1989 年五年级数学复赛试题） 17.将 1 至 10 这十个数分别填入图中○内， 使每条线段上四个○内数的和相 等。每个三角形三个项点上○内数的和也相等。数列问题 ——从高斯的故事谈起高斯是 19 世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学，善于思考，聪明过 人。据说他在读小学三年级的时候，一次老师布置一道题目：“把从 1 到 100 的自然数加起来， 和是多少？”正当同学们埋头一个数一个数加的时候，小高斯 很快报出答数为 5050，这使得老师非常吃惊。 小高斯是采取什么办法巧妙地进行计算的呢？ 先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+??+100。 这是按自然数排列的，后面一个数都比前面一个数大 1，好比上体育课同学 们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列： ①1，3，5，7，9，11； ②2，6， ③5， 10， 14， 18，22； 25， 30。10，15，20，这些数列的两个数之间的差都是相等的，所以叫做等差数列。既然这些数列 排列都有规律可找，因此可以发现许多数学问题，这些就是数列问题。 小高斯做的题目是最简单的数列问题。100 个数相加大多了。我们先用九个 数来研究一下：这样凑成 4 个 10 再加上 5，和为 45。 还有一个办法：把数列颠倒过来相加，所得结果是和的 2 倍，只要除以 2 就得到答案： 和＝90÷2＝45。 按照这个道理，可以得到求等差数列的和的一般公式： （首项+末项）×个数÷2 把小高斯做的题目： （1+100）×100÷2 =101×100÷2 =150 例1 1+2+3+?+250＝+3+4+5+?+100 代入公式：（1+250）×250÷2 =251×250÷2 =6375 例2 1+3+5+7+9+?+199＝10000这是一列奇数数列，也可代入公式 （首项十末项）×个数÷2 （1+199）×100÷2=200 怎样算出连续奇数的个数， 不必一个一个地数出来。 只要 （首项+末项） ÷2， 就能求出个数。 例3 101+103+105+?+199=？这道题和上面讲的有所不同。它虽然也是求连续奇数的和，但却不是从 1 开始的。其实也不难，只要先算出从 1 到 199 的连续奇数的和，再减去从 1 到 99 的连续奇数的和，问题就解决了。 ∵1+3+5+?+99=2500， 1+3+5+?+199=10000， ∴101+103+105+?+199=＝7500。 例4 2+4+6+?+100=？这道题一看就知道， 是求从 2 开始连续偶数的和。同样可用上面的公式代入 （2+100）×50÷2=0。 要知道从 2 开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去数，只要把最后那个 偶数除以 2 就可以了。 例5 五个连续偶数的和是 150，这五个偶数是哪几个数？粗看这道题目觉得很难， 感到无从下手。可以先枚举几组五个连续偶数观察 一下：请你仔细观察分析，就会发现规律，五个连续偶数的和，凑巧是中间数的 5 倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例 5： 先求出五个连续偶数的中间数：150÷5=30。 所以这五个连续偶数是：26，28，30，32，34。 例6 已知四个连续偶数的和是 84，这四个偶数是哪几个数？这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的办法不适用了，要根据上题的 思路重新想办法。先枚举几组题目观察一下：从上面两组题发现，四个连续偶数分成两个数对，每个数对的和是相等的。 根据这个特点， 可以从这个和中先求出一个数对， 然后再推算出四个连续偶数来。 84÷2=42 然后推算出这个四个偶数：18，20，22，24。 例7 10 到 80 之间能被 7 整除的各数之和是多少？10 到 80 之间，7 的最小倍数是 14，7 的最大倍数是 77，这是一列 7 的倍数 的数列： 14+21+28+?+77＝455。 代入求等差数列之和的公式得： （14+77）×10÷2=910÷2=455。求这一数列各数之和， 如果按照普通方法计算实在太麻烦了。你愿意试一下 的话，恐怕半天还算不出来呢。 从何下手呢？首先要仔细分析题目，看看这些分数有什么特点。不难看出， 这 99 个分数的分子都是 1，分母都是两个连续的自然数的乘积。这一数列的编 列是有规律可找的。 根据分数乘法的法则，它们都可以分成两个分数相乘，如：根据上面分析， 两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数不是 任意的，它们必须符合一定的条件。具体地说，就是它们的分子都是 1，分母分 别是两个连续的自然数中的一个。 分析到这里， 爱动脑筋的同学会恍然大悟解答例 8 可以找到简便方法了。只 要用两个分数的差的形式代入式子里：13+13??不是都等于 0 吗？最后就只一道复杂繁难的题目，现在竟不费吹灰之力就解决了。所以学习数学，一定 要勤于思考、善于分析。练习三1.101+102+103+104+??+200=2.1+3+5+7+??+259= 3.52+54+56+??+150= 4.72+74+76+??+200= 5.比 101 小的所有的偶数的和是多少？ （天津市小学生红花奖竞赛中年级试题） 6.全部三位数的和是多少？ （哈尔滨市第八届小学生数学竞赛试题） 7.三个连续自然数的和是 231，这三个数中最大的一个是多少？ （江西省 1990 年“八一杯”小学数学比赛题） 8.三个连续自然数的积是 2730，这三个数分别是多少？ （宜兴市 1990 年第五届小学生数学竞赛试题） 9.一个数分别与相邻两个偶数相乘，所得的积相差 50，这个数是多少？ （北京市第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题）四假设问题——以“假”求“真”，化难为易用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指出： “只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。” 科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥白尼 的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。 在解答数学问题中，假设未知数为 x，列出方程进行解题，就是建立在假设 的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量关系简单 化。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的，它往往先假设 某种现象的存在，得到和已知条件不同的“差异”，再分析“差异”的原因，进 行适当的调换，使问题得到解决。例1笼中共有鸡兔 100 个头，350 只脚，问鸡兔各有多少头？（1990 年济南市历下区小学数学五年级竞赛题） 分析： 假设 100 头全为兔， 则应有 4×100=400 只脚， 比实际多了 400-350=50 只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少 4-2=2 只脚，要减少 50 只脚，就 要换 50÷2=25 头鸡，这样就求出了鸡的头数。 解法一： （4×100-350）÷（4-2）=25（头）??鸡， 100-25=75 或者 100-75=25 解法二： 设：鸡有 x 头，则兔有（100-x）头。 2x+4×（100-x）=350， 解之得 x=25。 100-25=75（头）??兔。 答：鸡有 25 头，兔有 75 头。 例 2 光明书店卖出甲、乙两种书共 120 本，甲种书每本 5 元，乙种书每本 3.75 元，卖出的甲种书比乙种书多收入 162.5 元。甲、乙两种书各卖出几本？ （《小学生数学报》第五届初赛题） 分析 1：假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入 5×120-3.75×0=600 元，比实际的相差数多 600-162.5＝437.50 元。如果甲种 本换一本为乙种本（也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本），那么甲种本的 收入比乙种本少 5＋3.75=8.75 元，要减少 437.50 元，就要换几次（也就是乙种 本的本数）， 437.50÷8.75=50（本）。 解法 1： （5×120-162.5） ÷ （5+3.75） ＝50 （本） ??乙种本， 120-50＝70 （本） ?? 甲种本。 （头）??兔。 （350-2×100）÷（4-2）=75（头）??兔， （头）??鸡。分析 2：假设甲、乙各卖出 120÷2＝60 本，则甲比乙多收入（5-3. 75） ×60=75 元，比实际的相差数少 162.5-75＝87.5 元（说明甲不止 60 本）。如果 乙换一本为甲，那么乙的收入比甲少 5＋3.75=8.75 元，要增加 87.5 元，就要换 几次（也就是需要增加甲种本的本数）， 87.5÷8.75=10 （本），所以卖出 的甲种本有 60＋10＝70（本）。 解法 2： [162.5-（5-3.75）×（120÷2）] ÷（5+3.75）=10（本） 60+10=70（本）??甲种本， 60-10=50 （本）??乙种本。答：卖出的甲种本有 70 本，卖出的乙种本有 50 本。 你还有其他假设的方法吗？你能用列方程的方法解答吗？ 例 3 有 1 元、5 角、2 角三种人民币 11 张，共值 4.7 元，其中 2 角的张数 比 5 角多 3 张。三种人民币各有几张？ 分析：由于 2 角与 5 角的张数不同，在调换时较难进行。如果 5 角多 3 张， 那么题意改为“有 1 元、 5 角、 2 角的人民币共 11+3=14 张， 共值 4.7+0.5×3=6.2 元（62 角），其中 2 角的张数与 5 角的同样多，求各有几张？”再用假设法解 题。 根据以上的改题，可以假设全是 1 元（10 角）的，则共值 10×14=140 角， 比实际多 140-62=78 角，如果用 2 张 10 角的，调换：1 张 2 角、1 张 5 角的（总 张数不变），那么可少 10×2-2-5=13 角，要减少 78 角，就要换几次（也就是 2 角或 5 角的张数）， 78÷13=6（张），就是原来 2 角的有 6 张，原来 5 角的有 6-3=3 张。 解法： [10× （11+3）-（47+5×3）]÷（10×2-2-5）=6（张）??2 角， 6-3=3（张）??5 角， 14-2×6=2（张）??1 元。答：1 元有 2 张，5 角有 3 张，2 角有 6 张。 如果原题中“2 角的减少 3 张”，你能解答吗？你能用列方程的方法解答 吗？通过以上例题， 可以看到用假设法解答“鸡兔问题”时，它的一般解题规律 是： （1）假设结果（如笼中都是兔）； （2）求出相差（如脚的只数与某一已知条件有“差异”）； （3）进行调换（如一只兔调换一只鸡，使兔的只数减少）； （4）由甲入手，求出是乙（假设笼中的动物都是兔，但先求出的倒是鸡的 头数）。 例 4 买语文书 30 本，数学书 24 本，共花 41.7 元，已知每本语文书比每本 数学书贵 0.22 元，语文书每本多少元？数学书每本多少元？ （1990 年长春市小学数学竞赛五年级试题） 分析：假设语文书的单价便宜 0. 22 元，那么数学书和语文书的单价就相 同了，买 30 本语文书就可便宜 0.22×30=6.6 元。41.7 元减去 6.6 元所得的差 正好是 30+24=54 本数学书的总价。这样，就可求出数学书的单价了。 解法： （41.7-0. 22×30）÷（30+24）=0.65（元）??数学书单价。 0.65+0.22=0.87（元）??语文书单价。 答：语文书每本 0. 87 元，数学书每本 0. 65 元。例 5 少年宫开办音乐、美术两个培训班，去年共招收 200 人。今年计划招 收 246 人，其中音乐班人数比去年增加 25％，美术班人数比去年增加 20％。求 今年计划招收的音乐班、美术班各有多少人？ 分析：假设美术班今年比去年也增加 25％，则今年计划招收 200× （1+25％）=250 人，比实际多 250-246=4 人，这是因为美术班今年比去 年增加的百分数与实际相比较多了去年的 25％-20％=5％，这里的 5％，就是 4 人的对应分率，所以去年美术班有 4÷5％=80 人。 解法： [200×（1+25％）-246]÷（25％-20％） =80 人 ???去年美术班人数，80×（1＋20％）=96 人??今年美术班人数， 246-96=150 人 ??今年音乐班人数。答：今年音乐班计划招收 150 人，美术班计划招 96％人。 假设“音乐班今年比去年增加 20％”，那么怎样解答呢？你去试一试看。 例 6 甲原有的故事书是乙的 6 倍，两人各再买 2 本，则甲现有的书是乙的 4 倍。甲、乙两人原来各有故事书多少本？ 分析：假设要使甲现有的书仍是乙现有的书的 6 倍，则甲应买 2×6=12 本， 但甲只买了 2 本，少买了 12-2=10 本，这样甲现有的书就只有乙现有的书的 4 倍了，比实际少买了乙现有的书的 6-4=2 倍，所以乙现有的书是 10÷2=5（本）， 乙原来的书有 5-2=3 本。 解法： （2×6-2）÷（6-4）=5（本）??乙现有的书，5-2=3（本）??乙原来的 书， 3×6＝18（本）??甲原来的书。 答：甲原来有 18 本故事书，乙原来有 3 本故事书。你能用列方程的方法解 答吗？练习四1.学校买来 100 张电影票，一共用去 22 元。票价有 0.2 元和 0.25 元两种。 问 0.2 元的有多少张？0.25 元的有多少张？ （北京市东城区 1988 年小学数学竞赛题） 2.一个中学生一顿饭可以吃 3 个馒头。三个幼儿一顿饭吃 1 个馒头，现在有 中学生和幼儿共 100 人，一顿饭正好吃 100 个馒头。有幼儿多少人？ （北京市第五届小学“迎春杯”数学竞赛题） 3.12 张乒乓球台上共有 34 人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有 多少张？ 4.松鼠妈妈采松籽。晴天每天可以采 20 个。有雨的天每天只能采 12 个。它 一连几天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个。问这几天当中有几天有雨？ （首届“华罗庚金杯”初赛试题）5.五年级数学竞赛题共 10 题，规定做对一题得 15 分，做错一题倒扣 10 分， 小亮在这次竞赛中得了 100 分，你知道他做错了多少题？ 6.李强把自己储存的 17 枚硬币， 合计 6 角 4 分捐献给有关部门抢救大熊猫。 已知硬币有 1 分、2 分、5 分三种，并且 1 分与 2 分的枚数相等。求三种硬币各 有多少枚？ （1990 年东台市小学生数学竞赛预赛题） 7.丰庆百货公司委托运输公司包运 1000 块玻璃，议定每块运费 0.50 元，如 损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本费 3.50 元，货物运到目的地后，运 输公司获得运费 480 元，损失的玻璃有多少块？ （四川省 1990 年小学生“天府杯”数学题） 8.某农民饲养鸡兔若干，已知鸡比兔多 13 头，鸡的脚比兔的脚多 16 只，问 鸡和兔各几头？ 9.某班 42 个同学参加植树，男生每人平均种 3 棵，女生每人平均种 2 棵， 已知男生比女生多种 56 棵。求男、女生各多少人？ 10.蜘蛛有 8 只脚，蜻蜒有 6 只脚和两对翅膀，蝉有 6 只脚和一对翅膀，现 在有这三种小虫 18 个，共有脚 118 只，翅膀 20 对，问每种小虫各有多少个？ 11.两数相除商 3 余 2，被除数、除数、商与余数的和是 179，被除数比除数 大多少？ （1990 年《少年报》有奖测试题） 12.三只船运木板 9800 块，第一船比其余两船共运的少 1400 块，第二船比 第三船多运 200 块，三只船各运木板多少块？ 13.某车间男工人数是女工人数的 2 倍，若调走 18 个男工，那么女工人数是 男工人数的 2 倍，这个车间有女工多少人？ （福州市 1990 年小学生“迎春杯”数学题） 14.果园里苹果树的棵数是桃树的 3 倍，管理人员每天能给 25 棵苹果树和 15 棵桃树喷洒农药，几天后当桃树喷完农药时苹果树还有 140 棵没有喷药。果 园里这两种树共有多少棵？ 15.某商店里花布是白布的 2 倍，如果每天卖 30 米白布和 40 米花布，几天 后，白布全部卖完，而花布还剩 120 米。原来库存花布多少米？五方程问题——巧设未知数，列好等量式在小学阶段解答应用题时， 大多数使用的是算术解法，但是这种解法只限于 对已知数之间进行计算，不允许未知数参加计算。而用列方程的解法，未知数与 已知数同样都是运算的对象（也就是把未知数看作已知数），再找出“未知”与 “已知”之间的等量关系（也就是列出方程），从而得到问题的解。所以对于应 用题， 列方程的方法往往比算术解法易于思考、 易于解答。 对于参加竞赛的同学， 只有简易方程的知识是不够的，还必须补习一些一元一次方程的内容。 列方程解应用题的一般步骤是： （1）理解题意，找出一个（或几个）适当的未知数，用一个（或几个）英 文字母来表示； （2）找出应用题中数量间的等量关系； （3）根据等量关系列出方程； （4）解方程并检验、验算，写出答案。 其中布列方程是关键的一步， 其实质是将同一个量用两种方式表示出来写成 等量关系，而这等量关系的建立必须对 题目作细致的分析，灵活运用基本的数量关系式，列出正确的方程。 （一）列一元一次方程解应用题 例1 两个数的和是 10，差是 4，求这两个数。解法 1： 设较大的数是 x，则根据“两个数的和是 10”可得较小的数是（10-x），按 “差是 4”为等量关系列方程，得 x-（10-x）=4。 解方程，得 x=7， ∴较小数是 10-7=3。 解法 2： 设较小的数是 x，则根据“两个数的和是 10”可得较大的数是（10-x），按 “差是 4”为等量关系列方程，得（10-x）-=4。 解方程，得 x=3， ∴较大数是 10-3=7。 解法 3： 设较大的数是 x，则根据“差是 4”可得较小数是（x-4），按“两个数的和 是 10”为等量关系列方程， 得 x+（x-4）=10。 解方程，得 x=7， ∴较小数是 10-7=3。 解法 4： 设较小的数是 x，则根据“差是 4”可得较大数是（x+4），按“两个数的和 是 10”为等量关系列方程，得 x+（x+4）=10 解方程，得 x=3， ∴较大数是 3+4=7。 答：较大数是 7，较小数是 3。 例 2 有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条 船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问：这个班共有多少同学？ （第二届“华罗庚金杯”初赛题） 解法 1： 显然，每条船坐 9 人时所租用的船比每条船坐 6 人时要少用 1+1=2 条船。 设每条船坐 9 人时租船 x 条，则每条船坐 6 人时租船（x+2）条。按“两种 计算全班人数的结果相等”为等量关系列方程，得 9x＝6（x+2）。 解方程，得 x=4，∴全班有 9×4＝36 解法 2：（人）。设每条船坐 6 人时租船 x 条，则每条船坐 9 人时租船（x-2）条。按“两种 计算全班人数的结果相等”为等量关系列方程，得 6x=9（x-2）。 解方程，得 x=6， ∴全班有 6×6=36 人。 解法 3： 设全班学生有 x 人，则每船坐 9 人所租船的条数是 x 9（条），每船坐 6 人 所租船的条数是 x 6（条）。按“每船坐 9 人所租船比每船坐 6 人时要少用 2 条 船”为等量关系列方程，得解方程，得 x=36。 答：全班学生有 36 人。（1990 年长春市小学数学六年级竞赛题） 解：乙桶要多。等于乙桶油量的 12”为等量关系列方程，得解方程，得 x=80， 80+20＝100（千克）。 答：甲桶内有油 100 千克。 例 4 一件工程，甲、乙两人合作 6 天完成，甲独做 10 天完成，现在甲独 做若干天后，由乙接替甲将剩余的部分完成，这样两人共（蚌埠市二中小学毕业生数学比赛题） 解法：程，得解方程，得 x=5，例5 克？要把 30 克含盐 16％的盐水稀释成含盐 0.15%的盐水，需要加水多少解法 1： 设需要加水 x 克。由于原来 30 克盐水加上 x 克水后，重量变了，浓度变了， 但盐水中所含的盐的重量没有变， 按“加水前后的含盐量相等”为等量关系列方 程，得 30×16％=（30+x）×0.15％。解方程，得 x=3170。 解法 2： 设需要加水 x 克。 按“加水前后的含水量相差 x 克”为等量关系列方程，得 （30+x）×（1-0.15％）-30×（1-16％）＝x。解方程，得 x=3170。 答：需要加水 3170 克。 例 6 早晨 8 点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽 车的速度都是每小时 60 千米。8 点 32 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离 是第二辆汽车的 3 倍。到了 8 点 39 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是 第二辆汽车的 2 倍。那么，第一辆汽车是 8 点几分离开化肥厂的？ 解法 1： 显然，根据两辆车的速度都是每小时 60 千米，可知每 1 分钟走 1 千米，即 车走几分钟就走几千米。 设 8 点 32 分时，第二辆车开出了 x 分钟（也就是离开化肥厂 x 千米），则 第一辆车此时离开化肥厂 3x 千米（也就是开出了 3x 分钟），所以到 8 点 39 分 时，第一辆车开出了（3x＋39-32）分钟，离化肥厂（3x＋7）千米；第二辆车开 出了（x＋39-32）分钟，离化肥厂（x＋7）千米。按“第一辆汽车离开化肥厂的 距离是第二辆汽车的 2 倍”等量关系列方程，得 3x+7=（x+7）×2。 解方程，得 x=7，7×3＝21（分），32-21＝11（分）。 解法 2： 设 第一辆车是 8 点 x 分离开化肥厂的， 在 8 点 32 分与 8 点 39 分这两个时 刻。第一辆车所在的两个地点的距离为 1×（39-32）=7 千米，第二辆车到 8 点 32 分时行了 1 3（32-x）千米，到 8 点 39 分时行了 1 2（39-x）千米，所以第 二辆车在 8 点 32 分与 8 点 39 分这两个时刻所在的两个地点的距离为 1 2 （39-x） -1 3（32-7），并且也是 7 千米，按这一情况作为等量关系列方程，得 1 2（39-7） -13（32-x）＝7。解方程，得 x=11。 答：第一辆车是 8 点 11 分离开化肥厂的。例 7 一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高 20％，可以比原定时间提前 1 小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25％，则可提前 40 分钟 到达。那么甲、乙两地相距多少千米。 （1992 年小学数学奥林匹克比赛决赛题） 解法 1： 设全程为 x 千米。 因为当距离一定时，时间与速度成反比，所以速度提高 20％，所用时间速提高 25％，所用时间缩短到原来的 1÷（1＋25％）＝45。如果这辆车因为前 120 千米仍是按原速度行驶的，也就是如果提高速度 25％，那么行 驶小时，按这一情况为等量关系列方程，得 χ ：120＝65：815。 解方程，得 χ ＝270。 解法 2： 设 全程为 x 千米， 原来速度是每小时 a 千米，则根据已知条件中的第一层 含义，按“提前 1 小时”为等量关系列方程，得再根据已知条件中的第二层含义，按“提前 40 分钟（23 小时）”为等量关 系列方程，得解方程，得 x＝270。 答：甲、乙两地相距 270 千米。 例 8 甲数是乙数的 35，两数的最大公约数与最小公倍数的和为 1040。甲、 乙两数的和是多少？ （哈尔滨市第七届小学生数学比赛题） 解法 1：设甲数是 3k，乙数是 5k，因为 3 与 5 是互质数，所以 3k 与 5k 的最大公约 数是 k， 最小公倍数是 3×5×k＝15k，按“两数的最大公约数与最小公倍数的和 为 1040”列方程，得 k＋15k＝1040。 解方程，得 k＝65。 （3＋5）×65＝520。 解法 2： 设甲数和乙数的最大公约数是 x，则甲数是 3x，乙数是 5x（想一想，为什 么？），两数的最小公倍数是 15x。可得方程x＋15x＝1040。 解方程，得 x＝65。 （3＋5）×65＝520。答：甲、乙两数的和是 520。 例 9 一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将个位数字与十位数字调 换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是 132。求这个两位数。 （《小学生数学报》第四届比赛题） 解： 设 这个两位数的个位数字是 x，则十位数字为 2x，原数是 10×（2x）＋x， 新数是 10×x＋2x，按“两个两位数的和是 132”为等量关系列方程，得 （20x＋x）＋（10x＋2x）＝132。 解方程，得 x＝4。 4×2＝8。 答：这个两位数是 84。 例 10 如右图在一直角三角形内作正方形，求正方形的面积（1990 年哈尔滨市第九届小学数学比赛题）解： 设正方形边长为 x 厘米。 原来大直角三角形分成了两个小直角三角形和一个 正方形，按“它们的面积和等于原来大直角三角形的面积”为等量关系列方程， 得解方程，得 x＝337。答：正方形的面积为 113749 平方厘米。 例 11 老王骑自行车从甲地去乙地送文件，去时顺风，每分钟行 240 米， 回来时逆风，每分钟行 120 米。他往返的平均速度是每分钟行多少米？ 解： 设 他往返的平均速度是每分钟 x 米，甲、乙两地间的距离是 a 米。他离等于往返的平均速度乘以往返的总时间”的等量关系列方程，得解方程，得 x＝160。 答：他往返的平均速度是每分钟行 160 米。 说明： （1）若以（240＋120）÷2＝180（米）作为往返的平均速度是错 误的。 一般来讲求平均数还是应该运用“总数÷总份数＝平均数”这个数量关系 来求出。（2）对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时除了 应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求一”、“临时参加”的所谓“参 数”（如本题中所设的 a 这个未知量为参数，以便沟通数量关系，为列方程创造 条件。在解这类方程过程中“参数”会“自行消失”，而使问题得到较好的解 答）。 （二）列不定方程解应用题 在一个方程中，未知数的个数多于一个，如 x＋y＝5，就是一个含有两个未 知数的方程，由于它的解不唯一（如 x＝1，y＝4；x＝0.2，y＝4.8；??）， 所以也叫做不定方程。 根据问题的实际意义， 这类方程常常需要确定它的整数解， 在不太复杂的情况下，可以通过观察或枚举来解决，得到一个解或几个解。 例 12 小强问小明：“你家养了几只兔、几只鸡？”小明答：“我家养的兔 比鸡多，鸡兔一共有 24 只脚，你猜我家养了几只兔、几只鸡？” 解： 设小明家养了 x 只兔、y 只鸡，按“鸡兔一共有 24 只脚”为等量关系列方 程，得4x＋2y＝24。 解这个不定方程时，可以把 x（或 y）看作常数， 得：y＝12－2x 因为 x、y 都是自然数，所以 x、y 只能取以下几组值：但根据“兔比鸡多”，即 x＞y； 所以只能取表中 x＝5，y＝2。 答：小明家养了 5 只兔、2 只鸡。 例 13 在一个两位数的两个数字中间加一个 0， 那么所得的三位数比原数大 8 倍，求这两位数 （北京市第三届小学生迎春数学比赛题） 解： 设这个二位数的十位数字是 x，个位数字是 y（显然，x、y 都是 0～9 之间 的整数） ， 这个二位数是 （10x＋y） ， 在它的中间加一个 0 后所得的三位数是 （100x ＋y），按“三位数比原数大 8 倍（即是原数的 1＋8＝9 倍）”为等量关系列方 程，得 100x＋y＝9（10x＋y）。 10＝8y，所以 y 是 5 的倍数，得 y＝5，x＝4。 4×10＋5＝45 答：这个两位数是 45。 例 14 如右图在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个）。小明像玩跳棋那 样从 A 孔出发，沿着逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后跳回到 A 孔，他先后试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔；他又试着每隔 4 孔跳一步，也 只能跳到 B 孔；最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，问这个圆上共有多少 个孔？（第二届《华罗庚金杯》复赛题） 解： 首先要明确题意： （1）隔 2、4、6 孔跳一步，“隔”字的含义，即每步分别跳 3、5、7 个孔。 （2）因为从 A 孔出发，每步跳 3 孔、5 孔都只跳到 B 孔，离 A 孔还有一个 孔，所以总孔数分别被 3、5 除都余 1，又因为 3 与 5 是互质数，所以也可以说 总孔数被 3×5＝15 除余 1。同理，总孔数能被 7 整除。 设总孔数为 15x＋1， 它被 7 除时的商为 y。按“总孔数相等”为等量关系列 方程，得 15x＋1＝7y。 求这个不定方程的整数解。因为 x、y 都是自然数，所以（x＋1）是 7 的倍数，得 x＝6，13，20，?? 又因为总孔数 15x＋1＜100，所以 x＜7，综合以上情况，得 x＝6，总孔数是 15×6＋1＝91（个）。 答：一共有 91 个孔。 例 15 大、小盒子共装 99 个球，每个大盒装 12 个，小盒装 5 个，恰好装 完，盒子总个数大于 10，那么大、小盒子各有多少个？ 解： 设大盒子有 x 个，小盒子有 y 个，按“大、小盒子共装 99 个球”为等量关 系列方程，得12x＋5y＝99 求这个不定方程的整数解。也就是说，（5y－3）能被 12 整除，并且 y＜20。又因为在不定方程 12x＋ 5y＝99 中，12x 为偶数，99 为奇数，所以 y 必定是奇数。综合以上情况，y 只能 取 3 或 15。而 x＋y＝10 这与“盒子总个数大于 10”矛盾，所以 x＝7，y＝3 这一情况 应该舍去。符合题意。 答：大盒子有 2 个，小盒子 15 个。 说明： 如果没有对不定方程 12x＋5y＝99 的结构进行分析， 限止 y 的取值范围 （只 能是奇数），那么，就要讨论 y＝1、2、??、19 时的十九种情况，这样，解题 就繁琐了。练习五 1.甲、乙、丙三个同学做纸花，已知甲比乙多做 5 朵，丙做的是甲的 2 倍， 比乙多做 22 朵。他们一共做了多少朵花？ （1989 年上海市黄浦区小学四年级比赛题） 2.在一个减法算式里， 被减数、 减数与差的和等于 120， 而差是减数的 3 倍， 那么差等于多少？ （1988 年无锡市小学数学比赛题）3.父亲比儿子大 30 岁，明年父亲的年龄恰好是儿子年龄的 3 倍，那么今年 父亲多少岁？ （1990 年营口市第四届小学五年级比赛题） 4.学雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬 18 块，还剩 2 块；如果每人搬 20 块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？ （1990 年广州市小学五年级数学比赛题） 5.如右图， 梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分。三角形 BCD 的面 积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米。已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米。求梯形 ABCD 的面积？（《小学生数学报》第四届预赛题） 6.甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是 86 元。币 16 元。这样，两人身上所剩的钱正好一样多。问甲、乙两人原先各带了 多少元？ （《小学生数学报》第四届预赛题） 7.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局 （要求每个包内所装书 的册数同样多）。第一次，他们领来这批书的 712，结果打了 14 个包还多 35 本。 第 2 次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打 11 包。 这批书共有多少本？ （《小学生数学报》第五届决赛题） 8.一件工程，乙队先独做 4 天，继而甲、丙两队合作 6 天，剩下工程甲队又 独作 9 天才全部完成。已知乙队完成的是甲队完成的 13，丙队完成的是乙队完 成的 2 倍。甲、乙、丙三队独做，各需多少天完成？ （天门市 1990 年小学生数学比赛题） 9.甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升。第一次将甲容器中的一部 分纯酒精倒入乙容器， 使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入 甲容器，这样甲容器中的纯酒精含量为 62.5％，乙容器纯酒精含量为 25％，那 么第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？10.如右图，东西、南北二条路交叉成直角，甲距路口中心 1500 米，乙在路 口中心，甲由南向北，乙由西向东，同时行走，5 分钟后，甲尚未走到路口两人 离路口中心的距离相等。又走 45 分钟后，二人离路口的距离又相等。求甲、乙 两人每分钟各行多少米？（1990 年青岛市四方区小学四年级数学比赛题） 11.一个六位数的末位数字是 2，如果把这个“2”移到首位，而其它五位数 字及它们的编写顺序都不改动， 那么原数就是这个新数的 3 倍， 求原来的六位数。 12.如右图，有两个正方形，大小两个正方形对应边的距离均为 1 厘米。如 果两个正方形之间部分的面积是 20 平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方 厘米？13.有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 个，其中蓝皮球的个数是黄皮球的 9 倍，三种球各有多少个？ 14， 下列数据是从一次调查中得到的： 310 的学生戴眼镜； 13 的男生戴眼镜： 14 的女生戴眼镜。学生的几分之几是男生？ （第三届新加坡小学奥林匹克比赛题） 15.要把 1 米长的优质铜管锯成长 38 毫米和长 90 毫米两种规格的小铜管。 每锯一次都要损耗 1 毫米铜管。那么，只有当锯得的 38 毫米的铜管为多少段？ 90 毫米的铜管为多少段？这时所损耗的铜管才能最少？ （《小学生数学报》第五届数学决赛题） 16.一个小于 80 的自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数，这个自然 数是几？六整除问题——概念清，规律要记牢同学们与数学交朋友都是从整数 1、2、3、??开始的，现在大家都有了一 些关于整数方面的知识，但这仅仅是整数中最简单、最基本的内容，还有许许多 多奥妙的理论与问题等待着我们去发现、去创造。陈景润爷爷所研究的“哥德巴 赫猜想”就是整数中的一个著名的问题，他已取得了世界上令人嘱目的领先地 位。本章概念多、理论性强，希望大家在弄清概念的基础上要记牢规律，它对于 解答整数问题，一定有很大的帮助。 本章所研究的数或英文字母，仍指零和自然数（统称叫整数）。（美国长岛小学数学比赛题） 解：根据“如果一个数各位上的数的和能被 9 整除，那么这个数能被 9被 9 整除，这里，A 是 0～9 中的整数，因此， 答：A 是 7。A＋11＝18，得 A＝7。说明：为了学好《整除问题》，必须牢记能被一些常用数（如 2、5、4、25、 8、125、3、9、7 11、13??）整除的数的特征以及整数的基本性质。现在分 别叙述如下： （一）能被一个数整除的数的特征 （1）能被 2 或 5 整除的数的特征是：这个数的末一位数能被 2 或 5 整除； （2） 能被 4 或 25 整除的数的特征是：这个数的末两位数能被 4 或 25 整除； （3）能被 8 或 125 整除的数的特征是：这个数的末三位数能被 8 或 125 整 除； （4）能被 9 或 3 整除的数的特征是：这个数的各个数位上的数之和能被 9 或 3 整除； （5） 能被 11 整除的数的特征是：这个数奇数位上数的和与偶数位上数的和 之差（或反过来）能被 11 整除； （6）能被 7、11、13 整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位以前 的数之差（或反过来）能被 7、 11、 13 整除。 （二）整数的基本性质 （1）如果两个整数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和或差也能 被这个自然数整除。如： 18 与 12 都能被 3 整除，所以 18 与 12 的和 30 也能被 3 整除， 与 12 的差 6 也能被 3 整除。18（2）如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个数的整数倍也能被这个 自然数整除。 如： 14 能被 7 整除，所以 14×5 的积 70 也能被 7 整除。（3）如果一个整数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个整数能被 这两个互质数的积整除。 如：60 能被 3 整除，也能被 5 整除，3 与 5 是互质数，所以 60 能被 3×5 的积 15 整除。 例2 如果六位数□8919□能被 33 整除，那么这个六位数是多少？解：设这个六位数为 W，并且它的十万位上的数为 x，个位上的数为 y（也 就是 W＝x8919y）。 因为 33＝3×11，3 与 11 是互质数，所以根据整数的基本性质（3），可得 如果 W 能被 3、11 整除，那么 W 就能被 3×11＝33 整除。 要使 W 能被 3 整除，必须使 x＋8＋9＋1＋9＋y＝27＋x＋y 能被 3 整除，因 为 27 能被 3 整除，如果 x＋y 也能被 3 整除，那么根据整数的基本性质（1）可 得 27＋x＋y 能被 3 整除，从而 W 能被 3 整除。 要使 W 能被 11 整除，必须使（9＋9＋x）－（y＋1＋8）＝9＋（x－y）能被 11 整除。 综合以上情况，得 x＋y 能被 3 整除??????????????（1） 9＋（x－y）能被 11 整除??????????（2） 因为 x、y 均是 0～9 中的整数（x≠0），所以，9＋（x－y）＝11，即 x＝y ＋2。 当 y＝0、1、2、3、4、5、6、7 时， x＝2、3、4、5、6、7、8、9。 由（1），可得 y＝2，x＝4 或 y＝5，x＝7。 所以 W＝489192 或 789195。答：这个六位数是 489192 或 789195 例3 下面这个 41 位数55??5□99??9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内 的数字是多少？ （1991 年小学奥赛决赛题） 解：根据数的整除特征（6），9999 这两个数都能被 7 整除，这 样，18 个 5 和 18 个 9 分别组成的十八位数，也都能被 7 整除。在这个和式中， 第一部分与第三部分加数都能被 7 整除，所以只要第二部分 加数中 55□99 能被 7 整除，也就是只要□99－55＝□44 能被 7 整除，原数就能 被 7 整除，经试除得□内填 6。 答：中间方格内的数字是 6。 说明：由 6 个相同的数字所组成的六位数总能被 7、11、13 整除。 例 4 一个三位数的百位、十位、个位数字分别是 5、a、b，将它接连重复 写 99 次成为：是几？所得的数也能被 91 整除，因此：整除。例5三个质数的和为 122，求这三个质数的乘积的最大值。解： 因为三个质数的和为 122 是偶数，所以这三个质数当中必定有一个数是 偶数，另外两个质数都是奇数。在质数中，2 是唯一的偶数，故三个质数中有一 个质数是 2。 另外两个质数的和为定值（120），为使这两个质数的乘积尽可能地大，就 要使该两个质数的差值尽可能地小，因为 ，所以得到 59 和 61 两个 质数，是和为 120 且差为最小的两个质数，它们的积也就最大。 综合以上情况，和为 122 的三个质数中，以 2、59、61 这三个质数的乘积最 大，最大乘积为 2×59×61＝7198。 答：三个质数的乘积的最大值是 7198。 说明：注意“如果两个整数的和一定，那么当这两个数的差值尽可能小时， 其乘积最大”。 例如，和为 11 的两个整数有如下五种情况：1＋10、2＋9、3＋8、4＋7、5 ＋6，相对应的乘积是 10、18、24、28、30，通过比较，可得“和为 11，其积最 大的两个整数是 5 和 6”。 例 6 如果 325×472＋765×895×（ 么括号内填入的自然数最小可以是多少？ ）的积的最后五个数字都是零，那（上海市 1989 年小学六年级数学比赛题） 解： 要使五个数的连乘积的最后五个数字都是 0，这个连乘积一定是 100000 的 倍数，把 100000 分解质因数： ×55。 说明要使连乘积的末尾有五个零，因数中至少应该有五个 2 和五个 5。 因为 325＝52×13，765＝3×5×51，472＝23×59，895＝5×179 四个数的乘积里一共包含了 4 个 5 和 3 个 2， 必须要再乘以两个 2 和一个 5， 所以括号里应填 22×5＝20。 答：在括号内最小可以是 20。 例 7 一个自然数能分解成 3 个质因数的积，如果这 3 个质因数的平方和是 1710，求这个自然数。 解：设所求的自然数是 N，把 N 分解质因数为 N＝a1·a2·a3。数（或偶数），而 1710 是偶数，所以这三个质数中一定有一个是偶数，在 质数中，2 是唯一的偶数。假设 a3＝2，则 a1、a2 是奇数又是质数，且9、1 加上 5 等于 1706 的个位数 6，而个位数是 5 的质数只有一个是 5，所 以 a1、a2 中一定有一个数是 5，假设 a2=5，则402＜。找出 40～50 中个位数是 1 的质数，得 a1=41。所以 N=2×5×41=410。答：这个自然数是 410。 例8 360 这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？（第三届华罗庚金杯赛决赛题） 解：把 360 分解质因数是：360=23×32×5，所以 360 的任何一个约数都是 从三个质数 2、二个质数 3、一个质数 5 中取若干个出来相乘得到的。 23 的约数是 1、2、4、8（或 1、21、22、23）； 32 的约数是 1、3、9（或 1、31、32）； 5 的约数是 1、5（或 1、51）。 如果我们把下面的式子 （l+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5） 展开成一个和式， 和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的 积。由前面的分析可得，360 的任一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。 由于第一个括号里有 4 个数，第二个括号里有 3 个数，第三个括号里有 2 个数， 所以这个展开式中的加数个数是 4×3×2=24，这就是 360 的约数的总个数，这 些约数是： 1×1×1=1，2×1×1=2，4×1×1=4，8×1×1=8， 1×1×5=5，2×1×5=10，4×1×5＝20，8×1×5=40， 1×3×1=3，2×3×1＝6，4×3×1＝12，8×3×1=24， 1×3×5=15，2×3×5=30，4×3×5=60，8×3×5=120， 1×9×1＝9， 2×9×1=18，4×9×1=36，8×9×1=72，1×9×调 5＝45，2×9×5=90，4×9×5=180，8×9×5=360。 （你能知道上面每个等式中，三个数相乘的由来吗？） 另一方面，360 的所有约数的和就等于这个展开式的和，也就是（1+21+22+23）× （1+31+32）×（1+51）＝1170。 答： 360 的约数有 24 个，这些约数的和是 1170。说明： 本题中的二个问题的解法具有一般性， 并由此可以得出下面二个结论。若自然数 N 可以分解质因数为： N=am·b5·ct（其中 a、b、C 为不同的质数，m、s、t 为自然数）， 则（1）自然数 N 的约数的总个数是 （m+1）·（s+1）·（t+1）； （2）自然数 N 的所有约数的总和是 （1+a+a2+?+am）·（1+b+b2+?bs）·（1+c+c2?+c3）。 以上两个结论可以推广到一般的情况。 例 9 A、B 两数都只含有质因数 3 和 5，它们的最大公约数是 75，已知 A 有 12 个约数，B 有 10 个约数，那么 A、B 两数的最小公倍数是多少？ 解：因为 A、B 两数都只含有质因数 3 和 5，所以设 A＝3m·5n，B=3s·5t。 因为 A、B 两数的最大公约数是 75=3×52，所以，n≥2，t≥2。 又因为 A 有 12 个约数，根据例 8 后的说明可得（m+1） ·（n-1）=12=（1 十 1）·（5+1）=（2+1）·(3+1）=（3+1） ·（2＋1）。所以 A 有三种可能： 3×55 或 32×53 或 33×52。 同理，因为乙有 10 个约数，可得 （s+1）·（t+1）=10=（1 十 1）·（4+1）， 所以 B=3×54=1875。 由于 A、B 的最大公约数是 3×5 ，所以 A 只能是 33×52=673。这样可得 A、B 两数的最小公倍数是 33×54=16875。2答：A、B 两数的最小公倍数是 16875。 例 10 有 8 个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？解：设有 8 个不同约数的自然数为 N，根据例 8 后的说明来分析 N 的取值可 能性。因为 8=7+1=（1+1）·（3+1）=（3+1）·（1+1）=（1＋l）·（1＋1）·（1 ＋l），所以 N 只能为下面四种形式： （1）N=a7 （2）N=a×b3 （a、b、c 为不同的质数） 要使 N 最小，可以用 a=2，b=3，C=5 去代入上面四个等式，分别得到 N 为 128、54、24、30。所以有 8 个不同约数的自然数中最小的一个是 24。 答：最小的一个是 24。 （3）N=a3×b （4）N=a×b×C（1990 年宜兴市第五届小学生数学比赛题） 解：我们可以先试除一下，=95238，如果把连续六个 6 作为个 6，即：1990 个 6 6 个 6 一组数等于 6666÷7 的余数。 因为 ??2， 所以， 所求的余数也是 2。 答：余数是 2。 例 12 把 4 到 50 的每个整数都除以 4，余数是 2 的数共有多少个？（日本小学数学比赛题） 解：先试除一下： 4 除以 4，余数为 0；5 除以 4，余数为 1； 6 除以 4，余数为 2； 7 除以 4，余数为 3。 8、9、10、11 除以 4，余数分别为 0、1、2、3。由此可得，从 4～50 的每 个整数都除以 4，余数为 0，1，2，3，0，1，2，3，?? 每四个余数“0，1，2，3”作为一个循环节。因为 4～50 中共有 50-4＋1=47 个整数，47÷4=11??3，说明这 47 个整数都除以 4 后，一共有 11 个循环节， 还有 3 个余数（0、1、2）。 所以，所求的余数共有 1×11+1=12 个。 答：余数是 2 的数共有 12 个。 例 13 下列数中，除了第一个数和第二个数以外，每个数都等于它前面两 个数的和： 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、??。 问这列数中第 1993 个数被 6 除余几？ 解：一方面，虽然我们根据已知的这列数中的写数规律能求出第 1993 个数 是几，但毕竟太麻烦了。另一方面，如果我们用 6 去除已知的这列数中的每个数 得到的余数分别是： 1、1、2、3、5、2、1、3、4、1、5、0?? 从这列数里也看不出它有什么规律。 我们考虑到 6=2×3，把被 6 除转化为被 2 除和被 3 除两步来考虑。 （1）将已知的每个数都除以 2，所得的余数是： 1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、0、?? 显然，每 3 个余数作为一个循环节。因为 4??1， 所以，已知的这列数中的第 1993 个数除以 2 的余数是 1。同理： （2）将已知的每个数都除以 3，所得的余数是：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0?? 显然，每 8 个余数作为一个循环节。因为 9??1， 所以，已知的这列数中的第 1993 个数除以 3 的余数也是 1。 设 得： 已知的数中第 1993 个数是 a，则由（1）、（2） a＝2q1+1①（q1 是 a 除以 2 的商）a=3q2+1②（q2 是 a 除以 3 的商） 所以 3q2=2q1，由于 2q1 是偶数，所以 3q2 也是偶数，因而得 q2，必为偶数。 令 a2=2k，代入②，得 a=3·（2k）+1=6k+1， 由此可得 a 破 6 除，余数是 1。 答：这列数中第 1993 个数被 6 除余 1。 例 14 （中国古代问题）今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？ 这一问题可译为： 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合这些条件的最小数。 解法 1：用枚举法。 （1）除以 3 余 2 的数有： 5、8、11、14、17??； （从第二个数起，每一个数都比它的前一个数多 3） （2）除以 5 余 3 的数有： 8、13、18、23、28、??。 （从第二个数起，每一个数都比它的前一个数多 5）显然 8 被 3 除余 2，且被 5 除余 3。因为 3 与 5 的最小公倍数是 15，所以 15 ＋8、15×2＋8??15×n＋8，都同时满足被 3 除余 2，被 5 除余 3 这两个条件， 只须在这列数中找到被 7 除余 2 的最小数。为此只要用 n=1、2、3、4、??依 次去代入 15×n＋8。当 n=1 时，15×1＋8=23，23÷7=3??2 所以符合题意的数 是 23。 解法 2： （1）从 5 和 7 的公倍数 35、 35。 （2） 从 3 和 7 的公倍数 21、 42、 63、 ?中找出除以 5 余 3 的最小数是 63。 （3）从 3 和 5 的公倍数 15、30、45、?中找出除以 7 余 2 的最小数是 30。 所以 35＋63＋30=128 能符合“被 3 除余 2、被 5 除余 3、被 7 除余 2”。 又因为 3、 5、 7 的最小公倍数是 105， 由此得符合题意的数是 128-105×1=23。 答：适合这些条件的最小数是 23。 说明： 这个问题是驰名中外的中国古代问题之一。解答这类问题要用到古代 数学家孙子所发明的著名定理——“孙子定理”，它的解法很早就流传到国外， 被称为“中国剩余定理”。 例 15 一个数减去 1 能被 2 整除，减去 2 能被 5 整除，减去 3 能被 7 整除， 加上 4 能被 9 整除，这个数最小是多少？ （1990 年江西省小学生“八一杯”数学比赛题） 解： （1）“减去 1 能被 2 整除”的数，可知这个数是奇数。 （2）“减去 2 能被 5 整除”的数，可知它的个位数是 2 或 7。 （3）“减去 3 能被 7 整除”的数，可知这个数是 10、 同时符合（1）、（2）、（3）的数是 17。 因为 2、5、7 的最小公倍数是 70，所以同时符合（1）、（2）、 （3）的 数的一般式是 70×n＋17。 又因为“一个数加上 4 能被 9 整除”相当于“一个数被 9 除不足 4”，也就 是“一个数被 9 除余 9-4=5”。所以用 n=1、2、3、4、5、??代入 70×n＋17， 当 n=6 时，70×6+17=437 被 9 除余 5，由此得符合题意的最小数是 437。 17、24、?? 70、 105?中找出除以 3 余 2 的最小数是答：这个数最小是 437。 例 16 幼儿园拿出一块长方体木料，长 72 厘米，宽 60 厘米，高 36 厘米， 请王师傅把它锯成同样大小的正方体木块， 木块的体积要最大， 木料又不能剩余， 算一算，可以锯成几块？ （厦门市小学生 1986 年“从小爱数学”预赛题） 解： 由题意可得王师傅要把原长方体木料锯成同样大小的正方体木块（体积 要最大），木料又不能剩余，那么锯成的正方体的棱长必须是长方体木料的长、 宽、高的最大公约数。72、60、36 的最大公约数是 2×2×3＝12。所以，能锯成最大正方体的木块 数是 6×5×3＝90（块）。 或（72×60×36）÷（12×12×12）90（块）。 答：可以锯成 90 块。练习六求这个五位数？ 2.某班全班有 50 人，上体育课时，男生横着正好站成两排，前排同学报数， 先 1、2、3、1、2、3??报，再 1、2、3、4、1、2、3、4??报，最后 1、2、 3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、??报，三次报数，末尾的同学都报 2，这个 班有男生多少人？ （1990 年青岛市四方区小学数学比赛题） 3.被 2、3、5 除都余 1，被 7 除能整除的最小数，各位数之和是多少？ （1990 年长春市小学数学比赛题） 4.某个七位数 1993□□□能够同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么 它的最后三位数是多少？（1993 年小学奥赛数学初赛（B）卷题） 5.222??2 除以 13 所得的余数是多少？ 2000 个 2 （第五届《小学生数学报》初赛题） 6.三个质数的和是 140，求这三个质数的乘积的最大值。 7.P 为质数，P3+5，仍是质数，求 P6＋7 的值。8.右图有一个长方体， 它的正面和上面的面积之和是 209， 如果它的长、 宽， 高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ （1991 年小数奥赛决赛试题） 9.把 20、26、33、35、39、42、44、55、91 分成三组，使每组数相乘的积 相等。 10.5397 除以一个质数，所得的余数是 15，这个质数是多少？ （1990 年哈尔滨市第九届小学生数学比赛题） 11.棱长 1 米的正方体 2100 个，堆成了一个实心的长方体。它的高 10 米， 长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是多少？ 12.600 的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 13.求具有 15 个约数的最小自然数，并求这个自然数的 15 个约数之和。 14.某自然数是 3 和 4 的倍数，包括 1 和本身在内共有 10 个约数，那么这自 然数是多少？ （上海市 1990 年小学六年级数学比赛题）问：a 除以 13 所得余数是几？ （第三届“华罗庚金杯”赛决赛题）16.有一个整数，用它去除 63、91、129 所得到的三个余数之和为 25，这个 整数是多少？ 17.小张在计算有余数的除法时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来 多 3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？ （上海市 1989 年小学五年级数学比赛题） 18.70 个数排成一行，除两头外，每个数的 3 倍恰好等于它两旁的两个数的 和，这一行最左边的几个数是：0、1、3、8、 21、??，求第 70 个数被 6 除 余几？ 19.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 6，这个数最小是多少？ （1990 年宜兴市第五届小学数学比赛题） 20.召开学生座谈会，每组 5 人，多 3 人；每组 6 人，多 4 人；每组 7 人， 少 4 人，参加座谈会的学生至少有多少人？ （1990 年乌鲁木齐市小学五年级数学比赛题） 21.在长 60 米、宽 54 米的矩形花圃的各边上以最大且相等的距离种桃树， 每两棵桃树间种月季花 5 棵，共种月季花多少棵？七分数问题 ——妙用单位“1”、作好线段图分数问题是指根据分数乘除法的意义来解答的分数应用题。 至于那些仅仅是 有些数据是分数而数量关系和解题思路都与整数应用题相类似的应用题， 这里就 不研究了。 分数应用题是小学数学的重点和难点，这是因为： （1）它是整数应用题的继续与深化。 （2）它具有其本身的特点和独特的解题规律。 因此与整数应用题比较，就显得复杂而又抽象了。解答分数应用题时， 除必须具备整数应用题的一些解题能力外，一般要通过 作出“线段图”来揭示“数量”与“分率”之间的内在联系。 它可以帮助我们理 清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理。同时，我们还要善于掌握对应、 假设、转化、逆向、量不变等思路，多角度、多侧面地解决问题的方法，促进逻 辑思维能力的发展。 例 1 新华书店运来一批儿童读物，第一天卖出 1800 本，第二天卖出的本个数的几分之几是多少”的分数乘法法则，可以求出第二天卖出的本数。除法法则，就可以求出总本数。答：这批书有 4760 本。 说明：解答分数应用题，首先要正确地找出单位“1”，然后由单位“1”的 已知或未知，确定计算的方法，一般来讲： ①若单位“1”已知，②若单位“1”未知，堆煤原有多少吨？ 解法 1：0加减。（如下图）解法 2： 把两个不同的单位“1”统一为一个单位“1”（总吨数）。因为余下列成综合算式应为：答：这堆煤原有 20 吨。 说明：想一想，下面三个综合算式都对吗？如果对的话，它的算理是什么？（注意：只有第一个综合算式是对的）三个同学。 借到书的所有同学都说“我们借的书同样多”。求小聪原来有书 多少本？ （河北邯郸市小学生数学比赛题） 解法 1：假设另外三个同学的本数都与丙一样。解法 2：因为 6 个人“借的书同样多”，所以每人借到的占原来总本数答，原来有书 84 本。 说明， 两种解法的难易程度有天壤之别，所以灵活地根据题意与线段图来探 索解题思路将是十分必要的。了 3 筐，还余 12 千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了 6 筐，这块地 一共收了多少西红柿？ （天津市小学生第一届“我爱数学”比赛题） 解法 1：解法 2：假设将线段 BD 按线段 AB 的结构重复 6÷3=2 次（如上图所示），那么答：这块地一共收了 192 千克的西红柿。段铁丝各长多少米？一段的长度。24-15=9（米）??第二段。 解法 2：24-9=15（米）??第一段。 答：第一段长 15 米，第二段长 9 米。 例6 一筐苹果，先拿出 140 个，又拿出余下个数的 60%，这时剩下的苹（《小学生报》第一次全国数学比赛题）解：如图，在余下的部分（线段 CB）中，线段 AB 既表示余下个数的 1-60，用除法可以求出这筐苹果的总个数.答：这筐苹果一共有 240 个。人？ 解：因为后来乙班调 16 人到甲班，所以两班的人数各自都发生了变化，不相同），统一到以“两班总人数”为单位“1”的分率。设甲班人数有 4 份，则乙班人数有 5 份，两班总人数是 4+5=9 份，所以答：原来甲班有 56 人，原来乙班有 70 人。 例 8 有甲、乙两个车间，如果从甲车间调 18 人给乙车间，那么甲车间比 乙车间少 3 人；如果从两个车间各调出 18 人，那么乙车间剩下人数是甲车解：由“甲车间调 18 人给乙车间，甲车间比乙车间少 3 人”，可得原来甲 车间比乙车间多 18×2-3=33 人，这 33 人就是甲、乙两个车间的人数差。可得两个车间前后人数都发生了变化，但是由于调出的人数相等，所以两个 车间人数之差（33 人）却始终未变。甲车间剩下的人数。88+18=106（人）??甲车间原来人数，答：甲车间原来有 106 人，乙车间原来有 73 人。 例 9 某工程完由甲单独做 63 天， 再由乙单独做 28 天即可完成。 如果由甲、 乙两人合作，需 48 天完成，现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，还 需要做多少天？ （1991 年小学数学奥赛初赛试题（C）） 解法 1：由“甲、乙两人合作，要 48 天完成”与“甲先单独做 63 天，再给 乙独做 28 天即可完成”，可得甲做 63 天，比 48 天多 15 天，乙就可以少做 48-28=20 天，也就是说，甲做 15 天的工作量，让乙来做就要 20 天才完成。现 在，甲先独做 42 天，比 48 天少做 6 天，这 6 大的工作量让乙来做就天数。 48+（48-28）÷（63-48）×（48-42）=56（天）。 解法 2：如果甲独做的 63 天分成 28 天与 35 天两部分。那么原题意中“先 由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成”，可以转化为“先由甲、乙两 人合作 28 天， 再由甲独做 35 天即可完成这项工程”， 由此可求出甲的工作效率。 （1）甲、乙两人合作，每天完成全工程的几分之几？（2）甲、乙两人合作 28 天可完成全工程的几分之几？（3）甲每天完成全工程的几分之几？（4）乙每天完成全工程的几分之几？（5）乙还需要做几天？答：乙还需要 56 天才能完成任务。 说明：本题一般叫工程问题，它是研究工作总量、工作效率和工作时间的相 互关系的问题， 是分数复合应用题中的特殊问题。解题的关键是把工作总量看作 单位“1”，工作效率用工作总量的若干分之一表示，即单位时间内完成全工程 的几分之一。 例 10 一件工程，甲独做 10 天完成，乙独做 15 天完成。若甲先做若干天 后，由乙接着单独做余下的工程，直至完成全部工程，这样前后一共用了 14 天。 甲先做了多少天？没有完成（事实上 14 天中，甲也做了若干天），如果乙做一天的工作量换 成解法 2：14-12=2（天）??甲先做的天数。 答：甲先做了 2 天。 说明：本题的两种解法，运用了“鸡兔问题”的解题思路。例 11 （托尔斯泰喜欢的算题）一组割草的人要把两片草地的草割掉。已 知大的一片草地比小的一片大一倍，全体组员先用半天时间割大的一片草地，到 下午他们对半分开， 半组人员仍留在大草地上割，到傍晚时正好把这大草地上的 草割完。另半组人员到小草地上去割，到傍晚时还剩下一小块，这小块地可以由 一个人用一天的时间割完。问这组割草的人共有多少个？（假设每人工效相同， 上、下午工作时间相等） 解本题的关键是先求出全组组员一天的工作总量以及一个人一天的工作量 （工作效率） ， 然后用全组一天的工作总量除以一个人一天的工作量就可得全组 的人数。 解法 1：用面积法。为在割大草地时，“全组组员工作半天加上一半组员工作半天才收割完”，单位。解法 2：用推理法。 （1） 在收割小草地时，要用一半组员工作半天加上一个人工作一天才割完。 因为大草地面积是小草地的 2 倍， 所以按收割小草地的情况可推断出如下一 个结论：（2） 在收割大草地时，要用全组组员工作半天加上二个人工作一天才割完。 又根据题意的条件可得： （3）在收割大草地时，要用全组组员工作半天加上一半组员工作半天才割 完。 比较（2）、（3）两个结论可得： 2 个人工作一天的工作量等于一半组员工作半天的工作量。 因为“2 个人工作一天的工作量”可转化为“4 个人工作半天的工作量”。 所以 4 个人工作半天的工作量等于一半组员工作半天的工作量。 由此可得 4 个人相当于一半组员，全组一共有 4×2=8（人）。 答：这组割草的人共有 8 个人。练习七两人所存的钱数相等。问甲、乙两人原来各存款多少元？ （徐州市 1985 年小学生数学比赛题） 2.小红看一本科技书，看了 3 天，剩下 66 页，如果用这样的速度看 4（1986 年蚌埠市中市区“从小爱数学”比赛题）公亩？（1983 年无锡市崇安区比赛题）（无锡市一中小学数学比赛题）班各多少人？么去年光明小学有学生多少人？红旗小学有学生多少人？ （福建省首届“小火炬杯”小学数学比赛题） 7.甲、乙二人到书店去买书，共带去 54 元，甲用了自己钱的 75％，乙甲、乙原来各带去多少元？离是多少千米？科技书借出 30 本，又买进连环画 20 本，那么三种书的本数相同，问三种书 原来各有多少本？（辽宁省首届小学生数学比赛题） 10.A、B、C、D 四人有钱若干元，已知 A 的钱数占其他三个人的钱数（蚌埠市 1990 年小学数学比赛题）12.一个车间有 2 个小组，第一小组和第二小组人数的比是 5∶3，如果第一 小组有 14 人到第二小组时，第一小组与第二小组人数的比是 1∶2，原来两个小 组各有多少人？ （《小学生报》第二次全国小学数学比赛题）做到哪里？”小华说“我还有 45 题。 ”小明又做了余下的一半时又问小华， 小华说“正好做了一半。”如果他俩作业的速度始终没变，中途也没有休息。 问： （1）小明和小华谁口算的速度快？ （2）小明用 6 分钟做完这次作业时，小华用多少时间？ （3）这次口算作业有多少题？ （“从小爱数学”邀请赛应征赛题选） 14.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 10 小时，货车 行完全程需 15 小时，两车在中途相遇后，客车又行了 96 千米，这时客车行完全 程的 80％，甲、乙两地相距多少千米？ （北京市崇文区六年级比赛题）15.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开 甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时。要排光一池水，单开乙管需要 4顺序，循环开各水管，每次各管开 1 小时，问多少时间后水开始溢出水池？ （第一届“华杯赛”决赛试题）八行程问题 ——画画、算算是你的好帮手讨论有关的物体运动的速度、时间、距离这三者关系的问题叫做行程问题。 行程问题在各类竞赛中经常碰到，它内容丰富、变化多端，是小学数学中的重点 和难点。因此可采用作图的手段，画画、算算，展示它们的内在关系，帮助思考。 只要分析正确，思路对头，处理妥当，问题不难解决。 行程问题的基本数量关系式是： 速度＝距离÷时间 时间＝距离÷速度 距离＝速度×时间 例 1 甲、 乙两地相距 56 千米， 汽车行完全程需 1.4 小时， 步行要 14 小时， 一个人由甲地出发，步行 3.5 小时后改乘汽车，他到达乙地总共用了几小时？ （《小学生数学报》第二次全国小学数学邀请赛五年级试题） 解法 1：（1）求步行的距离是多少？ （56÷14） ×3.5＝14（千米）。 （2）求乘汽车用的时间是多少？ （56－14）÷（56÷1.4）＝1.05（小时）。 （3）求到达乙地总共用的时间是多少？1.05＋3.5＝4.55（小时）。 答：他到达乙地总共用了 4.55 小时。 解法 2：设剩余路程改乘汽车要用 x 小时。 步行路程：（56÷14）×3.5 千米；乘车路程：（56÷1.4）x 千 米。 得方程：（56÷14）×3.5＋（56÷1.4）＝56。 14＋4x＝56， x＝1.05。 到达乙地总共用： 3.5＋1.05＝4.55 小时。 答：略。 例 2 甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 56 千米， 乙车每小时行 48 千米，两车在离中点 32 千米处相遇。求 AB 两地间的距离是多 少千米？ （1983 年《小学生报》第一次数学邀请赛四年级试题）解法 1：（1）相遇时甲车比乙车多行了多少千米？ 32×2＝64（千米）。（2）甲车比乙车每小时多行多少千米？ 56－48＝8（千米）。 （3）甲、乙两车同时从出发到相遇要多少小时？ 64÷8＝8（小时）。 （4）A、B 两地间的距离是多少千米？ （56＋48）×8＝832（}