怎么跟cf苗族和宫方正规药店谈事。
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时间：2018-04-01 12:42
&p&其实原来挺喜欢张雪峰的，无论是节目上怼人说“所以你公司不是500强”还是对薛之谦的“朋友出事儿了，是兄弟应该帮忙”但是这次，真的是抽自己脸了。&/p&&p&五险一金我不想解释什么了，大家自己心里都知道这代表着什么，拿北京来说你需要缴纳5年的完税证明才可以有机会参与买房买车的摇号。当然你可以一步登天用“钱”解决，但作为一个普通人来说，是没有那么多钱的。&/p&&p&我相信张雪峰在说“老板看得见你的努力”的时候，是没有考虑人性贪婪的因素的，国家规定普通工作日加班至少1.5倍工资（可调休抵扣加班费），普通假日休息时间加班2倍工资，法定节假日加班3倍工资。这不是说着玩玩的，任何一个懂点劳动法的人都应该知道，有些企业是知法犯法的。但还有这么多企业可以这样继续为非作歹是为什么？其实答案很简单，部分劳动者根本不知道去哪里维护自己的权益。&/p&&p&普及一招最简单的：你工作区域的&b&劳动仲裁机构&/b&。&/p&&p&&b&该单位特点：&/b&&/p&&p&1、提交仲裁申请后，五日内会通知是否受理&/p&&p&2、不需要你请律师，全程几乎免费&/p&&p&3、一般情况下基本倾向于“劳动者”的权益&/p&&p&4、如公司不妥协情况会让法院进行强制执行，但耗时较长&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&员工申请仲裁程序：&/b&&/p&&p&(1)劳动仲裁申请书(详细陈述申请事项事实理由，一式两份或按被申请人人数提供);&/p&&p&(2)申请人身份证明及复印件;&/p&&p&(3)有委托代理人的，需当面签定并提交《授权委托书》，注明委托事项，同时提交受委托代理人的身份证复印件。如委托人的代理人是律师事务所派出的执业律师，应提供执业律师的证件复印件：如委托人的代理人是公民，应提供与委托人签订的不收费代理协议书，以及代理人和委托人之间的关系的法律资料;&/p&&p&(4)被申请人工商注册信息资料;&/p&&p&(5)申请人与被申请人存在劳动关系的证明材料;(证明材料包括：劳动合同、暂住证、工作证、厂牌、工卡、工资表(单)、入职登记表、押金收据、以及被处罚凭证和被开除、除名、辞退、解除(或终止)劳动关系通知或证书等。申请人提交证明材料时，应附原件及复印件各一份，审核后退回原件;&/p&&p&(6)《提交证据材料清单》一式两份;&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&最后两句，什么时候真正“社会主义了”再来和我谈梦想。&/b&&/p&&p&&b&资本主义恨不得把员工骨头里的油都榨出来，你来跟我谈理想？&/b&&/p&&hr&&p&更新，我非常不同意“害怕丢了工作而不去维护自己的权益”。&/p&&p&一般能走到仲裁这一步的，基本都是已经从公司离职或是正准备离职，公司人事长点脑子的都知道，是花一部分钱去解决与员工的劳动纠纷好，还是去走仲裁好。当然也有另类，就是不想给你结算加班费用或是辞退补偿费用，让仲裁机构最后执行，我没记错的话时间大约是半年左右。这又说回来了，他们不按照劳动法进行雇佣而你却因为嫌弃时间久又或是丢饭碗而对自己的权益置之不顾，那你活该没有加班费，被辞退没有补偿，更甚至连五险一金都不给你交。那么请问，你确定自己适合这份工作吗？你是找不到别的工作了吗？而且下面一位律师说的目前大家都懂法律，你看看这答案共有60次点赞，20+的收藏。随便可以在某度上就能找到的资料，为什么这群人不清楚呢？你太高估中国劳动人民的法律普及水平了，有许多人在遇到这种问题时候，根本不知如何解决，最后吃着哑巴亏。举个最简单的例子，如果你们现在去某度搜索“劳动仲裁”你会发现有许多律师单位在做竞价排名广告，请问如果法律真的有你想的那么普及，怎么会有你的同行在做这件事呢？因为还是有市场的，至少在北京都是有市场的，那些2线3线城市呢？更多吧？&/p&&p&我们不能总是想着：“算了，这次就认栽吧，花钱买教训了。”但殊不知以后有多少这样的教训在等着你，对于这件事，我希望你们无论是应届毕业生还是工作很久的年轻人，在对方不仁不义的时候别顾及什么情分什么你以后的背调，凭自己本事拿的offer，凭自己本事加的班，你说工资晚发，没问题。你说公司发展需要加班但没有加班费，看好公司的未来，也没有问题。但你说不交五险一金？辞退了我以后不仅补偿没有甚至连工资都不想给？&/p&&p&对不起。我不想和贱人说话，请你们自己去劳动仲裁，和他们说清楚。&/p&&p&另：如果该公司仍不为所动拒不配合，会被工商罚款不说，还要他补交税，而且会被列为异常经营单位，你工资+补偿+年底双薪才几个钱？工商罚款的金额绝对比这个多，把这话拍在人事桌子上，让TA自己去和领导沟通，孰轻孰重，自己心里没有点B数么。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&如果人人都忍让，那要这国法何用？这国岂不成了资本家的天堂？&/b&&/p&&p&（目前来看，确实是天堂。）&/p&&hr&&p&法山也答了该问题，评论区基本也是与我这回答下的评论区一样。&/p&&p&引用法山的一句话，我也特别后悔写了这篇帖子。&/p&&p&收藏300+点赞600+，没什么问题，毕竟想帮人，不在乎几个赞了。&/p&&p&然而有些人真的认为自己跪的很舒服，我了解到关于劳动法的内容都是任职多年的老HR透漏给我的，自己也涉及过一家公司的劳动纠纷，最后那老板很识趣的做了所有补偿包括辞退的双薪（无税）、部门绩效、当月工资、加班工资、年底的双薪、部分分红。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&你们别赞也别收藏了，让正义去见鬼吧。&/b&&/p&&p&以后这种问题我不答了，请付费咨询法山这样的专业人士。&/p&
其实原来挺喜欢张雪峰的，无论是节目上怼人说“所以你公司不是500强”还是对薛之谦的“朋友出事儿了，是兄弟应该帮忙”但是这次，真的是抽自己脸了。五险一金我不想解释什么了，大家自己心里都知道这代表着什么，拿北京来说你需要缴纳5年的完税证明才可以有…
&p&排序是工作和生活中非常常见的一个问题。现在已经有比较成熟的排序技术，被广泛地应用于各种程序语言或数据库中。不同的排序算法有不同的性能和适用场景，下面的视频对比了 9 种排序算法的性能表现。排序算法依次为选择排序、希尔排序、插入排序、归并排序、快速排序、堆排序、冒泡排序、梳排序、鸡尾酒排序。 &/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/820352& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-157b8dba1067aaf6cdc519_b.jpg& data-lens-id=&820352&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-157b8dba1067aaf6cdc519_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/820352&/span&
&p&九种排序算法的可视化及比较&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&冒泡排序&/b&&/h2&&p&冒泡排序（Bubble Sort）是一种交换排序，基本思想是：两两比较相邻记录的关键字，如果反序则交换，直到没有反序的记录为止。&/p&&p&在最好的情况下，也就是数列本身是排好序的，需要进行 n - 1 次比较；在最坏的情况下，也就是数列本身是逆序的，需要进行 n(n-1)/2 次比较。因此冒泡排序总的时间复杂度是 O(n^2)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&选择排序&/b&&/h2&&p&选择排序(Selection sort) 的基本思想是每一趟在 n - i + 1 (i = 1,2,***,n - 1)个记录中选取关键字最小(或最大)的记录作为有序序列的第 i 个记录，直到所有元素排序完成。选择排序是不稳定的排序算法。&/p&&p&选择排序的时间复杂度为 O(n^2)，但性能上略优于冒泡排序。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&插入排序&/b&&/h2&&p&插入排序类似于整理扑克牌，基本操作是将一个记录插入到已经排好序的有序数列中，从而得到一个有序但记录数加一的有序数列。&/p&&p&插入排序的时间复杂度为 O(n^2)，是稳定的排序方法，适用于数量较少的排序。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&鸡尾酒排序&/b&&/h2&&p&鸡尾酒排序是冒泡排序的一种变形。先找到最小的数字，放在第一位，再找到最大的数字放在最后一位。然后再找到第二小的数字放到第二位，再找到第二大的数字放到倒数第二位。以此类推，直到完成排序。&/p&&p&鸡尾酒排序的时间复杂度为 O(n^2)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&希尔排序&/b&&/h2&&p&希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种，是针对直接插入排序算法的改进。基本思想是将相距某个增量 d 的记录组成一个子序列，通过插入排序使得这个子序列基本有序，然后减少增量继续排序。&/p&&p&&br&&/p&&p&操作上先取一个小于 n 的整数 d1 作为第一个增量，把全部记录分成 d1 个组，所有距离为 dl 的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插人排序，然后取第二个增量d2 & d1 重复上述的分组和排序，直至所取的增量 dt = 1 (dt&dt-l&…&d2&d1)，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。&/p&&p&&br&&/p&&p&希尔排序的时间复杂度可以达到 O(n^(3/2))，要好于前面几种算法。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&梳排序&/b&&/h2&&p&梳排序和希尔排序很类似。希尔排序是在直接插入排序的基础上做的优化，而梳排序是在冒泡排序的基础上做的优化，也就是将相距某个增量 d 的记录组成一个子序列，通过冒泡排序使得这个子序列基本有序，然后减少增量继续排序。&/p&&p&梳排序的时间复杂度是 O(nlogn)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&归并排序&/b&&/h2&&p&归并排序(MERGE-SORT) 是一种分治算法，是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。常用的 2 路归并排序假设初始序列有 n 个记录，可以看成是 n 个长度为 1 的子序列，进行两两归并，可以得到 n / 2 个长度为 2 或 1 的子序列；再两两归并，******，直到得到一个长度为 n 的有序序列为止。&/p&&p&归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)，是一种效率高且稳定的算法。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&快速排序&/b&&/h2&&p&快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。基本思想是通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分的记录都比另一部分小，然后再分别对这两个部分进行快速排序，最终实现整个序列的排序。&/p&&p&快速排序的时间复杂度为 O(nlogn)，是一种不稳定的排序算法；&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&堆排序&/b&&/h2&&p&堆是具有下列性质的完全二叉树：&/p&&p&1. 每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值，称为大顶堆；&/p&&p&2. 每个节点的值都小于或等于其左右孩子节点的值，称为小顶堆。&/p&&p&&br&&/p&&p&堆排序（Heap sort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。基本思想是把待排序的序列构造成一个大顶堆，此时序列的最大值就是队顶元素，把该元素放在最后，然后对剩下的 n - 1 个元素继续构造大顶堆，直到排序完成。&/p&&p&&br&&/p&&p&堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)，由于要构造堆，因此不适用于序列个数较少的情况。&/p&&p&&br&&/p&&p&推荐阅读&/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3De68e227b28c0cc972d7c9a454d66599d%26chksm%3D9b315b38ac46d22edc9e929e0fc69bbbea87f2add1a6c5c8ab4d1b4e%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&深入理解 Java 枚举类型，这篇文章就够了&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D034c6b7a6aadaa3c3f6054%26chksm%3D9b315b2dac46d23bce06ddd8c36ffef7f1c364daadbeed80ef3c96%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【Java技术】盘点 Java 中的队列&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D444a493f511e765c1c18%26chksm%3D9b315b26ac46d4c71e84e6f5706aea8b7e62abdc63a206e0%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&MyBatis 类型处理器 TypeHandler&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dcccb6c3dc9%26chksm%3D9b315bd9ac46d2cf6bdbc318f32c8a3254302fdc1dd15e253dba9c766%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【框架探秘】Spring 专题 01. IoC 容器及其原理&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D18bc18551cc54fdf6f838dd871cfb8be%26chksm%3D9b315bcdac46d2dbd52aacc4a185d6dda874ef3aa85e2cb1%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&MyBatis 动态 SQL 常用功能&/a&&/u&&/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D4b140b79ccfeb043935fbbf9e327af22%26chksm%3D9b315bb7ac46d2a15baea1abec95e8bd5c054e4cdcd288dafef9c471c3fscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Java 9 新增的 3 个语言新特性&/a&&/u&&/p&&p&&br&&/p&&p&分享学习笔记和技术总结，内容涉及 Java 技术、软件架构、前沿技术、开源框架、数据结构与算法、编程感悟等多个领域，欢迎关注。本文首发于微信公众号“后端开发那点事儿”。&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/HUgyKtXE7IiTrZFJ9x0P& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/HUgyKtX&/span&&span class=&invisible&&E7IiTrZFJ9x0P&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
排序是工作和生活中非常常见的一个问题。现在已经有比较成熟的排序技术，被广泛地应用于各种程序语言或数据库中。不同的排序算法有不同的性能和适用场景，下面的视频对比了 9 种排序算法的性能表现。排序算法依次为选择排序、希尔排序、插入排序、归并排序…
1.藏书馆&br&&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9fe3b20b08d_b.jpg& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9fe3b20b08d_r.jpg&&&/figure&&br&用到现在为止，让我最惊叹的app，&br&每一本书基本都能找到（也许是我看的书太少，所以觉得相当全面，之前表达有所误。只是对于我来说，想看的书基本可以找到，此次之前写的“每一本书都能找到”，在此抱歉了，我表达错，忘谅解！）&br&目前觉得这么多年最好用的阅读app（也有其他很多好用的app，只是这个可能比较合我眼缘而已，为避免出现争议，此次括号解释）&br&还不要钱，很全面，强烈推荐。（对于我而言，已经很全面了，若是大家未找到喜欢的书，希望见谅，希望大家都可以看到喜欢的书哦！）&br&&br&&br&2.私家书藏&br&&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1ed52bb44ddc24352dea115204fabb23_b.jpg& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1ed52bb44ddc24352dea115204fabb23_r.jpg&&&/figure&&br&可以添加书籍，记录自己看书类目，可以了解阅读进度，生成数据等，一目了然，对于文科生来讲，既简单，对看过的书有一定的了解，还觉得神奇。&br&&br&&br&&br&更新：不知道是不是全面，对于老阿姨这种智障来讲，已然够用。&br&藏书馆内的书是用借阅的方式分享，具体版权操作我也不清楚哦。&br&不知道算不算小众，只是刷到这个话题，分享喜欢且有用的app。&br&不一定每一本书都有，评论里有小伙伴就讲了某些书找不到，是我阅读量窄，所以智障的我想表达的是，我想看的书在这里基本都能搜到哦～&br&【藏书馆】这个app于我而言，确实好用，它可以安静的躺在我手机上，从来不被抛弃。&br&&br&希望能看到心仪的书。&br&&br&评论区小伙伴推荐相似app有：&br&
网易蜗牛读书&br&
微信读书&br&超星移动图书馆（这个app之前用过，可能与我没有眼缘(☆_☆)）&br&
九九图书馆（据说不用下载，在线看）&br&书链（之前考计算机时下载过，确实值得用）&br&&br&评论区推荐其他记录书籍app：&br&书入法（专门做书摘，特别实用小清新无广告的工具）&br&晒书房（这个是我自己也在用的，也是知乎上看到的）&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&更新(￣▽￣)&br&关于大家质疑的版权问题，我看了一下应用商店简介，如下，私以为和网易蜗牛读书还有超星图书馆会不会很像？要是错了别打我&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2ffac067e5b0_b.jpg& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2ffac067e5b0_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&最后解释更新哦(*^_^*)&br&经评论区提醒，公共图书馆法，今年一月一日起正式实行的。公共图书馆有公共借阅权，可以让人借阅而不受版权限制&br&（这应该可以解释版权问题吧，希望这个app是这样的，要不然我岂不是罪人，最后打扰了，希望大家可以给更多的app推荐，我会及时更新在回答里的，感谢！）
1.藏书馆 用到现在为止，让我最惊叹的app， 每一本书基本都能找到（也许是我看的书太少，所以觉得相当全面，之前表达有所误。只是对于我来说，想看的书基本可以找到，此次之前写的“每一本书都能找到”，在此抱歉了，我表达错，忘谅解！） 目前觉得这么多年…
当然是三世纪的小野洋子——甄宓啦。&br&———————————————————————————————————————————&br&&p&很多年后，面对被收缴的皇后玺印，曹子桓将会回忆起第一次看到甄的那个遥远下午。那是曹丕第一次去邺城，也是唯一一次在坦克中进入这座城市。&/p&&br&&p&“不在坦克里观察一座城市，就无法真正了解这座城市。”后来成为十大元帅之一的曹仁曾如是教导过这位储君，那时，还是许都的一位太学生的后者正战战兢兢地抚摸着虎式坦克的Kwk43L/71型主炮，它出自于曹魏的天才工程师马钧之手。&/p&&br&&p&后来，曹丕在毕业旅行的时候用诗人的方式把这句话说给了弟弟曹植：“我们永远无法真正了解一个没有和我们做过爱的女人。”那时，他们坐在黄河边破旧的码头上，遥望着冀州上方辽阔的夜空，想象着那些尚未开垦的土地，曹丕指着天际问曹植：“你是否知道熊星座就是盘古？”他们心中的情绪如同成功人士的社交网络一样稠密，而当时的他们完全配的上年轻这个词汇，原因之一就是他们仍然对这种成功人士充满着不屑的情绪。也许唯一的例外就是他们的父亲。&/p&&br&&p&曹操对两兄弟的心态了如指掌，这个大腹便便，皮肤松弛，日理万机的中年人在三十年前曾在洛阳城的街头四处徜徉，他出没于圣高祖广场的咖啡馆中，在那里不断地写字。在给一位贵族姑娘的情书中，他写道：“你是属于我的，整个洛阳也是属于我的，而我属于这张纸和这支铅笔。”这一句式要在多年后才会被某位在巴黎混日子的美国小记者再次使用。而最后，如我们知道的，那位姑娘还是离年轻的曹操而去。在曹操受宦官排挤离开洛阳时，同样年轻的袁绍在他身后大喊道：“他们是一帮混蛋，他们加起来都比不上你！”而他们再次见面，则是在官渡的战场上了。&/p&&br&&p&在率领中原野战军主力渡过黄河发动战役之前，曹操召来了沉默寡言，经常把自己关进作战室几天几夜不洗头的参谋长贾诩，用正式的语气询问他，自己的两个儿子什么时候才能从敏感的年轻诗人变成能继承他事业的成熟接班人。后者冷静地回答道：“我听说过一句话，二十岁时不爱五月天的人没有心，四十岁时还爱五月天的人没有脑。”&/p&&br&&p&事实在印证着贾诩的判断，从北方回来时，曹丕带回了甄，却把自己心中的浪漫主义丢在了冀州的土地上。他不再排斥打领带穿皮鞋，并把村上春树的小说丢到了书架底端的柜子里，与此同时，他的弟弟曹植身上的浪漫气质却与日俱增，他饮酒与作诗的频率开始大幅度上升。没有人知道这里面的奥妙，除了他们自己和甄。&/p&&br&&p&在旁观者看来，甄满足一位储君正妻的任何标准，她温柔美丽，贤惠体贴，并深爱着曹丕，甚至会做东吴那边的菜。不过，却很少有人知道，她在邺城大学攻读艺术史时，曾是一个心中怀有许多浪漫幻想的姑娘，比如和喜欢的人牵手在午夜的邺城游荡，或者一起去听苏打绿的室内演唱会，在那个时候，她曾爱上过一名工学院的学生，后者后来入伍投身于袁绍方面所称的“伟大的卫国战争”之中，此后便杳无音讯，不知道残骸埋在黄河北岸的哪个战壕里。而自从曹丕从坦克里跳下来，来到她的面前之后，那个孩子气的甄便消失无踪，博尔赫斯在考证这一段历史时说道：“就像水消失在水中一样。”&/p&&br&&p&曹丕在东宫和吴质、司马懿等人一起研究国际政治形势的时候，曹植正在和杨修、丁仪一起在英雄联盟里开黑，他在杨修的辅助下完成了一次五杀，这使他快乐地大叫了起来。这时，使者传来了曹操在宫内宴请家族成员与群臣的消息。&/p&&br&&p&在用餐的时候，曹操宣布了自己要再次南征的决定，这一次的对象依然是长期制造分裂的孙权势力，上个月他们宣布对铜雀台前的五斗米教徒自焚事件负责，这是赤裸裸的挑衅行为。为了国家统一，人民幸福，这次南征势在必行。曹操冷静地命令忠诚的中央办公厅主任董昭以最快的速度炮制一份《伪吴人权问题报告白皮书》，后者领命而去，夏侯淳则起身向曹操报告，江淮一带的军事力量已经部署完毕。&/p&&br&&p&曹植对这一切毫不感兴趣，他只是咂摸着口中的美酒，在辨认它产自沛郡还是墨西哥。而此时的曹丕已经走下自己的位置，开始诚恳地表达自己对父亲即将远离的悲伤之情，他开始痛哭起来，泪水不断落下，宴会上的局势出现了混乱，人们试图安慰曹丕与曹操。曹植趁机离席来到甄的身边，后者对这个年轻人露出礼貌性的微笑。&/p&&br&&p&“你看过《1973年的弹子球》么？”曹植问道。&/p&&br&&p&“啊……”甄愣了一下，她已经很久没有听到这样的话了，这使她好像回到了很多年前的自修室里，被某个学弟用拙劣的方法搭讪。&/p&&br&&p&“那里面说，直子的笑是一种属于成绩单是都是A的女大学生的笑，我觉得你的笑里也有那样的影子。”&/p&&br&&p&说完这句话，曹植就像没事人一样转回头找杨修玩去了。&/p&&br&&p&听到这句话之后的好几天，甄都难以入眠，并在晚上破天荒地回绝了曹丕的要求，这令后者感到极为不快。曹操再次南征时，曹丕随他一起出行。在甄觉得自己终于要遗忘这件事时，她收到了曹植的一封很长的来信，这封信是通过艰难的步骤才达到甄手中的，她一字不漏地读完了信，然后伏在精致的床上啜泣。&/p&&br&&p&他们在宫墙的阴影里幽会，并肩沉默而行了一段时间之后，曹植突然说：“我第一次见到你时是在建安九年的邺城。那时街上都是坦克，人们在惊慌地四处逃走，我看到我们的士兵把‘曹’字大旗插到国会大厦上，而当时的我还没有爱上除了我母亲之外的女人，直到我和杨修骑着军用摩托车在城里兜风时看见你。第二次见到你是在宴会上，当时你也见到我了。第三次，就是此刻了。”&/p&&br&&p&“建安九年啊，那是《你在烦恼什么》发行的后一年。”&/p&&br&&p&“对啊，当时本拉登还没有被我们的虎豹骑击毙呢，格策甚至还在多特蒙德的青年队里。”&/p&&br&&p&“从那一年起我就不再是全A的女学生啦。”&/p&&br&&p&“不，你是的。”&/p&&br&&p&“我不是。”&/p&&br&&p&“我觉得你是。”&/p&&br&&p&此后是长久的沉默。&/p&&br&&p&“我们还能再见面么？”曹植热切地问道。&/p&&br&&p&回应他的仍然只有沉默。不过，这种沉默并不令人尴尬。&/p&&br&&p&建安二十四年，杨修因为反革命罪被判处死刑，曹操亲自签字同意。曹植带着人们去监狱里探望他，他们讨论了在刑场上应该说什么话，杨修坚持认为“再见了，菲列特利加”是必须有的，曹植让他加上“柯哀永恒”这句话，丁仪觉得“消灭人类暴政”也一定要说，最后争执的结果是这些话都要说，不过顺序经过严密的编排。为了防止行刑者不耐烦一刀挥下去，重要的话必须放在前面。&/p&&br&&p&不过他们其实都想多了，因为行刑前杨修被割断了喉管，所以这些话一句也没有说出来。事后，杨彪还被索取了三文钱的刀口磨损费。&/p&&br&&p&这一年还出了一件大事，就是以魏讽为首的政治风波被镇压了下去，当时负责邺城卫戍的太子曹丕在风波中果断坚强，获得了曹操的极高评价。但是，这一事件中的平民死伤数据永远是个谜，太子的新闻发言人吴质信誓旦旦地说没有一个平民死去，这在吴蜀两国传为笑谈。&/p&&br&&p&粉碎魏讽反革命集团的报告大会要求每个人都要出席，听曹丕的报告时，曹植一阵恍惚，他发现自己无法将现在这个严肃冷酷的中年人曹丕与当初和他一起看星星的子恒联系起来，正像他无法将自己心中纯洁完美的甄与现实中的甄联系起来，那么，爱的对象究竟是真实的人还是自己心中的虚影呢？杨修已不可能再与他讨论这个问题，于是他只有自己沉浸于这种思考之中，任凭这种思考侵蚀着他，同时也完善着他。&/p&&br&&p&在这种思考还没有得出结果的时候，曹操死了，他死在洛阳这个梦开始的地方。曹植决定要去洛阳，虽然他知道那里很危险。&/p&&br&&p&“不要来洛阳，子恒会对你不利。”甄对着虚空说，曹植则在虚空里聆听到了这个声音。&/p&&br&&p&“不，我要来，我一直在想冬天玄武湖结冰时里面的野鸭子去哪了，或许能在洛阳找到它们呢？”曹植对着虚空说。&/p&&br&&p&离开洛阳时，曹植已经成为待罪的藩王，而甄不久成为了皇后。&/p&&br&&p&在渡过黄河前，曹植对着虚空说：“我爱你。”而虚空中并没有传来回应。&/p&&br&&p&一年后，一本名为《洛神》的诗集登上了《邺城时报》畅销书的榜首，作者据传是一位皇室成员，不过这一身份一直没有被证实过。&/p&&br&&p&也有好事者拍过电影，说甄曾买过这本书，在被店员问到是否要包起来送人时，含着泪回答：“不，这是送给我自己的。”其实这个情节是抄袭《他人的生活》的，作为一名文艺理论家，曹丕当然对这种抄袭的行为深恶痛绝，于是这部电影胎死腹中，导演五年内不得上映新片，不过听说后来它在蜀汉举办的成都电影节上斩获了大奖。&/p&&br&&p&司马懿曾对曹丕评论道：“把一种因荷尔蒙而起的生理反应称之为所谓的‘爱’并为之献出自己的一部分生命，这真是只有愚蠢的人类才会做出的行为。”&/p&&br&&p&曹丕不置可否，当晚回宫之后，他在《典论》里写了对《洛神》的评论，不过哥伦比亚大学东亚学系图书馆中收藏的《典论》善本中没有这些评论，不知道是何时散失的。&/p&
当然是三世纪的小野洋子——甄宓啦。 ——————————————————————————————————————————— 很多年后，面对被收缴的皇后玺印，曹子桓将会回忆起第一次看到甄的那个遥远下午。那是曹丕第一次去邺城，也是唯一一次在坦克…
&p&&b&复原魔方需要公式和理解相结合。&/b&&/p&&p&这个事情在魔方界似乎已经是一件大家都默认的事情了，但是在日常生活中我们会听到普通人五花八门的说法：&/p&&blockquote&复原魔方不就是公式么？&br&自己研究魔方才叫厉害，用公式算得上什么？&br&我曾经自己研究出一种不用公式的复原方法。&/blockquote&&p&大众的认知分为两派：&/p&&p&少数人认为复原魔方非常困难，更多人认为复原魔方只需要依靠公式，所以没有技术含量。&/p&&p&无论是自主研究派还是依靠公式派，都试图把公式和理解两方面的作用割裂开。&/p&&p&然而事实是……&/p&&p&我们以三阶魔方的最主流还原方法CFOP为例：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4bf1ab9d51e87c02b192a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&695& data-rawheight=&155& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&695& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4bf1ab9d51e87c02b192a_r.jpg&&&figcaption&CFOP示意图&/figcaption&&/figure&&p&CFOP分为四步：Cross，F2L，OLL和PLL&/p&&p&Cross：十字，几乎没有公式，纯靠理解&/p&&p&F2L：前两层，41条公式，但大多数可以理解，下图右上方&/p&&p&OLL：第三面，57条公式，大多数记忆，下图左下方&/p&&p&PLL：第三层，21条公式，记忆，下图右下方&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3f9eecaeaa6ef_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1095& data-rawheight=&801& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1095& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3f9eecaeaa6ef_r.jpg&&&/figure&&p&&b&如果你稍微细心一点，你不难发现，其实魔方的复原是由理解向公式逐渐演进的。&/b&&/p&&p&&b&这也是为什么，大多数人可以复原魔方的一面却不能完全复原，因为他们有一定的理解能力，而缺乏后续的公式支撑。&/b&&/p&&p&手头没有特别好的视频，就拿我之前做的4.59秒世界纪录解析做一个例子。&/p&&p&记得看解析的时候留意一下，一开始我所说的大量的思考步骤就是理解，最后的六步就是公式。&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/957376& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-a4bfd23f85e_b.jpg& data-lens-id=&957376&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-a4bfd23f85e_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/957376&/span&
&/a&&p&那为什么一开始靠理解，最后靠公式呢？&/p&&p&首先，我们要理解复原魔方的基本思路就是，我们不断地通过一些特定的步骤，减少魔方可能出现的情况，直至最后一种情况——完全复原。&/p&&p&&b&前期复原过程中，魔方的状态很多，可以转动的面也很多，自然通过理解复原更灵活，公式反而会限制魔方的转动。&/b&&/p&&p&&b&后期复原过程中，由于魔方的状态已经很少了，每一个转动都会影响已经做好的块，要保证步骤只影响特定的块，就只能用公式。&/b&&/p&&p&这个网站收录了许多二阶和三阶的公式：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//algdb.net/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&AlgDb&/a&&/p&&p&——————————————————————&/p&&p&现在我们知道了由于魔方本身的特点，所以复原魔方必须要靠公式和理解的结合。&/p&&p&更进一步，其实公式和理解本来就不是泾渭分明的。&/p&&p&我们还是以三阶魔方最为著名的小鱼公式RUR'URU2R' （上左下左上左左下）来解释这句话：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e39b099fd1f99e57c2399_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&385& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e39b099fd1f99e57c2399_r.jpg&&&figcaption&小鱼公式&/figcaption&&/figure&&p&乍一看，对魔方不熟悉或者理解不深的人都会觉得这就是一个公式。&/p&&p&所以理论上我只需要根据我的需要套公式就好了，但其实我们可以尝试理解一下这个公式。&/p&&p&小鱼公式总共7步，前三步是RUR'（上左下），是把图中白蓝红一条拿出来，而如果这个时候你做RU'R'（上右下），就会把白蓝红一条放回去，毫无作用。所以我们就需要做URU2R'（左上左左下），用第二种方式放回去，这样我们就产生了一个全新的公式。&/p&&p&看不懂的话直接看结论：&/p&&p&&b&所以公式和理解的关系是，理解是很多公式的前提，公式是对于理解的高度提炼和总结升华。&/b&&/p&&p&我们需要将理解的内容公式化，以提高速度，方便复制和传播。&/p&&p&我们也可以从公式中，汲取理解魔方的灵感来源，去探索新的公式。&/p&&p&&b&能够自主探索方法或熟练运用公式复原魔方，都是值得肯定的，不能因为坚持一种观点而否定另外一种方式存在的价值。&/b&&/p&&p&关于这个话题我还写过：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&从魔方误区谈中国教育&/a&&/p&&p&——————————————————————&/p&&p&&b&欲知更多关于魔方杂七杂八的事情，可以到我回答和专栏里瞎点八点。&/b&&/p&&p&&b&或者戳这里：&a href=&https://www.zhihu.com/collection/& class=&internal&&魔方话题的优秀回答&/a&和&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&魔方回答索引（长期更新）&/a&&/b&&/p&
复原魔方需要公式和理解相结合。这个事情在魔方界似乎已经是一件大家都默认的事情了，但是在日常生活中我们会听到普通人五花八门的说法：复原魔方不就是公式么？ 自己研究魔方才叫厉害，用公式算得上什么？ 我曾经自己研究出一种不用公式的复原方法。大众的…
当你安装QQ之后 隔一段时间右下角就会弹一个小窗口 是什么呢&br&您的电脑垃圾过多 是否清理？&br&然后在对话框的右下角一个巨大的立即清理按钮&br&但是有几个人能注意到对话框左下角那一行小字 安装电脑管家 呢&br&就算你电脑本身有杀毒软件带有清理功能他也会弹 结果就是我们的用户买了电脑之后装了几个杀软卡的要死就说电脑不行 水货 每次去客户家里卸载的时候必有电脑管家&br&一年几百亿还干这么恶心的事情 &br&我有一句mmp一定要讲
当你安装QQ之后 隔一段时间右下角就会弹一个小窗口 是什么呢 您的电脑垃圾过多 是否清理？ 然后在对话框的右下角一个巨大的立即清理按钮 但是有几个人能注意到对话框左下角那一行小字 安装电脑管家 呢 就算你电脑本身有杀毒软件带有清理功能他也会弹 结果就…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
各类TCG玩家，炉石传说内测玩家。&br&这篇回答会相对比较生硬和主观，因为同质化类比是我工作上习惯做的事。咳咳。&br&这篇文章只代表作者本人的观点，作者并没有能力也没有时间去获得各目标的具体营运数据，也就是说大部分论证是通过将逻辑推理与事实进行有机结合的形式来进行展开，如果与事实有出入或者有严重不符，请看官们海涵，同时请以事实情况为准。&br&今天我们要讲的题目是《从创新到抄袭，一个暴白的独白》，《wowtcg尸骨未寒，炉石传说大步后尘》，《论网游变现中的用户筛选与培植》，《炉石传说：是tcg还是网游？》，《绝密：艾尔荣光tcg与快寻奶飞天ccg企划》&br&本文中将提到的与炉石传说进行同质化类比的产品主要包含：&br&&ol&&li&万智牌 (Magic the gathering, 简称MTG)&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/48e3c6e42be633a2f753d94fe0502a72_b.jpg& data-rawwidth=&251& data-rawheight=&356& class=&content_image& width=&251&&&/figure&&/li&&li&Gundamwar&Gundamwar Nex-a (分别简称为Gw与Gwn)&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/1d8651f49acedbcbf1cef9a_b.png& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&298& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&https://pic4.zhimg.com/1d8651f49acedbcbf1cef9a_r.png&&&/figure&&br&&/li&&li&游戏王 (游戏王，简称为ygo)&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3df12df66ad_b.png& data-rawwidth=&176& data-rawheight=&255& class=&content_image& width=&176&&&/figure&&/li&&/ol&&br&&br&什么一定要提到这些卡牌游戏，是因为它们与今日之炉石有不得不说的联系。&br&&br&——————————————————————————————————————&br&1.先出一道完型填空。请结合上下文及事实来进行选择，本题答案多选&br&我向来不惮以最坏的恶意来推测(
)的，然而我还不料，也不信会下劣凶残到这地步。&br&A.暴雪&br&B.炉石传说&br&C.网游变现&br&D.用户筛选&br&&br&2.1. 请比较00*120的大小。&br&2.2. 请比较0*0+160*500与20*0+400*100的大小&br&&br&——————————————————————————————————————&br&在完成这道题前，请大家先仔细阅读以下这篇文章。我保证这篇文章不带任何的bias。&br&我想先向大家普及下，何为炉石传说的标准模式。&br&依照旅法师营地的消息，炉石传说的标准模式为：&br&&blockquote&
标准模式是一种全新的游戏模式。在该模式下，玩家必须使用《炉石传说》最新发布的游戏内容与对手过招。玩家只能使用在新的一年中发布的卡牌来组建专属的标准模式套牌，当然作为游戏核心的基础和经典卡牌并不会受到影响（在标准模式下可随意使用）。玩家将和其他使用标准套牌的对手进行匹配并一较高下。&i&以上内容摘自旅法师营地&/i&&/blockquote&&br&相信广大&b&集换式卡牌游戏 (trading card game, 简称tcg)&/b&玩家看到这条消息会由衷一笑，嘿嘿，这不就是分赛制与退环境？如果你之前并没有接触过tcg也没有接触过赛制这个概念，请容许我再带来一段有关卡牌赛制的介绍，以万智牌为例：&br&&br&&blockquote&限制赛现开（Sealed Deck）：进行比赛之前，每位牌手各自打开未拆封的含15张卡牌的补充包六包。若是在比赛中，登记后交由比赛组织者重新发放，然后从这些牌中组成至少四十张的卡组（基本地可以随意使用；例如：使用自己准备的以及主办方提供的基本地）。这种比赛形式多在售前比赛前使用。&br&&br&构筑赛&br&分为Vintage（特选），Legacy（薪传），Standard（标准），Modern（近代）和Extended（扩充）五种赛制，区别在于可供选用的牌的数量不同。其中Vintage 和 Legacy（又称作T1和T1.5）除禁限牌外可以使用从万智牌发行以来所有的牌，按套牌组成规则组成套牌进行游戏。而标准和扩充则有发行系列的使用限制。Standard 标准又称T2 是最普遍的赛制环境，世界上约80%的构筑赛事皆属于T2赛制，选牌规定限制在最近两年出的系列中。牌组没有一个固定牌数限制，但规定牌数必须控制在能够双手一次洗牌。&br&双头巨人（Two-Headed Giant）：DCI开始推广的比赛方式。这种比赛有4个人参与，每两个人组成一队，成为一个“双头巨人”进行游戏。&br&&i&以上内容摘自百度百科，找了一圈手边的规则书没发现赛制介绍，只能用百度百科上的了。&/i&&/blockquote&&br&也就是说&b&赛制这个概念，并不是一个全新的发明&/b&。各类&b&集换式卡牌游戏&/b&如：万智牌，GWN，阵面对决等等，都有或者将有其赛制区分。&br&&br&——————————————————————————————————————&br&&br&&br&&br&如果你从未接触过tcg，而你又可以静下心来读完上面的内容，那我们可以开始下面的分析了。&br&&br&观其他各&b&集换式卡牌游戏&/b&的赛制制度，只从&b&玩家游戏性&/b&的角度出发，我们可以得出以下结论：&br&1.赛制存在的首要目的，是限制强度膨胀，防止其破坏游戏价值体系（这里的价值体系是指费用-强度体系，浅显地说在炉石传说里就是水晶-身材体系）。&br&2.赛制存在的次要目的，是限制各类高强度combo存在。&br&3.赛制存在的第三重目的，是使赛制内主题性明显，加强玩家代入感与体验。代入感对于卡牌游戏来说至关重要（也就是万智牌的旅法师背景故事，放在炉石传说里就是gvg机械主题，nxx亡语主题，冠军对决，财报猎人发掘主题等）&br&&br&我来分别解释下这三点目的。&br&&u&第一点&/u&，限制强度膨胀，防止其破坏游戏价值体系。放入到问题主体，炉石传说来看，&br&还记得感动一百万艾泽拉斯旅店住客的藏宝海湾保镖吗？&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/3ce2ab96abf_b.png& data-rawwidth=&479& data-rawheight=&339& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&479& data-original=&https://pic3.zhimg.com/3ce2ab96abf_r.png&&&/figure&我们可以看出，如果不进行赛制的区分，为了卡牌游戏的正常发行，强度势必会进行无限制扩大，因为游戏机制已经定死而玩家不可能会去选择更弱小的卡牌。就如你们看到的上述二卡。所以我在这里希望大家在JJC里全选择藏宝海湾保....呸，走题了，所以我们可以发现如果一款卡牌游戏不让强度保持在一个合理区间内，容易遭到玩家诟病，同时后来发售的同强度或者弱强度新卡销量势必不佳。&br&但是如果我们设定了合理的强度区间，而后进行分赛制、退环境呢？&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/1891833ffe34ea991b888_b.png& data-rawwidth=&555& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&555& data-original=&https://pic1.zhimg.com/1891833ffe34ea991b888_r.png&&&/figure&&br&铛铛铛铛，于是我们就在下个补充包系列“科赞岛的陨落”里，获得了一张新卡，名叫科赞岛保镖。那个红色的龙头状标记是死亡之翼，是这个系列的标志。&br&这张卡的发行与出现并没有对现有的强度有任何意义上的破坏，同时他也符合我们对他现有表现的预期。也许你们觉得这样做很无耻，这根本就是老卡，虽然名字有变换但是换汤不换料。或者我们可以推出下面这个方案：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/1df47ed8d1c59018acd6acc_b.png& data-rawwidth=&562& data-rawheight=&406& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&562& data-original=&https://pic1.zhimg.com/1df47ed8d1c59018acd6acc_r.png&&&/figure&铛铛铛铛！我们就拥有了从基础包里开出来的Basic版本藏宝海湾保镖，以及从那个双三角符号的“重返藏宝海湾”补充包里开出来的&i&宝藏版&/i&藏宝海湾保镖（关于这个宝藏版后文有具体说明）。这样做，我们就成功避免了强度膨胀的大麻烦，同时使得新鲜性得到了保证！&br&虽然上面两个极端的例子有可能会让你们感觉到无趣，同时害怕，但是相信我，这种看似简单粗暴的行为可以最方便地保护环境的健康。&br&我们&b&用强度对等的新卡，替换老卡，这样可以保证游戏的健康性。我们希望用赛制的更迭，来保证游戏强度合理可控。&/b&&br&最后，关于第一点，再做一个很有现实意义的假设，让你们能直观理解到赛制的必要性与其带来的影响。如果你需要构筑一套T7猎，也就是你们现在猜测的标准赛制霸主，你们并没有一张很棒的卡牌叫做快速射击，因为他已经退环境了。然而我作为设计师希望T7猎能保证目前的强度以及二费曲线拥有直伤的属性。于是我会在快速射击退环境以后设计出这样一张卡来满足我对T7猎表现的期待。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f9f749ad2b_b.jpg& data-rawwidth=&503& data-rawheight=&346& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&503& data-original=&https://pic2.zhimg.com/f9f749ad2b_r.jpg&&&/figure&这样有蓝本的微调，对一套卡组强度的把控是最为高效的。&br&······················································································&br&&br&&u&第二点&/u&，限制各类高强度combo存在。&br&我想玩炉石最差的体验，应该就是被曾经的奴隶战空场斩杀的恐惧，或者被曾经的战歌rock吧。&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/1a89cb8c49a7c104bcdb_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/1a89cb8c49a7c104bcdb_r.jpg&&&/figure&这些，就是高强度的combo（连招）。这些combo固然拥有无以伦比的魅力，拥有高速过牌、定点率抽、高斩杀、高返场等等一切优点。也许你们要问高速过牌定点率抽是什么？很高兴地告诉你，随着赛制的到来，你们之后再也没可能看到这些已经令我审美疲劳的东西了（如果你们还是很好奇，请看我之后的游戏王部分分析）。每一次凑齐combo组件，看着自己在对面猛攻下苟活下来，总是让人很兴奋，计算一下斩杀，射程之内！于是我们开开心心打光手牌打光水晶，打出一套完美的无以加复的combo，同时右键头像打出抱歉，啊不，打出GG。这应该是一次很棒的劣势翻盘的体验。然而对于对手来说呢？这简直是一场在一回合中让一切天翻地覆的噩梦。他空有一切优势，然而因为一套适用年龄为九岁的康博，就被打成了筛子。被otk，或者大优被返场的痛苦会随着赛制的到来而终结。&br&我并不是说卡牌游戏otk及返场有任何问题，毕竟冰法这种从第一回合就开始返场的卡组从来没人抱怨他的体验与强度太过扭曲。然而，奴隶战及佛祖骑一卡combo的恐怖尤在人们脑海里回响。我们并不想将炉石传说太过的拳头化（如果不理解我会在之后关于炉石传说运营方分析里提到），}
其实原来挺喜欢张雪峰的，无论是节目上怼人说“所以你公司不是500强”还是对薛之谦的“朋友出事儿了，是兄弟应该帮忙”但是这次，真的是抽自己脸了。五险一金我不想解释什么了，大家自己心里都知道这代表着什么，拿北京来说你需要缴纳5年的完税证明才可以有…
&p&排序是工作和生活中非常常见的一个问题。现在已经有比较成熟的排序技术，被广泛地应用于各种程序语言或数据库中。不同的排序算法有不同的性能和适用场景，下面的视频对比了 9 种排序算法的性能表现。排序算法依次为选择排序、希尔排序、插入排序、归并排序、快速排序、堆排序、冒泡排序、梳排序、鸡尾酒排序。 &/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/820352& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-157b8dba1067aaf6cdc519_b.jpg& data-lens-id=&820352&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-157b8dba1067aaf6cdc519_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/820352&/span&
&p&九种排序算法的可视化及比较&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&冒泡排序&/b&&/h2&&p&冒泡排序（Bubble Sort）是一种交换排序，基本思想是：两两比较相邻记录的关键字，如果反序则交换，直到没有反序的记录为止。&/p&&p&在最好的情况下，也就是数列本身是排好序的，需要进行 n - 1 次比较；在最坏的情况下，也就是数列本身是逆序的，需要进行 n(n-1)/2 次比较。因此冒泡排序总的时间复杂度是 O(n^2)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&选择排序&/b&&/h2&&p&选择排序(Selection sort) 的基本思想是每一趟在 n - i + 1 (i = 1,2,***,n - 1)个记录中选取关键字最小(或最大)的记录作为有序序列的第 i 个记录，直到所有元素排序完成。选择排序是不稳定的排序算法。&/p&&p&选择排序的时间复杂度为 O(n^2)，但性能上略优于冒泡排序。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&插入排序&/b&&/h2&&p&插入排序类似于整理扑克牌，基本操作是将一个记录插入到已经排好序的有序数列中，从而得到一个有序但记录数加一的有序数列。&/p&&p&插入排序的时间复杂度为 O(n^2)，是稳定的排序方法，适用于数量较少的排序。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&鸡尾酒排序&/b&&/h2&&p&鸡尾酒排序是冒泡排序的一种变形。先找到最小的数字，放在第一位，再找到最大的数字放在最后一位。然后再找到第二小的数字放到第二位，再找到第二大的数字放到倒数第二位。以此类推，直到完成排序。&/p&&p&鸡尾酒排序的时间复杂度为 O(n^2)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&希尔排序&/b&&/h2&&p&希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种，是针对直接插入排序算法的改进。基本思想是将相距某个增量 d 的记录组成一个子序列，通过插入排序使得这个子序列基本有序，然后减少增量继续排序。&/p&&p&&br&&/p&&p&操作上先取一个小于 n 的整数 d1 作为第一个增量，把全部记录分成 d1 个组，所有距离为 dl 的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插人排序，然后取第二个增量d2 & d1 重复上述的分组和排序，直至所取的增量 dt = 1 (dt&dt-l&…&d2&d1)，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。&/p&&p&&br&&/p&&p&希尔排序的时间复杂度可以达到 O(n^(3/2))，要好于前面几种算法。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&梳排序&/b&&/h2&&p&梳排序和希尔排序很类似。希尔排序是在直接插入排序的基础上做的优化，而梳排序是在冒泡排序的基础上做的优化，也就是将相距某个增量 d 的记录组成一个子序列，通过冒泡排序使得这个子序列基本有序，然后减少增量继续排序。&/p&&p&梳排序的时间复杂度是 O(nlogn)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&归并排序&/b&&/h2&&p&归并排序(MERGE-SORT) 是一种分治算法，是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。常用的 2 路归并排序假设初始序列有 n 个记录，可以看成是 n 个长度为 1 的子序列，进行两两归并，可以得到 n / 2 个长度为 2 或 1 的子序列；再两两归并，******，直到得到一个长度为 n 的有序序列为止。&/p&&p&归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)，是一种效率高且稳定的算法。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&快速排序&/b&&/h2&&p&快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。基本思想是通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分的记录都比另一部分小，然后再分别对这两个部分进行快速排序，最终实现整个序列的排序。&/p&&p&快速排序的时间复杂度为 O(nlogn)，是一种不稳定的排序算法；&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&堆排序&/b&&/h2&&p&堆是具有下列性质的完全二叉树：&/p&&p&1. 每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值，称为大顶堆；&/p&&p&2. 每个节点的值都小于或等于其左右孩子节点的值，称为小顶堆。&/p&&p&&br&&/p&&p&堆排序（Heap sort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。基本思想是把待排序的序列构造成一个大顶堆，此时序列的最大值就是队顶元素，把该元素放在最后，然后对剩下的 n - 1 个元素继续构造大顶堆，直到排序完成。&/p&&p&&br&&/p&&p&堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)，由于要构造堆，因此不适用于序列个数较少的情况。&/p&&p&&br&&/p&&p&推荐阅读&/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3De68e227b28c0cc972d7c9a454d66599d%26chksm%3D9b315b38ac46d22edc9e929e0fc69bbbea87f2add1a6c5c8ab4d1b4e%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&深入理解 Java 枚举类型，这篇文章就够了&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D034c6b7a6aadaa3c3f6054%26chksm%3D9b315b2dac46d23bce06ddd8c36ffef7f1c364daadbeed80ef3c96%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【Java技术】盘点 Java 中的队列&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D444a493f511e765c1c18%26chksm%3D9b315b26ac46d4c71e84e6f5706aea8b7e62abdc63a206e0%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&MyBatis 类型处理器 TypeHandler&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dcccb6c3dc9%26chksm%3D9b315bd9ac46d2cf6bdbc318f32c8a3254302fdc1dd15e253dba9c766%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【框架探秘】Spring 专题 01. IoC 容器及其原理&/a&&/u& &/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D18bc18551cc54fdf6f838dd871cfb8be%26chksm%3D9b315bcdac46d2dbd52aacc4a185d6dda874ef3aa85e2cb1%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&MyBatis 动态 SQL 常用功能&/a&&/u&&/p&&p&&u&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzAwNDE2NTgzNQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D4b140b79ccfeb043935fbbf9e327af22%26chksm%3D9b315bb7ac46d2a15baea1abec95e8bd5c054e4cdcd288dafef9c471c3fscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Java 9 新增的 3 个语言新特性&/a&&/u&&/p&&p&&br&&/p&&p&分享学习笔记和技术总结，内容涉及 Java 技术、软件架构、前沿技术、开源框架、数据结构与算法、编程感悟等多个领域，欢迎关注。本文首发于微信公众号“后端开发那点事儿”。&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/HUgyKtXE7IiTrZFJ9x0P& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/HUgyKtX&/span&&span class=&invisible&&E7IiTrZFJ9x0P&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
排序是工作和生活中非常常见的一个问题。现在已经有比较成熟的排序技术，被广泛地应用于各种程序语言或数据库中。不同的排序算法有不同的性能和适用场景，下面的视频对比了 9 种排序算法的性能表现。排序算法依次为选择排序、希尔排序、插入排序、归并排序…
1.藏书馆&br&&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9fe3b20b08d_b.jpg& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9fe3b20b08d_r.jpg&&&/figure&&br&用到现在为止，让我最惊叹的app，&br&每一本书基本都能找到（也许是我看的书太少，所以觉得相当全面，之前表达有所误。只是对于我来说，想看的书基本可以找到，此次之前写的“每一本书都能找到”，在此抱歉了，我表达错，忘谅解！）&br&目前觉得这么多年最好用的阅读app（也有其他很多好用的app，只是这个可能比较合我眼缘而已，为避免出现争议，此次括号解释）&br&还不要钱，很全面，强烈推荐。（对于我而言，已经很全面了，若是大家未找到喜欢的书，希望见谅，希望大家都可以看到喜欢的书哦！）&br&&br&&br&2.私家书藏&br&&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1ed52bb44ddc24352dea115204fabb23_b.jpg& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1ed52bb44ddc24352dea115204fabb23_r.jpg&&&/figure&&br&可以添加书籍，记录自己看书类目，可以了解阅读进度，生成数据等，一目了然，对于文科生来讲，既简单，对看过的书有一定的了解，还觉得神奇。&br&&br&&br&&br&更新：不知道是不是全面，对于老阿姨这种智障来讲，已然够用。&br&藏书馆内的书是用借阅的方式分享，具体版权操作我也不清楚哦。&br&不知道算不算小众，只是刷到这个话题，分享喜欢且有用的app。&br&不一定每一本书都有，评论里有小伙伴就讲了某些书找不到，是我阅读量窄，所以智障的我想表达的是，我想看的书在这里基本都能搜到哦～&br&【藏书馆】这个app于我而言，确实好用，它可以安静的躺在我手机上，从来不被抛弃。&br&&br&希望能看到心仪的书。&br&&br&评论区小伙伴推荐相似app有：&br&
网易蜗牛读书&br&
微信读书&br&超星移动图书馆（这个app之前用过，可能与我没有眼缘(☆_☆)）&br&
九九图书馆（据说不用下载，在线看）&br&书链（之前考计算机时下载过，确实值得用）&br&&br&评论区推荐其他记录书籍app：&br&书入法（专门做书摘，特别实用小清新无广告的工具）&br&晒书房（这个是我自己也在用的，也是知乎上看到的）&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&更新(￣▽￣)&br&关于大家质疑的版权问题，我看了一下应用商店简介，如下，私以为和网易蜗牛读书还有超星图书馆会不会很像？要是错了别打我&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2ffac067e5b0_b.jpg& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2ffac067e5b0_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&最后解释更新哦(*^_^*)&br&经评论区提醒，公共图书馆法，今年一月一日起正式实行的。公共图书馆有公共借阅权，可以让人借阅而不受版权限制&br&（这应该可以解释版权问题吧，希望这个app是这样的，要不然我岂不是罪人，最后打扰了，希望大家可以给更多的app推荐，我会及时更新在回答里的，感谢！）
1.藏书馆 用到现在为止，让我最惊叹的app， 每一本书基本都能找到（也许是我看的书太少，所以觉得相当全面，之前表达有所误。只是对于我来说，想看的书基本可以找到，此次之前写的“每一本书都能找到”，在此抱歉了，我表达错，忘谅解！） 目前觉得这么多年…
当然是三世纪的小野洋子——甄宓啦。&br&———————————————————————————————————————————&br&&p&很多年后，面对被收缴的皇后玺印，曹子桓将会回忆起第一次看到甄的那个遥远下午。那是曹丕第一次去邺城，也是唯一一次在坦克中进入这座城市。&/p&&br&&p&“不在坦克里观察一座城市，就无法真正了解这座城市。”后来成为十大元帅之一的曹仁曾如是教导过这位储君，那时，还是许都的一位太学生的后者正战战兢兢地抚摸着虎式坦克的Kwk43L/71型主炮，它出自于曹魏的天才工程师马钧之手。&/p&&br&&p&后来，曹丕在毕业旅行的时候用诗人的方式把这句话说给了弟弟曹植：“我们永远无法真正了解一个没有和我们做过爱的女人。”那时，他们坐在黄河边破旧的码头上，遥望着冀州上方辽阔的夜空，想象着那些尚未开垦的土地，曹丕指着天际问曹植：“你是否知道熊星座就是盘古？”他们心中的情绪如同成功人士的社交网络一样稠密，而当时的他们完全配的上年轻这个词汇，原因之一就是他们仍然对这种成功人士充满着不屑的情绪。也许唯一的例外就是他们的父亲。&/p&&br&&p&曹操对两兄弟的心态了如指掌，这个大腹便便，皮肤松弛，日理万机的中年人在三十年前曾在洛阳城的街头四处徜徉，他出没于圣高祖广场的咖啡馆中，在那里不断地写字。在给一位贵族姑娘的情书中，他写道：“你是属于我的，整个洛阳也是属于我的，而我属于这张纸和这支铅笔。”这一句式要在多年后才会被某位在巴黎混日子的美国小记者再次使用。而最后，如我们知道的，那位姑娘还是离年轻的曹操而去。在曹操受宦官排挤离开洛阳时，同样年轻的袁绍在他身后大喊道：“他们是一帮混蛋，他们加起来都比不上你！”而他们再次见面，则是在官渡的战场上了。&/p&&br&&p&在率领中原野战军主力渡过黄河发动战役之前，曹操召来了沉默寡言，经常把自己关进作战室几天几夜不洗头的参谋长贾诩，用正式的语气询问他，自己的两个儿子什么时候才能从敏感的年轻诗人变成能继承他事业的成熟接班人。后者冷静地回答道：“我听说过一句话，二十岁时不爱五月天的人没有心，四十岁时还爱五月天的人没有脑。”&/p&&br&&p&事实在印证着贾诩的判断，从北方回来时，曹丕带回了甄，却把自己心中的浪漫主义丢在了冀州的土地上。他不再排斥打领带穿皮鞋，并把村上春树的小说丢到了书架底端的柜子里，与此同时，他的弟弟曹植身上的浪漫气质却与日俱增，他饮酒与作诗的频率开始大幅度上升。没有人知道这里面的奥妙，除了他们自己和甄。&/p&&br&&p&在旁观者看来，甄满足一位储君正妻的任何标准，她温柔美丽，贤惠体贴，并深爱着曹丕，甚至会做东吴那边的菜。不过，却很少有人知道，她在邺城大学攻读艺术史时，曾是一个心中怀有许多浪漫幻想的姑娘，比如和喜欢的人牵手在午夜的邺城游荡，或者一起去听苏打绿的室内演唱会，在那个时候，她曾爱上过一名工学院的学生，后者后来入伍投身于袁绍方面所称的“伟大的卫国战争”之中，此后便杳无音讯，不知道残骸埋在黄河北岸的哪个战壕里。而自从曹丕从坦克里跳下来，来到她的面前之后，那个孩子气的甄便消失无踪，博尔赫斯在考证这一段历史时说道：“就像水消失在水中一样。”&/p&&br&&p&曹丕在东宫和吴质、司马懿等人一起研究国际政治形势的时候，曹植正在和杨修、丁仪一起在英雄联盟里开黑，他在杨修的辅助下完成了一次五杀，这使他快乐地大叫了起来。这时，使者传来了曹操在宫内宴请家族成员与群臣的消息。&/p&&br&&p&在用餐的时候，曹操宣布了自己要再次南征的决定，这一次的对象依然是长期制造分裂的孙权势力，上个月他们宣布对铜雀台前的五斗米教徒自焚事件负责，这是赤裸裸的挑衅行为。为了国家统一，人民幸福，这次南征势在必行。曹操冷静地命令忠诚的中央办公厅主任董昭以最快的速度炮制一份《伪吴人权问题报告白皮书》，后者领命而去，夏侯淳则起身向曹操报告，江淮一带的军事力量已经部署完毕。&/p&&br&&p&曹植对这一切毫不感兴趣，他只是咂摸着口中的美酒，在辨认它产自沛郡还是墨西哥。而此时的曹丕已经走下自己的位置，开始诚恳地表达自己对父亲即将远离的悲伤之情，他开始痛哭起来，泪水不断落下，宴会上的局势出现了混乱，人们试图安慰曹丕与曹操。曹植趁机离席来到甄的身边，后者对这个年轻人露出礼貌性的微笑。&/p&&br&&p&“你看过《1973年的弹子球》么？”曹植问道。&/p&&br&&p&“啊……”甄愣了一下，她已经很久没有听到这样的话了，这使她好像回到了很多年前的自修室里，被某个学弟用拙劣的方法搭讪。&/p&&br&&p&“那里面说，直子的笑是一种属于成绩单是都是A的女大学生的笑，我觉得你的笑里也有那样的影子。”&/p&&br&&p&说完这句话，曹植就像没事人一样转回头找杨修玩去了。&/p&&br&&p&听到这句话之后的好几天，甄都难以入眠，并在晚上破天荒地回绝了曹丕的要求，这令后者感到极为不快。曹操再次南征时，曹丕随他一起出行。在甄觉得自己终于要遗忘这件事时，她收到了曹植的一封很长的来信，这封信是通过艰难的步骤才达到甄手中的，她一字不漏地读完了信，然后伏在精致的床上啜泣。&/p&&br&&p&他们在宫墙的阴影里幽会，并肩沉默而行了一段时间之后，曹植突然说：“我第一次见到你时是在建安九年的邺城。那时街上都是坦克，人们在惊慌地四处逃走，我看到我们的士兵把‘曹’字大旗插到国会大厦上，而当时的我还没有爱上除了我母亲之外的女人，直到我和杨修骑着军用摩托车在城里兜风时看见你。第二次见到你是在宴会上，当时你也见到我了。第三次，就是此刻了。”&/p&&br&&p&“建安九年啊，那是《你在烦恼什么》发行的后一年。”&/p&&br&&p&“对啊，当时本拉登还没有被我们的虎豹骑击毙呢，格策甚至还在多特蒙德的青年队里。”&/p&&br&&p&“从那一年起我就不再是全A的女学生啦。”&/p&&br&&p&“不，你是的。”&/p&&br&&p&“我不是。”&/p&&br&&p&“我觉得你是。”&/p&&br&&p&此后是长久的沉默。&/p&&br&&p&“我们还能再见面么？”曹植热切地问道。&/p&&br&&p&回应他的仍然只有沉默。不过，这种沉默并不令人尴尬。&/p&&br&&p&建安二十四年，杨修因为反革命罪被判处死刑，曹操亲自签字同意。曹植带着人们去监狱里探望他，他们讨论了在刑场上应该说什么话，杨修坚持认为“再见了，菲列特利加”是必须有的，曹植让他加上“柯哀永恒”这句话，丁仪觉得“消灭人类暴政”也一定要说，最后争执的结果是这些话都要说，不过顺序经过严密的编排。为了防止行刑者不耐烦一刀挥下去，重要的话必须放在前面。&/p&&br&&p&不过他们其实都想多了，因为行刑前杨修被割断了喉管，所以这些话一句也没有说出来。事后，杨彪还被索取了三文钱的刀口磨损费。&/p&&br&&p&这一年还出了一件大事，就是以魏讽为首的政治风波被镇压了下去，当时负责邺城卫戍的太子曹丕在风波中果断坚强，获得了曹操的极高评价。但是，这一事件中的平民死伤数据永远是个谜，太子的新闻发言人吴质信誓旦旦地说没有一个平民死去，这在吴蜀两国传为笑谈。&/p&&br&&p&粉碎魏讽反革命集团的报告大会要求每个人都要出席，听曹丕的报告时，曹植一阵恍惚，他发现自己无法将现在这个严肃冷酷的中年人曹丕与当初和他一起看星星的子恒联系起来，正像他无法将自己心中纯洁完美的甄与现实中的甄联系起来，那么，爱的对象究竟是真实的人还是自己心中的虚影呢？杨修已不可能再与他讨论这个问题，于是他只有自己沉浸于这种思考之中，任凭这种思考侵蚀着他，同时也完善着他。&/p&&br&&p&在这种思考还没有得出结果的时候，曹操死了，他死在洛阳这个梦开始的地方。曹植决定要去洛阳，虽然他知道那里很危险。&/p&&br&&p&“不要来洛阳，子恒会对你不利。”甄对着虚空说，曹植则在虚空里聆听到了这个声音。&/p&&br&&p&“不，我要来，我一直在想冬天玄武湖结冰时里面的野鸭子去哪了，或许能在洛阳找到它们呢？”曹植对着虚空说。&/p&&br&&p&离开洛阳时，曹植已经成为待罪的藩王，而甄不久成为了皇后。&/p&&br&&p&在渡过黄河前，曹植对着虚空说：“我爱你。”而虚空中并没有传来回应。&/p&&br&&p&一年后，一本名为《洛神》的诗集登上了《邺城时报》畅销书的榜首，作者据传是一位皇室成员，不过这一身份一直没有被证实过。&/p&&br&&p&也有好事者拍过电影，说甄曾买过这本书，在被店员问到是否要包起来送人时，含着泪回答：“不，这是送给我自己的。”其实这个情节是抄袭《他人的生活》的，作为一名文艺理论家，曹丕当然对这种抄袭的行为深恶痛绝，于是这部电影胎死腹中，导演五年内不得上映新片，不过听说后来它在蜀汉举办的成都电影节上斩获了大奖。&/p&&br&&p&司马懿曾对曹丕评论道：“把一种因荷尔蒙而起的生理反应称之为所谓的‘爱’并为之献出自己的一部分生命，这真是只有愚蠢的人类才会做出的行为。”&/p&&br&&p&曹丕不置可否，当晚回宫之后，他在《典论》里写了对《洛神》的评论，不过哥伦比亚大学东亚学系图书馆中收藏的《典论》善本中没有这些评论，不知道是何时散失的。&/p&
当然是三世纪的小野洋子——甄宓啦。 ——————————————————————————————————————————— 很多年后，面对被收缴的皇后玺印，曹子桓将会回忆起第一次看到甄的那个遥远下午。那是曹丕第一次去邺城，也是唯一一次在坦克…
&p&&b&复原魔方需要公式和理解相结合。&/b&&/p&&p&这个事情在魔方界似乎已经是一件大家都默认的事情了，但是在日常生活中我们会听到普通人五花八门的说法：&/p&&blockquote&复原魔方不就是公式么？&br&自己研究魔方才叫厉害，用公式算得上什么？&br&我曾经自己研究出一种不用公式的复原方法。&/blockquote&&p&大众的认知分为两派：&/p&&p&少数人认为复原魔方非常困难，更多人认为复原魔方只需要依靠公式，所以没有技术含量。&/p&&p&无论是自主研究派还是依靠公式派，都试图把公式和理解两方面的作用割裂开。&/p&&p&然而事实是……&/p&&p&我们以三阶魔方的最主流还原方法CFOP为例：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4bf1ab9d51e87c02b192a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&695& data-rawheight=&155& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&695& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4bf1ab9d51e87c02b192a_r.jpg&&&figcaption&CFOP示意图&/figcaption&&/figure&&p&CFOP分为四步：Cross，F2L，OLL和PLL&/p&&p&Cross：十字，几乎没有公式，纯靠理解&/p&&p&F2L：前两层，41条公式，但大多数可以理解，下图右上方&/p&&p&OLL：第三面，57条公式，大多数记忆，下图左下方&/p&&p&PLL：第三层，21条公式，记忆，下图右下方&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3f9eecaeaa6ef_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1095& data-rawheight=&801& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1095& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3f9eecaeaa6ef_r.jpg&&&/figure&&p&&b&如果你稍微细心一点，你不难发现，其实魔方的复原是由理解向公式逐渐演进的。&/b&&/p&&p&&b&这也是为什么，大多数人可以复原魔方的一面却不能完全复原，因为他们有一定的理解能力，而缺乏后续的公式支撑。&/b&&/p&&p&手头没有特别好的视频，就拿我之前做的4.59秒世界纪录解析做一个例子。&/p&&p&记得看解析的时候留意一下，一开始我所说的大量的思考步骤就是理解，最后的六步就是公式。&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/957376& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-a4bfd23f85e_b.jpg& data-lens-id=&957376&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-a4bfd23f85e_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/957376&/span&
&/a&&p&那为什么一开始靠理解，最后靠公式呢？&/p&&p&首先，我们要理解复原魔方的基本思路就是，我们不断地通过一些特定的步骤，减少魔方可能出现的情况，直至最后一种情况——完全复原。&/p&&p&&b&前期复原过程中，魔方的状态很多，可以转动的面也很多，自然通过理解复原更灵活，公式反而会限制魔方的转动。&/b&&/p&&p&&b&后期复原过程中，由于魔方的状态已经很少了，每一个转动都会影响已经做好的块，要保证步骤只影响特定的块，就只能用公式。&/b&&/p&&p&这个网站收录了许多二阶和三阶的公式：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//algdb.net/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&AlgDb&/a&&/p&&p&——————————————————————&/p&&p&现在我们知道了由于魔方本身的特点，所以复原魔方必须要靠公式和理解的结合。&/p&&p&更进一步，其实公式和理解本来就不是泾渭分明的。&/p&&p&我们还是以三阶魔方最为著名的小鱼公式RUR'URU2R' （上左下左上左左下）来解释这句话：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e39b099fd1f99e57c2399_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&385& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e39b099fd1f99e57c2399_r.jpg&&&figcaption&小鱼公式&/figcaption&&/figure&&p&乍一看，对魔方不熟悉或者理解不深的人都会觉得这就是一个公式。&/p&&p&所以理论上我只需要根据我的需要套公式就好了，但其实我们可以尝试理解一下这个公式。&/p&&p&小鱼公式总共7步，前三步是RUR'（上左下），是把图中白蓝红一条拿出来，而如果这个时候你做RU'R'（上右下），就会把白蓝红一条放回去，毫无作用。所以我们就需要做URU2R'（左上左左下），用第二种方式放回去，这样我们就产生了一个全新的公式。&/p&&p&看不懂的话直接看结论：&/p&&p&&b&所以公式和理解的关系是，理解是很多公式的前提，公式是对于理解的高度提炼和总结升华。&/b&&/p&&p&我们需要将理解的内容公式化，以提高速度，方便复制和传播。&/p&&p&我们也可以从公式中，汲取理解魔方的灵感来源，去探索新的公式。&/p&&p&&b&能够自主探索方法或熟练运用公式复原魔方，都是值得肯定的，不能因为坚持一种观点而否定另外一种方式存在的价值。&/b&&/p&&p&关于这个话题我还写过：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&从魔方误区谈中国教育&/a&&/p&&p&——————————————————————&/p&&p&&b&欲知更多关于魔方杂七杂八的事情，可以到我回答和专栏里瞎点八点。&/b&&/p&&p&&b&或者戳这里：&a href=&https://www.zhihu.com/collection/& class=&internal&&魔方话题的优秀回答&/a&和&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&魔方回答索引（长期更新）&/a&&/b&&/p&
复原魔方需要公式和理解相结合。这个事情在魔方界似乎已经是一件大家都默认的事情了，但是在日常生活中我们会听到普通人五花八门的说法：复原魔方不就是公式么？ 自己研究魔方才叫厉害，用公式算得上什么？ 我曾经自己研究出一种不用公式的复原方法。大众的…
当你安装QQ之后 隔一段时间右下角就会弹一个小窗口 是什么呢&br&您的电脑垃圾过多 是否清理？&br&然后在对话框的右下角一个巨大的立即清理按钮&br&但是有几个人能注意到对话框左下角那一行小字 安装电脑管家 呢&br&就算你电脑本身有杀毒软件带有清理功能他也会弹 结果就是我们的用户买了电脑之后装了几个杀软卡的要死就说电脑不行 水货 每次去客户家里卸载的时候必有电脑管家&br&一年几百亿还干这么恶心的事情 &br&我有一句mmp一定要讲
当你安装QQ之后 隔一段时间右下角就会弹一个小窗口 是什么呢 您的电脑垃圾过多 是否清理？ 然后在对话框的右下角一个巨大的立即清理按钮 但是有几个人能注意到对话框左下角那一行小字 安装电脑管家 呢 就算你电脑本身有杀毒软件带有清理功能他也会弹 结果就…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
各类TCG玩家，炉石传说内测玩家。&br&这篇回答会相对比较生硬和主观，因为同质化类比是我工作上习惯做的事。咳咳。&br&这篇文章只代表作者本人的观点，作者并没有能力也没有时间去获得各目标的具体营运数据，也就是说大部分论证是通过将逻辑推理与事实进行有机结合的形式来进行展开，如果与事实有出入或者有严重不符，请看官们海涵，同时请以事实情况为准。&br&今天我们要讲的题目是《从创新到抄袭，一个暴白的独白》，《wowtcg尸骨未寒，炉石传说大步后尘》，《论网游变现中的用户筛选与培植》，《炉石传说：是tcg还是网游？》，《绝密：艾尔荣光tcg与快寻奶飞天ccg企划》&br&本文中将提到的与炉石传说进行同质化类比的产品主要包含：&br&&ol&&li&万智牌 (Magic the gathering, 简称MTG)&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/48e3c6e42be633a2f753d94fe0502a72_b.jpg& data-rawwidth=&251& data-rawheight=&356& class=&content_image& width=&251&&&/figure&&/li&&li&Gundamwar&Gundamwar Nex-a (分别简称为Gw与Gwn)&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/1d8651f49acedbcbf1cef9a_b.png& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&298& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&https://pic4.zhimg.com/1d8651f49acedbcbf1cef9a_r.png&&&/figure&&br&&/li&&li&游戏王 (游戏王，简称为ygo)&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3df12df66ad_b.png& data-rawwidth=&176& data-rawheight=&255& class=&content_image& width=&176&&&/figure&&/li&&/ol&&br&&br&什么一定要提到这些卡牌游戏，是因为它们与今日之炉石有不得不说的联系。&br&&br&——————————————————————————————————————&br&1.先出一道完型填空。请结合上下文及事实来进行选择，本题答案多选&br&我向来不惮以最坏的恶意来推测(
)的，然而我还不料，也不信会下劣凶残到这地步。&br&A.暴雪&br&B.炉石传说&br&C.网游变现&br&D.用户筛选&br&&br&2.1. 请比较00*120的大小。&br&2.2. 请比较0*0+160*500与20*0+400*100的大小&br&&br&——————————————————————————————————————&br&在完成这道题前，请大家先仔细阅读以下这篇文章。我保证这篇文章不带任何的bias。&br&我想先向大家普及下，何为炉石传说的标准模式。&br&依照旅法师营地的消息，炉石传说的标准模式为：&br&&blockquote&
标准模式是一种全新的游戏模式。在该模式下，玩家必须使用《炉石传说》最新发布的游戏内容与对手过招。玩家只能使用在新的一年中发布的卡牌来组建专属的标准模式套牌，当然作为游戏核心的基础和经典卡牌并不会受到影响（在标准模式下可随意使用）。玩家将和其他使用标准套牌的对手进行匹配并一较高下。&i&以上内容摘自旅法师营地&/i&&/blockquote&&br&相信广大&b&集换式卡牌游戏 (trading card game, 简称tcg)&/b&玩家看到这条消息会由衷一笑，嘿嘿，这不就是分赛制与退环境？如果你之前并没有接触过tcg也没有接触过赛制这个概念，请容许我再带来一段有关卡牌赛制的介绍，以万智牌为例：&br&&br&&blockquote&限制赛现开（Sealed Deck）：进行比赛之前，每位牌手各自打开未拆封的含15张卡牌的补充包六包。若是在比赛中，登记后交由比赛组织者重新发放，然后从这些牌中组成至少四十张的卡组（基本地可以随意使用；例如：使用自己准备的以及主办方提供的基本地）。这种比赛形式多在售前比赛前使用。&br&&br&构筑赛&br&分为Vintage（特选），Legacy（薪传），Standard（标准），Modern（近代）和Extended（扩充）五种赛制，区别在于可供选用的牌的数量不同。其中Vintage 和 Legacy（又称作T1和T1.5）除禁限牌外可以使用从万智牌发行以来所有的牌，按套牌组成规则组成套牌进行游戏。而标准和扩充则有发行系列的使用限制。Standard 标准又称T2 是最普遍的赛制环境，世界上约80%的构筑赛事皆属于T2赛制，选牌规定限制在最近两年出的系列中。牌组没有一个固定牌数限制，但规定牌数必须控制在能够双手一次洗牌。&br&双头巨人（Two-Headed Giant）：DCI开始推广的比赛方式。这种比赛有4个人参与，每两个人组成一队，成为一个“双头巨人”进行游戏。&br&&i&以上内容摘自百度百科，找了一圈手边的规则书没发现赛制介绍，只能用百度百科上的了。&/i&&/blockquote&&br&也就是说&b&赛制这个概念，并不是一个全新的发明&/b&。各类&b&集换式卡牌游戏&/b&如：万智牌，GWN，阵面对决等等，都有或者将有其赛制区分。&br&&br&——————————————————————————————————————&br&&br&&br&&br&如果你从未接触过tcg，而你又可以静下心来读完上面的内容，那我们可以开始下面的分析了。&br&&br&观其他各&b&集换式卡牌游戏&/b&的赛制制度，只从&b&玩家游戏性&/b&的角度出发，我们可以得出以下结论：&br&1.赛制存在的首要目的，是限制强度膨胀，防止其破坏游戏价值体系（这里的价值体系是指费用-强度体系，浅显地说在炉石传说里就是水晶-身材体系）。&br&2.赛制存在的次要目的，是限制各类高强度combo存在。&br&3.赛制存在的第三重目的，是使赛制内主题性明显，加强玩家代入感与体验。代入感对于卡牌游戏来说至关重要（也就是万智牌的旅法师背景故事，放在炉石传说里就是gvg机械主题，nxx亡语主题，冠军对决，财报猎人发掘主题等）&br&&br&我来分别解释下这三点目的。&br&&u&第一点&/u&，限制强度膨胀，防止其破坏游戏价值体系。放入到问题主体，炉石传说来看，&br&还记得感动一百万艾泽拉斯旅店住客的藏宝海湾保镖吗？&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/3ce2ab96abf_b.png& data-rawwidth=&479& data-rawheight=&339& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&479& data-original=&https://pic3.zhimg.com/3ce2ab96abf_r.png&&&/figure&我们可以看出，如果不进行赛制的区分，为了卡牌游戏的正常发行，强度势必会进行无限制扩大，因为游戏机制已经定死而玩家不可能会去选择更弱小的卡牌。就如你们看到的上述二卡。所以我在这里希望大家在JJC里全选择藏宝海湾保....呸，走题了，所以我们可以发现如果一款卡牌游戏不让强度保持在一个合理区间内，容易遭到玩家诟病，同时后来发售的同强度或者弱强度新卡销量势必不佳。&br&但是如果我们设定了合理的强度区间，而后进行分赛制、退环境呢？&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/1891833ffe34ea991b888_b.png& data-rawwidth=&555& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&555& data-original=&https://pic1.zhimg.com/1891833ffe34ea991b888_r.png&&&/figure&&br&铛铛铛铛，于是我们就在下个补充包系列“科赞岛的陨落”里，获得了一张新卡，名叫科赞岛保镖。那个红色的龙头状标记是死亡之翼，是这个系列的标志。&br&这张卡的发行与出现并没有对现有的强度有任何意义上的破坏，同时他也符合我们对他现有表现的预期。也许你们觉得这样做很无耻，这根本就是老卡，虽然名字有变换但是换汤不换料。或者我们可以推出下面这个方案：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/1df47ed8d1c59018acd6acc_b.png& data-rawwidth=&562& data-rawheight=&406& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&562& data-original=&https://pic1.zhimg.com/1df47ed8d1c59018acd6acc_r.png&&&/figure&铛铛铛铛！我们就拥有了从基础包里开出来的Basic版本藏宝海湾保镖，以及从那个双三角符号的“重返藏宝海湾”补充包里开出来的&i&宝藏版&/i&藏宝海湾保镖（关于这个宝藏版后文有具体说明）。这样做，我们就成功避免了强度膨胀的大麻烦，同时使得新鲜性得到了保证！&br&虽然上面两个极端的例子有可能会让你们感觉到无趣，同时害怕，但是相信我，这种看似简单粗暴的行为可以最方便地保护环境的健康。&br&我们&b&用强度对等的新卡，替换老卡，这样可以保证游戏的健康性。我们希望用赛制的更迭，来保证游戏强度合理可控。&/b&&br&最后，关于第一点，再做一个很有现实意义的假设，让你们能直观理解到赛制的必要性与其带来的影响。如果你需要构筑一套T7猎，也就是你们现在猜测的标准赛制霸主，你们并没有一张很棒的卡牌叫做快速射击，因为他已经退环境了。然而我作为设计师希望T7猎能保证目前的强度以及二费曲线拥有直伤的属性。于是我会在快速射击退环境以后设计出这样一张卡来满足我对T7猎表现的期待。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f9f749ad2b_b.jpg& data-rawwidth=&503& data-rawheight=&346& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&503& data-original=&https://pic2.zhimg.com/f9f749ad2b_r.jpg&&&/figure&这样有蓝本的微调，对一套卡组强度的把控是最为高效的。&br&······················································································&br&&br&&u&第二点&/u&，限制各类高强度combo存在。&br&我想玩炉石最差的体验，应该就是被曾经的奴隶战空场斩杀的恐惧，或者被曾经的战歌rock吧。&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/1a89cb8c49a7c104bcdb_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/1a89cb8c49a7c104bcdb_r.jpg&&&/figure&这些，就是高强度的combo（连招）。这些combo固然拥有无以伦比的魅力，拥有高速过牌、定点率抽、高斩杀、高返场等等一切优点。也许你们要问高速过牌定点率抽是什么？很高兴地告诉你，随着赛制的到来，你们之后再也没可能看到这些已经令我审美疲劳的东西了（如果你们还是很好奇，请看我之后的游戏王部分分析）。每一次凑齐combo组件，看着自己在对面猛攻下苟活下来，总是让人很兴奋，计算一下斩杀，射程之内！于是我们开开心心打光手牌打光水晶，打出一套完美的无以加复的combo，同时右键头像打出抱歉，啊不，打出GG。这应该是一次很棒的劣势翻盘的体验。然而对于对手来说呢？这简直是一场在一回合中让一切天翻地覆的噩梦。他空有一切优势，然而因为一套适用年龄为九岁的康博，就被打成了筛子。被otk，或者大优被返场的痛苦会随着赛制的到来而终结。&br&我并不是说卡牌游戏otk及返场有任何问题，毕竟冰法这种从第一回合就开始返场的卡组从来没人抱怨他的体验与强度太过扭曲。然而，奴隶战及佛祖骑一卡combo的恐怖尤在人们脑海里回响。我们并不想将炉石传说太过的拳头化（如果不理解我会在之后关于炉石传说运营方分析里提到），}
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