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民科生，彻底破解祖冲之圆周率算法
09:09 原创发表在
原标题说，祖冲之比牛顿更懂微积分，结果跟帖里说，官躲民藏不懂微积分。 他们对圆周率是否被破解，只字不提，那么我只好重复帖一次了，这次只谈，祖冲之的算法，而不谈微积分了。 官躲民藏：祖冲之可以打败牛顿的微积分记录
//我们说祖冲之最先计算出精密的圆周率，是根据《隋书·律历志》中的记载。那上面说：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。” 这一段话稍加说明，就极易清楚： 我国历史上首先用数学方法推算圆周率的，是汉代的大学者刘歆（公元二三年为王莽所杀），他的圆周率是3?1547。张衡（公元七八年——公元一三九年）是我国著名的天文学家，他的周率是√10。刘徽（公元二六三年前后时人），他用割圆术来推算，即圆内画一六边形，逐渐增加边数，这多边形与圆会越来越接近，计算多边形的边，算到九十六边形时，周率定为3.14。王蕃（公元二一九——公元二五七年）是1，皮延宗（公元四四五年前后时人）的周率考查不出来。据李俨的《中国算学史》中说，在祖冲之之前，还有一位何承天（公元三七○——四四七年），周率为22/7，即3.1428。这些周率都不精密。 祖冲之（公元四二九——五○○年）是南北朝的刘宋时人，他算出的周率据《隋书》中说，是小于3.1415927而大于3.1415926，可定为3.，精密地说，是355/113，约略地说，是22/7。西欧人算得这样精密的，是在一千多年以后（公元一五七三年）的德国奥托（Valentinus Otto），但他也只算到小数点后的六位。// 关键在于约率和密率，这两对分数是怎么来的？ 会经过极其复杂的计算吗？ 肯定没有。 祖冲之用了微积分的办法。 他画了个圆，然后在直径线和圆线上摆上麻将牌，得到两组麻将牌数据，圆画小了用的麻将牌数越少，精度就越低了，所以叫约数。 而麻将牌用多了，得到更精确的数，叫密数了。 俩组数据一除，就是圆周率了。 我在上午发帖认为祖冲之用直接测量法，看来我估计错了，几小时后发现，这是不可能的，因为要得到7位小数的圆周率，需要画直径10000米的圆，才能测量出来小数点后第7位那个数据。 祖冲之画的圆很小，说明他用的办法，是微积分的办法。 网上介绍的割圆计算法，要进行繁琐的计算，也许有人会用，但绝对不可能是祖冲之使用的办法了。 祖冲之采用的是小学生的办法。 祖冲之很可能是第一个使用微积分的人，这个办法恐怕牛顿也想不到，牛顿的微积分笨多了，牛顿的办法是割圆术。 // 1? 刘徽的“割圆术”?
??? 我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”.?
??? “??割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ]?
??? 2? 几点注记?
??? 在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想.?
??? 2.1? 数列极限的夹逼准则?
??? 刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze Theorem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为S0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为L n ,面积为S n ,将边数加倍后,得到圆内接正2 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l2 n 、L2 n 、S2 n .?
??? 刘徽用“勾股术”得[4 ] :?
??? 若知L n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:??
??? 刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:?
??? S2 n S0 S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,?
??? “若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ”?
??? limn →∞S2 n S0 limn →∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn →∞( S2 n + ( S2 n - S n )).?
??? 即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.? // 要这么计算的话，就是笨蛋了。 也许刘徽的办法就是和祖冲之一样的简单办法了。 那么刘徽就是打破牛顿微积分记录的人了。 但是刘徽的精度不高，显然祖冲之的办法不是刘徽的办法了，否则刘徽不可能只计算到3.14就停止了。 //以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数，并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考；如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！
据《隋书·律历志》记载，祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位，求直径为一丈的圆的周长，求得盈数为3.1415927、肭数为3.1415926，圆周率的真值介于盈肭两数之间。《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为，祖冲之采用的是刘徽的割圆术，但也有别的多种猜测。这两个近似值准确到小数第7位，是当时世界上最先进的成就。直到一千多年以后，15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果。祖冲之确定了π的两个渐近分数，约率22/7和密率355/113。其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现。它是三个成对奇数113355再折两段组成，优美、规整、易记。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”。 // 大部分人近2千年来对祖冲之的算法估计都猜错了。他们的办法太辛苦了。计算难度太大了。 // 重走古希腊阿基米德、古中国刘徽的路，用割圆法计算圆周率π ( 15:36:05) 由此表可见： 1? 用外切正六边形推算，在N=786432时，递算18次，得 π=3.，误差为0.. 准确到小数后十位 2? 祖冲之推算π在3..14159 27之间，准确到小数后七位，相当于内接12288边形作12次递归计算，或外切12288边形作13次递归计算。远居于当时世界领先地位。但祖冲之是否继刘徽的割圆术而推算出π的，还有学术分歧。不管怎么说，由割圆术推算π是一个有效的方法。 3? 由于当时谁也不知道π的最好值，所以认为取永远偏小的内接π内与永远偏大的外切π外的中数，一定会得到最可靠之值。现查看上面两表： N边形?? 循环次数??? 内接π内????????? 外切π外????????? ?π中数 6????????? 1????????? 3???????????? ?3.46???????????? 3.23 12?????? ? 2????????? 3.1058??????? ?3.2154?????????? 3.16 24???????? 3?????? ?? 3.1326???????? 3.1597????????? ?3.1461 48???????? 4??????? ? 3.1394???????? 3.1461???????? ? 3.1427 96???????? 5??????? ? 3.1410???????? 3.1427???????? ? 3.1418 1228????? 12?????? ? 3.?? ?3.??? ?3.// 他的办法肯定不是祖冲之的办法了，笨死了。计算量大的惊人了。
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