&figure&&img src=&/50/v2-f86c4acaa_b.png& data-rawwidth=&710& data-rawheight=&203& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&710& data-original=&/50/v2-f86c4acaa_r.png&&&/figure&&b&文\戴希（中科院物理所）&/b&&br&&br&上一篇文章介绍了在超导／超流薄膜中的拓扑型元激发－涡旋，以及涡旋激发导致的BKT相变。从中大家可以看到拓扑型激发的几个特点，一是全局性，一个涡旋产生以后对距离很远的相位场都产生影响；二是对局部扰动的稳定性，局部扰动只能移动涡旋的空间位置而不能马上消灭它。同时，产生这种拓扑激发的本质原因也很清楚，就是相位空间是紧致的（compact），说穿了就因为它是一个角度，只能在0到2π之间取值。类似的拓扑型激发在各种不同的凝聚态系统中都存在，比如最近研究很热的斯格明子，就是在铁磁系统中出现的拓扑型激发。&br&&br&上面介绍的都是实空间的拓扑构型，拓扑激发，如涡旋和斯格明子，无论是描写它们的数学方程，还是显示其空间构型的图片，都非常美妙。但在凝聚态物理中，这只是刚刚开始，更美妙的数学结构存在于动量空间，也就是说在看似复杂的电子态波函数背后居然隐藏着异常丰富和美妙的拓扑结构，目前在这一领域进展非常大，像拓扑绝缘体、量子自旋霍尔效应、量子反常霍尔效应、外尔半金属等等新材料、新现象层出不穷，而这一重要领域的开山之作，就是大名鼎鼎的TKNN，也是这次获奖的工作之一。这篇经典文章由四位科学家联合署名，其中T就是这次获奖的Thouless先生，我们上篇文章介绍的KT相变也是他的贡献，从中可以看出Thouless对当代凝聚态物理的巨大贡献，这次获奖的确是实至名归。今天听说老人家已经不幸罹患老年痴呆，不知道还能不能享受到获奖的愉悦，诺奖委员会的确是动作慢了一些，没能让诺奖赶在老年痴呆之前，不能不说是一个遗憾。TKNN里面的T还是KT相变的T，K却不是KT相变的K，而是日本科学家Kohmoto先生，这是一位性格耿直，非常严谨的老先生，本人曾有幸跟他同时在斯坦福大学访问，一起吃了好几顿饭。Kohmoto先生很喜欢中国，关心中日关系，对中国出现的反日现象忧心忡忡。这几年我几次去东大，想找机会跟他叙叙旧，但都没碰上，听同事说他已经退休，身体也不太好，衷心祝愿他能好起来。剩下两位N，一位是M. P. Nightingale 另一位是 M. den Nijs，也都是凝聚态物理领域内很有成就的科学家。&br&&br&TKNN要研究的问题，其实属于电子态波函数的拓扑分类，这是一个很大的领域，TKNN关注的是其中最简单的一类。首先，这类波函数是无相互作用的，可以由一个Slater行列式来描写；其次这类波函数描述一个能带绝缘体。由于无相互作用，多电子波函数可以由占据一批单电子波函数以形成Fock态来表示，又由于是能带绝缘体，所有被占据的单电子态将铺满整个布里渊区。这样对多电子态的分类，可以简化为单电子波函数在整个布里渊区内是否具有拓扑结构的问题。目前研究正热的拓扑绝缘体、拓扑半金属等，都是在针对单电子态而言的，本质上都是TKNN的工作在广度和深度上的推广。下面就具体介绍TKNN number。&br&&br&我们来考虑一个二维无相互作用绝缘体的波函数，对布里渊区内的每一个k点，被占据的单电子波函数构成了一个希尔伯特空间，而这些单电子波函数连同承载它们的二维布里渊区就构成了一个叫做纤维丛(fiber bundle)的数学结构。所谓的纤维丛，就是定义在一个几何体（数学上叫底流形）的一堆函数（数学上叫纤维）。比如下图的这把梳子，就可以看成是一个纤维丛，底流形是一个柱面，而纤维则是上面的一根根梳齿（线段）。&br&&figure&&img src=&/50/v2-48d7dabd81f868e1561cf6_b.jpg& data-rawwidth=&415& data-rawheight=&291& class=&content_image& width=&415&&&/figure&&p&&i&图（一）生活中处处可见“纤维丛”&/i&&br&&br&对于无相互作用绝缘体系统来说，底流形就是我们的二维布里渊区，（注意它是一个轮胎面或者说是当肯甜甜圈，这一点非常重要，后面会详细阐述），而单电子波函数则是“长”在上面的纤维。对于纤维丛的拓扑分类问题，数学大师陈省身先生曾做过系统的研究，按照陈大师的微分几何理论，这样的纤维丛可以分成不同的类，每一个拓扑上等价的类都具有相同的“陈数”，TKNN在二维绝缘体系统中找到的不变量，正是数学上的“陈数”。&br&&br&&figure&&img src=&/50/v2-bec30a109faaae_b.png& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&303& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&/50/v2-bec30a109faaae_r.png&&&/figure&&i&图（二）二维布里渊区示意图&/i&&br&&br&要从物理上理解“陈数”这个比较抽象的数学概念并不难，首先说明一下为什么二维布里渊区是一个轮胎面，这是因为布里渊区内的动量, 跟上篇文章中的角度一样，是定义在一个单值区间［－π,π］之内的，换句话说也是紧致的，因此在图二（a）中布里渊区的上边界跟下边界，左边界跟右边界都是等价的，两边连起来一个平面就成了轮胎面，如图二（b）所示。理解了底流形布里渊区的拓扑特性之后，再来看定义在其上的“纤维“－波函数。固体中的电子态，学过一点固体物理的同学们都知道，就是一条条的能带，如图（三）就是一个典型的绝缘体的能带色散关系图，上面的空态是导带，下面的占据态是价带。在TKNN以前，人们只对电子态的本征能量或色散关系感兴趣，因为它可以决定固体的许多性质，而对具体波函数的性质则不太关心。随着TKNN的工作和对Berry相因子研究的进一步深入，人们越来越认识到波函数内部结构的重要性。&br&&br&&i&&figure&&img src=&/50/v2-bb9ab117dcb13f51782a69_b.png& data-rawwidth=&460& data-rawheight=&366& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&460& data-original=&/50/v2-bb9ab117dcb13f51782a69_r.png&&&/figure&图（三）最简单的绝缘体能带图&/i&&br&&br&其实，跟上篇文章介绍的涡旋激发类似，动量空间中波函数的拓扑结构还是隐藏在它的相位当中。但是一个重要的不同点是，现在我们的体系具有U（1）规范不变性 ψ’k(r) = ψk(r) e^iθ(k)，也就是说每个波函数 ψk(r) 的相位是不定的，可以通过规范变换来进行改变，而任何有意义的物理可观测量都必须在这样的变换下保持不变。因此，我们要解决的问题就转化为是否能在看似任意变化的波函数相位结构中找出规范不变的量来，TKNN给出的答案就是陈数。&br&&br&我们可以通过一个叫做“Wilson loop”的方法，很直观地向大家介绍陈数这个看似深奥的数学概念。首先，我们在看似随意的波函数相位中找一个规范不变的量，我们可以把二维布里渊区按照不同 ky 的切成一条条的横线，如图（二）所示，并且在每一条线上按照一定的间距分成N个点，于是把相邻k点的占据态波函数求内积再乘起来就是规范不变的，如下式，&br&&figure&&img src=&/50/v2-cf5bbdb10f8fb_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&42& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/50/v2-cf5bbdb10f8fb_r.jpg&&&/figure&需要注意的是，这个连乘是以“贪吃蛇”模式进行的，也就是说从K1开始，最后回到K1，因为刚才讲过，布里渊区其实数轮胎面，所以 KN 和 K1 也是相邻的。&br&&br&很容易证明这个量在规范变换下是不变的，并且当N趋于无穷大时，这个复数的模A趋于1，而只留下一个相位 θ(ky)，这个量是 ky 的函数，因为对每一个固定 ky 的环我们都可以做同样的计算。然后我们来看相位θ(ky)随着ky是如何演化的。假设从－π变化到π，因为－π和π其实是等价的，相位θ(ky)必须回到初始值或者变化2π的整数倍。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&/50/v2-af54a741ffdc2_b.png& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&245& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&/50/v2-af54a741ffdc2_r.png&&&/figure&&i&图（四）：陈数分别为零（a）和（b）时相位角的演化示意图。&/i&&/p&&p&&br&于是随着变化一圈，相位角θ(ky)必须在布里渊区的轮胎面上绕整数C圈，如图（四）所示，这个整数C就是TKNN发现的陈数！大家可以感受一下，绝缘体系统在k空间的相位结构，居然跟一个涡旋系统有着如此的相似性，可见物理体系背后的数学结构是多么的美妙。&br&&br&更有意思的是，陈数并不单单只是数学游戏，对于二维绝缘体系统来说，它有明确的物理意义，就是霍尔电导的量子化，不同的陈数对应于不同的量子霍尔效应台阶。1988年本年度物理学奖的另一位获奖者D. Haldane教授第一次提出，无需外磁场而依靠特殊的能带波函数结构也可以产生非平庸的陈数，从而实现量子反常霍尔效应。2010年我和方忠、张首晟等人第一次提出在磁性掺杂的拓扑绝缘体薄膜Bi2Se3/Bi2Te3中可能存在陈数为1的量子反常霍尔效应态，3年后薛其坤小组以无以伦比的实验技巧第一次在上述体系中观测到了量子反常霍尔效应态，引起了很大的关注，这时离TKNN最初的文章已经过去了31年，离D. Haldane88年的理论工作也过去了25年，可见几位获奖前辈在科学上的超人远见。&/p&
文\戴希（中科院物理所） 上一篇文章介绍了在超导／超流薄膜中的拓扑型元激发－涡旋，以及涡旋激发导致的BKT相变。从中大家可以看到拓扑型激发的几个特点，一是全局性，一个涡旋产生以后对距离很远的相位场都产生影响；二是对局部扰动的稳定性，局部扰动只…
大家好，题主、各位观众。如果你们之前不能完全理解波粒二象性（&b&现象本身&/b&，或者这个概念的&b&内涵和外延&/b&）。不用担心，我认为十有八九不是智商问题：量子物理的内容有太多&b&“反常识”&/b&了。很多时候，是我们的脑袋在排斥这些知识；有的时候，我们对这些概念理解有“缝隙”（也就是中途一两个概念跳过去没理解透）我的“常识”就又挤进来捣乱，指导我们&b&“想当然”&/b&。所以你需要的是耐心、开放你的脑袋、想象你自己啥都不知道。&br&&br&也许大家不知道，著名的&b&薛定谔的猫&/b&思想实验，薛定谔提出它的初衷并不是帮助大家理解量子力学，而恰恰是由于他&b&无法接受&/b&量子理论里面诡异的“世界观”，提出这个思想实验的目的是告诉大家量子力学有多荒谬，所以他决定放弃。Well，从薛定谔到现在，发生了很多事。一些实验和理论的完善，让量子理论的说服力越来越强。这个回答中会讨论一些。能不能够说服你，就看你啦！有的时候你觉得你没理解，其实仅仅是你&b&没被量子理论说服而已&/b&。好啦，我们来吧！&br&&br&-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&这个答案很长，但是它是分阶梯。如果你今天感觉不是很“求知”，可以先看第一个阶梯，等你准备好迎接挑战，再往下面看。&br&我非常清楚，每个阶梯的内容，带来新的疑问远远多于它能解答的疑问。所以欢迎大家在评论区留下问题。如果碰到我自己也不了解的知识，我会请教他人或自己读论文，并把信息和大家分享。&br&非常理解量子物理的知友们，谢谢你们有耐心读这个入门级的答案，如果在阅读中发现了知识性错误，希望能抽出一小点时间指出；如果你心目中有更加容易让人理解的解释方法，我也希望你能慷慨得把它留在评论区，和大家一起分享，谢谢啦！&br&&br&------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&br&首先，要理解波粒二象性，你需要：&br&&br&&b&a.理解粒子的行为方式。&/b&举例：你家里有一只小狗，小狗跑来跑去，但是每一个固定的时候只能出现在一个位置；你去打靶子，枪法很烂，有的时候成绩好，有的时候成绩差，但是每发射一枚子弹，只能在落在靶子上一个特定的位置。&br&&br&&b&b.理解波的行为方式。&/b&举例：你喊大家去KTV：“走走走！！！”房间里面每个人都听到了；你划船，船荡开的涟漪扩散到湖面很大一片范围的每一个位置。&br&&br&&b&c.假如性质交换。&/b&如果子弹表现地像波一样会怎么样呢？ 你发射一枚子弹，房间里面每个人都死了。如果声音表现地像粒子一样会怎么样呢？你喊了一句话，只有一个人能听到你。&br&&br&理解了这三件事，你检视一下宏观世界，你会发现，所有的事物，要么体现波的性质，要么体现粒子的性质。没有混淆。&br&&br&&br&-----------------------------------------------------------------------------------------&br&&b&实验一&/b&&br&&br&到微观尺度，我们发现“波性质”和“粒子性质”在同一个“物体”上有着惊人的混合。比如电子，有的时候有表现出粒子的性质、有的时候表现出波的性质。&br&&b&著名的试验：电子双缝干涉试验：&/b&&br&每发射一个电子，最终电子会落在挡板的一个位置，这表现了电子的粒子性质；&br&&img src=&/4e86ca78deaf3e209739_b.png& data-rawwidth=&846& data-rawheight=&436& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&846& data-original=&/4e86ca78deaf3e209739_r.png&&但是如果你重复试验够多次，电子落在挡板的结果展示了干涉-----波的性质：&br&&img src=&/9e67b1b3aaff20e055da11_b.png& data-rawwidth=&851& data-rawheight=&437& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&851& data-original=&/9e67b1b3aaff20e055da11_r.png&&&img src=&/af01a5a05e422c912ae59_b.png& data-rawwidth=&847& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&847& data-original=&/af01a5a05e422c912ae59_r.png&&挡住其中的一条缝，干涉波纹就消失了&br&&img src=&/938b19a0e60b1ffcb2e3_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/938b19a0e60b1ffcb2e3_r.png&&&img src=&/300db4aa0a9cc4ccd804caec_b.png& data-rawwidth=&852& data-rawheight=&445& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&852& data-original=&/300db4aa0a9cc4ccd804caec_r.png&&如果电子每次只是随机通过其中的一条缝，那么最终的试验结果应该是挡板上的两坨电子，然而事实不是这样，我们看到了干涉条纹。所以一个电子在双缝干涉试验中，并不是通过了其中的一条缝，而是“同时”通过了两条缝，并和“自己”发生了干涉。但是落在挡板上，被我们观察到，它就只能有一个位置了，这也就是“粒子”的性质。它落在哪里呢？答案是“概率决定”，落点的概率分布符合“波”的性质。也就说，落点位置被“波”所指引。&br&&img src=&/0d8da1c797_b.png& data-rawwidth=&1242& data-rawheight=&622& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1242& data-original=&/0d8da1c797_r.png&&怎么会这样呢？这里有很重要的一点，需要你放弃一个很重要的“常识”，你才能真正理解，为什么电子既是“波”，又是“粒子”。当你看你的小狗的时候，它是一条活泼的小狗，下次再看它的时候，它还是一条活泼的小狗，于是，你的大脑自动填补了中间的空白：哦，我不看的时候，它肯定还是一条活泼的小狗。&b&我们对物质世界的认识有一定连续性&/b&。在电子的情况下，你看一眼，它是一个粒子，你转过头去不看它，再看它，它还是粒子。但是在中间你不看它的这个过程中，它已经不是粒子了，它变成了一个波函数，是你的观测，让波函数&b&坍缩&/b&成了一个粒子：电子。实际情况是，我们被一锅浓浓的“汤”所包围，我们叫它量子场。&b&观测&/b&这个动作，便是从这锅汤里面&b&召唤&/b&了一个粒子：电子。&br&&img src=&/fae8d8f49_b.png& data-rawwidth=&1201& data-rawheight=&658& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1201& data-original=&/fae8d8f49_r.png&&&br&&img src=&/ff6ac38e138ab4aba38c01a_b.png& data-rawwidth=&955& data-rawheight=&674& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&955& data-original=&/ff6ac38e138ab4aba38c01a_r.png&&&img src=&/2aab38f5eecf9e118ee0306e_b.png& data-rawwidth=&955& data-rawheight=&678& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&955& data-original=&/2aab38f5eecf9e118ee0306e_r.png&&&br&&br&这提出了一种完全违背我们常识的，对于物质的认识。但是这是目前能提出来的最可信的，符合双缝干涉试验结果的解释。但是，我们该相信这个解释么？我们怎么知道，我们扭过头去不看的时候，这个粒子就变成了一锅“汤”？我的有办法在不&b&“看”&/b&的情况下，&b&“评估”&/b&它到底是不是“汤”么？&b&观测&/b&这个动作真的有这么神奇么？它能影响物质世界？&b&观测&/b&这个动作又怎么界定呢？如果你愿意接受挑战。请往下看。&br&&br&-----------------------------------------------&br&&b&实验二&/b&&br&&br&下面，就是一个更加的诡异的试验：&b&量子擦除试验&/b&。如果你理解双缝干涉试验还有些吃力的话，回头再仔细看看，理清头绪，然后闭上眼睛，按摩一下太阳穴。继续。&br&&br&其实这个试验就是更加聪明的双缝干涉试验。在这个试验中，我们使用的是光子，而非电子。注意，光子有着和电子一样的波粒二象性。之所以使用光子，是因为光子有个非常好的性质：偏振性。所以你可以想象这是带着3D眼镜的双缝干涉试验-------&b&双缝干涉3D版！&/b&&br&理解这个试验还有一个重要的预备知识：量子纠缠态。这里不详细解释了，总之你需要知道，处于纠缠态的一对粒子，只要测量了其中的一个，另外一个粒子的状态也就是确定的，不需要测量我们也知道它的状态。就好比你只有2只袜子：红袜子和绿袜子。在观测之前，你每只脚上的袜子都处于&b&“薛定谔猫”的混合状态&/b&，但是我观察了你的一只脚，这只脚的袜子状态就坍缩为单一的颜色：要么绿，要么红；但与此同时，另外一只脚的袜子颜色也&b&混合状态&/b&也同时坍缩了，虽然我没有直接观察它。&br&试验中，光子的偏振性有四种：&b&水平、垂直、顺时针、逆时针；&/b&&br&&img src=&/d9e2bc6a239f218c970f3309c6faab35_b.png& data-rawwidth=&1083& data-rawheight=&603& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1083& data-original=&/d9e2bc6a239f218c970f3309c6faab35_r.png&&下面就是3D眼镜啦！四分之一波长片：&br&&img src=&/f8c3fa1526dec3edb1dbb_b.png& data-rawwidth=&714& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&714& data-original=&/f8c3fa1526dec3edb1dbb_r.png&&3D眼镜的功能如下图所示：垂直的通过红色片变成了顺时针，水平的通过红色片变成了逆时针；绿色功能相反。&br&&img src=&/84fb388d7579fddc59a4_b.png& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&/84fb388d7579fddc59a4_r.png&&现在，我们的光子发射枪要开始试验了。它通过一种叫做&b&下转换（down-conversion）&/b&的方式，一次发射两枚处于纠缠态的光子：光子A进入我的探测光子偏振性的探测仪，假如说叫做M1，光子B进入双缝干涉试验装备，最终落到挡板上，挡板后面有个偏振性探测仪，假如叫M2.&br&&img src=&/470ec7acc3e02c6eac6897_b.png& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&198& class=&content_image& width=&400&&&br&&img src=&/945f354ed727073dde4669_b.png& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&602& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&/945f354ed727073dde4669_r.png&&&br&&img src=&/c439d35e002a8fa28ac5d_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&405& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/c439d35e002a8fa28ac5d_r.png&&嘻嘻，不过是带上3D眼镜的双缝干涉试验！&br&&img src=&/85fce7ffd5a5720dcda6fe_b.png& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&405& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&/85fce7ffd5a5720dcda6fe_r.png&&带上3D眼镜后，光子通过眼镜的偏振性改变了，但是并不会改变试验结果的干涉条纹：&br&&img src=&/afdf537d851d1_b.png& data-rawwidth=&1083& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1083& data-original=&/afdf537d851d1_r.png&&下面就是真正让你脑子烧糊的部分啦！&br&假如我们打开M1：M1测量光子A的偏振性。由于A与B处于纠缠态，他们歧是是一个垂直一个水平，当光子B通过一个偏振片之后，偏振性就改变了。这个时候就与纠缠态，A的状态也会改变，测量A，我们就能知道光子B“到底”是通过了两个缝中的哪一条。这时候，惊人的结果发生了。只要打开M1，干涉条纹就消失了，挡板上的光子痕迹变成了两坨。而关闭M1，干涉条纹就又回来了。&br&&img src=&/b14acef4a1b_b.png& data-rawwidth=&1084& data-rawheight=&606& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1084& data-original=&/b14acef4a1b_r.png&&&img src=&/8ce8f6ee690f4db287fe_b.png& data-rawwidth=&723& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&723& data-original=&/8ce8f6ee690f4db287fe_r.png&&注意，M1与试验设备没有任何物理联系，事实上，你可以把它放到宇宙的另外一端。它仅有的工作就是观察光子B兄弟的偏振性。所以这个试验说明了“观察者效应”。另外一个有趣的事实是，只要M1打开，条纹就消失了，并不需要一个穿着白大褂的科学家去看结果：到底哪个光子经过哪条缝啊？所以“意识”在这个试验中不扮演任何角色，你不需要一个有意识的观察者才能让量子混合状态坍缩为一个状态。在这里，冰冷的M1充当&b&观察者&/b&的角色。真正的&b&观察者&/b&的定义，还是个开放问题，现在还没有答案。&br&&br&---------------------------------------------------------------&br&&b&实验三&/b&&br&&br&准备好了么？&b&如果准备好了，请往下看。&/b&下面是最让人震惊的部分。如果你对上面的部分还有疑惑，请务必理清头绪再往下看！&br&&br&这个试验来自Kim博士2000年发表的一篇论文：&br&&a href=&///?target=http%3A//journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.84.1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Phys. Rev. Lett. 84, 1 (2000)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&b&延时量子擦除试验&/b&，它甚至让我们对“因果关系”产生了怀疑。&br&&img src=&/aa49baefc06ae_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/aa49baefc06ae_r.png&&上面的图是试验台，下面的解释很重要。一定要搞清试验台是如何运作的。&br&1. 一道激光通过双缝版，打到BBO上，形成了&b&两对&/b&纠缠态的光子；红色的光路表示光子通过了上面一道缝（缝A），蓝色的光路代表光子通过了下面一道缝（缝B）。请注意，光子的波长是完全一样的！不同的颜色只是为了逻辑的区分它们通过了哪一道缝；&br&2. D0的角色是上一个试验中最后&b&观测挡板的角色&/b&，D1~D4是感光元件，图中的光路，从BBO至D1、D2、D3、D4的距离是完全一样的。是BBO到D0的两倍；&br&3. 如果没有D1~D4所有的设备，那么参考上一个试验，我们没办法知道某一个光子是通过红色光路到达D0、或是通过蓝色光路到达D0，光在D0上，形成了干涉的条纹；&br&4. BSa，BSb，BSc是三面半银透镜，它有50%的几率使得光子透过，50%的记录使得光子反射。&br&&b&红色光子&/b&的&b&纠缠兄弟&/b&，有50%的几率击中D4，25%的几率击中D1,25%的几率击中D2；&br&&b&蓝色光子&/b&的&b&纠缠兄弟&/b&，有50%的几率击中D3，25%的几率击中D1,25%的几率击中D2；&br&5. &b&情况A.&/b& 假如D4感光，那么我们就明确的知道，它的&b&红色纠缠兄弟&/b&击中D0；假如D3感光，那么我们就明确的知道，它的&b&蓝色纠缠兄弟&/b&击中D0。如此，我们就知道了D0上面每一个光子是通过哪条缝的了！&b&这个时候，D0上的干涉条纹退化了，变成了两坨光印！&/b&&br&6. &b&情况B.&/b& 假如D1或者D2感光，那么我们还是不可能知道D0上光子的光路情况，观测信息相当于被擦除了。&b&干涉条纹就被复原了！&br&&/b&&br&&img src=&/df94bc69d8c_b.png& data-rawwidth=&535& data-rawheight=&445& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&535& data-original=&/df94bc69d8c_r.png&&7. 注意这个试验很重要的一个暗示：D1D2感光和D3D4感光唯一的区别是，通过光路知识，我们能提取光子信息。没有观测者，没有观测意识，仅仅是&b&知识&/b&本身，仅仅使我们可能知道的&b&潜能&/b&，就导致了混合状态的坍缩；&br&&br&8. 最最重要的一点，&b&所有D1~D4的感光信息的产生，都是发生在D0感光之后的！！&/b&仿佛光子预知了未来，决定了自己在通过双缝之前是否坍缩。&br&&br&这对量子力学，甚至哲学上的因果关系，都引发了广泛的讨论。有时间，我会继续更新有关这个令人震惊的试验可能产生的内涵。&br&&br&-----------------------&br&&br&&b&思考，可能的解释，实验的含义&/b&&br&感谢大家的有益的思考！大家的问题都提得非常棒！问题我都看了，请允许我慢慢更新。&br&&b&-------------------------------------------------------&br&思考一&/b&&br&&br&先给大家提一个有趣的问题让大家思考：&br&量子力学每有一个新的实验或发现，宗教教徒就如获至宝的说明&b&这是上帝存在的证据&/b&！&br&如果你是其中之一，我邀请你思考如下问题：实验2和3中的&b&“纠缠光子副本”（纠缠兄弟）&/b&路径对于全知的神，是&b&已知&/b&的还是&b&未知&/b&的？以基督教的神耶和华为例，他存在于时间和空间之外，所以他（她）对所有已经发生的事情，和即将发生的事情都了解。&br&那么这说明了纠缠兄弟的路径对于他不是秘密。对于全知的上帝来说，光子路径永远已知。这就带来的一个悖论，上帝永远不可能获得“波函数”的任何知识，因为在他（她）眼里，波函数总是坍缩为粒子的，与&b&“全知”&/b&矛盾。更重要的是：试验3说明了仅仅是有人类知道&b&路径信息&/b&的&b&“潜能”&/b&就导致了波函数的坍缩，如果这样的上帝存在，他（她）的知识应该&b&腐化&/b&了宇宙中所有的试验环境，人类应该也&b&永远无法获取波函数的知识&/b&。所以从这一点可以看出来，如果量子力学解释正确：符合圣经描述的上帝是不存在的。哎，量子力学原来不是上帝的盟友呐！&br&&br&-----------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&b&思考二&/b&&br&&b&&br&下面这一点非常重要！！！！！&/b&&br&仔细观察实验3的第二张图，结果图。R01 表示了落到D1上的纠缠兄弟在D0上的分布；的R02 表示了落到D2上的纠缠兄弟在D0上的分布。 请注意这个细节：&b&他们差了半个相位&/b&！当他们叠加的时候猜猜发生了什么？分布结果变成了波函数坍缩时的结果！！！&br&为什么会这样，你能给出一个优雅的猜测么？&br&&br&----------------------------------------------------------------------------------------------------&br&&b&思考三&/b&&br&&br&&b&实验三真的违反了因果关系么？&/b&&br&如果按照经典物理的假设，是的，违反了。但是实验结果结结实实的就在那里，怎么办呢？我们又需要扔掉另外一个重要的“常识”。这可能是一个比较难以咽下去的结论：粒子是个伪概念。&br&粒子这个概念不存在，我们的测量并没有导致波函数严格意义上的坍缩，只是概率的波峰坍缩到一个范围内，让我们产生了“粒子”的幻觉。粒子的所有行为，都可以用特定的波函数取值来描述。&b&信息超光速传播&/b&，&b&或者回到过去&/b&，这个假象只不过是两个波函数的“纠缠态”。&br&直觉好像告诉我们，擦除器是否激活真的把信息送到了过去，导致了波函数行为的变化。那么，在这个试验中，到底有没有&b&“有用的”&/b&信息回到过去，而违反了爱因斯坦的理论了呢？这个时候，也许是读者拿起笔算算的时间了。毕竟科普到一定阶段，文字和绘画就再也不能解释问题了，我们需要方程式。你准备好迎接挑战了么？或者，你可以尝试使用思考二的结果。&br&&br&---------------------------------&br&&br&&b&千万不要走火入魔！&/b&&br&&br&评论中有些读者问道：这可不可以证明世界是唯心的呢，这可不可以证明我们生活在虚拟的世界中呢？ 你们的这些&b&“思考”&/b&并不新鲜，很多人开过这样的脑洞。&br&首先要说的是&b&，不，当然不能证明&/b&。这种观点的支持者们的&b&“证明”&/b&其实是个伪概念，只是一种&b&看起来轻松的“解释”&/b&而已。然而真正的证明，讲究的是&b&证据&/b&。而且，如果你硬要说，量子力学也是让“我们生活在虚拟世界”中这种解释的可能性变得更加高，因为量子力学允许的&b&真正的“随机性”&/b&的存在。计算机模拟最害怕的就是“真正的随机”。再说，为什么想象模拟一定要套用人类的计算机概念呢？太没有想象力了吧！&br&最重要的一点，如果你仔细想，“我们生活在虚拟世界中”这种问题本身，就是不可证伪的。由于科学的&b&可证伪性&/b&，它根本就算不上一个&b&“科学问题&/b&”，而落入了哲学的领域。&br&然而在哲学领域中，对于不可证伪的事情，我们有&b&“剃刀原则”Philosophical razor&/b&：由于“解释”的方式是无穷无尽的（everything can be explained away），我们必须允许有这样的规则，让我剔除可能性极低的“解释”，否则所有的哲学讨论都会陷入无意义的诡辩。&br&&b&最著名的哲学剃刀：奥卡姆剃刀&/b&&br&&b&When faced with competing hypotheses, select the one that makes the fewest assumptions. Do not multiply entities without necessity.&br&面对相悖的两种假说，选择所需要假设最少的哪一个；如无必要，勿增实体&/b&&br&&img src=&/9d3ead46cc40d402dec9d0_b.png& data-rawwidth=&1239& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1239& data-original=&/9d3ead46cc40d402dec9d0_r.png&&&br&&b&最暴力的哲学剃刀原则：“牛顿的火焰激光剑”&/b&&br&&b&what cannot be settled by experiment is not worth debating&br&不能被试验验证的问题，不值得辩论&/b&&br&&img src=&/65baa1a719cc6f645e99fe947d2bf235_b.png& data-rawwidth=&1269& data-rawheight=&675& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1269& data-original=&/65baa1a719cc6f645e99fe947d2bf235_r.png&&&br&&br&&b&我最喜欢的剃刀原则：希钦斯剃刀&/b&&br&&b&What can be asserted without evidence can be dismissed without evidence&/b&&br&&b&无证据基础的宣称，可无需证据地驳回。&/b&&br&&img src=&/09e21dd096fa_b.png& data-rawwidth=&648& data-rawheight=&715& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/09e21dd096fa_r.png&&&br&量子力学可能是科学中我们存在“认识缝隙”最大最多的门类之一。当我们存在认识缝隙的时候，我们习惯于求助虚无，给我们一个轻松的解释，给我们安慰，缓解我们对无知的恐惧。这是人类的弱点：当我们恐惧的死亡的时候，我们创造了afterlife的幻想，诞生了无数死亡的邪教，给人类带来深重的灾难。&br&如今，当面对无知的时候，我们应该感到的是&b&好奇和兴奋：&/b&一个更加广阔的宇宙等着我们探索。&br&我很喜欢考虑哲学，我很喜欢&b&哲学博士&/b&这个称呼（&b&Doctor of Philosophy PhD&/b&），我认为它很符合我们对于知识的终极追求。但是我很遗憾地看到知乎中对于哲学的讨论，大多数陷入了无意义的诡辩。&br&问题中另外一个回答
&a data-hash=&dca47027ebd6f450d336a& href=&///people/dca47027ebd6f450d336a& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@苏暖暖& data-hovercard=&p$b$dca47027ebd6f450d336a&&@苏暖暖&/a&提到：多看数学和物理，少看哲学和心理。&br&我明白她的意思，不过表达方式可能欠妥。我鼓励大家多考虑哲学，但是不要走火入魔。可能在考虑哲学问题之前，接受一点正规的哲学训练是必要并且有益的。&br&&br&祝大家思考愉快。关于量子力学的，会慢慢更新。&br&&br&---------------------&br&&br&相关回答：&br&&a href=&/question//answer/?group_id=619968& class=&internal&&平行世界的理论是什么样的？ - 爱小臭的回答&/a&&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&事件的随机性能用混沌理论或量子理论来解释么？ - 爱小臭的回答&/a&&br&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&用占卜的方法预测薛定谔之猫的生死算是观测吗？ - 爱小臭的回答&/a&
大家好，题主、各位观众。如果你们之前不能完全理解波粒二象性（现象本身，或者这个概念的内涵和外延）。不用担心，我认为十有八九不是智商问题：量子物理的内容有太多“反常识”了。很多时候，是我们的脑袋在排斥这些知识；有的时候，我们对这些概念理解有…
好问题，让我尝试不用公式，用跨越7000年人类文明的方式，来解读e的自然之美，争取有中学基础的人就能看懂。&br&&br&e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.……的无理数。&br&&br&以e为底的对数称为&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E5%25B0%258D%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然对数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%2587%25AA%25E7%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。&br&&br&但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。&br&&br&（你也知道，穿越剧都很长(&﹏&)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。）&br&&br&&br&&b&“自然”的发明&/b&&br&我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。&br&&br&但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。&br&&br&现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。&br&&br&大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”（Natural）这个词，在理论中用&b&自然&/b&来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。&br&&br&在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，古人则认为是真的，这成为他们理解世界运行的思维定势。&br&&br&直到公元前624年，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B3%25B0%25E5%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&泰勒斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。&br&&img src=&/bef0c63ce9c856ca89f0dc80e347924c_b.jpg& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&365& class=&content_image& width=&240&&泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”！（还有比这更牛的称号吗？）&br&&br&其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行，不能靠凭空的制造故事，要靠坚实的证据来发现这些规律，并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。&br&&br&尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样，把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理，旧理论可以被修改或推翻，更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、&b&可进化&/b&的理论体系。相反，宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系，例如你只能解读圣经，但不能否定圣经。&br&&br&后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了“自然”(φ?σι?)的概念，“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E5%E6%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&逻各斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（希腊语：λ?γο?，英语：Logos）的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos（算法）创造了单词Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号log。&br&&br&几乎和古希腊同一时代，春秋战国时代的诸子百家也提出过一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，这种蓬勃发展的思想爆炸因为诸多原因戛然而止，只是昙花一现。但是限于篇幅，这里不再展开，请到最后的推荐阅读中了解。&br&&br&&br&&b&“自然”&/b&与美&br&古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AF%%25BE%25BE%25E5%%25E6%258B%%2596%25AF%25E4%25B8%25BB%25E4%25B9%2589& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯主义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&走向了科学的反面，成了宗教。&br&&img src=&/54a54e5fddb6d8b43bde_b.jpg& data-rawwidth=&350& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&350&&毕达哥拉斯主义者庆祝日出&br&&br&这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘“自然”之美，并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系，最有名的是毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）。毕达哥拉斯认为所有图形中，圆是最对称的，所以圆是最完美的图形。参见&a href=&///?target=http%3A///show_hdr.php%3Fxname%3DPPDDMV0%26dname%3DSAS1L41%26xpos%3D30& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&毕达哥拉斯学派美学思想（朱光潜）&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&b&“自然”思想的意义&/b&&br&雷军说得好，“在风口上，猪都会飞”！就像乔布斯开启了移动互联网时代，泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。&br&&br&古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等，都因为得益于这套思维方法，发现了大量的自然规律，成为各学科领域里开天辟地的先贤。&br&&br&古希腊人还把自然的概念引入社会领域，来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷，认为在所有赚钱方法中，利息是最&b&不自然&/b&的。&br&&br&以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。&br&例如：&br&英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。&br&而&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25B5%25B7%25E9%C& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&海里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的长度则接近自然，如下图，海里是根据地球周长计算的，是1角分的长度，变化就极小。&br&&img src=&/a8fc15fd76e2f5f0f85f2b_b.jpg& data-rawwidth=&272& data-rawheight=&267& class=&content_image& width=&272&&&br&对比之下，宗教等理论体系的基石并不是自然的，靠的是强制手段来确立的权威，这是不稳定的。当强制手段不再有效时，就会使宗教分裂成各种教派。&br&&br&自然思想不同于宗教，靠的是坚实的观察证据和理性思维，任何人都可以反复验证，具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性，古希腊思想被越来越多的人所接受，对后人产生了巨大的影响，几乎奠定了现代所有科学领域的基础。&br&&br&经过2500多年的不懈努力，终于在&b&古希腊文明所铺就的最稳固基石&/b&上，人类建立起了现代文明的宏伟大厦。&br&&br&&br&&b&自然数中的“自然”&/b&&br&古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数（Natural number）。&br&&br&但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而&b&发明&/b&出来的，不是自然的数。&br&&br&毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AC%25AC%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E5%25AD%25B8%25E5%258D%25B1%25E6%25A9%259F& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第一次數學危機&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。后人认为毕达哥拉斯也发现了&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%25BB%%E5%E5%%25E6%25AF%2594& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&黄金分割率&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。&br&&br&现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25BB%25A3%25E6%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&代數數&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25B6%%25B6%258A%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&超越數&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，也需要了解更复杂的运算。&br&&br&我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关，所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越4000年，穿越到7000年前的苏美尔文明时代。&br&&br&&br&&b&利息的发明&/b&&br&7000年前，美索不达米亚的苏美尔人因为发达的农业和贸易，建立起人类最早的文明和城市，参见问题《&a href=&/question//answer/& class=&internal&&为什么会有国家？&/a&》。&br&&br&苏美尔人也第一个发明了利息，一起通过一个虚构的小故事来理解利息的起源：&br&&ul&&li&农民张三经常去城市卖粮食、换日常用品，他发现城里人很喜欢羊奶，这是一个商机！&br&&/li&&li&但是他自己没有母羊，也买不起，于是他找到牧羊人王二小，想租借他的母羊。&br&&/li&&li&张三想用大麦作为每年母羊的租金，但王二小想了想，不想把母羊租给他。&br&&/li&&li&因为母羊每年都生羊羔，把母羊给张三，虽然有租金，但羊羔的收益就没了。&br&&/li&&li&张三明白了王二小的顾虑，就承诺他只用母羊产奶，如果母羊生下羊羔，羊羔还是归王二小。&br&&/li&&li&王二小认为这样才比较划算，于是就答应了租借母羊。&br&&/li&&li&张三和王二小到神庙，要在神的见证下订立合同。&br&&/li&&li&公证人用楔形文字把债务合同刻在了泥板上，并明确了租金和羊羔的归属。&br&&/li&&/ul&&br&羊羔收益成为租借者的应得利润，&b&这很公平，也很自然&/b&。&br&&br&后来人们发现借钱也应该给羊羔收益，因为这笔钱如果用来买母羊，每年都会有羊羔收益。所以钱借给贷款者，他除了要归还本金，还要归还这笔钱本应获得的羊羔收益。&br&&br&这个羊羔收益就成为了后来我们熟知的利息，在苏美尔文字中，利息的单词mas原本是牲畜幼崽的意思，随着时间的推移，利息的含义逐渐和牲畜没有了关系。这和我们汉字中货币、宝贝、财产等词中都含“贝”字是一样，因为海贝就是3000多年前夏商时代流通的货币。&br&&br&历史上每次新能源的普及都会引发人类社会革命性的进步，利息就是一种革命性的新能源发明，只是这次驱动的不是机器，而是人。&br&&br&&b&利息的价值就在于其巨大的激励作用&/b&，驱动人们把自己的资源拿出来，分享给其他人使用。利息的激励模式也迅速在实物、粮食、金银等资产借贷上得到普及。金融领域的第二大创新（第一是货币）就这样诞生了。&br&&br&4000多年前的《埃什嫩那法典》（The Law of Eshnunna）中就有了对利息的规定：&br&每1谢克尔&白银&（180粒大麦）的利息是36粒大麦（即利率为20%）；&br&每300塞拉（sila）&谷物&的利息是100塞拉（即利率为33.33%）。&br&&img src=&/7a4a2a60e88f3e4d56129a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&535& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&/7a4a2a60e88f3e4d56129a_r.jpg&&来源：&a href=&///?target=http%3A//iraq.iraq.ir/museum/fi/.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Iraq National Museum&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&激励机制设计在经济、管理、教育等领域有着核心动力的关键作用，设计好了就可以把人的自身潜能释放出来，这一点，喜欢玩游戏的都有切身体会。正是知乎的激励机制设计的好，我这篇超长文才写得出来。XX问答类网站无法让用户做到，是因为他们激励的方向是数量，而不是质量。&br&&br&尽管利息能激励交换，但人们对利息还是有着爱恨交加的复杂感情：当急需钱时，人们焦急的不惜一切代价筹钱；等到终于借到钱，需要还利息时，人们又开始愤愤不平。&br&&br&柏拉图就曾经主张，人们应该只还本金，不要归还利息。参见&a href=&///?target=http%3A///ReadNews.asp%3FNewsID%3D27306& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&古希腊的债务危机&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&他的学生亚里士多德在《政治论》一书中也激烈的抨击利息，认为在所有赚钱方法中，&b&利息是最不自然的&/b&。&br&&blockquote&And this term interest, which means the birth of money from money, is appliedto the breeding of money because the offspring resembles the parent. Wherefore of an modes of getting wealth this is &b&the most unnatural&/b&.&/blockquote&来源：&a href=&///?target=http%3A//classics.mit.edu/Aristotle/politics.1.one.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&classics.mit.edu/Aristo&/span&&span class=&invisible&&tle/politics.1.one.html&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&每个时代的人们都有他们思想的天花板，亚里士多德的天花板就是不能接受金钱可以像生命一样增殖。他认为这是荒诞的、不是钱原来的属性、是不自然的。但如果他知道利息的起源，明白利息在经济系统中的推动作用，他可能会改变观点，整个人类经济和政治史都会彻底改写了。&br&&br&柏拉图和亚里士多德并不是第一个站出来抨击利息的人，但是他们在历代学者和政治精英中的巨大影响力，这些观点后来成为了社会的主旋律，后世的社会现象，例如中世纪教会禁止收息放贷、犹太人被歧视迫害，以及马克思的共产主义思想，都和柏拉图、亚里士多德有着一脉相承的关系。&br&&br&好了，先从历史里出来一会儿，让我们来看一下利息和e的关系。&br&&br&&br&&b&利息中的e&/b&&br&e和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%%25E5%259C%%259C%25AF_%28%25E5%E5%25BE%25BD%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&割圆术&i class=&icon-external&&&/i&&/a&来很形象的理解。&br&假设等边形的对角线长为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。&br&&img src=&/93faab14be951b226ad155debe04dacf_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&br&但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，阮一峰翻译的文章《&a href=&///?target=http%3A///article/50264/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学常数e的含义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》说的很好，只是公式太多，并不直观。&br&幸好我在原文《&a href=&///?target=http%3A///articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&An Intuitive Guide To Exponential Functions & e&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。&br&&br&假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！&br&银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元&br&&img src=&/c76ffeb8fe55e54c7faf98c53ca4371c_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&400&&&br&银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元&br&&img src=&/d632afd3df06a857ecb93b_b.jpg& data-rawwidth=&414& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&414&&&br&&br&假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元&br&&img src=&/ae3bed44da1118ecf76b_b.jpg& data-rawwidth=&414& data-rawheight=&226& class=&content_image& width=&414&&&br&假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.元&br&&br&假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共秒，利滚利的余额≈2.元&br&&br&这个数越来越接近于e了！&br&哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！&br&对！&b&1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，&/b&有兴趣可以用这个&a href=&///?target=http%3A///%3Fd%3DUGx1ZyBpbiBkaWZmZXJlbnQgdmFsdWVzIG9mIG4gdG8gYXBwcm94aW1hdGUgZS4%26c%3DbiA9IDEwMHxlID0gKDEgKyAxL24pXm58fHx8fA%26s%3Dsssssss%26v%3D0.9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&网上计算器&i class=&icon-external&&&/i&&/a&算一下。&br&&br&我们和圆周率再做个对比：&ul&&li&多边形的边数和利滚利的次数是相似的。&/li&&li&对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。&br&&/li&&li&年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。&/li&&/ul&&br&换种表述方法：&br&&ul&&li&每个完美的圆，其周长都是π的倍数；&br&&/li&&li&每个理想的存款，其余额都是e的倍数。&br&&/li&&/ul&这里停一停，你好好体会一下。&br&&br&按照自然的观点，如果圆是最美的，那最赚钱也是最理想的。&br&&br&有人问了：为啥银行不每秒返利息呢？这样就不是100%回报率，而是171.8%了，还我的71.8%！&br&银行哭到：臣妾做不到啊！！！&br&&br&以上是意淫，银行不会这样发利息，洗洗睡吧，下面这个案例才比较现实。&br&&br&&br&&b&利息的逆运算&/b&&br&还是从一个虚构的故事开始：&br&&ul&&li&有一土豪要去银行存入大额存款，比如存1元。&br&&/li&&li&银行经理推荐他投资理财产品，因为年利率高达100%，按照指数运算，bla bla bla……&br&&/li&&li&但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间才能到10倍，100倍，1000倍？&br&&/li&&li&经理有点懵，土豪不按常理出牌啊！&br&&/li&&li&一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……&br&&/li&&li&土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！&br&&/li&&li&不愧是老板，不问过程，只问结果！&br&&/li&&li&于是经理就从第1年开始算，把10年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表，如下图：&/li&&img src=&/b99ea4cab8c2d7ee6fae76c6b9ca75d8_b.jpg& data-rawwidth=&196& data-rawheight=&325& class=&content_image& width=&196&&&li&然后再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指给土豪&br&&/li&&li&土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超过预期收益，非常高兴！&br&&/li&&/ul&&br&经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，就是利息的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的雏形。&br&&br&其实这和我们根据加法表进行减法运算、根据乘法表进行除法运算是同一个道理。&br&例如知道了&img src=&///equation?tex=3%5Ctimes+7%3D21& alt=&3\times 7=21& eeimg=&1&&，就可以很快知道&img src=&///equation?tex=21%5Cdiv+3& alt=&21\div 3& eeimg=&1&&的除法逆运算结果了。&br&&br&好了，放松一下大脑，继续回来穿越历史。&br&&br&&br&&b&对数发明的历史&/b&&br&据说4000多年前，古巴比伦时代的人们就发明对数和对数表了，但因为我没找到资料证实，只能从近代开始。&br&&br&16、17世纪，英、法加入了大航海的行列，开始了美洲殖民地的开拓，远洋贸易变得日益频繁。那时的人们已经知道地球是球形，大海上船只的位置靠经纬度来确定。&br&&br&纬度测定很容易，几千年前人们就知道，通过测量北极星的仰角，可以估算出船已经在南北方向航行了多远。但是经度的测量不是一般的困难。在茫茫的大洋上，如果无法准确测定船只的经度，代价会极为高昂。&br&&br&1707年，四艘英国战舰击败法国地中海舰队回航，10多天的浓雾让舰队完全迷失，因为算错经度，舰队触礁，两千名士兵死亡。1714年英国悬赏2万英镑（相当于现代的2000多万人民币），寻求精确测得经度的方法。&br&&br&对于商人来说，与市场上的同类对手竞争，谁的航海定位越准确，意味着风险越低、利润越高。&br&对海军也是，同样的战舰，定位越准确，航行的时间越短，在战争中速度往往是决胜的关键。&br&&br&经度的精确测量问题直到18世纪才得到有效解决，这归功于&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25BA%25A6%25E7%25BF%25B0%25C2%25B7%25E5%E9%E6%25A3%25AE& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&约翰·哈里森&i class=&icon-external&&&/i&&/a&发明了高精度机械钟表。这段历史还被拍成了电影和记录片，推荐一本精彩的书《&a href=&///?target=http%3A///subject/2221395/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&经度：一个孤独的天才解决他所处时代最大难题的真实故事》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和罗辑思维的节目《&a href=&///?target=http%3A///v_show/id_XNTU3ODc1MzYw.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&击溃牛顿的钟表匠&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》。&br&&a class=&video-box& href=&///?target=http%3A///v_show/id_XNTU3ODc1MzYw.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&击溃牛顿的钟表匠[罗辑思维]No.23& data-poster=&/1A71947E1ADE255-D19-FD0ED587CDF9& data-lens-id=&&&
&img class=&thumbnail& src=&/1A71947E1ADE255-D19-FD0ED587CDF9&&&span class=&content&&
&span class=&title&&击溃牛顿的钟表匠[罗辑思维]No.23&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&/v_show/id_XNTU3ODc1MzYw.html&/span&
&/a&&br&但是在哈里森之前的数百年里，人们只能求助于天文学家来解决，因为天空就是人们最早、最精确的钟表，太阳、月亮、星星等天体就是上面的表针，读懂这个钟表，就可以知道时间和经度了。&br&&br&天文学家观测天体，计算出运行的轨道，来预测未来几年每个时间点上天体所在的精确位置，英国天文学家以格林尼治天文台的时间为基准，再把时间和天体位置整理成详细的表格，公开出版发行。这套星表可不便宜，星表加上六分仪售价约20英镑，相当于现在2万人民币，即便这样也经常脱销。海上的人用六分仪测量天体，再去查那本高价天文表格，求得当地时间和格林尼治时间，知道两地的时间差，就知道现在的经度了。&br&&br&16世纪和17世纪之交，天文学家&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AC%25AC%25E8%25B0%25B7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第谷&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%E5%258D%259C%25E5%258B%2592& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&开普勒&i class=&icon-external&&&/i&&/a&通过大量的观测，绘制了当时最精确的星图，解决了天文学家天文数据精度不足的难题。有了高精度的星图，全欧洲的数学家开始了天体轨道的计算竞赛，很多科学家也因此获得了商业和学术上的丰厚回报。那时的天文学家、数学家可不是像现代这么冷门，更像当今那些IT、金融等热门行业里的精英一样，享受着人人羡慕的不菲高薪。&br&&br&顺便说一下，日心说之所以能取代地心说，也是因为日心说模型更简洁，不仅计算起来更简单，而且预测非常准确，可以很好的解释行星逆行等现象，这是地心说完全做不到的。&br&&br&即使这样，要想预测天体的运行，其计算也是极其繁琐和浩瀚的，在解决计算问题时，数学家们发明了大量崭新的数学理论和计算工具，包括对数、解析几何、微积分和牛顿力学等伟大的创新。可以说天文学是当时科学界最闪亮的宝石，是当时的高科技热门产业。&br&&br&其中，对数的发明人就是&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25B4%%25BF%25B0%25C2%25B7%25E7%25B4%258D%25E7%259A%25AE%25E7%2588%25BE& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&約翰·納皮爾&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&img src=&/95dd249a344ced0b3bfa6_b.jpg& data-rawwidth=&317& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&317&&&br&纳皮尔是天文学家、数学家，在计算轨道数据时，也被浩瀚的计算量所折磨。&br&&blockquote&&看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。&&br&--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614）&/blockquote&《&a href=&///?target=http%3A///subject/4605553/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&e的故事：一个常数的传奇 &i class=&icon-external&&&/i&&/a&》&br&&br&但纳皮尔不是一般人，不想像IT民工一样苦逼的重复劳动，于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。&br&&br&为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：&br&&img src=&/f5278eaceecad_b.jpg& data-rawwidth=&490& data-rawheight=&50& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&490& data-original=&/f5278eaceecad_r.jpg&&第1行是自然数，他们是等差的；&br&第2行是2的倍数，他们是等比的；&br&要计算第2行的等比数列中任意两个数的乘积，例如&img src=&///equation?tex=16%5Ctimes+64& alt=&16\times 64& eeimg=&1&&；&br&先到第1行的等差数列，寻找&b&对应的数&/b&，16对应4，64对应6；&br&然后做加法，&img src=&///equation?tex=4%2B6%3D10& alt=&4+6=10& eeimg=&1&&，再查找10所&b&对应&/b&等比数列的1024；&br&得到计算结果就是&img src=&///equation?tex=16%5Ctimes+64%3D1024& alt=&16\times 64=1024& eeimg=&1&&&br&&br&借助这个表，仅靠心算就可以用&img src=&///equation?tex=4%2B6%3D10& alt=&4+6=10& eeimg=&1&&的加法，完成麻烦的16×64乘法。&br&同样也可以进行除法变减法的运算，把&img src=&///equation?tex=1024%5Cdiv+128%3D& alt=&1024\div 128=& eeimg=&1&&，变为&img src=&///equation?tex=10-7%3D3& alt=&10-7=3& eeimg=&1&&，对应结果为8。&br&把这个表变的更长，就可以计算数值更大的乘法，这个表就是极度简化的对数表。&br&&br&以上仅仅是对数的优点之一，对数的易于计算，大大减少了数学家、天文学家的计算量。&br&拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而&b&延长了天文学家的寿命&/b&”&br&伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”&br&&br&如果把对数表的数列设计成尺子，就成了计算尺。有兴趣可以读果壳网的《&a href=&///?target=http%3A///article/38752/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如果没有计算器，我们就用计算尺吧&i class=&icon-external&&&/i&&/a&》&br&&img src=&/09c49f39d79fe75d63ae6b82ff6bfbbb_b.jpg& data-rawwidth=&962& data-rawheight=&221& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&962& data-original=&/09c49f39d79fe75d63ae6b82ff6bfbbb_r.jpg&&&br&把直尺掰弯了就成了柱状算尺，像不像风水大师的道具？&br&&img src=&/28383eaf4d65d3fac56b6ff482bdf183_b.jpg& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&200& class=&content_image& width=&220&&&br&&b&微积分中的e&/b&&br&有人说：我不懂微积分，估计看不懂！&br&&br&没关系！你可以这样理解，积分是升维的过程，微分是降维的过程。&br&例如&br&把一张张纸叠起来变成厚厚的词典，这是从2维变成3维的升维，这是积分；&br&把一大块羊肉，切成一片片羊肉片，就是从3维为变2维的降维，这是微分。&br&&br&在微积分中，底数为e的指数函数&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&，其导数还是这个函数&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&，也就是不论求多少次导数，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。不知道别人的感觉如何，反正我第一次知道时是很惊奇的。&br&&br&举个例子：&br&西瓜都切过吧？&br&无论你怎么切一个实心球，其横截面都是圆面，也就是3维降2维，还是和圆有关。&br&2维的圆面也是有很多1维的同心圆组成，也就是2维降1维，还是和圆有关。&br&如上所说，球被降维了2次还是和圆有关，π这个常数你是甩不掉的。&br&这一点对更高维度的球也适用，参见&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/N%25E7%25BB%25B4%25E7%E9%259D%25A2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&n维球面&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&br&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&也是这样，而且比球面更厉害&br&无论如何降维，&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&总是老样子，一点儿都没变！&br&就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！&br&这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！&br&大刘！我知道怎么化解《三体》外星人的降维攻击了！&br&&br&下面就是&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&在直角坐标系中的样子&br&&img src=&/8e1daadae2acd20ea925b1e50713ec56_b.jpg& data-rawwidth=&525& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&525& data-original=&/8e1daadae2acd20ea925b1e50713ec56_r.jpg&&&br&&br&&b&美妙的螺线&/b&&br&在上面的部分中，指数函数&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&的美并没有真正的体现出来。&br&让我们换一个视角看，你一定会大吃一惊。&br&&br&我们知道二维坐标系除了直角坐标系外，还有一种常用的是&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%259E%%259D%%25A0%%25B3%25BB& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&极坐标系&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，如下图&br&&img src=&/570edd284a0b45db60eb_b.jpg& data-rawwidth=&335& data-rawheight=&305& class=&content_image& width=&335&&&br&我们把指数函数&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&换成极坐标，就变成了&img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Ctheta+%7D+& alt=&e^{\theta } & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Ctheta+& alt=&\theta & eeimg=&1&&是点与极轴的夹角。&br&这时的指数函数就会变成下图的样子，这个螺线叫对数螺线（&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_spiral& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Logarithmic spiral&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），又叫&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25AD%%25A7%%259E%25BA%25E7%25BA%25BF& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&等角螺线&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&之所以叫等角螺线，是因为在极坐标中，螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角，如下图所示，蓝线每次穿过射线时，其夹角是固定的，也就是等角，我们在后面会用到这个等角特性。&br&&img src=&/0fe31a5adbf48ebfcc4bfe5_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/0fe31a5adbf48ebfcc4bfe5_r.jpg&&有人说：等等！我好想在哪里见过这货？&br&&img src=&/abafa0f8f69a2_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/abafa0f8f69a2_r.jpg&&&br&不对，这个图，好像有什么东西乱入了！&_&#&br&这就是人体曲线，啊不，是斐波那契螺线，网上很流行玩这种摄影，都快被玩坏了。&br&&br&&a class=&video-box& href=&///?target=http%3A///v_show/id_XNzU5MDE2MDM2.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&柯南的搞笑甩湿发秀 Conan Wet Hair& data-poster=&/3FAAEDF97F0A84C-EFEC-E795C25E1B& data-lens-id=&&&
&img class=&thumbnail& src=&/3FAAEDF97F0A84C-EFEC-E795C25E1B&&&span class=&content&&
&span class=&title&&柯南的搞笑甩湿发秀 Conan Wet Hair&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&/v_show/id_XNzU5MDE2MDM2.html&/span&
&/a&柯南的表情好贱！&br&&br&斐波那契数列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这样的数列。&br&其特点是前两个数加起来就是下一个数，例如&br&1+1=2&br&1+2=3&br&2+3=5&br&……&br&34+55=89&br&……&br&用这些数画出来的半圆，可以拼接成下面的螺线形状，这就是斐波那契螺线。&br&&img src=&/4be30ec8ca511b0b737654_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/4be30ec8ca511b0b737654_r.jpg&&&br&&br&套用在美女图片上就可以这样玩，虽有过度解读之嫌，但可以获得极好的传播效果。&br&&br&&img src=&/3463cebd7f6d79f1846b9e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/3463cebd7f6d79f1846b9e_r.jpg&&&br&&br&有趣的是这个数列还和黄金比例有关，例如55/34≈1.6176，接近黄金分割比例1.618，数列的数字越到后面，结果就越趋近于黄金分割这个无理数，如下图&br&&img src=&/badda5605_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/badda5605_r.jpg&&&br&&br&不过斐波那契螺线仅仅是对一种叫黄金螺线（&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Golden_spiral& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Golden spiral&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）的近似，黄金螺线是一种内涵黄金分割比例的对数螺线&img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Ctheta+%7D+& alt=&e^{\theta } & eeimg=&1&&，下图红色的才是黄金曲线，绿色的是“假黄金螺线”（斐波那契螺线），近似却不重合。&br&&img src=&/bee9d420ca249c47f9f4d3_b.jpg& data-rawwidth=&988& data-rawheight=&666& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&988& data-original=&/bee9d420ca249c47f9f4d3_r.jpg&&&br&很多科学家发现对数螺线&img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Ctheta+%7D+& alt=&e^{\theta } & eeimg=&1&&在自然界中广泛存在。从大如星系、台风，到小如花朵、海螺……宇宙中到处都是对数螺线&img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Ctheta+%7D+& alt=&e^{\theta } & eeimg=&1&&的身影&br&&br&&img src=&/17d31ae930dc71ef374c8_b.jpg& data-rawwidth=&850& data-rawheight=&850& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&850& data-original=&/17d31ae930dc71ef374c8_r.jpg&&&br&原来e以这种特殊的方式隐藏在自然之中。需要注意的是，这不是e被称为自然底数的原因，这和大自然没太大关系。&br&&br&&br&&b&为什么自然界中存在这么多的对数螺线呢？&/b&&br&因为对数螺线具有等角性，受环境影响，很多直线运动会转变为等角螺线运动。&br&&br&我们以飞蛾扑火为例&br&亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。&br&&br&&br&&br&&img src=&/74fb591a32c_b.jpg& data-rawwidth=&753& data-rawheight=&729& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&753& data-original=&/74fb591a32c_r.jpg&&&br&&br&但自从该死的人类学会了使用火，这些人造光源因为很近，光线成中心放射线状，可怜的蛾子就开始倒霉了。&br&&br&&img src=&/db27eb510c4e0c4c7bf06_b.jpg& data-rawwidth=&746& data-rawheight=&645& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&746& data-original=&/db27eb510c4e0c4c7bf06_r.jpg&&&br&&br&&br&蛾子还以为按照与光线的固定夹角飞行就是直线运动，结果越飞越坑爹，飞成了等角螺线，最后飞到火里去了，这种现象还被人类称为昆虫的正趋光性。&br&&br&蛾子说：&br&趋你妹的光啊，傻瓜才瞪着光飞，不知道会亮瞎眼啊？！！&br&我们完全被人类误导了，亿万年才演化出的精妙直线导航方法，被人类的光污染干扰失效了！&br&不用假慈悲的飞蛾扑火纱罩灯了，凸(#‵′)凸，赶紧把灯关了吧！&br&&br&注意下图飞虫都在做螺线飞行，如果昆虫有趋光性。直飞不是更好吗？&br&&img src=&/c6b088a8df_b.jpg& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&678& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&/c6b088a8df_r.jpg&&不要以为只有蛾子会这样，人在用指南针导航时也有同样的问题，因为篇幅太长就不展开了，有兴趣请移步《&a href=&/question//answer/& class=&internal&&既然昆虫有趋光性，为什么昆虫不齐刷刷地奔向太阳？&/a&》。&br&&br&根本原因是原来作为参考的平行场变成了中心发散的场，导致直线运动变成了螺线运动。&br&&br&&img src=&/bb758c3a58bb020cdcecc4ff_b.jpg& data-rawwidth=&721& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&721& data-original=&/bb758c3a58bb020cdcecc4ff_r.jpg&&&br&&br&我们也知道，绝对平行的场在自然界中是不存在的，只是我们为了计算方便，在小范围内近似认为平行而已。如果把尺度放大了看，更多的场是不平行的、是发散的，所以自然界中大量存在等角螺线现象就很正常了。&br&&br&例如理想状态下，流体应该是直线运动的，但在发散场和地球自转的作用下，就会像飞蛾一样走出类似等角螺线的形状，天上的台风和水中的漩涡就是这样形成的，不过实际情况远比这要复杂，只能近似这样考虑。&br&&br&关于对数螺线还有一个小笑话。&br&对数螺线是笛卡儿在1638年发现的，雅各布·伯努利也做了研究，并发现了许多非常优美的特性，经过各种变换，结果还保持原来的样子。&br&他十分惊叹和欣赏这种美，要求死后自己的墓碑上一定要刻上对数螺线，以及墓志铭“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。&br&结果石匠同志误将阿基米德螺线刻了上去，雅各布九泉有知一定会把棺材掀翻的！&br&（╯￣皿￣）╯︵┴─┴&br&&br&阿基米德螺线是这样的：&br&&img src=&/b6fcc0ffd56bfd_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&274& class=&content_image& width=&300&&常人的确看不出区别，你能看出来吗？千万不要搞混啊！&br&&br&&br&好了！长篇大论快结束了，能坚持到这的都是Winner！下面开始讲为什么叫自然底数了。&br&&br&&br&&b&对数的底数&/b&&br&对数中最常用的底数是10、2和e&br&&br&为什么要以10为底数？&br&因为我们使用10进制，&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%%25E9%E7%25BA%25A7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数量级&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和科学计数法也是10的倍数，例如阿伏伽德罗常数&img src=&///equation?tex=6.02%5Ctimes+10%5E%7B23%7D+& alt=&6.02\times 10^{23} & eeimg=&1&&。&br&所以&img src=&///equation?tex=10%5E%7Bx%7D+& alt=&10^{x} & eeimg=&1&&的逆运算，以10为底的对数 lg x最常用、最方便，所以又称&b&常用对数&/b&。&br&&br&10进制是数字表示法中最容易普及的，根源是我们有10个手指，人们初学数字时都喜欢借助10个手指学习1、2、3……10。到了学加减运算时，更是喜欢借助手指计算。不仅老师认为这样教学直观，学生也认为这样练习方便。通过教育，这个强大的习惯，被最广泛的传播和固化下来。但如果是8个腕足的章鱼发展出了文明，可能更喜欢8进制。&br&&br&为什么要以2为底数？&br&因为2倍或成倍式的增长，即&img src=&///equation?tex=2%5E%7Bx%7D+& alt=&2^{x} & eeimg=&1&&，是我们日常中&b&最简单&/b&的指数式增长。我们经常说数量成倍、翻倍、翻番、翻两番，都是2倍率的增长。&br&你可能也发现了，前面的存款例子实际上都是&img src=&///equation?tex=2%5E%7Bx%7D+& alt=&2^{x} & eeimg=&1&&，因为这样的例子最容易理解。所以&img src=&///equation?tex=2%5E%7Bx%7D+& alt=&2^{x} & eeimg=&1&&的逆运算，底数为2的对数 lb x 也会比较常见。&br&&br&虽然对数的底数2和10是人们使用体验和认知体验最好的对数，但是在数学中，这两个数却是&b&不自然&/b&的，因为都是在方便人的需要。&br&&br&&br&&b&为什么&/b&&b&e&/b&&b&被称为自然底数？&/b&&br&用e做底数的对数表达方式是 ln x &br&&br&按照古希腊哲学家的自然思想，自然是指万物的内在规律，就像自然数一样，是事物本身的属性，不以人的喜好而变化。&br&&br&前面在讲“利息中的e”时，曾拿π和e做过对比。&br&&ul&&li&边数越多越接近圆，利滚利越多越接近最大收益&br&&/li&&li&一个对角线为1的多边形，其周长最大值是π&br&&/li&&li&一个本金为1利率为1的存款，其存款余额的最大值是e&br&&/li&&/ul&&br&按照古希腊的自然思想来看：&br&&ul&&li&对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个“无理”的数。&br&&/li&&li&对于最快速的指数增长来说，e才是自然的，这是指数增长本身的属性。&/li&&/ul&&br&而科学家们也发现，在做数学分析时，用e做底数的对数 ln x 做计算，其形式是最简约的，用其他对数例如lg x 做计算，都会画蛇添足的多一些麻烦。&br&&br& ln x 就像美学上的“增之一分则太长，减之一分则太短”。&br&&br&对数学家来说，最简就是最美。这是一种纯理性的美，通过感官是无法欣赏的，只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。这种美令无数数学家为之痴迷，虽然不会像毕达哥拉斯那样狂热，但也终其一生孜孜以求。&br&&br&&br&&b&结论&/b&&br&&ol&&li&历史上，&自然&是一种划时代的思维方法，自然还有和谐、完美的内涵&/li&&li&随着利息、对数、指数的发明，人们发现了e的存在&/li&&li&1元存1年，在年利率100%下，无穷次的利滚利就会达到e&br&&/li&&li&e和π一样都是内在规律，反映了指数增长的自然属性&/li&&li&大自然中到处都有对数螺线&img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Ctheta+%7D+& alt=&e^{\theta } & eeimg=&1&&的身影&/li&&li&其他底数都是&b&发明&/b&出来方便人使用，只有e为底数是被&b&发现&/b&的&/li&&li&数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式&/li&&/ol&&br&把e冠以&b&自然&/b&底数、&b&自然&/b&常数之名，把e为底数的对数称为&b&自然对数&/b&，是数学家们用自己的方式对e所进行的美学评价。&br&&br&2004年Google公司IPO上市，创始人Larry Page和Sergey Brin决定上市融资总额为美元，也就是e的前10位数字。因为他们都精通数学，很喜欢e的自然之美，当然也希望公司能像&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&一样实现指数型高速增长。&br&Google其实是Googol的错误拼写，Googol代表&img src=&///equation?tex=10%5E%7B100%7D+& alt=&10^{100} & eeimg=&1&&这样的天文数字，实现这样大的数看来也只能靠&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bx%7D+& alt=&e^{x} & eeimg=&1&&指数增长了。&br&&br&&img src=&/3332d5fdc3e5f96d21afd85bfaf2afd1_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/3332d5fdc3e5f96d21afd85bfaf2afd1_r.jpg&&&br&&br&为什么写这个超长的文章？&br&因为现有的解答我都不满意，有人只说e的数学含义，有人只说自然的表层意思，不能很好的解读e与自然之间的关系。&br&用公式解读e当然是简洁的，但也不是我喜欢的方式，这样不仅丢失了太多有价值的信息，还会把很多人拒之门外。&br&&br&我相信从大历史尺度，用生活的案例来还原e的全貌，可以让更多人来欣赏e的自然之美。耐心的读完全文，你一定会有惊喜。&br&&br&&br&&br&&br&&b&#以下为补充介绍&/b&&br&&br&&b&对数为什么叫对数？&/b&&br&根据前面所说，纳皮尔将对数命名为Logarithm，拉丁文中logos的意思是『比率』，他用一种几何的方式发现了&b&比例对应&/b&关系。&br&&br&1653年，清代顺治年间，对数传入中国，薛凤祚与波兰传教士穆尼阁编写了《比例对数表》。康熙时的《数理精蕴》解释了『对数』中文名的来源：『对数比例乃西士若往纳白尔所作，以借数与真数&b&对列成表&/b&，故名对数表』。&br&&br&&br&&b&为什么对数发明早于指数？&/b&&br&有趣的是，历史不走寻常路，对数的发明居然是早于指数！&br&这就相当于先发明减法符号，再发明加法符号。&br&&br&1614年，纳皮尔发明了对数和对数表。&br&1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年。&br&1770年，欧拉才第一个指出：“对数源于指数”，这时对数和指数已经发明一百多年了。&br&&br&我认为造成这个现象的原因有三个：&br&&ol&&li&纳皮尔首先发现的是大数运算中有对应比例关系，这种关系可以用来简化计算，而不是考虑求指数逆运算的。&br&&/li&&li&指数运算大家一直用，不过是用自乘的方法算。笛卡尔发明的是指数运算的符号和规则，简化了这种运算。对数和指数是不同目的下的发明，一开始人们就没有意识到两者之间}