&>&&>&数值分析(宋岱才版)课后答案
数值分析(宋岱才版)课后答案_33600字
证券代码：002359 证券简称：齐星铁塔 公告编号：山东齐星铁塔科技股份有限公司关于修改公司章程的公告 本公司及其董事、监事、高级管理人员保证公告内容真实、准确和完整，并对公告中的虚假记载、误导性陈述或者重大遗漏承担责任。 根据深圳…
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名校调研系列卷·理综物理部分 名校调研系列卷·理综物理部分 一．选择题（共16小题） ）3．（2015o内江三模）如图所示的位移（x）﹣时间（t）图象和速度（v）﹣时间（t）图象，表示的是四辆小车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法…
第一章 绪论
一 本章的学习要求
（1）会求有效数字。
（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。
二 本章应掌握的重点公式
（1）绝对误差：设x为精确值，x为x的一个近似值，称e??x??x为x的绝对误
（2）相对误差：er??。
（3）绝对误差限：??e?x?x。 （4）相对误差限：?r??
??x。（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数f?x??0,则??f??? ????dx?
（6）一元函数的相对误差限：?r?f??????x?。 ??f?dx?
（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数f?x,y??0,则?f
（8）二元函数的相对误差限：?r?f??1
???f?????f???
??????x???????y??。 ?x????y?????
三 本章习题解析
1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别
估计A1?XXX及A2?的相对误差限。 ?
x1??1..031,x3??385.6,x4??56.430
解：（1）x1有5位有效数字，x2有2位有效数字，x3有4位有效数字，x4有5位有效
数字。 （2）A1?x1x2x3,
?x2x3,1?x1x3,1?x1x2,由题可知：A1?为A1的近似值，?x1?x2?x3
x1?,x2?,x3?分别为x1,x2,x3近似值。
1???A1?????
???X1?A1???
????x???A1?
?1?A1???x??
1x1?x2?x3?11???1?4???3???1?xx??10?xx??10?xx??10?0.215
???X2?Ax1?A
,则有2?,2??22,同理有A2为A2的近似值，x2，x4为x2，X4?x2x4?x4?x4?
x4的近似值，代入相对误差限公式：
1???A2?????
????X???A2?
111?3?3?4?2
???10???10?105 ??2??2?X4?2X2??X4?
2. 正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过1cm? 解：设正方形的边长为x，则面积为S?x2，
?2x，在这里设x?为边长的近似值，S?为dx
?ds?面积的近似值：由题可知：???s????dx?
即：2x??x?1 推出：?x?
?0.005cm。 200
3. 测得某房间长约L=4.32m，宽约为d=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房
间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？ 解：设s?ld 则有：
?s?s?d，?l。在这里l?，d?，S?分别为l，d，s的近似值： ?l?d
??s???????l???????d???d
相对误差限为：?rS
?l??l???d??3.12?0.01?4.32?0.01?0.0744cm
4. 下列公式如何计算才比较准确：
e(1)当x的绝对值充分小时，计算
（2）当N的绝对值充分大时，计算?N（3）当x
解：（1）当x?0时，?1
? ?e?e?e?e??e?= 2e?e2e?e3x
（2）当N??时，
==argtg?N?1??argtgN argtgx2
1?NN?1(3)当x???
5. 列?yn?满足递推关系yn=10yn?1-1，n=1,2,…，若y
0?1.41，计算到y10时误差有多
大？这个计算数值稳定吗？
解：已知准确值y0，近似值y0?1.41，设他们的误差为?0?y0?y0，则有：
?10y?1?10?=10
?10y?1?10?1=100
以此类推所以
?10y?1?10?1=1010
=101.41??2?1?108
，直接计算和用
来计算，哪一个最好？
解：依题意构造函数f?x???x?1?，则fI?x??6?x?1?，由绝对误差公式
??f???f?x????x??=6??
1.4?1?51.4?6?0.?1=0.003072
7. 求二次方程x-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。
解：由求根公式：x?
。所以。x1?8
较小的根为x2?8
8. 如果利用四位函数表计算1?cos2，试用不同方法计算并比较结果的误差。 解：1?cos2?1?0.994?0.006
1?cos2???6.092?10?4 0
1?cos21.994
9. 设x的相对误差限为δ，求x的相对误差限。
解：由题意可知：设f?x??x100，则有fI?x??100X99在这里设x为X的近似值，f 为f
的近似值，由已知x的相对误差限为?。 所以： ?f??
100?x????x??
10. 已知三角形面积S=absinc,其中c为弧度，满足0<c<
，且a,b,c,的误差分别为 ?a,?b，2
?c。证明面积误差?s满足
?s1?s1?s?s?s
?bsinc?asinc ?a??b??c，
?a2?b2?a?b?c
解：由误差定义：?s?
?abcosc，代入上式可得：?s?bsinc?a?asinc?b?abcosc?c ?c2222
111bsincasincabcosc
?s2??a??b??c
两边同除以s可得：s1
2absinc2absinc约分可得：
?ss??aa??bb?
， 因为：0<cc>0.， 所以命题
第二章 插值法
一 本章的学习要求
（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 （2）会应用插值余项求节点数。 （3）会应用均差的性质。
二 本章应掌握的重点公式
（1）线性插值：L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1。
（2）抛物插值：L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1?l2?x?y2。 （3）n次插值：Ln?x???lk?x?yk。
（4）拉格朗日插值余项：Rn?x??f?x??Ln?x???n?1?x?。
（5）牛顿插值公式：
N?X??f?x0??f?x0,x1??x?x0?????f?x0,x1???xn??x?x0??x?x1?????x?xn?1?。
（6）f?x0,x1,???xn??
?x?xx?x???x?xx?x???x?x。
（7）f?x0,x1,???xn??
（8）牛顿插值余项：Rn?x??f?x??Nn?x??f?x0,x1???xn??n?1?x?。
三 本章习题解析
1. 给定x,f?x?的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange
插值多项试。
解：设所求插值多项式为p?x??L3?X??l0?x??y?l1?x??y?l2?x??y，且已知：
x0?1，y0?0，x1?2，y1??5，x2?3，y2??6，x3?4，y3?3，代入插值基函数公
式：可得：
?x?x??x?x??x?x?=?x?2??x?3??x?4?
x?xx?xx?x?1??2??3x???x???x????x?1??x?3??x?4?
=x???l1??1??2x?xx?xx?xx???x???x???x?1??x?2??x?4??
l?x?????=2?1??1
化简代入p?x?得: p?x??x3?4x2?3
f?x??2x6?3x5?x3?1，求f????f3,333,33，??。 ??
?x??2?6! ，所以:
f?6?????2?6! ，f?
?x??f?7?????0.由均差的性质(三)
可知: f?3,3
????2?6!?2 ，f?30,3137??f????0?0
??7!7!6!6!
（1） 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式L3?X?，并由此求f?0.5?的近似值。 （2） 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式N3?X?，并由此求f?0.5?的近似值。 解：(1) n?3，取0.5附近的4个点为宜。故取，x0?0，y0??7，x1?1，y1??4，x2?2,y2?5，
x3?3，y3?26。则L3?X??l0?x??y?l1?x??y?l2?x??y，按照习题1求出插值基012
函数。代入L3?X?。可得：L3?X??x（2）设牛顿插值多项式为
1?1所以：f?0.5????2x?7，?2??7??5.875
N?x??f?x??
?f?,0x,1x???x?2x???x
?f??x0,x1,x2,x3???x?x0??x?x1??x?x2?，
列差商表：
所以：N3?X???7?3?x?0??3?x?0??x?1???x?0??x?1??x?2??x3?2x?7=-5.875 4. 设xj为互异节点（j=0,1,2,…,n）求证：
，k=0,1,2,…,n其中
n次插值基函数。
证明：根据题意：设f?x??xk，所以有
结合上式所以有：?x
l?x???f?x?l?x???l?x?y=L?x?，
由余项定理可知：
且由定理二可知，当0?j?n时，Rn?xj??0所以就有fxj?Lnxj?xjk。 在这里令变量xj?x，所以命题：
5. 设f?x??c2?a,b?且f?a??f?b??0，求证：maxf?x??
fII?x?。 ?b?a?maxa?x?b8
证明：由题可知：x0?a,y0?0，x1?b,y1?0，故可构造线性插值多项式即为下式：
L?X??l?x?f?x??l?x?f?x?，记为（1）式，
f???x?ax?b，记为（3）因为f?x??L1?X??R1?x?，记为（2）式，其中R1?x??????2!
式， 将（1）（3）代入（2）整理：
f?x??L1?X??R1?x??
f?a??f?b??R1?a?bb?a
?x?a??x?b?
所以：f?x??
?x?a??x?b?
max?x?a??x?b?这里取x?
再放缩得maxf?x??
fII?x? ?b?a?maxa?x?b8
f?x??anxn?an?1xn?1???????a1x?a0有n个不同实零点x1,x2,
?0,0?k?n?2x??
?fx?,k?n?1
证明：由题可知：f?x?有n个不同实零点，故f?x?还可以表示成根形式的多项式，即：
f?x??an?x?x1??x?x2?
由导数的定义可知：f
xj?limx?xj
?lim?liman?x?x1??x?x2??????x?xj?1x?xj?1?????x?xn?x?xx?jx?xjj
?x?x??x?x???????x?x??x?x??????x?x?
ax?x?????x?xx?x????x?x1
j1jj?1jj?1jn
?1??,,??????1??，记为（1）式
xxxn?an?12ann?1!
当k?n?1时，??x???n?1?!，则（1）变为
当0?k?n?2，则（1）式变为0，
n??0,0?k?n?2
xj综上所述：???1?Ij?1?an,k?n?1fx?
已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。 解：用牛顿法：N?X??f?x0??f?x0,x1??x?x0??f?x0,x1,x2,??x?x0??x?x1?+
????f?x0,x1,x2,
x3,x4,x5??x?x0??x?x1??x?x2??x?x3??x?x4?，
N?X???5?6(x?2)?3(x?2)(x?1)?(x?2)(x?1)(x?0)?x3?x?1，为三次。
8. 对函数f?x?，g?x?及任意常数a,b,证明：
??af?x??bg?x????x0,x1,???xn??af?x0,x1,???xn??bg?x0,x1,???xn?。
证明：由高等数学的知识，我们构造函数F?X??af?x??bg?x?，于是就有下式成立：
??af?x??bg?x????x0,x1,???xn??F?x??x0,x1,???xn?
x?xx?x????x?xx?x????x?xj?1
?bg?x???x ??
x?xx?x????x?xx?x????x?xn
j0j1jj?1jj?1jn
由分式法则：
x?xx?x????x?xx?x????
x?xx?x????x?xx?x????x?xj?1
=af?x0,x1???xn??bg?x0,x1,???xn?，所以命题成立。 试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算f?0.05?的近似值。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得
f?0.05?=1.05126.
11. 若要给出f?x??cosx，x??0,??的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计
?算任何x??0,?的cosx的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出h?0.02。
12. 设f?x??c2n?2?a,b?，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项
R?x??f?x??H2n?1?x???n?1?x?。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。
13. 求不超过3次的多项式H?x?，使其满足H??1??9，HI??1??15，H?1??1 ，HI?1???1。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：H?x??a0?a1x?a3x2?a3x3，代入条件，即可求得：
H?x??x3?4x2?4x。
14. 求不超过4次的多项式P?X?，使其满足P
?0??PI?0??0，P?1??PI?1??1，
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析p?x??a0?a1x?a2x?a3x?a4x，
代入条件，即可求得：p?x??122
（1） 在边界条件fI?0??0.2，fI?3???1下求三次样条插值函数S?X?； （2） 在边界条件fII?0???0.3，fII?3??3.3下求三次样条插值函数S?X?。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。
?0.48x3?0.18x2?0.2x,x??0,1??32
结果为：（1）s?x????1.04x?1?1.25x?1?1.28?x?1??0.5,x??1,2? ?????
?320.68x?2?1.86x?2?0.68?x?2??2.0,x??2,3???????
?0.5x3?0.15x2?0.15x,x??0,1??32?
（2）s?x????1.2?x?1??1.35?x?1??1.35?x?1??0.5,x??1,2?
?321.3x?2?2.25x?2?0.45?x?2??2,x??2,3???????
函数逼近及最小二乘法
一 本章的学习要求
（1）会用最小二乘法求拟合曲线。 （2）会将非线性函数转化成线性函数。
二 本章应掌握的重点公式
线性曲线拟合公式：
??,???????t???t?，??,?????,???????t???t?，
??,???????t???t?，
??,f??????t?y??,f??????t?y。
三 本章习题解析
??x?,??x??????x????是区间[0,1]上带权??x??x的最高项系数为1的正交多
项式序列，其中
?0?x?=1，求?x
??x?dx及??x?和??x?。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣
的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：?x??x?dx??2；x??x?；??1k03?0,k?0?
2. 判断函数??x?=1，??x?=x,，??x??
?，在??1,1?上带权??x??1正交，并求3
??x?使其在[-1，1]上带权??x??1与?
?x?，?1?x?，?2?x?正交。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：x?
3. 证明：若函数组
??x?,??x??????x?是在[a,b]上带权??x?正交的函数组，则
??x?,??x??????x?必然是线性无关的函数组。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。
4. 已知点列x0??2，x1??1，x2?0，x3?1，x4?2及权函数??x0??0.5，
??x1????x2????x3??1，??x4??1.5，利用公式（4—7）和（4—8）构造对应的正交多
项式p0?x?,p1?x?,p2?x?。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：
p?x??1，p?x??x?5
p2?x???x?x?????
5?15?115??
求拟合这些数据的直线方程。
解：设所要拟合的直线方程为：y?a0?a1x，这里m?4，n?1，?0?x??1，?1
?????????x???x???????????????x???x??10，
?????????x???x??30，??f??????x?y?32.75，
?510??a0??32.75?
?93.1，所以可得到以下方程组：???????i
?1030??a1??93.1?
解得：a0?1.03，a1?2.76，所以所求方程为y?1.03?2.76x。
求拟合这些数据的直线方程。
解：设所要拟合的直线方程为：y?a0?a1x，这里m?7，n?1，?0
?x??1，?1?x??x，
?????????x???x???????????????x???x??36， ?????????x???x??285，??f??????x?y?41，
?8,36??a0??41?
，所以可得到以下方程组：?216??yi?36,285?????216? 1xi
解得：a0?2.22，a1?0.95，所以所求方程为：y?2.22?0.95x。 7. 某发射源的发射强度公式为I
?I0e??t，现测得I与t的一组数据如下表
试用最小二乘法根据以上数据确定参数I0和?的值。 解：先将I
?I0e??t线性化，即两边取以10为底的对数，变为lgI?lgI
设y?lg，A0?lgI0，A1?alge，所以上式变为y?
A?Ax。这里m?7，n?1，
??x??1，??x??x，代入公式得：???
??????x???x??8，
??????????????x???x??3.5，?????????x???x??2.03，
??f??????x?y
??f??????x?y?0.08062，
8,3.5??A0??0.8638?
所以可得到以下方程组??3.5,2.03??A???0.08062?，解得：A0?
???1???A1??0.04618，相应的I0?5.64,a?2.89。
求y?ae的最小二乘拟合曲线。
解：先将y?aebx线性化，即两边取以10为底的对数，变为lg
?lg??blgex，设y?lgy，
这里m?4，n?1，??x??1， A0?lg?，A1x。1?blg，所以原式变为：y?A0?A0
?1?x??x，代入公式得??0,?0????i?0?xi??0?xi??5，
??????????????x???x??7.5，?????????x???x??11.875，
??f??????x?y?33.33，??f??????x?y?51.2275，
?5,7.5??A0??33.33?
所以可以得到以下方程组：?，解得：A0?3.708，??????
?7.5,11.875??A1??51.2275?
A1?1.972，代回求得，a?3.071,b?0.5056,故方程为y?3.071e0.5056x。
9. 用最小二乘法求形如y?a?bx2的经验公式，使它拟合以下数据。
解：先将y?a?bx2线性化，设X?x2，则原式变为y?a?bX，这里m?4，n?1，
?1?x??x，代入公式得??0,?0????i?0?xi??0?xi??5，
?xi??5327，
?x???x??7277699，
??f??????x?y?271.4，?????????x???x??，
所以可以得到以下方程组：?
5327??a??271.4??5,
解得：a?0.05004，b?0.97258，所求方程为：y?0.04x2。
第四章 数值积分和数值微分
一 本章的学习要求
（1）会求各种插值型求积公式。 （2）会应用求积公式分析代数精度。
（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。
（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。
二 本章应掌握的重点公式
（1）梯形公式：?f?x?dx?
。 f?a??f?b?????2
（2）辛甫生公式：
b?a???a?b?。 fa?4f?fb????????6??2??
。 ?x??f?b???
（3）复化梯形公式：
f?a??4?fTn?2?
h?（4）复化辛甫生公式：S?f?a??2?fn
?x??4?f??x?
（5）梯形公式的误差余项：RT?x????b?a?。???a,b?
12（6）复化梯形公式的误差余项：RT?x???
hf???。???a,b? 12
三 本章习题解析
1. 用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。 （1）?x2, 取n?8 ；
f0????f16?k?1?
解：（1）代入复化梯形公式可得
=0.1114024， ?x??f?1???
(2)代入梯复化形公式可得：T6?
????=1.03562，
f0?fx?f?????6???72??6??k?1?
同理，分别代入复化Simpson公式可得：S8?0.1115724，S6?1.03577。
2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具
有的代数精度。 （1）?f?x?dx?
Af??h??Af?0??Af?h?
（2）（3）（4）
?f?x?dx?Af?0??Af?x??Af?1?
f?x?dx?f?x?dx?
Af??h??Af?0??Af?h?
Af??h??Af?x?
?2h?A?A?A0122
解：（1）设f?x??1，x，x，求积公式准确成立，代入（1）式可得：?0???h?
?A0A2?h?23
?h??A0?A2?h?3
代入原式整理得：?f?x?dx?h?f??h??h?f?0??h?f?h?，
解得：A0?A2?
对于f?x??x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f?x??x，代入上式验证，
左边? 右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。
?1?A0?A1?A2
?x??1，x，x2，求积公式准确成立，代入（2）式可得：??1??x?A2
??A1x2?2A2?3
解得：A0?A2?
121，A1?，x1?，
代入原式整理得：
12f?x?dx??f?0???
f????f?1?， ?2?6
对于f?x??x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f?x??x4，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。
?4h?A0?A1?A2?2
（3）设f?x??1，x，x，求积公式准确成立，代入（3）式可得：?0??A0?h?A2?h
?h??A0?A2?h2?3
解得：A0?A2?
84h，A1??h，
代入原式整理得：
f?x?dx?h?f??h??h?f?x1??h?f?h?，
对于f?x??x，代入上式验证，左边=右边，继续令f?x??x，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。
（4） 设f?x??1，x，求积公式准确成立，代入（4）式可得?
?0??A0h?A1x1
hh2，A0?，A1?h，
代入原式整理得：
f?x?dx??f??h??h?f
对于f?x??x2，代入上式验证，左边=右边。继续令f?x??x3，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。
?具有3次代数精度。 f0?f1?f1?f?????????0??????212
证明：当f?x??1时，
左边=1，右边=
?1?1???0?0??1，左边=右边。 212
当f?x??x时，
左边=，右边=1?0?1??1?1?1??1，左边=右边。
当f?x??x时，
左边=，右边=?0?1???2?0??，左边=右边。
当f?x??x时，
左边=，右边=，左边=右边。
当f?x??x时，
左边=，右边=，左边?右边。
故所求积公式具有3次代数精度。
4. 用复化Simpson公式Sn计算积分
sinxdx，要使误差不超过1?10?5，问应将区间
分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间0,0,?分????2??2?
为多少等份？
解：复化Simpson公式的余项的绝对值为：Rs?f???b?a???f???由此可将原问题转
?10解得：n2
同理若应用复化梯形公式，则有
Rt?f???12hf????12?5. 求积公式?f?x?dx?
??10解得：n?255。 sinxmax
Af?0??Af?1??Af?0?，已知其余项表达式为
R?f??kfIII???。试确定求积公式中的待定参数A0，A1，A2，使其代数精度尽量
高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。
?1?A0?A1?A2?2
解：设f?x??1，x，x求积公式准确成立，代入原式可得：?1
?0?A1?A2?2?1??
，A?1，A2?，
所以原式变为：?f?x?dx?f?0??f?1??fI?0?，
当f?x??x3时，代入原式，左边=
，右边=，左边?右边， 43
由题意知误差为1?1?kf?且fx?3!?6，所以求得k??，
即R?f???1fIII???为所求，上式求积公式具有3次代数精度。
6. 若用复化Simpson公式计算
点上的函数值？ 解：
exsinxdx，要使误差不超过10?6，问需要计算多少个节
fI?x???4exsinx，
在这里取复化Simpson公式余项的绝对值Rs?f
b?a?h??4?????f???，
代入已知条件得：Rs?f?
， ???4esin?180?2n?
进行放缩得：Rs?f??4exsinx?10?6，解得：n?26。 ??max
180?n?1?x?3
推导下列三种矩形求积公式，其中???a,b?
（1）?f?x?dx??b?a?f?a??
f????b?a? 212
f?x?dx??b?a?f?b??fI????b?a?
f?x?dx??b?a?f??f?b?a?????
证明：（1）将f?x?在f?a?处展开成一阶泰勒公式，即：f?x??f?a??f
上式两边在?a,b?积分，得：?f?x?dx??f?a?dx??fI????x?a?dx
=f?a??b?a??
这里我们应用广义积分中值定理：
fI????x?a?dx，
?f?x?g?x?dx?g????f?x?dx，???a,b?，
于是上式中第二项就化简为如下形式：
????x?a?dx?f????a?x?a?dx，
积分整理得到：?f?x?dx??b?a?f?a??
f????b?a?。 2
（2）将f?x?在f?b?处展开成一阶泰勒公式，即：f?x??f?b??f
上式两边在?a,b?积分，得：?f?x?dx??f?b?dx??fI????x?b?dx
=f?b??b?a??
上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：
fI????x?b?dx，
f?x?dx??b?a?f?b??
f????b?a?。 2
（3）将f?x?在f?
?处展开成二阶泰勒公式，即：2??
a?b?f????a?b??a?b?I?a?b??f?x??f???f???x????x??， 2?2!?2??2??2??
上式两边在?a,b?积分得：
bbf???a?b?a?b??a?b??I?a?b??f?dx?fx?dx?x????????dx， ??aa2?22??2??2???
由广义积分中值定理
?f?x?g?x?dx?g????f?x?dx，???a,b?，
代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：
f?x?dx??b?a?f?f????b?a?。 ??
?f?x?dx构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。
23xx，令=1，，，求积公 式fxxf0?f1?f2?f3??????????A0A1A2A3
解：将?0,3?三等分，即取节点0，1，2，3.构造求积公式：
3??3?A0?A1?A2?A3
?A0??89???0?9A1?2A2?3A3??2?准确成立，代入公式得：?解得：?A18
9?3?0?A1?4A2?9A3????A28
?81?0???8A2?27A33A1??A3??4
所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：
f?0??f?1??f?2??f?3?。 8888
9. 用高斯-勒让德求积公式，取n=2计算定积分
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣
的同学可自行解答，代入高斯勒让德求积公式：Q?x?dx?
?AQ?x?即可求出：
x2exdx?0.7119418。
用龙贝格求积公式计算定积分
，f1?f3?????????23
解：代入复化梯形递推化公式，求得：T1?
13??，?f1.5???f?????T???4??9??14f????， ?4??9
?f2T48???3?
????8??9?f????8??15?f????8??21??597， f?????8??315
，， ?????TTSTT42844
， 161796，
5S215S1405
???2.。 CC21
?x??0，证明用梯形公式计算积分?af?x?dx所得的结果比准确值大，并说明其
几何意义。
证明：已知梯形公式为I?In?RT?f?，
?x??0及余项公式R
?b?a??f???
f????0，也就是I?In?0即
In?I造成结果比准确值大。
几何意义：由fII?x??0可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
第五章 常微分方程的数值解法
一 本章的学习要求
（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。 （2）掌握龙格库塔方法。
二 本章应掌握的重点公式
（2）后退的欧拉公式：y?y?hf?x,y?。
（3）梯形公式：y?y??f?x,y??f?x,y??。
（1）欧拉公式：
三 本章习题解析
1. 对初值问题?，在?0,1?区间内取步长h?0.1，分别用欧拉公式、改进的欧拉
公式及经典的四阶Runge-Kutta公式作数值计算。 解：（1）由欧拉公式可知：y
?x,y??y?0.1???y?=0.9y。
?yp?yn?hfxn,yn?
（2）由改进的欧拉公式可知：?y?y?hf?cxn?1,yp n
?yyp?yc?n?1?2
将已知代入化简可得：
?0.1??y?0.9y，y?
???0.91y，
0.9y?0.91y=0.905y。
?k2?f?xn?,y?k1?
（3）由经典的四阶Runge-Kutta公式可知： ?2n2? ?
h???f??h,?y?xn??k32n2k2??
?k4?fxn?h,y?hk3
公式为：yn?1?yn?
，所以有：k1??yn，?k1?2k2?2k3?k4?记为（1）
k2??yn?0.05yn，k3??yn?0.05yn?0.0025yn，
k4??yn?0.1??yn?0.05yn?0.0025yn?，
代入到（1）得：yn?1?yn?
??5.78375yn。 60
2. 用欧拉公式解初值问题?dx，证明其整体截断误差为y?xn??y?anh2。
证明：将已知代入欧拉公式y
?x,y?，化简为y
?h?axn?b?，
?haxn?hb，应用递推关系可得：y?
?haxn?1?hb，
以此类推：y?
?hax2?hb，
?hax1?hb，y?
?hax0?hb，
然后迭代得：y?n(n?1)ah2?nbh，
n2由题可知，对原定解问题积分得：y?x??所以有y?x??y?1anh2成立。 n
ax?bx，故可得y?xn??axn2?bnh，22
3. 用欧拉公式计算积分?
tdt在x?0.5，1，1.5，2点的近似值。
?fI?x??exIx?t解：设f?x???edt，则f?x??e，且f?0??0，故原问题转化为?的定
解条件在x0?0，由欧拉公式y
?1，x3?1.5，
?2时的定解问题。
?0.5e?0.5，
?0.5e?0.5?0.5e=1.142，y?
?0.5e?0.5?0.5e?0.5e=2.501，
?0.5e?0.5?0.5e?0.5e?0.5e=7.245。
I??y?10y?0
4. 用欧拉公式计算初值问题?，0?X?2，取步长h?0.3时，计算结果稳
解：???10,h?0.3,?h??3不在?2??h?0内，所以计算结果不稳定。
?2?h??y?y?0?5. 对初值问题?，证明梯形公式求得的近似解为yn??，并证明当步长?
?2?h???y?0??1
h?0时，yn?e
证明：由梯形公式：y
??y化简可得：y
合并同类项，整理可得：
2?hyn?1?2?h
?2?h?????????2?h???y??yy???2?h??2?h?
?2?h?由已知y?1，于是上式化为
?2?h?y????2?h?
由极限定义：
nn?2?h2?h?2h?2h???????limyn?lim??lim?lim1??h?0????h?0h?02?h???2?h?h?0??2?h?
?2hnh?02?hlim
由xn?nh代入，所以原式?e
?e?xn。 2?h
1?100?。?yI?100y?6. 对初值问题?，如果取h?，证明欧拉公式求得的近似解为yn??1?? nn????y?0??1
证明：由欧拉公式：yn?1?yn?
f?xn,yn?，将已知代入可得：yn?1?yn?100yn nn
?100?，同理，以此类推得：?100?，迭代可得：
?yn?1?y?y?n?1n?1?1??nn????
?100?yn?1?y0?1??
100?，由y?0??1有yn?1??1???
8. 取步长h?0.2，试用经典的四阶龙格—库塔公式求初值问题?的y?0.2?，
y?0.4?的近似值。
??2?2??，其中6k1k2k3k4
?x,y??x?y，
?f?,??xn?y?k2?xn2n2k1?
?0.1?0.1k1，
?0.1?0.1k2
?f?xn?,y?k2??xn?
?x?h,y?hk??x?y?0.2?0.2k，将k，k，k，k
?y??6.74?x?y??0.74?0.244?x?y??0.24?，
，代入原式：
取节点：x0?0，
?0.4，于是有：
?1.2428， 30
?1.5836359。 ?x?y??0.76430
10. 解初值问题y?10y?
，1?x?2，若用梯形公式求解，要使迭代公式y
?(k?1)?y?n?1??
????f?xn?1,y?
收敛，求步长h的取值范围。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：h?I?f?x,y?111. 证明初值问题?y的二步法?y?n?12y?x0??y?0?
?x,y??是二阶的，并求其局部截断误差项。
证明：将y在y处进行三阶泰勒公式展开得：y
f，也在yn处进行泰勒公式展开，由于原式第二项前有h，故f
只需展开成二阶泰勒公式即可，即：
，将以上四式代回原方程得：y在
处进行三阶泰勒公式展开：y
1与○2进行比较可知：现将○
?，故原式是二阶的，局部截断误差为246
，局部截断误差的首项为?
12. 证明：线性二步法y
??b?1?y?by
?，当b??1?
时方法是二阶的，当b??1时方法是三阶的。 证明：原式变形为y
??1?b?y?by
???b?3?n?14?
?，记为（1）式，
f在yn处分别展开成三阶，二阶，二阶泰勒公式，即：
y?y?hy?y2!
?o?h?，f?y?hy?y
?h?，将上面三式代入（1）式化简可得：
?h?，记为（2）式，
再将y在y处展开成三阶泰勒公式，y?y?hy?ynn?1
2!记为（3）式，将（2）式与（3）式对比，当b??1时，
?，即b??1，66
?，具有二阶精度。 66
13. 求系数a,b,c,d使公式y解：将y
，在y处分别展开成四阶，三阶，三阶泰勒公式，即：
f?y?hy?y2!
f?y?hy?y2!
将以上几式代入原式，整理可得：
a?2yn?1?ayn?h(?a?c?b?d)yn????b?d?hyn
?abd?3III?a?b?d?
?????hy???n
处的四阶泰勒公式展开式的各阶系数，即可求出相应的未知数，
解得a?1，b?d?
14. 对于初值问题的模型方程y??y??0?，求二阶Runge-Kutta方法
y?y??k1?k2?n?n?1
k1?f?xn,yn?的稳定区间。 ?
?k?f?x?h,y?hk?nn1?2?
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：??h?
?I?f?x,y?y15. 求系数a，b，c使求初值问题?的公式y?ay?by?hc?n?1nn?1y?x0??y?0?
能高的精度，并求其局部截断误差首项。
解：按照上面几个题的做法可知：
y?y?hy?y2!
?h?，将以上两式
代入原式化简可得：
?b?2II?bc?3III
yn??c?b?hyn??2?c?hyn??6?2?hyn?o
对照yn?1在yn处展开的三阶泰勒公式的系数即可得到方程组?
?b?2c?1??b?3c?1
由于四个方程三个未知数，故解前三个方程即可，解得a?4，b??3，c??2，代
入b?3c?1说明具有二阶精度，局部截断误差首项为：hyn。
第六章 方程求根
一 本章的学习要求
（1）能够熟练的应用牛顿迭代公式。
（2）能够根据要求推导出牛顿迭代公式并求其局部截断误差。
二 本章应掌握的重点公式
（1）牛顿迭代公式：xk?1?xk?
（2）迭代收敛定理：设迭代过程xk?1???xk?收敛于方程x???x?的根为x，若迭代误差ek?xk?x，当k??时，lim程具有p阶收敛。
?c?0，则称该迭代过
三 本章习题解析
1. 用二分法求方程x3?x?1?0在?1,2?内的近似根，准确到10。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：x92. 证明用二分法得到的序列?xk?为线性收敛。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。提示：xn?x?3. 设有方程f?x??x3?x2?1?0，
（1）证明该方程在区间?1,2?上有唯一根x?。 （2
）证明迭代公式xk?1?
,x?x?。 n?1n
k?0,1,2,????对于任意初值x0??1,2?都是收敛的，并
用此迭代公式求其近似根直到有8位有效数字。
证明：（1）由题可知：f?1???1?0，f?2??3?0，且f?2?f?1??0，由零点定理可
知：f?x?在?1,2?内有根。
下面证唯一性，由高等数学的知识fI?x??3x2?2x?x?3x?2?在?1,2?有
fI?x??0，即f?x?单调递增，原命题成立。
）证明：已知xk?1?I
x?1?3?2x? ??1，所以对任意初值x0??1,2?都收敛。
3同学们可以任选初值进行8次迭代，或上机操作完成。
4. 对于??x??x??x?5，要使迭代公式xk?1?
??xk?局部收敛到x??的
取值范围。
解：由??x??x??x?5，可知?I?x??1?
2?x，由收敛定理：I
1，解得：???0。
5. 用迭代法xk?1?
xk???xk?f?x?求方程f?x??x3?x2?x?1?0的根，求??x?使
迭代序列?xk?具有局部平方收敛。 证明：已知xk?1?
???xk?f?x?，故可得：??x??x???x?f?x?，
对??x?求导得：?I?x??1?????x?f?x????x?f?x???，设x是f?x??0的根，
即：fx?0，所以上式化简为：?I?x???1???x??fI?x??，由题可知原式具有平
方收敛，故由?Ix??0，可求得：??x???
fx3?x???2x??1
一般化为：??x??
13?x??2x?1
，记为（1）式，
现将（1）式代入??x??x???x?f?x?可得：??x??x???x?1，
对??x?求二阶导，将f?x?的根x代入得：?
6x??23?x???2x??1
所以?IIx??0，由收敛定理知，原命题成立。
6. 给定函数f?x?设对一切x，fI?x?都存在，且0?m?fI?x??M。证明对0???
任意常数?，迭代法xk?1?证明：由xk?1?
?x?均收敛于方程f?x??0的根。
?x?，即：??x??x??f?x?，所以：??x????f?x?，
又因为：0?m?fI?x??M，所以可放缩为：0??m??fI?x???M。
又因为：0???
22，代入上式，继续放缩：0??m??fI?x???M?M?2，MM
两边取负号：?2???M???fI?x????m?0，且?1?1??M?1??fI?x??1??m?0， 即：??f
?x??1，等价于?I?x?
?1，由收敛定理知方程收敛。
7. 用Newton法求下列方程的根，准确到四位有效数字。 （1）f?x??x3?3x?1?0在x0?2附近的根； （2）f?x??x2?3x?ex?2?0在x0?1附近的根。 解：本题为上机题。提示：（1）由牛顿迭代公式：??xk??xk?
f?xk?，代入化简可得：I
fxk??xk??xk?3
，在此任取x0?1附的值进行迭代即可。（2）同理。
8. 求方程x3?2x?5?0在x0?2附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
，迭代公式x?k?1
（3）x?x?x?5，迭代公式xk?1?xk?x
试分析每种迭代公式的收敛性；并选取一种收敛最快的迭代公式求出具有五位有效数字
的近似根。
解：（1）经验证取有根区间为?2,3?，由已知可得??
x??从而：，?I?
x?在有根区间?2,3?内I?x??1，即迭代公式收敛。（2）（3）同理。
9. 用弦截法求下列方程的根，准确到四位有效数字。 （1）f?x??x3?10x?20?0在区间?1.5,2?内的根； （2）f?x??x3?3x?1?0在x0?2附近的根。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在此只给出结果：（1）x??1.5945621。（2）x??1.879。 10. 方程x4?4x2?4?
0有二重根x??，用Newton法和xk?1?xk?m
次，比较其结果。
f?xk?分别迭代三
1应用Newton法，设f?x??x4?4x2?4?0，可得：f解：○
?x??4x3?8x。
x4?4x2?4f?xk?代入牛顿迭代公式：xk?1?xk?，即得：??x??x?，现取初值3I
4x?8xfxkx0?1，进行迭代：??x0??1.25，??x1??1.31464，??x2??1.。
2应用迭代公式○
f?xk?x?4x?44，同样m?2，则，即??x??x?2xxk?1?xk?mI
4x?8xfxk取初值x0?1进行迭代：??x0??1.5，??x1??1.421254，??x2??1.4142135。 11. 应用Newton法于方程x?a?
位有效数字的近似值。
解：设f?x??x3?a?0，所以：fI?x??3x2，由Newton迭代公式xk?1?xk?
f?x?，整理得：x3?a，此即为所求的迭代公式。
??x??x???x??x?I
f?xk?，即：
a?120，代入迭代公式??x??x?， 2
?4进行迭代：??x0??5.1666，??x1??4.94423，??x2??4.9324415。
13. 应用Newton法于方程x?a?
解：（1）由xn?a?0，设f?x??xn?a?0，fI?x??nxn?1。建立牛顿迭代公式：
f?xk?1?an?1 ，代入整理：??x???1?x?x??
?2????x??ex?x由定理2.定理3.可知：limk?1?limk?1，将??x??x?f?x?代入上式?Ik??ek???2f2!xkx?x??
最终化简为：
2fIx?fII?x??
ek?1f?x?（2
所以原证明：，这里：lim???lim??kk??k??ek2fxxk
f?x??x?a，f
，代入上式即可求得
14. 设f?x?具有二阶连续导数，fx
???0,f?x??0，证明迭代公式
fxk?fxk?fxk是二阶收敛的。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：将边同时减去xk，求极限lim
f?xk?f?xk??在xk点做
Tarlor展开到二阶，再将公式两
第七章 解线性方程组的直接解法
一 本章的学习要求
（1）会求各种向量范数和矩阵范数。
（2）会求普半径和条将数。
（3）能够将不同类型的矩阵分解成LU形式并能解该方程组。
二 本章应掌握的重点公式
max?aijA?max?aij，
（2）向量的各种范数：
（3）当系数矩阵为对称矩阵时，普半径等于二范数。
三 本章习题解析
?7x1?x2?x3?3
1. 用高斯消去法解线性方程组??2x1?4x2?2x3?1
??x?x?3x?2
?71?1??x1??3?
解：将其写成矩阵形式为：?242??x???1?，现对其增广矩阵进行初等变换化为如下
???2?????113??x??2????3???
?71?13??1?11?2??1?1?3?2?
形式：?2421???2421???0685?，将其还原，此时求解
??????????002831?
?x1?x2?3x3?2
原方程组的问题就变为解：?，解得：x??0.91,1.1071?T。
?6x2?8x3?5?2831?x3?
22??x1??0.4???0.002
?????，已知精确解：2. 给定线性方程组：?10..38162??????
?3.??x??7.4178????3???
x???1.9496,0.900432?。
（1）用高斯消去法解此线性方程组；
（2）用列主元素消去法解线性方程组。
分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。 3. 设A?aij
?Rn?n，a11?0，经过一步高斯消去法得到n?n
???a11?0?，其中a??A??
?????a22(2)
??????A???(2)?????an2
?，证明： ????
（1）若A为对称矩阵，则A??也为对称矩阵；
（2）若A为对角占优矩阵，则A??也为对角占优矩阵。
证明：（1）只要证出a
即可，因为：a
?aij?mi1?a1j
A为对称矩阵则上式化为
aj1?ajia11
aj1??a1i?ajia11
证毕。同理可证（2）。
?211??x1??4?
4. 设有方程组?132??x???6?，试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三
???2????122??x??5????3???
角矩阵之积；即A?LU，然后用你的分解解此方程组。 ?211??1
解：将A写成LU的形式即：?132???
???l21?122?????l31
??????1???
?，利用矩阵的乘法23??33?
得：l?l?1，
53，3， 3，，，，??1?2????u12u13u11u22u23u33l32
所以A可写成：????132????122????????21?????1
??1????1??
下面解此方程组，先解LY?b即：???????y?
T??1??4?3??
?????6?，解得：Y??4,4?，再15???y2????
??5???y?1????3?
解UX?Y，即：
1????x1?4?，解得X??1,1,1?T。 ?????4???x2??????????x3??3???5?
5. 试推到矩阵A的Crout分解A?LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：设： l1j?a1j,i?1,2
,j?2n,，所以：
?aik??lirurk，i?k,k?1
1????n，ukj?akj?lkrurj?，j?k?1???n。
6. 设L为非奇异下三角矩阵，（1）列出逐次代入求解LX?f的公式；（2）上述求解过程需要多少次乘除法？
?l11证明：（1）设?
?l21L??l31
???????ln1
??x1????????x2????x???l33
????????x4??
ln3???lnn????x5??
2?，其中：?3??4???5?
?0，(i?1,2??????n)。
解上述方程组可以得到：?f
，k??2,3??????n?。
（2）计算次数为：????k?1??1???1?
n?n?1?次乘除法。
7. 用平方根法解方程组?13?1
0??x1??7??????0??x2??8?。
2??x3???4??????6?4??x?4???
解：因为系数矩阵A为对称正定矩阵，应用平方根法，A可分解为A?
LLT即如下形式：
?13?1??1?15?
0??l11??0??l21
?2??l31??4???l41
??l11?????????l44???
42?，按照矩阵乘法展开与原矩?34??44?
阵对比整理得：
?2，l21?，l31??，l41?
，l32?l42?
先解方程组LY
??1??7???y??8?，
??2??????y???4??3???
?7256， 2??
?0??x1?????x2??，
?????x?4????????????0
解得：X??1,2,?1,2?T即为方程的解。
?2?1??x1??6???????
8. 用追赶法解方程组??13?2??x2???1?。
??24?2??x3??0??????????35???x4??1?
解：由题可知：矩阵为三对角占优矩阵，由追赶法知：设A的LU分解为：
????13?2????r2??24?2?????
???????????a4???
?，按照矩阵乘法展开与原矩阵对??3??1??
比可得：a1?2，???1，a?5，???4，?12，???5，a4?5，
??2，r2??1。
?y???，?b，8471即：解得：， ??1???1?2?Y??3,,,??????
???0?5345?2????y???3??1?
??5?????????y4?
下面解此方程组，先解LY
再解，UX?Y。即：
1??2??1??????
????5?，解得：X??x2???4??????6??x3??3????
5??x4??71?
??5,4,?3,2?即为方程的解。
9. 设向量x?解：
?4,2,?1,10?，求x
为非奇异矩阵，x为Rn的一种向量范数，定义
Rn的一种向量范数。
1非负性证明： ○
A为非奇异矩阵
?对x?0,Ax?0。当且仅当：
?Ax?0?Ax?0?x?0。
??Ax??Ax??
?A?x?y??Ax?Ay?Ax?Ay?
p?x???xi??
?x1,x2,??????xn?
i?1xi??max1?i?nxi?n?max1?i?n
两边同时开次方得：
两边同时取极限得：由两边夹得：
12. 设A????，求
?max?aij?3，
先解：AA??
?1?2??1?2??5?4?
??????，由线性代数特征向量的知识可知：
??21???21???45?
，并令上式等于0，解得：?1?1，?2?9，
又因为A为对称矩阵，所以：??x??A2?3。
13. 设A,B?Rn?n均为非奇异矩阵，?表示矩阵的某一种算子范数，证明 （1）
证明：(1) 1?E?（2）
?A，变形即：
14. 设A?Rn?n为对称矩阵，?，?，
为A的特征值，证明n
22??1??22??????nF
???aij，又因为A为对称矩阵，故有A?A，所以有：AA?A， i?1j?1
由?，?，…?为A的特征值，由线性代数的知识可知：?12，?2，…?2是A的n
222特征值，且（?1。 ??2??????n?th迹）
?Ta12AA??????
????????????
??a11??n2??a21??????????ann????an1
????????????
?????ann??
??aj1?i?1?????????
?所以：??????
2??ajn?i?1?
?1??2??????n???aij?
即：15. 设A?
??12??22??????n?
，两边开平方，
，按矩阵范数的定义证明A???aij是一种矩阵范数。
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：
?Ax?0，当且仅当：
?Ax?0?Ax?0?x?0。
??Ax??Ax??
?A?x?y??Ax?Ay?Ax?Ay?
?710??10099?
，B????，求Cond?A??，Cond?A??，Cond?B?1。
579998????
解：Cond?A???A
?289,A????，
?222.6058，AA??
?75??710??74105?
?107??57??105149?
?0,?1?0..9955,
B???9899?，CondB?B?1?B??2B????2B?99?100?
18. 证明（1）Cond?A??Cond?A?1?，（2）Cond?AB??Cond?A??Cond?B?。 证明：（1）由定义可知：
，即（CodA1）成立。 ??n
（2）Cond?AB???AB?
?AB?B?1A?1?AB?B?1?A?1?A?B
?B?Cond?A?Cond?B?。
第八章 解线性方程组的迭代法
一 本章的学习要求
（1）会应用Jacobi迭代法和GAUSS-Seidel迭代法判断敛散性。
二 本章应掌握的重点公式
（1）Jacobi迭代，先求B0?D?1?L?U?，再令?E?B0?0，再根据??B0??1收敛。 （2）Gauss-Seidel迭代，先求G??D?L?U，再令?E?G?0，再根据??G??1收敛。
（3）建设系数矩阵为：?d
c??0?a0???，L???df?。则：D??0e0???
??g???k???00k?
?00?， ?h0??
U??00?f?，分解后再按照不同要求进行求解。
三 本章习题解析
AK?0。 ?，求a的取值范围使limk??
解：由题可知，要使limAK?0，即与??A??1等价，
得：??A??maxa,0.9?1， ????a????0.9??0。
显然：0.9?1，还得要求a?1，即?1?a?1。
?101??x1??1??10.50.5??x1??4?????????????
2. 给定方程（1）?110?x2??0，（2）0.510.5?x2??10
?????????12?3????2??0.50.51????1????x3??????x3???
证明：对（1）Jacobi迭代收敛，而Gauss-Seidel迭代发散；（2）Jacobi迭代发散，而Gauss-Seidel
迭代收敛。
证明：（1）首先应用Jacobi迭代法，此时B0?D?1?L?U?，按照矩阵乘法整理如下：
?1???0??00?1???0?????????B0??110?00?????????1
??1??1?20???1??0???????????
0?，所以令行列式： ?0??
故Jacobi迭代收敛。
下面应用Gauss-Seidel迭代法：
G??D?L?U???11?
12解得：?为复数根，其模满足??B0??1， 0??3????0，
?00?1??00?1?????
00???00?1?，令行列式： ????0????00?1?
1??2???1??0，解得：?1??2?0，?3??1，??G??1，发0??1
散。 （2）由系数矩阵为对称正定矩阵，故由定理可知：Gauss-Seidel迭代一定收敛。而Jacobi迭代则不一定成立，按照（1）的方法验证Jacobi迭代为发散。
?8?11??x1??1?
3. 给定方程组?210?1?????4?，判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收
???x2????11?5????3????x3???
敛性，若收敛，取初值x?0???0,0,0?，求满足x
10?3的解。
分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。
?12?2??x1??1?
4. 给定方程组?111?????2?，判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收
???x2????221????3????x3???
解：首先应用Jacobi迭代法可知：
?1??0?2?2??0?22???????
B0?D?1?L?U???1???10?1????10?1?，令：
????1??????2?20???2?20?
1??3?0，解得：?1??2??3?0，显然??B0??1，收敛。
再应用Gauss-Seidel迭代法：G??D?L?U，由于求?D?L?比较复杂，故采用直接代入求解，即：
?E???E??D??LU?
??D?L?????D?L??U??
， ??D?L??????D?L??U??
令上式等于0，即：?D?L??1??，由于：?D?L??1?0， ???D?L??U???0所以只有：????D?L??U???0。
?，??D?L?U????由：?D?L???11????????2??221?
1?，对上式取行列式， ???
01?1?0，???D?L??U???解得：?2??3?2，?1???2?0，??2??2????
所以：??G??1，发散。
5. 已知方程组?
a??x1??1??0?
x，对任意，给出解此方程组的Jacobi迭代法和??????
Gauss-Seidel迭代法收敛时a的取值范围。
1??0?a??0?a?， 解：首先应用Jacobi迭法：B0?D?1?L?U??????????
1?4a0??????4a0?
令行列式：?E?B0???2?4a2?0，解得：?1??2??2a，所以要想收敛则应
满足：??B0??2a?1，即：a?
再应用Gauss-Seidel迭代公式：G??D?L?令行列式：
?1??0?a??0?a?， U???????2?4a100?????04a?
?E?G????D?L?U?
，解得：?1?0，或?2?4a，所以要想收?0
敛则应满足：??G??4a?1，即：a2?
6. 证明矩阵?a1a?对于?a?是正定的，且此时用Jacobi迭代法解方程组
AX?b时是收敛的。
1a211?1?0，○2证明：要想正定?各阶顺序主子式均大于0，即：○?1?a?0，
1a032?1?a?1，○，
综上所述：?a?。 a1a?1?2a?0
?1??0?a0??0?a0?
应用Jacobi迭代公式：B?D?1?L?U???1???a0?a????a0?a?，
??????10?a00?a0??????
令行列式：?E?B0?a
a????2?a2??0，解得：??0，或???a，
??B0??a?1，命题成立。
7. 证明矩阵?a1a?对于??a?1是正定的，而Jacobi迭代法只对??a?是收敛
??222?aa1???
1a11?1?0，○2证明：要想正定?各阶顺序主子式均大于0，即：○?1?a2?0，
23○a1a?2a3?3a2?1?2a2?a?1???1?a??a?1???a?1??2a?1??0，
?a?1，综上所述：??a?1。 22
?1??0?a?a??0?a?a?
应用Jacobi迭代公式：B?D?1?L?U???1???a0?a????a0?a?，
?1??????a?a0?????a?a0??
令行列式：?E?B0?a
a????a???2?a??a2?????a????2a??0解得：
?1??2?a，?3??2a，所以要想收敛必满足：??B0??1，即：a
10. 设A??2
A1?0，但对于A2??1?，证明limk???1?
0??A2K不存在。 1?时，limk??2?
解：根据上述极限存在的充要条件可知，这里通过普半径来验证其存在性。 （1）令行列式?E?A?
??????0，得：??A1???1，收敛，极限存
（2）令行列式?E?A2?
原极限不存在。
11. 设方程组?
1????1??????0，得：??A2??1，发散，故
?a11x1?a12x2?b1
，a11?a22?0，证明解此方程组的Jacobi迭代法与
ax?ax?b?2112222
?a11a12??x1??b1?
?a21a22??x2??b2?
Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散；并给出两种迭代法收敛的充要条件。 证明：将方程组表示成矩阵形式，即：?
首先应用Jacobi迭代法11?1
B0?D?L?U???
a12??0???0
0??211???a21
?????a22??22
?12?11?， ?0???
令行列式：?E?B?0
???1221?0，解得：??
再应用Gauss-Seidel迭代法：G??D?L?U??11
?a210??0?a12??? a22??00??
?a11a12??a21
a12a21??0?
a11a22?0??0?a21??
?， ?????a11??00??a12a21?
0?a11a22???
令行列式：?E?G?
a11a22a12a21a11a22
?0，解得：?1?0，?2?
，所以普半a11a22
?1时，同时收敛，
?1同时发散。
?10??x1??1??1
?????，12. 给定方程组??0.25不进行计算，试判别用Jacobi和Gauss-Seidel1?0.5???x2???0?
?0?????0.51????x3??0?
迭代解此方程组的收敛性，若收敛，哪种迭代收敛快？
分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：通过观察此方程为对角占优矩阵，由定理可知：当0???1时，方程SOR迭代收敛，且?越小收敛又快。
13. 试说明Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵G??D?L?U中至少有一个特征值等于零。 证明：由线性代数的知识可知：G??1??2
?n，又因为：G??D?L??1??0，
U?0，又因为U为上三角矩阵，G??1??2?0，
中至少有一个为零。
2?1??x1??1??0??k?1??k??k?
x14. 已知方程组?，对任意，若用迭代公式x?x??Ax?b????x???
??12??2??2?
求解此方程组时，
（1）?的取值范围，使迭代公式收敛； （2）?取何值时，收敛速度最快？ 解：由?2
?2?1?，根据x?k?1??1??x1??1?，可知
A??????????
??12???12??x2??2?
?x?k???Ax?k??b
B?1??A ，可知此时：
??1???x?k???b，?Bx???f对照公式x
设?为A的特征根，则B的特征根为：1???， 令行列式：
，?2?3， ?E?A?????2?1?0，解得：?1?1???
所以B的特征值为：1??，和1?3?，要想收敛则B普半径为：
2????1??B??max???,?3???1，解不等式组：?0???，解得：。 ?3?3??1??
（2）由定理可知?越小收敛速度越快。
由解析几何的思想：?，且：??B??max??,?3?。 ?
我们把?看成是?
的函数，化简不等式组可得：?????1，图像如下：
解最小交点坐标：即：3??1?1??，解得??
，此时收敛最快。 2
一 填空：（每空3分，共30分）
1. 用迭代法xk?1?xk???xk?f?xk?，求方程f?x??x?x?x?1?0的根，要使迭代
序列?xk?具有平方收敛，则??xk?即可。
2. 使用松弛法（SOR）解线性方程组Ax?b时，松弛因子?满足条件时一定发散。
3. 设A??要使limA?0，则a应满足2?k??
4. 区间?a,b?上的三次样条插值函数s?x?在?a,b?上具有直到数。
ALL当满足条件可以分解？其中L为具有正对角元的下三角矩阵，此a?
6. 测得某圆锥的底圆半径r??3.150，高为h?7.84，单位（cm）今取???3.14。若用此三个值计算圆锥体积V??rh时，则V的误差限为 7. 已知求积公式
??1f?x?dx??Akf?xk?满足：?Ak?2，?Akxk?0，?Akxk2?
此公式至少具有
次代数精度。 8. 向量X??x1,x2,x3?,则定，一定不），而
x1?x2?2x3x1?3x2
二 计算题：
1. 下面的数据取自一个多项式，试用Newton插值公式确定这个多项式的次数，并求出这个
2. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx2的经验公式，使它与下列数据拟合
3. 试确定函数p?x?,q?x?，使迭代公式xk?1?xk?p?xk?q?xk??q?xk?f2?xk?产生的序列
?xk?至少三阶局部收敛到f?x??0的根x?。
h?b?3?n?1nn?14?
时，方法是二阶的，当b??1时方法是三阶的。
4. 证明：线性二步法，y
??b?1?y?by
?21??x1??1?
???=?2?试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上 三角1315. 设方程组????x2???
?111??x3??2??????0?
21???????x4?
矩阵之积，即A?LU，然后用你的分解解此方程组。
?1aa??x1??0?
6. 已知方程组?4a10?????1?试给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-seidel迭
??0???a01?????x3??
代法的收敛的充要条件。
7. 设x方程fI?X??0的m重根m?2，证明Newton迭代法仅为线性收敛，若用迭代公式
，f?xk??0则可至少达到二阶受敛，给出证明。 I
期末考试程序设计题解析
,n?0,1,x?5
程序：（C语言） #include #include void main() {
double IA[21],IB[21];
IA[0]=0.,IB[20]=0.;
// 利用递推公式(A),计算IA
for(i=1;i<=21;i++)
第一章 绪论一 本章的学习要求（1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。二 本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设x为精确值，x为x的一个近似值，称e??x??x为x的绝对误差。??e?（2）相对误差：er??…
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